TÍCH PHÂN LẶP

w 12  22  3 2 Dođó, ta định nghĩa tích phân của hàm F trên mặt cong S như sau

5.1. TÍCH PHÂN LẶP

Ta xétn,Mn,nlà một không gianđo, vớin làđộ đo Lebesgue trênn. Chom, n ∈ ℕ, vàx ∈ m,y ∈ n. ChoE ⊂ mn  mn, tađặt

Ex  y : x,y ∈ E, Ey  x : x,y ∈ E.

Định lý 5.1.1. Chom, n ∈ ℕ, vàx ∈ m,y ∈ n. ChoE ∈ Mmn. Khiđó tồn tại

A ∈ Mm và B ∈ Mn sao chomA  0, nB  0,Ex ∈ Mn ∀x ∈ mA vàEy ∈ Mm

∀y ∈ n B.

Tức làEx  y : x,y ∈ Elà tập Lebesgueđođược trongn, a.e.x ∈ m và

Ey  x : x,y ∈ Elà tập Lebesgueđođược trongm, a.e.y ∈ n. Chof : mn → . Tađặt

fxy  fyx  fx,y, x,y ∈ mn.

Định lý 5.1.2. Chof : mn →  là hàm Lebesgueđo được trênmn. Khiđó tồn tạiA ∈ Mm vàB ∈ Mn sao chomA  0,nB  0,fx là hàm Lebesgueđođược trênn,∀x ∈ mAvà fy là hàm Lebesgueđođược trênm,∀y ∈ nB.

Tức làfx là hàm Lebesgueđođược trênn, a.e.x ∈ m vàfy là hàm Lebesgueđo được trênm, a.e.y ∈ n.

Định lý 5.1.3. ChoQ là tập Lebesgueđođược trongmn. Tađặt

fx,y  Qx,y, ∀x,y ∈ mn,

x  nfxdn, ∀x ∈ m,

y  mfydm,∀y ∈ n.

Khiđó tồn tạiA ∈ Mm vàB ∈ Mn sao chomA  0,nB  0 và

(i) mA là một hàm Lebesgue đođược trênm và nB là một hàm Lebesgue đođược trênn.

(ii) mnQ  mdm  ndn.

Chú ý (ii) nghĩa là

mnQ  m nQx,ydn dm  n mQx,ydm dn.

Định lý 5.1.4(Định lý Fubini). Chof : mn → 0,là hàm Lebesgueđođược trên

mn. Khiđó

mnfdmn  m nfxdn dm  n mfydm dn.

m n|f|xdn dm  . Khiđó f ∈ ℒmn,mn.

Định lý 5.1.6. (Định lý Fubini). Chof ∈ ℒmn,mn. Khiđó (i) fx ∈ ℒn,n a.e.x ∈ m, (ii) fy ∈ ℒm,m a.e.y ∈ n, (iii) mnfdmn  m nfxdn dm  n mfydm dn. 5.2. TÍCH CHẬP Định lý 5.2.1. Chof,g ∈ ℒn,n. Tađặt xy  x,y  fx−ygy, x,y ∈ n. Khi đó (i) x ∈ ℒn,n, a.e.x ∈ n. (ii) Đặthx  n xy fx−ygy dn ∈ ℒn,n, a.e.x ∈ n và n|h|dn ≤ n|f|dnn|g|dn.

Định nghĩa 5.2.1. Hàmhtrênđây gọi là tích chập của fvà gvà ký hiệu làh  f∗g.

Định lý 5.2.2. Chof,g ∈ ℒn,n. Giảsử f ∈ C1n và‖Dfx‖bịchận trênn. Khi đó

(i) f∗gkhả vi trênn.

(ii) f∗g ∈ C1nnếuDf liên tục đều trênn.

Định lý 5.2.3. Chof ∈ ℒn,nvà g ∈ Ccn, g ≥ 0sao cho ngdn  1.Đặt

gx  −ngx , x ∈ n,   0. Khi đó (i) ngdn  1. (ii) →0 lim n|f−f∗g|dn  0.

BÀI TẬP

BÀI TẬP.1. Nhắc lại Bổ đềFatou (Định lý 2.1.3 )

Bổ đềFatou. ChoX,M,là một không gianđo vàfm

là dãy hàmđođược từX và0,. Khiđó ta có

X

m→

lim inf fmd ≤ lim infXfmd. ∗

ChoE ∈ M, vớiE  0và Ec  0. Xét dãy hàmfmnhưsau

fm  E, nếu m lẻ, 1−E, nếu m chẳn. Nghiệm lại rằng bấtđẳng thức (*) là ngặt.

BÀI TẬP.2. Chofm : X → 0,, là dãy hàmđođược trênXvà giảsửrằng (i) f1x ≥ f2x ≥. . .≥ 0 ∀x ∈ X,

(ii)

mlim→ fmx  fx∀x ∈ X.

Giả sửf1 ∈ ℒX,Chứng minh rằng

mlim→ Xfmd  Xfd. Cho phản ví dụ đểcho thấy giảthiết "f1 ∈ ℒX," không thểbỏqua.

BÀI TẬP.3. Chofm : X → 0,, là dãy hàmđođược trênX. Chứng minh rằng tập

A  x ∈ X : fmxhội tụlà đođược.

BÀI TẬP.4*. ChoXlà tập khôngđếm được. Tađặt

M  A ⊂ X :A hoặc Ac là quá lắmđếm được}. Ta định nghĩaA  0nếuAlà quá lắmđếm được,

1nếuAc là quá lắmđếmđược. Chứng minh rằng Mlà một -đại sốvà là một độ đo trênM.

sử rằng

x∈X

sup |fmx−fx| → 0khi m → . Chứng minh rằng

mlim→ Xfmd  Xfd. Cho phản ví dụ đểcho thấy giảthiết "X  " không thểbỏ qua.

BÀI TẬP.6. ChoEk, k  1, 2. . . , là tậpđo được trênX. Ta đặt

E  x ∈ X : xthuộc vô sốcác tậpEk, A  m1  ∩ km   Ek. Chứng minh rằng E  A.

BÀI TẬP.7. Giả sửf ∈ ℒX,Chứng minh rằng ∀  0,∃  0 : E    E|f|d  .

BÀI TẬP.8. Cholà độ đo dương trênX, f : X → 0,đođược và

0  c  Xfd  . Cho  0. Chứng minh rằng

mlim→ Xmln 1 mf  d 

, 0    1,

c,   1, 0, 1    .

BÀI TẬP.9. Giả sửfm ⊂ ℒX,sao cho

m→

lim X|fm−f|d  0và fmx → gxa,e.

x ∈ X, khim → . Chứng minh rằng f  ga,e.x ∈ X.

BÀI TẬP.10. ChoX,M,là một không gianđo vớiX  . Giả sử

f ∈ LX,  f : X → ℂđođược sao cho có M ∈ 

sao cho|fx| ≤ M a,e.x ∈ X,

tađặt ‖f‖  infM  0 : |fx| ≤ M a,e.x ∈ X Giả sử‖f‖  0, và tađặtm  X|f|md, m  1, 2, 3,...Chứng minh rằng m→ lim mm1  ‖f‖. BÀI TẬP.11. Tính mlim→ 0m1− x mmex/2dx.

BÀI TẬP.12. Tính

mlim→ 0m1 x