Bài giảng Độ Đo và Xác suất

Bài giảng Độ Đo và Xác suất

ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 11 I. TẬP ĐO ĐƯỢC - ĐỘ ĐO DƯƠNG Để tính diệntíchhìnhthangmàuvàng, ta có thể chia nó ra thành hai hình tam giác vuông và mộthìnhchữ nhật. Để tính diện tích đagiác màu xanh, ta có thể tính diện tích các tam giác vuông màu hồng và vàng. Mặt khác ông Lebesgue đã chứng minh có một tập hợp bị chận trong mặt phẳng, mà ta không thể nào đo được diện tích của nó. ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 2 Thật ra việc đo không chỉ là đo diện tích, ta còn phải đo nhiều thứ : nhiệt độ, chiều dài, thể tích, điện trở, nhiệt lượng , khả năng trị bịnh của một dược phẩm, . . . Kể cả việc đo “lòng người” trong các cuộc thăm dò ý kiến người dân về một vấn đề nào đó. Ta sẽ mô hình toán học các phép đo trong thực tiển như sau Cho  là mộttậphợp khác trống, xét P() là họ tất cả các tập con của  . Ta quan sát M , mộttậpcon của P(). M chính là các tập con mà chúng ta cần đo trong mộtcôngviệcnàođó. M có thể bằng hoặcnhỏ hẳnhơn P(). ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 3 Cho  là mộttậphợp khác trống, xét P() là họ tất cả các tập con của  . Ta quan sát M , mộttậpcon của P(). M chính là các tập con mà chúng ta cần đo trong mộtcôngviệcnàođó. M có thể bằng hoặcnhỏ hẳnhơn P(). Theo toán họcviệc đo các tập A  M chỉ là mộtánh xạ µ: M  [0, ∞] Theo các thựctiểnngoàiđờisống, ta mô hình toán các tính chấtcủa M và µ như sau ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 4ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 4 Lúc đó ta nói M là một -đạisố trong  . (D1) M . (D2)  \ A  M  A  M . (D3)  {A n }  M . 1 n n A     M Nay ta xem các tính chấtcủaánhxạ µ: M  [0, ∞] 1 1 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 5 Lúc đó ta nói  là một độ đodương trên M . (ii) có B trong M để cho  (B) <  (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A n } là một dãy các phầntử rời nhau trong M thì 1 1 () () nn n n A A        Ta thường dùng (, M, ) để chỉ mộttậphợp  khác trống, một -đạisố M, trong  và một độ dương  trên M . Ta cũng gọi(, M, ) là một không gian đo được ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 6 Thí dụ 1.1. Nếutrọng trong mộttrận đá bóng dùng cách tung đồng xu xem nó rớt xuống sân cỏ với mặt số (S) hay mặt hình (H) ngữa lên trên, ta có  = {S,N}, M = P() = { , {S}, {N}, } () 0 1 ({ })) 2 1 ({ })) 2 ()1 S N          ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 7 Thí dụ 1.2. Nếu bạn chơi trò đổ xúc sắc , ta có  = {1,2,3,4,5,6}, M = P() = { , {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, . . ., {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, . . ., } () 0 1 ({ })) 6 1 ({ , })) , , , 3 1 ({ , , })) , , , , , 2 () 1 ii ij ij i j ijk ijk i j i k j k             ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 8 Thí dụ 1.3. Nếu bạn chơi trò đổ hai con xúc sắc, ta có Ở đây <i,j> là lần chơi bạn được mặt i ở con xúc sắc 1 và mặt j ở con xúc sắc 2 . 1 ({ , }) , 36 ij ij      2 2 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 9 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 10 6549211519542480 5336186816221846Không hút thuốc 1213247332634Hút thuốc CaoTrung bìnhThấp Thí dụ 1.4. Để khảosátmức thu nhậpcủa các người này, ta đặt  là tậphợptấtcả 6549 người, M gồm:  ,  , A ={các người có thu nhậpthấp}, B = {các người có thu nhập trung bình} và C = {các người có thu nhập cao}.  : M  [0,1] 2480 1954 2115 ()1, () 0, () , () , () . 6549 6549 6549 ABC         ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 11 6549211519542480 5336186816221846Không hút thuốc 1213247332634Hút thuốc CaoTrung bìnhThấp Thí dụ 1.5. Để khảosátsự hút thuốccủacácngười này, ta đặt  là tậphợptấtcả 6549 người, M gồm:  ,  , A ={các người hút thuốc} và B = {các người không hút thuốc}.  : M  [0,1] 1213 5336 ()1, () 0, () , () . 6549 6549 AB       Vậytrêncùng, có thể xét nhiều M và  khác nhau. ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 12 Thí dụ 1.6. Một nhà sảnxuất piston biếtrằng trung bình có 12% piston không đạtchuẩn vì to hoặcnhỏ vượtmứcchấpnhận được. Vậynếulấyngẫu nhiên 10 piston, xác suất có 4 piston không tốt trong các piston đólàbaonhiêu? Việcnàycóthể mô hình toán họcnhư sau. Nếu đối vớimộtsự việc , thí nghiệm, vấn đề nào chỉ có đúng hoặcsai, tốthoặcxấu, ta đặt q là xác suấttốt, vậyxác suấtxấu là (1-q) cho sự việc, thí nghiệmhoặcvấn đề đó. Nay tiếnhànhmộtthử nghiệmvới n thí nghiệm đó, nếucók thí nghiệmtốt, thì xác xuấtcủalầnthử nghiệmnàylà q k (1-q) n-k . 3 3 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 13 Việcnàycóthể mô hình toán họcnhư sau. Nếu đốivớimột sự việc , thí nghiệm, vấn đề nào chỉ có đúng hoặcsai, tốthoặc xấu, ta đặt q là xác suấttốt, vậyxácsuấtxấu là (1-q) cho sự việc, thí nghiệmhoặcvấn đề đó. Nay tiếnhànhmộtthử nghiệmvới n thí nghiệm đó, nếucók thí nghiệmtốt, thì xác xuấtcủalầnthử nghiệmnàylà q k (1-q) n-k . Gọi A là tập hợp n thí nghiệm đó, B là tập hợp k thí nghiệm tốt, C là tập hợp (n-k) thí nghiệm không tốt. Nếu ta hoán vị các phần tử trong A, ta lại có một thử nghiệm với n thí nghiệm, trong đócók thí nghiệmtốt. Số hoán vị của A là n! . Khi ta chỉ hoán vị các phầntử trong B, và để yên các phần tử trong C, ta có một th ử nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có k! hoán vị như vậy. Tương tự, khi ta chỉ hoán vị các phầntử trong C, và để yên các phần tử trong B, ta có một thử nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có (n-k)! hoán vị như ậ ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 14 Gọi A là tập hợp n thí nghiệm đó, B là tập hợp k thí nghiệm tốt, C là tập hợp (n-k) thí nghiệm không tốt. Nếu ta hoán vị các phần tử trong A, ta lại có một thử nghiệm với n thí nghiệm, trong đócók thí nghiệmtốt. Số hoán vị của A là n! . Khi ta chỉ hoán vị các phầntử trong B, và để yên các phần tử trong C, ta có một th ử nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có k! hoán vị như vậy. Tương tự, khi ta chỉ hoán vị các phầntử trong C, và để yên các phần tử trong B, ta có một thử nghiệm trùng với thử nghiệm cũ, có (n-k)! hoán vị như vậy. Từ đó ta có thử nghiệm với n thí nghiệm, trongđócók thí nghiệmtốt. ! !( )! n kn k Từ đó ta đặt  = {1,2, .,n}, M = P() và ! ({ }) (1 ) {1,2, , } !( )! jnj n j qq j n jn j      ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 15 Ta nói ( , M, µ) là không gian xác xuất có xác suất nhị thức và ký hiệu là B(n,k). Bài toán 1.1. Ở Mỹ xác suất một trẻ sơ sinh là bé gái là 0,487. Hãy tính xác xuất trường hợp có hai bé gái trong ba trẻ sơ sinh. Bài toán 1.2. Một loại thuốc trị bịnh các xác suất có tác động trên bịnh nhân là 80%. Hỏi xác xuất có ít nhất 4 bệnh nhân có tác động của thuốc trong 6 bịnh nhân dùng thuốc. ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 16 CÁCH TẠO KHÔNG GIAN ĐO ĐƯỢC TRONG THỐNG KÊ Để đánh giá số lượng rầy nâu đang sống trong một vùng trồng lúa nào đó. Chúng ta không thể nào bắt tất cả các con rầy nâu để có con số chính xác. Chúng ta chia vùng trồng lúa thành nhiều phần khá nhỏ (để có thể bắt gần hết các con rầy nâu trong những phần nhỏ này). Nếu có n phần nhỏ, nhưng tài nguyên vật lực của chúng ta chỉ đủ làm việc trên m phần nhỏ thôi. Chúng ta đánh số n phần nhỏ như là A 1 , . . ., A n , dùng máy tính chọn ngẩu nhiên k số trong tập {1, 2, . . ., n}. 4 4 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 17 Nếu có n phần nhỏ, nhưng tài nguyên vật lực của chúng ta chỉ đủ làm việc trên m phần nhỏ thôi. Chúng ta đánh số n phần nhỏ như là A 1 , . . ., A n , dùng máy tính chọn ngẩu nhiên k số trong tập {1, 2, . . ., n}. Ghi các số này như là n 1 , . . ., n m . Đặtlàtậphợp các con rầynâu trên phần đất. Đặt 12 1 {, ,, } || () {1,,}. || m j j i nn n n n m n i BB B B Bjm B        Ở đây |B| là số phần tử của B. j n B j n A ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 18 Để khảo sát tình hình hút thuốccủa các công nhân. Chúng ta chọnngẩunhiênm công nhân và điềutra việc hút thuốccủanhómngườinày. Gọi C là tậphợp những người hút thuốc trong nhóm ngườinàyvàK là tậphợpnhững người không hút thuốc trong nhóm ngườinày. Đặt {, }, || () || || () . || CK C C CK K K CK         ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 19 MỘT SỐ -ĐẠI SỐ THƯỜNG DÙNG Cho mộttậphợp khác trống  và m tậphợp con A 1 , . . . , A m của . Ta tìm một -đạisố M nhỏ nhấttrên chứa A 1 , . . . , A m . Đặt F là tậphợptấtcả các -đạisố N trên  chứa A 1 , . . . , A m . Ta thấy P()  F . Đặt   M= N NF M là -đạisố nhỏ nhấttrên chứa A 1 , . . . , A m . Cho ( , )làmột không gian metric, -đại số Borel trên  là -đại số nhỏ nhất trên  chứa tất cả các tập mở trong . ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 20 KHÔNG GIAN ĐO ĐƯỢC LEBESGUE TRÊN  n Có một -đạisố M và một độ đodương µ trên không gian  n có các tính chấtsau: (i) Các tậpmở và tập đóng trong  n thuộc M . (ii) µ([a 1 ,b 1 ]××[a n ,b n ]) = (b 1 - a 1 )× ×(b n - a n ) µ((a 1 ,b 1 )××(a n ,b n )) = (b 1 - a 1 )× ×(b n - a n ). a b 1 2 3 1 a a b b 3 2 5 5 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 21 (ii) µ(E + a) = µ(E)  E  M , a   n . (iv) µ(cE) = cµ(E)  E  M , c (0, ). a E E+a E cE O Định nghĩa. Ta gọi M và µ lầnlượtlà-đạisố Lebesgue và độ đo Lebesgue trên  n . ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 22 Các phép tính trên (- ,] (- ,] = (- , )  {} a +  = a  (- ,] 0.  = 0 c. = c  (0,] , d. = - c  (-,0) Các phép tính trên [- ,) [- ,) = (- , )  {-} a -  = a + (- ) = - a  [- ,) 0. - = 0 c.- = -c  (0,) , d.- = c  (-,0) ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 23 Cho {a n } là một dãy trong [0,  ] Nếucósố thực M sao cho a n  M vớimọi n. Ta có {a n } là một dãy trong [0, M ]. Lúc đó được định nghĩa như trong giáo trình Giải tích A1 . lim n n a  Nếu với mọi số thực M đều có một số nguyên N M sao cho M  a n vớimọi n  N M . Ta đặt lim n n a   ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 24 SUP A Cho A là một tập con trong (- ,  ] Nếu có M trong (- ,  ) sao cho x  M  x  A. Ta thấy A  (- ,  ) và bị chặn trên và đặt sup A như trong giáo trình Giải tích A1. Nếu không có M trong (- ,  ) sao cho x  M  x  A. Đặt sup A =  6 6 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 25 Cho {a n } là một dãy trong [0,  ] Đặt 1 {:1,2,3,,,} m n n Aam k     1 sup n n aA     Bài toán 1.5. Cho {a n } là một dãy trong [0,  ). Giả sử chuỗi số thực hội tụ theo nghĩa trong giáo trình Giải tích A1. Chứng minh 1 n n a    1 sup n n aA     ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 26 Bài toán 1.6. Cho  là tậpcácsố nguyên dương {1,2,….,m,. . .}. Đặt M = P() và vớimọi E  M (E) = số phầntử của E nếu E có hữuhạnphầntử, (E) =  nếu E có vô hữuhạnphầntử. Hỏi  phải là một độ dương hay không? (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A n } là một dãy các phầntử rời nhau trong M thì 1 1 () () nn n n A A        (ii) có B trong M để cho  (B) <  ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 27ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 27 Bài toán 1.7. Cho (, M) là một không gian đo được. Cho A 1 , A 2 , . . ., A m ,  M . Đặt Chứng minh A là mộttập con M-đo đượctrong . 1 m n n A A    (D3)  {A n }  M . 1 n n A     M (D3)  {B n }  M . 1 n n B     M  {A 1 , A 2 , . . ., A m }  M . 1 n n m A    M ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 28ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 28 (D3)  {B n }  M . 1 n n B     M  {A 1 , A 2 , . . ., A m }  M . 1 n n m A    M (D3)  {B 1 , B 2 , . . ., B m , B m+1 , B m+2 , . . . }  M . 1 n n B     M  {A 1 , A 2 , . . ., A m }  M . 1 n n m A    M Đặt B 1 = A 1 , B 2 = A 2 , . . ., B m = A m , B m+1 =  , B m+2 =  , . . . 7 7 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 29ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 29 Bài toán 1.8. Cho (, M) là một không gian đo được. Cho A, B  M . Chứng minh A B là mộttập con M-đo được trong . (D1) M . (D2)  \ A  M  A  M . (D3)  {A n }  M . 1 n n A     M Biến giao thành hội:  \( A B)= ( \ A)  ( \ B) Để ý : A B =  \[ \( A B)] ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 30ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 30 Bài toán 1.9. Cho một không gian đo được(, M, µ). Chứng minh µ() = 0 . (ii) có B trong M để cho  (B) <  (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A n } là một dãy các phầntử rời nhau trong M thì 1 1 () () nn n n AA        Đặt A 1 = B , A 2 = , A 3 = , A 4 = , . . 11 1 () ( ) ( ) lim ( ) lim[() ( 1)()] () lim[( 1)()] m nn n m nn n mm BA A A Bm B m                 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 31ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 31 (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A n } là một dãy các phầntử rời nhau trong M thì 1 1 () () nn n n A A        Đặt A m+1 =  , A m+2 =  , . . . Bài toán 1.10. Cho (, M,µ) là một không gian đo được. Cho A 1 , A 2 , . . ., A m là các tậprời nhau trong M. Chứng minh 1 1 () () m m nn n n AA      ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 32ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 32 Bài toán 1.11. Cho một không gian đo được(, M,µ). Cho C và D trong M. Giả sử C  D . Chứng minh µ(C)  µ(D) . Đặt A = C và B = D \C A  B =  A  B = D () ( ) () () () ()DABABAC      C D A B C D A B 8 8 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 33 Bài toán 1.12. Cho một không gian đo được(, M,µ). Cho {B n }làmộtdãy trongM. Chứng minh 1 1 () () nn n n BB         (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A n } là một dãy các phầntử rời nhau trong M thì 1 1 () () nn n n AA        112 213312 44123 1 1 1 ,\,\(), \( ), , \( ), n nn i i AB ABBAB BB ABBBB A B B           ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 34 Bài toán 1.13. Cho một không gian đo được(, M,µ). Cho {B n }là mộtdãy trongM. Giả sử B n  B n+1 với mọisố nguyên n. Chứng minh 1 ( ) lim ( ) mn n m B B       1 n nk k BB    11 ( ) lim ( ) n mm n mm B B       (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu{A n } là một dãy các phầntử rời nhau trong M thì 1 1 () () nn n n AA        ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 35 112 213312 44123 1 1 1 ,\,\(), \( ), , \( ), n nn i i AB ABBAB BB ABBBB A B B           1 n nk k BB    11 ( ) lim ( ) n mm n mm B B       Nếu{A n } là một dãy các phầntử rờinhautrong M 1 1 () () nn n n A A        11 nn kk kk A B    11 kk kk A B     11 1 ()lim ()lim( ) n n nmm nn nm m A AA          ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 1 36 Bài toán 1.14. Cho (,M,µ) là không gian đo được với độ đo Lebesgue µ, và a là mộtsố thực. Chứng minh µ({a}) = 0. Bài toán 1.15. Cho (,M,µ) là không gian đo được với độ đo Lebesgue µ, và  là tậphợp các số hữutỉ. Chứng minh µ() = 0. Bài toán 1.16. Cho (,M,µ) là không gian đo được với độ đo Lebesgue µ, và c là mộtsố thựcdương. Chứng minh có mộtmở A trong , sao cho bao đóng của A là  và µ(A)  c. 9 9 1 02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 1 II. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT Định nghĩa. Cho một không gian đo được(, M, µ). Ta nói đây là một không gian xác suấtvớimột độ đo xác suấtµ, nếuµ() = 1. Lúc đó  đượcgọi là không gian mẫu (sample space), các tập A  M đượcgọi là các biếncố, và độ đoP(A) đượcgọilàxácsuấtcủabiếncố A. Trong một không gian xác suất, độ đothường được ký hiệulàP thayvìµ, chúngcódạng (, M, P). Trong các thí dụ 1.1, . . ., 1.6, ta có các không gian xác xuất 02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 2 Thí nghiệm Không gian mẩu  (Tập các kết quả) Biến cố A Biến cố B Xác xuất Biến cố Cây hồng có thể có hoa màu đỏ, màu hồng, hoặc trắng. Trong một cuộc điều tra cơ chế di truyền kiểm soát màu sắc, thế hệ con cháu 182 của một lai tạo giửa hai giống hoa hồng đỏ và hoa hồng trắng. Kết quả như trong bảng bên cạnh 182Tổng cộng 40Trắng 34Hồng 108Đỏ Số câyMàu  ={Đỏ,Hồng,Trắng} 02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 3 Cây hồng có thể có hoa màu đỏ, màu hồng, hoặc trắng. Trong một cuộc điều tra cơ chế di truyền kiểm soát màu sắc, thế hệ con cháu 182 của một lai tạo giửa hai giống hoa hồng đỏ và hoa hồng trắng. Kết quả như trong bảng bên cạnh 182Tổng cộng 40Trắng 34Hồng 108Đỏ Số câyMàu  ={Đỏ,Hồng,Trắng} P({Đỏ}) = , P({Hồng}) = , P({Trắng}) = 108 182 34 182 40 182 Xác suất P được tính theo tần số. Qua thí nghiệm này, ta thấy gen đỏ mạnh hơn gen trắng. 02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 4 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Thí dụ 2.1. Nếu máy bay có hiện diện trong khu vực Đàlạt, xác suất để radar báo có máy bay là 0,99. Nếu máy bay không hiện diện trong khu vực Đàlạt, xác suất để radar báo có máy bay là 0,10. Ta giả định : máy bay đang hiện diện trong khu vực Đàlạt với 0,05 xác suất. Xác suất báo động sai (không có máy bay mà báo là có), và xác suất phát hiện sót (có máy bay mà báo là không có) là bao nhiêu? A = {có máy bay trong khu vực Đàlạt} B = {báo động có máy bay trong khu vực Đàlạt} C = {không có máy bay trong khu vực Đàlạt} D = { thông báo không có máy bay trong khu vực Đàlạt } 10 10 [...]...  02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 Độc lập : A và C Khơng độc lập: A và B , B và C 17 Chúng ta lấy mẫu ngẫu nhiên 6549 người và ghi nhận số liệu về mức thu nhập (thấp, trung bình, cao) và sự hút thuốc, chúng ta có bảng số liệu sau N = {BA : B M} E N Hút thuốc Khơng hút thuốc Chứng minh (A,N, ) là một khơng gian xác suất 02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 Thấp 634 1846 2480 Bài tốn 2.2 Với... biết tập X() và hàm mật độ pX của X ĐO VÀ giải quyết bài tốn 8/2/2012 ĐỘ để XÁC SUẤT - CH 2 5 1 m   8/2/2012 j 1 i w  Aj  wi  Aj P({wi }) m Z ( wi ) P ({wi })    ĐỘ ĐO1 VÀ XÁC SUẤT - CH 5 j wi  Aj m c j P ({wi })   c j j 1  wi  Aj P({wi }) 2 Bài tốn 5.2 Cho  = {w1, , wk}, M = P() và P là một độ đo xác xuất trong  Cho Z là một biến số ngẫu nhiên trên khơng gian xác suất (, M,P)... mật độ liên kết (joint probability mass functions) của X và Y như sau pX,Y(s,t) = xác suất ( X = s,Y = t) Bảng trị giá của pX,Y , pX và pY như sau 1213 5336 6549 p X ,Y 8/2/2012 pY (0)  5336 6549 , ĐỘ ĐO XÁC SUẤT pY (1)VÀ 1213 - CH 5 6549 3 1 634 6549 332 6549 1622 6549 1846 6549 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 5 1213 6549 1846 6549 2480 6549 8/2/2012 1868 6549 2115 6549 5336 6549 1 18 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT... 02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC 16 15 20 21 Bài tốn 3.21 Cho f là một hàm đo được trên một khơng gian đo được (,M,µ), và c là một số thực Chứng minh cf là hàm đo được trên (,M,µ) BIẾN SỐ NGẨU NHIÊN ĐỘC LẬP Định nghĩa Cho hai biến số ngẫu nhiên X1 và X2 trong một khơng gian xác suất (,M, P), ta nói X1 và X2 độc lập với nhau nếu X1-1(U1) và X2-1(U2) độc lập với nhau với mọi U1 và U2 mở trong  Bài tốn 3.22... vực Đà lạt}   B A A A B AB Xác suất 1.a như là tỉ lệ hai diện tích AB và A Xác suất 1.b như là ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CHtích AB và  tỉ lệ hai diện 2 02/08/2012 6 Định nghĩa Cho một khơng gian xác suất (, M, P), A và B trong M, với P(A) > 0 Đặt P( A  B) P ( B | A)  P ( A) và gọi đây là xác xuất của B có điều kiện A 1.a “Nếu máy bay hiện diện trong khu vực Đà lạt, xác suất để radar báo có máy bay...  ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 i  j i  1, , m Tính xác xuất của báo động đúng P(A1|B) Cho B là một biến cố trong (, M, P) với P(B) >0 Chứng minh với mọi i = 1, , m, ta có P ( Ai ) P( B | Ai ) P( Ai | B )  P( B ) P( A1 ) P( B | A1 )  02/08/2012 ĐỘ ) VÀ B A -   11 P( AĐO P(XÁC |SUẤT ) CH 2  P( Am ) P( B | Am ) 1 1 02/08/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 2 12 12 3 13 Định nghĩa Cho hai biến cố A và. .. 8/2/2012 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu 4 x   15 f + + g- + h - = f - + g+ + h+ 27 28 Cho (1,M1,P1) và (2,M2,P2), là hai khơng gian xác xuất Lúc đó có một -đại số V và một độ đo dương  trên   1×2 sao cho (i) A1×A2  V nếu Ai  Mi với mọi i =1,2 (ii)  (A1×A2) = P1 (A1 ) × P2 (A2 ) Độ đo  này cũng là một độ đo dương trên , và (,V, ) là một khơng gian đo được và được... 8/2/2012 29 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 5 4 30 Bài tốn 5.5 Cho  = {w1, , wk}, M = P() và P là một độ đo xác xuất trong  Cho Z là một biến số ngẫu nhiên trên khơng gian xác suất (, M,P) Xét hàm phân bố của Z  c  (- , ) FZ(c) = P({ : Z() < c}) Bài tốn 5.4 Qua q trình ghi nhận Một cơng ty tin học ở Mỹ thấy xác suất lương (đơ la) trả cho một nhân viên trong 1 tuần như sau Tiền lương Xác suất 240... khơng gian đo ĐO VÀ XÁC SUẤT CH 4 được (1,M1,P1), ĐỘ., (m,Mm-,Pm) 8/2/2012 19 28 ĐỘ ĐO VÀ XÁC SUẤT - CH 4 18 29 V BIẾN SỐ NGẨU NHIÊN RỜI RẠC Định nghĩa Cho X là một biến ngẫu nhiên trên một khơng gian xác xuất (,M,P) Ta nói X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu X() là một tập con hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được trong (-, ) Bài tốn 5.1 Cho  = {w1, , wk}, M = P() và P là một độ đo xác xuất trong... (1,M1,P1) và (2,M2,P2), là hai khơng gian xác xuất Lúc đó có một -đại số V và một độ đo dương  trên   1×2 sao cho (i) A1×A2  V nếu Ai  Mi với mọi i =1,2 (ii)  (A1×A2) = P1 (A1 ) × P2 (A2 ) Độ đo  này cũng là một độ đo xác xuất trên , và (,V, ) là một khơng gian xác xuất Tuy nhiên, theo các số liệu thu nhận được, có thể  nhận -đại số M và một độ đo dương P sao cho (,M,P) là một khơng gian xác