ĐO TRÊN MẶT

Một phần của tài liệu Tài liệu độ đo cực hay. (Trang 36 - 39)

Định nghĩa 3.4.1. Choa  a1,a2,a3,b  b1,b2,b3là hai vectơ độc lập tuyến tính trong 3. Diện tích hình bình hànhSsinh ra bởi 2 vectơnầy làđộ dài của tích hai vectơ(tích có hướng)được cho bởi

dtS  ‖ab‖,

ab là tích hai vectơa, bđược xácđịnh bởi

ab  a2b3 −a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1

i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3

 a2b3a3b2i a3b1a1b3j a1b2−a2b1k,

ở đây ma trận trênđây viết một cách hình thứcđể dễnhớ. Vậy diện tích hình bình hànhS

dtS  ‖ab‖  a2b3 −a3b22 a3b1 −a1b32 a1b2−a2b12.

Ta xét mặt cong trong3 như sau. ChoU là tập mởtrong2 và hC1U;.Đặt

S  x,y,hx,y : x,yU.

Ta nóiSlà đồthị trênU. Có thểnói mộtđồ thịlà một biến dạng của miền phẳngU

ChoUlà tập mở trong2 và mộtđơn ánhfC1U;3. Ta gọiSfU là một mặt

được tham sốhóa trên U. Choa  x,y ∈ Ubfa. Cho

 1,2 ∈ C1−1, 1;Usao cho0  a.Đặtgtft∀t ∈ −1, 1. Khiđó

Cg−1, 1là mộtđường cong nằm trong mặt congSvà đi quađiểm b. Tiếp tuyến

của Ctại bcó phương là vectơg′0 vàg′0cũng được tính theo công thức đạo hàm hàm sốhợp

g′0  Df0.′0  ∂x∂f 01′0 ∂y∂f 02′0

1′0∂x∂f a2′0∂y∂f a.

Vậy tiếp tuyến vớiCtại blàđường thẳng

D  bt 1′0∂x∂f a2′0∂y∂f a : t ∈  nằm trong tập hợp

P  bs∂x∂f at∂y∂f a : s,t ∈ .

Pchính là mặt phẳngđi quađiểmb và song song với hai vectơ ∂x∂f avà ∂y∂f a. Mặt phẳng nầy chứa tất cảcác tiếp tuyến tạibcủa mọiđường cong trongS đi quab.

Ta gọiPmặt phẳng tiếp xúc củaS tạib. Vềmặt hình học, thì cácđiểm trên mặt congS(gầnđiểm b) khá gần cácđiểm trên mặt phẳng tiếp xúcP.Điều nầy có thể nhìn lại theo lý luận Toán học bằng cáchđặta  x0,y0 ∈ U,bfa. Chor  0, và xét

gx,y  faxx0∂x∂f ayy0∂y∂f a : x,y ∈ Ba,r.

Ta cógBa,r ⊂ P và dofkhảvi nên|gx,y−fx,y|khá bé khirbé.

Cho1  0,2  0 (khá bé), ta xétU1  x0,x01y0,y02hình chữ nhật trongU. KhiđógU1là hình bình hành nằm trên mặt phẳngPcó hình chiếu lên mặt phẳngOxyU1. Trong khiđó fU1cũng là một mảnh có dạng tứgiác cong nằm trên mặt cong Scó hình chiếu lên mặt phẳngOxycũng làU1. Hai hình fU1vàgU1cũng khá gần nhau (gần như trùng nhau nếu1, 2 khá bé). Nhưvậy ta có thểxấp xỉdiện tích của mảnhfU1bởi diện tích của hình bình hànhgU1. Chú ý là hình bình hành

gU1nằm trên mặt phẳng tiếp xúc của Stại bfa, có một đỉnh làfavà có 2 cạnh liên tiếp xácđịnh bởi 2 vectơv11 ∂f

∂xa và v22 ∂f

∂y a. Diện tích của hình bình hànhgU1là độdài của tích vectơ

v1 v112 ∂f

∂xa ∂y∂f a.

Lý luận tương tự như trongđịnh nghĩađộdài đường cong, ta có thể định nghĩa diện tích của mặt congSlà tích phân dưới đây

dtS  U ∂f

∂x x,y ∂y∂f x,y dxdy.

∂f ∂xx,y  ∂f1 ∂x x,y, ∂f2 ∂x x,y, ∂f3 ∂x x,y , ∂f ∂yx,y  ∂f1 ∂y x,y, ∂f2 ∂y x,y, ∂f3 ∂y x,y , ∂f ∂xx,y ∂y∂f x,y  w1,w2,w3, với w1  ∂f2 ∂x x,y∂f3 ∂y x,y− ∂f3 ∂x x,y∂f2 ∂y x,y, w2  ∂f3 ∂x x,y∂f1 ∂y x,y− ∂f1 ∂x x,y∂f3 ∂y x,y, w3  ∂f1 ∂x x,y∂f2 ∂y x,y− ∂f2 ∂x x,y∂f1 ∂y x,y.

Vậy diện tích của mặt congS

dtS  U w21w22 w32dxdy.

Ta cóđịnh lý sau đây

Định lý 3.4.1.Cholà một tập mởcủa2 và ,M,2là một không gianđo, với

2 làđộ đo Lebesgue thu hẹp trên . Cho mộtđơn ánhf  f1,f2,f3C1;3. Ta đặt Xf, N  fE : E ∈ M, w1  ∂f2 ∂x ∂f3 ∂y − ∂f3 ∂x ∂f2 ∂y , w2  ∂f3 ∂x ∂f1 ∂y − ∂f1 ∂x ∂f3 ∂y , w3  ∂f1 ∂x ∂f2 ∂y − ∂f2 ∂x ∂f1 ∂y , A  f−1Aw12w22 w32d2, ∀A ∈ N. Khi đóX,N, là một không gianđo.

Trường hợp đơn giản hơn, đó làS là mộtđồthị:

Sf  x,y,hx,y : x,y ∈ , tức làf1x,y  x,f2x,y  y,f3x,y  hx,y. Dođó,w1  −∂h

∂x x,y, w2  −∂h ∂y x,y,

w3  1. Vậy ta có kết quả sau

Định lý 3.4.2.Cholà một tập mởcủa2 và ,M,2là một không gianđo, với

2 làđộ đo Lebesgue thu hẹp trên . Cho mộtđơn ánhhC1;. Tađặt

fx,y  x,y,hx,y ∀x,y ∈ .

Xét một không gianđoX,N,như định lý 3.4.1. Khi đó

A  f−1A 1 ∂h ∂x 2  ∂h ∂y 2 d2, ∀A ∈ N.

Khi đóX,N, là một không gianđo.

Bây giờ, ta choF : S → là hàm−đo được. Tương tựnhưtrong tích phân đường, ta cũngđịnh nghĩa tích phân của hàmFtrên mặt cong Snhư sau

SFdS  Ffx,y w12x,yw22x,yw32x,ydxdy. Trường hợp Slà mộtđồ thịthì SFdS  Fx,y,hx,y 1 ∂h ∂x 2  ∂h ∂y 2 dxdy.

ChoDlà một tập mởcủa3 sao cho mặt congSf ⊂ D. Cho

F  F1,F2,F3 : D → 3. Tại mỗiđiểmbfx,y ∈ S, ta có mặt phẳngP tiếp xúc vớiS

tạib và vectơw  w1,w2,w3vuông góc vớiP (còn gọi là pháp tuyến của Stại b).

Giả sửP  bs∂x∂f at∂y∂f a : s,t ∈ là mặt phẳng tiếp xúc vớiStại b, có

nghĩa là hai vectơ ∂x∂f avà ∂y∂f alàđộc lập tuyến tính, tức làw ≠ 0.

Giả sửrằng mặt congSmặt không kỳdị, tức là ∂x∂f x,yvà ∂y∂f x,ylà độc lập tuyến tính với mọix,y ∈ .

Vectơnb  w

w‖  w1,w2,w3

w12w22w32 gọi là vectơpháp tuyến đơn vị củaStạib. Hình

chiếu của Fb  F1b,F2b,F3b trênnblà vectơcó số đođại sốlà

gb  〈Fb,nb  F1bw1F2bw2F3bw3

w12w22w32 .Do đó, tađịnh nghĩa tích phân của hàmFtrên mặt congSnhư sau

Một phần của tài liệu Tài liệu độ đo cực hay. (Trang 36 - 39)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(61 trang)