ĐO LEBESGUE TRÊN n

Ta sẽ thiết lậpđộ đo Lebesgue trênn nhờvào không gianđo,M,vớiđộ đo Lebesgue trên .

Định nghĩa 3.2.1. Gọiℱn là họtất cảcác phần hội của một sốhữu hạn của các ô có dạng: E  E1   En, vớiE1,  ,En ∈ ℱ. Định lý 3.2.1.ℱn có các tính chất sau i ,n ∈ ℱn, ii Nếu E ∈ ℱn, thì nE ∈ ℱn, iii Nếu Ej ∈ ℱn,j  1, 2, . . . ,mthì jm1 Ej ∈ ℱn.

Chú ý:ℱn chưa phải là một −đại số.

Định nghĩa 3.2.2. ChoE  jm1 Ej, vớiEj ∈ℱn, là những ô rời nhau: Ej  Ej,1  Ej,n, vớiEj,1,  ,Ej,n ∈ ℱ.

Ta định nghĩa thể tích củaElà

E  ∑jm1Ej,1  Ej,n. Hiển nhiên E ∈ 0,.

Định lý 3.2.2. có các tính chất sau i   0,

ii E ≥ 0, ∀E ∈ ℱn,

iii nếuEj ∈ ℱn,j ∈ ℕ,Ei ∩Ej  ,∀i ≠ j, và nếuj1 Ej ∈ ℱn, thì

j1 Ej  ∑j1Ej.

Lý luận tương tự như trên ta cũng có:

Định nghĩa 3.2.3. ChoE ⊂ n, vàđặt AnElà họcác dãyEj ⊂ ℱn sao cho

E ⊂ j1 Ej.Đặt

∗E  inf ∑j1Ej : Ej ∈ AnE .

Định lý 3.2.3. ChoA, B ⊂ n, ta có i ∗  0,

ii ∗E ≥ 0,∀E ⊂ n, iii ∗A ≤ ∗B, nếu A ⊂ B, iv ∗E  E,∀E ∈ ℱn, v Nếu Ej ⊂ n, j  1, 2, . . . thì ∗j1 Ej ≤ ∑j1∗Ej. Định nghĩa 3.2.4.ĐặtMn là họcác tậpE ⊂ n có các tính chất sau ∗ ∗ ∗A  ∗A∩E∗AE,∀A ⊂ n. Chú ý 3.2.1.Dođịnh lý 3.2.3, ta có

∗ ∗  ∗A ≥ ∗A∩E∗AE, ∀A ⊂ n.

Định lý 3.2.4.

i Mn là một−đại số.

ii Nếu Ej ∈ Mn, j ∈ ℕ,Ei ∩Ej  ,∀i ≠ j, thì∗j1 Ej  ∑j1∗Ej.

Định lý 3.2.5. ℱn ⊂ Mn.

Định nghĩa 3.2.5.Đặt nA  ∗A, A ∈Mn. Khiđón,Mn,nlà một không gianđo vàđộ đo dương n gọi làđộ đo Lebesgue trênn. Nếu E ∈Mn thì ta nói Elà tập Lebesgueđo được.

Định lý 3.2.6.

(i) ChoE ∈ Mn và B ⊂ n sao choB ⊂ E vànE  0. Khiđó B ∈Mn.

(ii) Mn chứa tất cảcác tập mởvàđóng của n. (iii) Với mọiE ∈Mn ta có

nE  inf nG : E ⊂ G,Gmở trongn . (iv) Với mọiE ∈Mn ta có

nE  sup nK : K ⊂ E, Kcompact trongn . (v) Với mọiE ∈Mn, vàa ∈ n, c ∈ ,c ≠ 0, ta có

naE  nE, ncE  |c|nnE, trongđóaE  ax : x ∈ Evà cE  cx : x ∈ E.

Định lý 3.2.7.

(i) ChoE là một tập mởcủan. Khiđó có một dãy các ô rời nhauPj, Pj  j,1,

j,1  j,n,j,nsao cho

j1 Pj ⊂ E ⊂ j1 j,1,j,1  j,n,j,nvà

∑j1Pj  nE  ∑j1j,1,j,1  j,n,j,n. (ii)ChoE ∈Mn.Khi đó

E ⊂ j1 j,1,j,1  j,n,j,n,

∑j1j,1,j,1  j,n,j,n  . (iii) Với mọi E ⊂ n.Khi đó

E ∈Mn tồn tại một dãy các tập mở Gj và một dãy các tập đóngFjtrongn sao choFj ⊂ E ⊂ Gj ∀j ∈ ℕ vàn j1  ∩ Gj  j1   Fj  0. (iv) GọiNn là một− đại số nhỏnhất chứaℱn.Khi đóNn ⊂ Mn và

∀E ∈ Mn,∃A,B ∈ Nn: A ⊂ E ⊂ Bvà nA  nB  nE, nBA  0.