Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu độ đo cực hay.
1 Chương 1. ĐỘ ĐODƯƠNG-HÀM SỐĐO ĐƯỢC 1. TẬP ĐO ĐƯỢC A. Ta nhắclạimộtsố phép toán về họ tậphợp. Cho X là tập khác trống và I là tập các chỉ số.Nếu ứng vớimột chỉ số i ∈ I, ta có duy nhấtmộttậpconA i ⊂ X, ta nói rằng ta có một họ tậphợp ký hiệulàA i i∈I , hay A i i∈I , hay A i , i ∈ I, hay A i , i ∈ I. Ta định nghĩa phầngiaocủahọ tậphợp A i i∈I ,làtậpconcủa X đượckýhiệulà i∈I ∩ A i và đượcxácđịnh bởi i∈I ∩ A i x ∈ X : x ∈ A i vớimọi i ∈ I. # Nói khác đi, x ∈ i∈I ∩ A i x ∈ A i vớimọi i ∈ I. # Ta định nghĩa phầnhộicủahọ tậphợp A i i∈I ,làtậpconcủa X đượckýhiệulà i∈I A i và đượcxácđịnh bởi i∈I A i x ∈ X : x ∈ A i vớiítnhấtmột i ∈ I. # Nói khác đi, x ∈ i∈I A i ∃i ∈ I : x ∈ A i . # Trường hợp riêng với i) I 1,2, .,n : ta viết i∈I ∩ A i i1 n ∩ A i A 1 ∩ A 2 ∩ .∩A n , i∈I A i i1 n A i A 1 A 2 .A n . # ii) I ℕ : ta viết i∈I ∩ A i i1 ∩ A i A 1 ∩ A 2 ∩ ., i∈I A i i1 A i A 1 A 2 # Chú ý: 2 X i∈I ∩ A i i∈I X A i , X i∈I A i i∈I ∩ X A i . # Nếu không sợ nhầmlẫntacònkýhiệu A c X A. # Do đó: i∈I ∩ A i c i∈I A i c , i∈I A i c i∈I ∩ A i c . # Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Xác định i∈I ∩ A i và i∈I A i , với A i −1 i , 3 2i1 . B. Ta qui ướcmộtsố ký hiệu và các phép tính −, − , −, , −, −, # a a nếu 0 ≤ a ≤, và a. . a , nếu 0 a ≤, 0, nếu a 0. # Các qui tắcvề dấu(âm,dương) tương tự như phép nhân thông thường), chẳng hạn a. . a − nếu − ≤ a 0, 0nếu a 0. # C. Giớihạntrênlimsup và giớihạndưới liminf. C1. Giớihạntrênlimsup. Ta cho dãy số a n ⊂ ,tađặt i Nếu a n không bị chận trên, ta đặt n→ lim sup a n . ii Nếu a n bị chận trên, ta đặt b k supa k , a k1 , a k2 , . n≥k sup a n , k 1,2,3, # Khi đó, b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ . ii 1 Nếu b k không bị chậndưới, ta đặt n→ lim sup a n −. ii 2 Nếu b k bị chậndưới, thì b k ↘ k≥1 inf b k .Tađặt 3 n→ lim sup a n k→ lim b k k→ lim n≥k sup a n k≥1 inf n≥k sup a n . # C2. Giớihạndưới liminf. Xét dãy số a n ⊂ ,tađặt i Nếu a n không bị chậndưới, ta đặt n→ lim inf a n −. ii Nếu a n bị chậndưới, ta đặt c k infa k , a k1 , a k2 , . n≥k inf a n , k 1,2,3, # Khi đó, c 1 ≤ c 2 ≤ c 3 ≤ . ii 1 Nếu c k không bị chận trên, ta đặt n→ lim inf a n . ii 2 Nếu c k bị chận trên, thì c k ↗ k≥1 sup c k .Tađặt n→ lim inf a n k→ lim c k k→ lim n≥k inf a n k≥1 sup n≥k inf a n . # Chú ý 1: Đôi khi ngườitacũng dùng các ký hiệu n→ lim a n và n→ lim a n ,lầnlượt thay cho n→ lim sup a n và n→ lim inf a n . Chú ý 2:Tacũng định nghĩa n→ lim sup a n , n→ lim inf a n cho dãy a n ⊂ , như sau n→ lim sup a n k≥1 inf n≥k sup a n , n→ lim inf a n k≥1 sup n≥k inf a n . # Chú ý 3: n→ lim sup −a n − n→ lim inf a n . # Chú ý 4: n→ lim inf a n ≤ n→ lim sup a n . # Chú ý 5:Nếu a n hộitụ thì n→ lim sup a n n→ lim inf a n n→ lim a n . # Chú ý 6: Ta cho dãy số a n ⊂ ,tađặt A a ∈ : a k→ lim a n k ,với a n k là dãy con của a n . # 4 Khi đótồntại a max , a min ∈ A sao cho a min ≤ a ≤ a max , ∀a ∈ A.Khiđótacó n→ lim sup a n a max và n→ lim inf a n a min . # Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Cho dãy số thực a n , sao cho n→ lim sup a n ≤ 0 ≤ a n với mọi n ∈ ℕ.Chứng minh rằng a n → 0. C3. Cho dãy hàm f n , f n : X → .Khiđó n sup f n , n inf f n , n→ lim sup f n và n→ lim inf f n là các hàm đượcxácđịnh trên X bởi n sup f n x n sup f n x, n inf f n x n inf f n x, n→ lim sup f n x n→ lim sup f n x k≥1 inf n≥k sup f n x , n→ lim inf f n x n→ lim inf f n x k≥1 sup n≥k inf f n x , n→ lim f n x n→ lim f n x. # Nếu fx n→ lim f n x,tồntại ở mọi x ∈ X,khiđótagọi f là giớihạntừng điểm của dãy f n . Định nghĩa1.1.1.ChoX là tập khác trống. Mộthọ M các tậpconcủa X đượcgọi là một − đạisố trong X nếucácđiềukiệnsauđây thỏa: i X ∈ M, ii Nếu A ∈ M thì X A ∈ M, iii Nếu A j ∈ M, j 1,2, . thì j1 A j ∈ M. # Chú ý:Tasuytừ i − iii,rằng 4i ∈ M,vì X X ∈ M. 5i Nếulấy A n1 A n2 . trong (iii), ta thấyrằng j1 n A j ∈ M, nếu A j ∈ M với j 1,2, ., n. 6i Nếu A j ∈ M, j 1,2, . thì ∩ j1 A j ∈ M, vì ∩ j1 A j j1 X A j ∈ M. 7i Nếu A, B ∈ M,thìA ∩ B X A B ∈ M và A B A ∩ X B ∈ M. # Định nghĩa1.1.2.Nếu X có một − đạisố M trong X thì ta gọicặp X, M (hoặc vắntắt X)làmột không gian đo được (measurable space), và phầntử c ủa M được gọilàtập đo được trong X. 5 Ví dụ 1.1.1.(Xemnhư bài tập). Cho X là tập khác trống và M , X. Nghiệmlại rằng M là một − đạisố trong X.Câuhỏitương tự với M PX là họ tấtcả các tập con của X. Ví dụ 1.1.2.(Xemnhư bài tập). Cho X 0,1 và M PX.Tập 1 2 ,1 có đo được không? Ví dụ 1.1.3.(Xemnhư bài tập). Cho X 0,1 và M , X, 0, 1 2 , 1 2 ,1.Tập 2 3 ,1 có đo được không? Chú thích 1.1.1.Choℱ ⊂ PX.Khiđótồntạimột − đạisố nhỏ nhất M ∗ trong X sao cho ℱ ⊂ M ∗ .Tacòngọi M ∗ là − đạisố sinh bởi ℱ. Thậtvậy, ta gọi là họ tấtcả các − đạisố M trong X chứa ℱ.VìPX cũng là một − đạisố (Ví dụ 1.1.1), nên ≠ .Gọi M ∗ M∈ ∩ M.Dễ thấyrằng ℱ ⊂ M ∗ ,bởi vì ℱ ⊂ M vớimọi M ∈ .Tachỉ cầnchứng minh rằng M ∗ là một − đạisố. Giả sử rằng A j ∈ M ∗ ,với j 1,2, . ,vànếu M ∈ ,thìA j ∈ M,như vậy j1 A j ∈ M,bởivìM là một − đạisố.Vì j1 A j ∈ M,vớimọi M ∈ ,takếtluận rằng j1 A j ∈ M ∗ . Hai tính chấtcònlại trong định nghĩa X ∈ M ∗ ,vàX A ∈ M ∗ với mọi A ∈ M ∗ đượcchứng minh tương tự. Định nghĩa1.1.3.(Độ đodương)ChoX là một không gian đo đượcvớimột − đạisố M và cho hàm : M → 0,. Ta nói là một độ đodương trên M nếu thoả mãncáctínhchất sau: i Tính chấtcộng đếm được (countably additive): j1 A j ∑ j1 A j , nếu A j ∈ M, j 1,2, . và A i ∩ A j , ∀i ≠ j. ii ∃A ∈ M : A . # Định nghĩa1.1.4.(Độ đophức)ChoX là một không gian đo đượcvớimột − đại số M và cho hàm : M → ℂ. Ta nói là một độ đophức trên M nếu thoả mãn tính chất sau: j1 A j ∑ j1 A j ,nếu A j ∈ M, j 1,2, . và A i ∩ A j , ∀i ≠ j. # Định nghĩa1.1.5.ChoX là một không gian đo đượcvớimột − đạisố M và cho hàm là một độ đo(dương hoặcphức) trên M. Ta nói X, M, là một không gian đo (measure space). Chú thích 1.1.2. i Với độ đophức, chuỗi ∑ j1 A j hộitụ vớimọi dãy A j rời nhau như trên, là hộitụ tuyệt đối. ii Nếu là một độ đodương và nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì A ≤ B .(XemVí dụ 1.1.6). iii Cũng vậy, nếu A j ∈ M, j 1,2, . và A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ .,thì j1 A j 6 n→ lim A n .(XemVídụ 1.1.7). iv Tương tự,nếu A j ∈ M, j 1,2, . và A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ .,và A 1 ,thì ∩ j1 A j n→ lim A n .(XemVídụ 1.1.8). vi Nếu là một độ đodương và nếu A j ∈ M, j 1,2, .,thì j1 A j ≤ ∑ j1 A j .(XemVídụ 1.1.9). Ví dụ 1.1.4.(Xemnhư bài tập). Cho X, M, là một không gian đovới là một độ đodương trên M Chứng minh rằng μ 0. Hướng dẫn:Lấy A 1 A, A 2 , ., A n1 , , ta có A j1 A j và A . Từ tính chấtcộng đếm được, A j1 A j ∑ j1 A j .Dochuỗi ∑ j1 A j hộitụ nên j→ lim A j 0,màA j vớimọi j ≥ 2, nên j→ lim A j 0. Ta cũng chú ý rằng, với độ đodương , điềukiện ii ∃A ∈ M : A trong định nghĩa 1.1.3 có nghĩalà ≠mà có thể thay bằng điềukiệntương đương 0.Vídụ 1.1.4. chỉ ra rằng ≠ 0. Đảolại, thì hiển nhiên, vì ta lấy A . Ví dụ 1.1 .5.(Xemnhư bài tập). Cho X, M, là một không gian đovới là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng (tính chấtcộng hữuhạn): j1 n A j ∑ j1 n A j , nếu A j ∈ M, j 1,2, ., n,và A i ∩ A j , ∀i ≠ j. Hướng dẫn:Lấy A n1 A n2 . ,tacó j1 n A j j1 A j .Vậy j1 n A j j1 A j ∑ j1 A j ∑ j1 n A j ∑ jn1 A j ∑ j1 n A j . Ví dụ 1.1.6.(Xemnhư bài tập). Cho X, M, là một không gian đovới là một độ đodương trên M Chứng minh rằng nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì A ≤ B . Ta có B A B A và A ∩ B A .Tasuytừ Ví dụ 1.1.5 rằng B A B A ≥ A. Ví dụ 1.1.7.(Xemnhư bài tập). Cho X, M, là một không gian đovới là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A j ∈ M, j 1,2, . và A 1 ⊂ A 2 ⊂ .,thì j1 A j n→ lim A n . Hướng dẫn: Đặt B 1 A 1 , B 2 A 2 A 1 , .,B j A j A j−1 với j 2,3,4, Khiđó B j ∈ M,và B i ∩ B j , ∀i ≠ j, A n j1 n A j j1 n B j và j1 A j j1 B j .Dođó A n ∑ j1 n B j và j1 A j ∑ j1 B j n→ lim ∑ j1 n B j n→ lim A n . # Ví dụ 1.1.8.(Xemnhư bài tập). Cho X, M, là một không gian đovới là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A j ∈ M, j 1,2, . và A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ., và A 1 ,thì ∩ j1 A j n→ lim A n .Chomộtphảnthídụđểthấy điềukiện ” A 1 ” không thể bỏ qua được. Hướng dẫn: Đặt C j A 1 A j .Khiđó C j ∈ M,vàC 1 ⊂ C 2 ⊂ C 3 ⊂ ., 7 C j A 1 − A j , j1 C j j1 A 1 A j A 1 ∩ j1 A j . # Ta suy từ Ví dụ 1.1.7 rằng A 1 − ∩ j1 A j A 1 ∩ j1 A j j1 C j n→ lim C n A 1 − n→ lim A n . # Vậy ∩ j1 A j n→ lim A n . Phảnthídụ:Talấy X ℕ,và là độ đo đếm trên X,(Xemvídụ 1.1.10). Giả sử A n n, n 1, n 2, . .Khiđó A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ .,∩ n1 A n ,nhưng A n với mọi n 1,2,3, .,tứclà ∩ n1 A n ≠ n→ lim A n . Ví dụ 1.1.9.(Xemnhư bài tập). Cho X, M, là một không gian đovới là một độ đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A j ∈ M, j 1,2, .,thì j1 A j ≤ ∑ j1 A j . Hướng dẫn: Đặt B 1 A 1 , B 2 A 2 A 1 , B 3 A 3 A 1 A 2 , .,B j A j n1 j−1 A n với j 2,3,4, Khiđó B j ∈ M,và B i ∩ B j , ∀i ≠ j, j1 A j j1 B j và B j ⊂ A j với j ∈ ℕ.Dođó j1 A j j1 B j ∑ j1 n B j ≤ ∑ j1 n A j . # Ví dụ 1.1.10.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,với E ⊂ X,tađịnh nghĩa X nếu E là tậpvôhạnvàE là số phầntử trong E nếu E là tậphữuhạn. Khi đó X, PX, là một không gian đovới độ đo gọilàmột độ đo đế m (counting measure)trênX. Ví dụ 1.1.11.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,vàchox 0 ∈ X cốđịnh. Ta định nghĩa E 1 x 0 ∈ E, 0 x 0 ∉ E, # với E ⊂ X.Khiđó, là độ đotrênPX.Tagọi là khốilượng đơnvị tập trung tại x 0 . Ví dụ 1.1.12.(Xemnhư bài tập). Cho X, M, là một không gian đo, và f : X → Y là một song ánh. Ta đặt N fE : E ∈ M,vàD f −1 D , ∀D ∈ N.Chứng minh rằng, Cho Y, N, là một không gian đo. Hướng dẫn: (a) Y, N là một không gian đo được: 8 i Y ∈ N vì Y fX, X ∈ M, ii Y D ∈ N ∀D ∈ N vì, Y D fX fE fX E, X E ∈ M, iii Nếu D j ∈ N, j 1,2, . và j1 D j j1 fE j f j1 E j , j1 E j ∈ M. (b) là một độ đodương trên Y, N. i ∃D ∈ N : D .???. Theo giả thiếttacó∃E ∈ M : E .Chọn D fE,tacóD ∈ N và D f −1 D E . ii Tính chấtcộng đếm được: Nếu D j fE j ∈ N, j 1,2, . và D i ∩ D j , ∀i ≠ j,tacóE j ∈ N, j 1,2, . và E i ∩ E j f −1 D i ∩ f −1 D j f −1 D i ∩ D j , ∀i ≠ j. Do tính chấtcộng đếm đượccủa ,tađược j1 D j f −1 j1 D j j1 f −1 D j j1 E j ∑ j1 E j ∑ j1 f −1 D j ∑ j1 D j . # Định nghĩa1.1.6.(Đầy đủ hóa một không gian đo) Cho X, M, là một không gian đo. Đặt M ∗ E ⊂ X : ∃A, B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và B A 0. # Ta đặt ∗ E A. Định lý 1.1.6. X, M ∗ , ∗ là một không gian đo. Định nghĩa1.1.7. X, M ∗ , ∗ đượcgọilàđầy đủ hóa của X, M,.Nếu M ∗ M thì ta gọi là một độ đo đầy đủ. Hướng dẫnchứng minh định lý 1.1.6:Trướchếttakiểmtralạirằng ∗ được xác định tốtvớimọi E ∈ M ∗ .Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B, A 1 ⊂ E ⊂ B 1 và B A B 1 A 1 0,với A, B, A 1 , B 1 ∈ M.Chúýrằng A A 1 ⊂ E A 1 ⊂ B 1 A 1 , # do đótacóA A 1 0,dođó A A ∩ A 1 A A 1 A ∩ A 1 .Lýluận tương tự, A 1 A 1 ∩ A.VậytacóA 1 A.Tiếp theo, nghiệmlạirằng M ∗ thoả 3 tính chấtcủamột − đạisố. (i) X ∈ M ∗ ,bởivìX ∈ M và M ⊂ M ∗ . (ii) Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B,khiđó X B ⊂ X E ⊂ X A.Vậy E ∈ M ∗ dẫn đến X E ∈ M ∗ ,bởivìX A X B X A ∩ B B A, X A X B B A 0. (iii) Giả sử rằng A i ⊂ E i ⊂ B i , E i1 E i , A i1 A i , B i1 B i ,khiđó A ⊂ E ⊂ B và B A i1 B i A ⊂ i1 B i A i . # 9 Vì hội đếm đượccáctậpcóđộ đozerocũng là tậpcóđộ đo zero, do đó 0 ≤ B A ≤ i1 B i A i 0.Tasuyrarằng B A 0,như vậy E i1 E i ∈ M ∗ ,nếu E i ∈ M ∗ với i 1,2,3, . Cuối cùng, nếucáctập E i ∈ M ∗ là rời nhau từng đôi mộtnhư trong bước (iii), thì các tập A i cũng rời nhau từng đôi mộtgiống như vậy, và ta kếtluậnrằng ∗ E A ∑ i1 A i ∑ i1 ∗ E i . # Điềunầychứng tỏ rằng ∗ cộng đếm đượctrênM ∗ . 2. HÀM ĐO ĐƯỢC Định nghĩa1.2.1.ChoX, M là một không gian đo được, hàm s : X → ℂ có dạng dưới đây đượcgọilàmột hàm đơngiản (simple function), vắntắtgọilàhàm đơn hay hàm bậc thang sx ∑ j1 m j A j x ∀x ∈ X, # với 1 , ., m ∈ ℂ, A 1 , .,A m ∈ M, trong đó A x 1 x ∈ A, 0 x ∈ X A. # Định nghĩa1.2.2.ChoX, M là một không gian đo được, và hàm f : X → −, . Ta gọi f là một hàm thực đo được trên X, M nếu f −1 a, x ∈ X : fx a ∈ M vớimọi a ∈ . Định nghĩa1.2.3.ChoX, M là một không gian đo được, và hai hàm u, v : X → . Ta gọi f u iv là một hàm phức đo được trên X, M nếu u và v là các hàm đo được trên X, M. Ví d ụ 1.2.1.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và hàm f : X → −, hàm thực đo đượctrênX, M.Chứng minh rằng các tập f −1 a,, f −1 −, a, f −1 −, a, f −1 a,, f −1 a, b, f −1 a, b, f −1 a, b và f −1 a là đo được. Hướng dẫn: (j) f −1 a, ∈ M ∀a ∈ .(Dođịnh nghĩa). (jj) f −1 −, a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng −, a n1 −, a − 1 n n1 a − 1 n , , vì x ∈ n1 −, a − 1 n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −, a − 1 n − ≤ x a. Vậy 10 f −1 −, a f −1 n1 a − 1 n , n1 f −1 a − 1 n , n1 f −1 f −1 a − 1 n , n1 X f −1 a − 1 n , ∈ M, do định nghĩa 1.1.1.(i)-(iii), (6i). (jjj) f −1 −, a ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng −, a n1 −n, a − 1 n n1 −, a − 1 n ∩ −n, n1 a − 1 n , ∩ −n, , vì x ∈ n1 −n, a − 1 n ∃n ∈ ℕ : x ∈ −n, a − 1 n − x a. Vậy f −1 −, a f −1 n1 a − 1 n , ∩ −n, n1 f −1 a − 1 n , ∩ −n, n1 f −1 a − 1 n , ∩ f −1 −n, n1 f −1 f −1 a − 1 n , ∩ f −1 −n, n1 X f −1 a − 1 n , ∩ f −1 −n, ∈ M, do định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i). (4j) f −1 a, ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng a, n1 a 1 n , n n1 −, n ∩ a 1 n , n1 −, n ∩ −,a 1 n , vì x ∈ n1 a 1 n , n∃n ∈ ℕ : x ∈ a 1 n , na x . Vậy [...]... Định nghĩa 2.2.1 Cho X, M, là một không gian đo, ở đây là một độ đo dương trên X Ta ký hiệu ℒX, là tập tất cả các hàm đo được f : X → ℂ sao cho X |f|d Một hàm f ∈ ℒX, gọi là hàm khả tích Lebesgue trên X theo độ đo Chú ý rằng tính đo được của f dẫn đến tính đo được của |f| (môđun của f), do đó |f|d được X xác định Nếu chỉ xét một độ đo , không sợ nhầm lẫn, ta có thể ký hiệu cho... ∈ N Khi đó X, N, là một không gian đo Ta gọi là độ đo trên đồ thị X Định nghĩa 3.3.3 Cho c, d, M, là một không gian đo và độ đo Lebesgue thu hẹp trên c, d Cho f f 1 , , f n ∈ C 1 c, d; n Ta đặt X fc, d, N fE : E ∈ M, A −1 f A ′2 ′2 f 1 f n d, ∀A ∈ N Khi đó X, N, là một không gian đo Ta gọi là độ đo trên đường cong X Định lý 3.3.1 Cho... |fx| − fx là các hàm đo được, không âm Theo như trên thì có hai dãy 2 hàm đơn s , s − lần lượt hội tụ từng điểm đến các hàm f , f − Do đó s n s − s − là n n n n hàm đơn và s n s − s − → f − f − f n n Chương 2 TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐO DƯƠNG TỔNG QUÁT 1 TÍCH PHÂN HÀM DƯƠNG ĐO ĐƯỢC Định nghĩa 2.1.1 Cho X, M là một không gian đo được và cho hàm là một độ m đo trên M Cho E ∈ M và... nghĩa 2.2.2 Cho X, M, là một không gian đo, với là một độ đo dương trên X và E ∈ M Ta xét một họ tính chất P Px : x ∈ E Ta nói P đúng hầu hết trên E (theo độ đo ) nếu tồn tại một tập N ∈ M sao cho N ⊂ E, N 0, và Px đúng ∀x ∈ E N Ta còn viết " P đúng h.h trên E ", hay " P đúng a.e trên E " (almost everywhere) Khái niệm hầu hết phụ thuộc vào độ đo cho trước và để cho rõ ta sẽ viết "... Egoroff) Cho X, M, là một không gian đo với một độ do dương sao cho X Cho f m dãy các hàm đo được trên X và hội tụ hầu hết về f trên X Cho 0, tồn tại A ∈ M, với X A sao cho f m hội tụ đều trên A Ý tưởng Định lý Egoroff là sự hội tụ hầu hết trên tập có độ đo hữu hạn sẽ điều chỉnh thành hội tụ đều sau khi bo qua một tập có độ đo nhỏ tùy ý Hướng dẫn chứng minh Định lý... trong Do 0 tuỳ ý nên ≤ l ∗ G l ∗ E 2 32 inf l ∗ G : E ⊂ G, G mở trong ≤ l ∗ E inf l ∗ G : E ⊂ G, G mở trong l ∗ E Vậy 2 ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN n Ta sẽ thiết lập độ đo Lebesgue trên n nhờ vào không gian đo , M, với độ đo Lebesgue trên Định nghĩa 3.2.1 Gọi ℱ n là họ tất cả các phần hội của một số hữu hạn của các ô có dạng: E E 1 E n , với E 1 , , E... M, là một không gian đo, cho E ∈ M và một hàm f : X → 0, đo được trên X, M Ta đặt 16 E fd sup E sd : s là hàm đơn trên X sao cho 0 ≤ s ≤ f , và ta gọi fd là tích phân Lebesgue của f trên E đối với độ đo Chú ý là có thề E E fd Chú thích 2.1.2 Một hàm số có thể có nhiều tích phân tùy vào cách chọn độ đo Định lý 2.1.1 Cho X, M, là một không gian đo, cho A, B, E ∈ M, 0 ≤... hàm đo được, vì inf f n − sup −f n n n n (iii) lim sup f n là hàm đo được, vì lim sup f n x inf n→ n→ (iv) lim inf f n là hàm đo được, vì lim inf f n x sup n→ sup f n x k≥1 n→ k≥1 n≥k inf f n x n≥k (iv) Nếu tồn tại lim f n thì lim f n lim sup f n cũng là hàm đo được n→ n→ n→ Ví dụ 1.2.10 (Xem như bài tập) Cho X, M là một không gian đo được Chứng minh rằng A là các hàm đo. .. ∗ E j ∑ j1 ∗ E j j1 Định lý 3.2.5 ℱ n ⊂ M n Định nghĩa 3.2.5 Đặt n A ∗ A, A ∈ M n Khi đó n , M n , n là một không gian đo và độ đo dương n gọi là độ đo Lebesgue trên n Nếu E ∈ M n thì ta nói E là tập Lebesgue đo được Định lý 3.2.6 (i) Cho E ∈ M n và B ⊂ n sao cho B ⊂ E và n E 0 Khi đó B ∈ M n (ii) M n chứa tất cả các tập mở và đóng của n (iii) Với... gian đo được và hàm f : X → hàm thực đo được trên X, M, và k ∈ Chứng minh rằng kf là hàm đo được trên X, M Hướng dẫn: Thật vậy, nếu k 0, thì x ∈ X : kfx a x ∈ X : fx a ∈ M, k còn nếu như nếu k ≤ 0, thì hiển nhiên Ví dụ 1.2.5 (Xem như bài tập) Cho X, M là một không gian đo được và và hàm f, g : X → hai hàm thực đo được trên X, M Chứng minh rằng f g, f − g là hàm đo được . .Khiđó n sup f n , n inf f n , n lim sup f n và n lim inf f n là các hàm đượcxácđịnh tr n X bởi n sup f n x n sup f n x, n inf f n x n inf f n. lim inf a n . Chú ý 2:Tacũng định nghĩa n lim sup a n , n lim inf a n cho dãy a n ⊂ , như sau n lim sup a n k≥1 inf n k sup a n , n lim inf