ĐO TRÊN MẶT

Định nghĩa 3.4.1. Choa  a1,a2,a3,b  b1,b2,b3là hai vectơ độc lập tuyến tính trong 3. Diện tích hình bình hànhSsinh ra bởi 2 vectơnầy làđộ dài của tích hai vectơ(tích có hướng)được cho bởi

dtS  ‖ab‖,

ab là tích hai vectơa, bđược xácđịnh bởi

ab  a2b3 −a3b2,a3b1 −a1b3,a1b2 −a2b1



i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3

 a2b3 −a3b2i a3b1 −a1b3j a1b2−a2b1k,

ở đây ma trận trênđây viết một cách hình thứcđể dễnhớ. Vậy diện tích hình bình hànhSlà

dtS  ‖ab‖  a2b3 −a3b22 a3b1 −a1b32 a1b2−a2b12.

Ta xét mặt cong trong3 như sau. ChoU là tập mởtrong2 và h ∈ C1U;.Đặt

S  x,y,hx,y : x,y ∈ U.

Ta nóiSlà đồthị trênU. Có thểnói mộtđồ thịlà một biến dạng của miền phẳngU

ChoUlà tập mở trong2 và mộtđơn ánhf ∈ C1U;3. Ta gọiS  fU là một mặt

được tham sốhóa trên U. Choa  x,y ∈ U vàb  fa. Cho

  1,2 ∈ C1−1, 1;Usao cho0  a.Đặtgt  ft∀t ∈ −1, 1. Khiđó

C  g−1, 1là mộtđường cong nằm trong mặt congSvà đi quađiểm b. Tiếp tuyến

của Ctại bcó phương là vectơg′0 vàg′0cũng được tính theo công thức đạo hàm hàm sốhợp

g′0  Df0.′0  ∂x∂f 01′0 ∂y∂f 02′0

 1′0∂x∂f a2′0∂y∂f a.

Vậy tiếp tuyến vớiCtại blàđường thẳng

D  bt 1′0∂x∂f a2′0∂y∂f a : t ∈  nằm trong tập hợp

P  bs∂x∂f at∂y∂f a : s,t ∈ .

Pchính là mặt phẳngđi quađiểmb và song song với hai vectơ ∂x∂f avà ∂y∂f a. Mặt phẳng nầy chứa tất cảcác tiếp tuyến tạibcủa mọiđường cong trongS đi quab.

Ta gọiPlà mặt phẳng tiếp xúc củaS tạib. Vềmặt hình học, thì cácđiểm trên mặt congS(gầnđiểm b) khá gần cácđiểm trên mặt phẳng tiếp xúcP.Điều nầy có thể nhìn lại theo lý luận Toán học bằng cáchđặta  x0,y0 ∈ U,b  fa. Chor  0, và xét

gx,y  fax−x0∂x∂f ay−y0∂y∂f a : x,y ∈ Ba,r.

Ta cógBa,r ⊂ P và dofkhảvi nên|gx,y−fx,y|khá bé khirbé.

Cho1  0,2  0 (khá bé), ta xétU1  x0,x01y0,y0 2hình chữ nhật trongU. KhiđógU1là hình bình hành nằm trên mặt phẳngPcó hình chiếu lên mặt phẳngOxylàU1. Trong khiđó fU1cũng là một mảnh có dạng tứgiác cong nằm trên mặt cong Scó hình chiếu lên mặt phẳngOxycũng làU1. Hai hình fU1vàgU1cũng khá gần nhau (gần như trùng nhau nếu1, 2 khá bé). Nhưvậy ta có thểxấp xỉdiện tích của mảnhfU1bởi diện tích của hình bình hànhgU1. Chú ý là hình bình hành

gU1nằm trên mặt phẳng tiếp xúc của Stại b  fa, có một đỉnh làfavà có 2 cạnh liên tiếp xácđịnh bởi 2 vectơv1  1 ∂f

∂xa và v2  2 ∂f

∂y a. Diện tích của hình bình hànhgU1là độdài của tích vectơ

v1 v1  12 ∂f

∂xa ∂y∂f a.

Lý luận tương tự như trongđịnh nghĩađộdài đường cong, ta có thể định nghĩa diện tích của mặt congSlà tích phân dưới đây

dtS  U ∂f

∂x x,y ∂y∂f x,y dxdy.

∂f ∂xx,y  ∂f1 ∂x x,y, ∂f2 ∂x x,y, ∂f3 ∂x x,y , ∂f ∂yx,y  ∂f1 ∂y x,y, ∂f2 ∂y x,y, ∂f3 ∂y x,y , ∂f ∂xx,y ∂y∂f x,y  w1,w2,w3, với w1  ∂f2 ∂x x,y∂f3 ∂y x,y− ∂f3 ∂x x,y∂f2 ∂y x,y, w2  ∂f3 ∂x x,y∂f1 ∂y x,y− ∂f1 ∂x x,y∂f3 ∂y x,y, w3  ∂f1 ∂x x,y∂f2 ∂y x,y− ∂f2 ∂x x,y∂f1 ∂y x,y.

Vậy diện tích của mặt congS là

dtS  U w21w22 w32dxdy.

Ta cóđịnh lý sau đây

Định lý 3.4.1.Cholà một tập mởcủa2 và ,M,2là một không gianđo, với

2 làđộ đo Lebesgue thu hẹp trên . Cho mộtđơn ánhf  f1,f2,f3 ∈ C1;3. Ta đặt X  f, N  fE : E ∈ M, w1  ∂f2 ∂x ∂f3 ∂y − ∂f3 ∂x ∂f2 ∂y , w2  ∂f3 ∂x ∂f1 ∂y − ∂f1 ∂x ∂f3 ∂y , w3  ∂f1 ∂x ∂f2 ∂y − ∂f2 ∂x ∂f1 ∂y , A  f−1A w12w22 w32d2, ∀A ∈ N. Khi đóX,N, là một không gianđo.

Trường hợp đơn giản hơn, đó làS là mộtđồthị:

S  f  x,y,hx,y : x,y ∈ , tức làf1x,y  x,f2x,y  y,f3x,y  hx,y. Dođó,w1  −∂h

∂x x,y, w2  −∂h ∂y x,y,

w3  1. Vậy ta có kết quả sau

Định lý 3.4.2.Cholà một tập mởcủa2 và ,M,2là một không gianđo, với

2 làđộ đo Lebesgue thu hẹp trên . Cho mộtđơn ánhh ∈ C1;. Tađặt

fx,y  x,y,hx,y ∀x,y ∈ .

Xét một không gianđoX,N,như định lý 3.4.1. Khi đó

A  f−1A 1 ∂h ∂x 2  ∂h ∂y 2 d2, ∀A ∈ N.

Khi đóX,N, là một không gianđo.

Bây giờ, ta choF : S → là hàm−đo được. Tương tựnhưtrong tích phân đường, ta cũngđịnh nghĩa tích phân của hàmFtrên mặt cong Snhư sau

SFdS  Ffx,y w12x,yw22x,yw32x,ydxdy. Trường hợp Slà mộtđồ thịthì SFdS  Fx,y,hx,y 1 ∂h ∂x 2  ∂h ∂y 2 dxdy.

ChoDlà một tập mởcủa3 sao cho mặt congS  f ⊂ D. Cho

F  F1,F2,F3 : D → 3. Tại mỗiđiểmb  fx,y ∈ S, ta có mặt phẳngP tiếp xúc vớiS

tạib và vectơw  w1,w2,w3vuông góc vớiP (còn gọi là pháp tuyến của Stại b).

Giả sửP  bs∂x∂f at∂y∂f a : s,t ∈ là mặt phẳng tiếp xúc vớiStại b, có

nghĩa là hai vectơ ∂x∂f avà ∂y∂f alàđộc lập tuyến tính, tức làw ≠ 0.

Giả sửrằng mặt congSlàmặt không kỳdị, tức là ∂x∂f x,yvà ∂y∂f x,ylà độc lập tuyến tính với mọix,y ∈ .

Vectơnb  w

‖w‖  w1,w2,w3

w12w22w32 gọi là vectơpháp tuyến đơn vị củaStạib. Hình

chiếu của Fb  F1b,F2b,F3b trênnblà vectơcó số đođại sốlà

gb  〈Fb,nb  F1bw1F2bw2F3bw3

w12w22w32 .Do đó, tađịnh nghĩa tích phân của hàmFtrên mặt congSnhư sau