Tài liệu Toán xác suất_ Chương 5 ppt

CHƯƠNG 5 ƯỚC LƯNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ (Estimation) Khái niệm chung: - Xét một tập họp chính gôøm N biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối có hàm mật độ xác suất là f (x,θ); trong đó θ là các tham số thống kê của tập họp chính. Thí dụ: • Trong phân phối nhò thức: fx C n xx nx (, ) ( ) θρρ =− − 1 => θ = ρ , θ ∈ [0 , 1] • Trong phân phối poisson fx e x x (, ) ! θ λ λ = => θ = λ θ > 0 • Trong phân phối chuẩn fx e x (, ) () θ πσ µ σ = − − 1 2 2 2 2 2 => θ = (µ , σ 2 ) , -∞ < µ < +∞ 0 < σ 2 < +∞ - Gọi {x 1, x 2 , , x n } là mẫu ngẫu nhiên, cỡ mẫu n được dùng lấy ra từ tập họp chính tuân theo hàm mật độ xác suất f (x,θ). Ở đây dạng của hàm f xem như đã biết còn các tham số thống kê θ của tập họp chính xem như chưa biết. Vấn đề đặt ra ở chương trình này là dựa vào các mẫu quan sát {x 1 ,x 2 , .,x n } ta ước lượng xem giá trò cụ thể của θ bằng bao nhiêu (bài toán đó gọi là ước lượng điểm ) hoặc ước lượng xem θ nằm trong khoảng nào (bài toán ước lượng khoảng). 1. ƯỚC LƯNG ĐIỂM (Point Estimation) 1.1 Ước lượng và giá trò ước lượng (estimator and estimate) 1.1.1 Ước lượng (Estimatir) ô hàm ước lượng • Là biến ngẫu nhiên hay các tham số thống kê của mẫu được dùng để ước lượng các tham số thống kê chưa biết của tập hợp chính. • Ước lượng của tham số thống kê θ của tập họp chính được ký hiệu là θ ∧ . • Dựa vào mẫu {x 1 ,x 2 .,x n } người ta lập ra làm θ ∧ = θ ∧ (x 1 ,x 2, ,x n ) để ước lượng cho θ. θ ∧ được gọi là hàm ước lượng của θ hay gọi tắt là ước lượng của θ. θ ∧ chỉ phụ thuộc vào giá trò quan sát x 1 , x 2 , . ,x n chứ không phụ thuộc vào các tham chưa số biết θ của tập họp chính. 1.1.2 Giá trò ước lượng (estimate) hay còn gọi là giá trò ước lượng điểm (point estimate) • Là giá trò cụ thể của ước lượng θ ∧ và được xem như giá trò ước lượng của tham số thống kê θ của tập họp chính. Tham số thống kê và tập họp chính (population patameter) Ước lượng (Estimation) Giá trò ước lượng Estimate (Point estimate) Số trung bình µ x Phương sai σ x 2 Độ lệch chuẩn σ x Trò số p f x n = p X S x 2 S x f ∧ p x ∧ x S x 2 S x f ∧ p x ∧ 1.2 Ước lượng không chệch: (Unbiased estimators) 1.2.1 Ước lượng không chệch: • Ước lượng θ được gọi là ước lượng không chệch của tham số thống kê θ nếu kỳ vọng của θ ∧ là θ. E ( θ ∧ ) = θ Thí dụ E(X) = µ x => X là ước lượng không chệch của µ x E(S x 2 ) = σ x 2 => S x 2 là ước lượng không chệch cuả σ x 2 E ( f ∧ ) = p => f ∧ là ước lượng không chệch của p 12.2. Độ chệch (The bias) • Gọi θ ∧ là ước lượng của θ. Bias( θ ∧ ) = E ( θ ∧ ) - θ • Đối với ước lượng không chệch => Bias = độ chệch = 0 1.3 Ước lượng hiệu quả tốt nhất: • Gọi θ ∧ 1 và θ ∧ 2 là 2 ước lượng không chệch của θ dựa trên số lượng của mẫu quan sát giống nhau. * θ ∧ 1 được gọi là hiệu quả hơn θ ∧ 2 nếu Var ( θ ∧ 1 ) < Var ( θ ∧ 2 ) * Hiệu quả tương đối giữa hai ước lượng là tỉ số giữa 2 phương sai của chúng. Hiệu quả tương đối = Var Var () () θ θ 2 1 ∧ ∧ (Relative efficency) • Nếu θ ∧ là ước lượng không chệch của θ và nếu không có một ước lượng không chệch nào có phương sai nhỏ hơn phương sai của θ ∧ thì θ ∧ đïc gọi là ước lượng tốt nhất (best estimator) hay θ ∧ còn gọi là ước lượng không chệch có phương sai nhỏ nhất của θ (minimum variance unbiased estimator of θ) 1.4 Sai số bình phương trung bình (men spuared eveor) MSE • Sai số bình phương trung bình của ước lượng θ ∧ được đònh nghóa như sau: MSE( θ ∧ ) = E [( θ ∧ - θ) 2 ] Người ta chứng minh được rằng: MSE ( θ ∧ ) = Var( θ ∧ ) + [θ - E ( θ ∧ )] 2 MSE ( θ ∧ ) = Var ( θ ∧ ) + [ Bias( θ ∧ )] 2 • Nếu θ ∧ là ước lượng không chệch ta có Bias( θ ∧ ) = 0 => MSE ( θ ∧ ) = Var ( θ ∧ ) 1.5 Ước lượng nhất quán vững (Consistent estimators) θ ∧ n = θ ∧ (x 1 , x 2 , . x n ) gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi ε > 0 ta có: lim P( | θ ∧ n - θ | ≤ ε ) = 1] n - ∞ tức là dãy θ ∧ n hội tụ theo xác suất tới θ khi n -> ∞ 2. ƯỚC LƯNG KHOẢNG (Interal estimation) 2.1 Khoảng tin cậy (Confidence interval) 2.1.1. Ước lượng khoảng và giá trò ước lượng khoảng (interval estimator and interval estimate). * Ước lượng khoảng: Ước lượng khoảng đối với tham số thống kê của tập họp chính θ là một quy tắc dựa trên thông tin của mẫu để xác đònh miền (range) hay khoảng (interval) mà tham số θ hầu như nằm trong đó. * Gía trò ước lượng khoảng: là giá trò cụ thể của miền hay khoảng mà tham số θ nằm trong đó. 2.1.2 Khoảng tin cậy và độ tin cậy (Confidence interval and level of confidence) Gọi θ là tham số thống kê chưa biết. Giả sử dựa trên thông tin của mẫu ta có thể xác đònh được 2 biến ngẫu nhiên A và B sao cho P (A < θ < B) = 1 - α với 0 < α < 1 • Nếu giá trò cụ thể của biến ngẫu nhiên A và B là a và b thì khoảng (a,b) từ a đến b được gọi là khoảng tin cậy của θ với xác suất la (1 - α) • Xác suất (1 - α) được gọi là độ tin cậy của khoảng. Ghi chú: • Trong thực tế, độ tin cậy (1 -α) do nhà thống kê chọn theo yêu cầu của mình, thông thường độ tin cậy được chọn là 0,90; 0,95; 0,99 . • α là xác suất sai lầm khi chọn khoảng tin cậy (a, b) 2.2 Khoảng tin cậy đến với số trung bình của phân phối chuẩn trong trường hợp đã biết phương sai của tập họp chính: Nghóa là đi tìm ước lượng của µ trong N (µ, σ x 2 ) khi đã biến σ x 2 2.2.1 Điểm phần trăm giới hạn trên Z (Upper percentage cut off point) Gọi Z là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa và α là số bất kỳ sao cho 0 <α < 1 Z α là điểm phần trăm giới hạn trên nếu. P (Z > Z α ) = α Ghi chú: • P (Z > Z α ) = F Z (z α ) = 1 - α Hình 2 (p5) • P (-Z α/2 < Z < Z α/2 ) = 1 - α Chứng minh: P(Z > Z α/2 ) = α 2 Do tính đối xứng => P (-Z α/2 < Z < Z α/2 ) = 1 - α 2 - α 2 = 1 - α P (Z < -Z α/2 ) = α 2 Hình 3 (P5) 2.2.2 Khoảng tin cậy của µ trong N(µ,σ x 2 ) khi đã biết σ x 2 Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên vơí cỡ mẫu n từ phân phối chuẩn N(µ,σ x 2 ). Nếu σ z 2 đã biết và số trung bình mẫu có giá trò trung bình tập họp chính được tính bởi. x Z n x Z n xx −− −<<+ αα σ µ σ //22 Trong đó Z α/2 là số có P (Z > z α/2 ) = α/2 với Z là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa. Chứng minh: Ta có: P ( - Z α/2 < Z < Z α/2 ) = 1 - α P (-Z α/2 < X Z xn − < µ σ α / / ) 2 = 1 - α P( −<−< Z n X Z n xX αα σ µ σ // ) 22 = 1 - α P ( X Z n X Z n xX −<<+ αα σ µ σ // ) 22 = 1 - α Thí dụ : Giả sử trọng lượng của các học sinh lớp 2 tuân theo phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 1,2kg. Mẫu ngẫu nhiên gồm 25 học sinh có trung bình là 19,8kg. Tìm khoảng tin cậy 95% đối với trọng lượng trung bình của tất cả học sinh lớp 2 trong 1 trường. Giải : Ta có 100 (1 - α) = 95 => α = 0.05 => Z α/2 = Z 0.025 => P(Z > Z 0.025 ) = 0.025 P(Z < Z 0.025 ) = F Z (Z 0.025 ) = 1 - 0.025 = 0.975 Tra bảng ta có: Z 0.025 = 1.96 Khoảng tin cậy 95% đối với số trung bình tập chính µ sẽ là x Z n x Z n xX −<<+ αα σ µ σ //22 Với x = 19,8 kg σ x = 1,2 kg x = 25 Z α/2 = 1,96 => 19,33 < µ < 20,27 Ghi chú: a) ε σ α = Z n x/2 gọi là độ chính xác của ước lượng hay dung sai b) x là trung tâm của khoảng tin cậy với bề rộng của khoảng tin cậy của µ là x Z n x −= α σ / , 2 19 33 x = 19,8 x Z n x += α σ / , 2 20 83 2 2 Z n x α σ / W Z n x == 2 2 2 α σ ε / c) + W càng nhỏ thì ước lượng càng chính xác (≡ ε càng nhỏ) + Với xác suất α và cỡ mẫu nhỏ trước, σ x càng lớn thì W càng lớn. + Với α và σ x cho trước, n càng lớn thì W càng nhỏ. + Với σ x và n cho trước, ( 1 - α) càng lớn thì W càng nhỏ 2.2.3 Khoảng tin cậy đối với số trung bình của tập hợp chính µ trong trường hợp cỡ mẫu lớn. Giả sử ta có mẫu với cỡ mẫu là n được lấy từ tập họp chính có số trung bình là µ. Gọi x là số trung bình của mẫu và S x là phương sai của mẫu. Nếu n lớn thì khoảng tin cậy với xáx suất 100(1- α) % đối với µ được xem như đúng là. x Z S n x Z S n Xx −<<+ αα µ //22 Ghi Chú: • Sự ước lượng này gần đứng ngay cả khi tập hợp chính không theo phân phối chuẩn. • Khi n lớn ta có thể xem gần đúng S x = σ x 2.3 Phân phối Stutent t: Trong phần trước, ta đi tìm khoảng tin cậy của µ trong N(µ,σ x 2 ) khi đã biết σ x 2 hoặc tìm khoảng tin cậy của µ khi có mẫu lớn. Trong trường hợp không biết phương sai σ x 2 và cỡ mẫu không lớn, để tìm khoảng tin cậy của µ ta cần phải có một phân phối thích họp hơn, đó là phân phối Student t. 23.1 Phân phối Student t Cho mẫu ngẫu nhiên với cỡ n với số trung bình của mẫu X và độ lệch chuẩn mẫu S x ; mẫu được lấy ra từ tập họp chính với số trung bình là µ. Biến ngẫu nhiên t x Sn x = − µ / t tuân theo phân phối Student t với độ tự do là n - 1 Hình n = 25 , σ x = 1.2 , 1-α = 0.95 19.33 19.80 20.27 n = 64 , σ x = 1.2 , 1-α = 0.95 19.51 19.80 20.09 n = 25 , σ x = 2 , 1-α = 0.95 19.02 19.80 20.58 n = 25 , σ x = 1.2 , 1-α = 0.99 19.18 19.80 20.24 Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo phân phối Studen t với độ tự do υ nếu hàm mật độ xác đònh có dạng. fx x B x () () (, ) () = + − + 1 1 22 2 1 2 ϑ ϑ ϑ ϑ ,∀x 2.3.2 Điểm phần trăm giới hạn trên t υ ,α: Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Student t với độ tự do υ được ký hiệu là tυ tυ , α là điểm phần trăm giới hạn trên nếu: P(tυ > t υ , α) = α Hình Người ta lập bảng tính sẳn cho các giá trò diện tích ở dưới đường cong từ t υ , α đến +∞ Tương tự phần trăm trên ta có: P(-t υ , α/2 < t υ < t υ , α/2) = 1 -α Hình 2.4 Khoảng tin cậy đối với số trung bình µ trong phân phối chuẩn khi chưa biết phương sai: (Khoảng tin cậy của µ trong N(µ,σ x 2 ) khi chưa biết σ x 2 ) Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu n từ phân phối chuẩn với số trung bình là µ và phương sai σ x 2 chưa biết. Nếu số trung bình mẫu là x và độ lệch chuẩn mẫu là S x thì khoảng tin cậy của số trung bình tập hợp chính µ sẽ được tính bởi . x t S n x t S n nX nx −<<+ −−12 12,/ ,/ αα µ Trong đó t n-1, α/2 là số có P(t n-1 > t n-1, α/2 ) = α 2 và t n-1 là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Student với độ tự do là n - 1 Chứng minh: P(-t n-1 ,α/2 < t n-1 < t n-1, α/2 ) = 1 - α Pt X Sn t P tS n X tS n PX tS n X tS n n x n nx nx nx nx −< − <         =− − <−<       =− −<<+       =− −− −− −− 12 12 12 12 12 12 1 1 1 ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ / αα αα αα η α µα µα Thí dụ: Mẫu ngẫu nhiên của trọng lượng 6 học sinh lớp 2 có giá trò như sau: 18,6kg 18,4kg 19,2kg 20,8kg 19,4kg 20,5kg Tìm khoảng tin cậy 90% đối với số trung bình của tất cả học sinh lớp 2. Gỉa sử rằng phân phối trọng lượng của tất cả học sinh lớp 2 là phân phối chuẩn. Giải: Trước hết ta phải tìm số trung bình mẫu x và phương sai mẫûu S x I x i x 2 i 1 2 3 4 5 6 Tổng 18.6 18.4 19.2 20.8 19.4 20.5 116.9 345.96 338.56 368.64 432.64 376.36 420.25 2282.41 Số trung bình mẫu x n xi =∑= = 11 6 116 9 19 4833(.) . Phương sai mẫu: S n xnx xi 22 2 1 1 = − ∑− () = 1 5 2 282 41 6 19 4833 0 96 2 (. , , ) , −× = Độ lệch chuẩn: S x ==096 098,. Khoảng tin cậy 90% đối với trọng lượng trung bình của tất cả học sinh lớp 2 là: x l S n x t S n nx nx −<<+ −− 12 12 ,, // αα µ x = 19.4833 , S x = 0.98 , n = 6 100 (1-α) = 90 => α = 0.10 => α/2 = 0.05 Tra bảng ta có: t n-1 , α/2 = t 5 , 0.05 = 2.015 19 48 2015 0098 6 19 48 2015 098 6 18 67 20 29 . . − × << + × << µ µ 2.5 Khoảng tin cậy đối với phương sai của phân phối chuẩn σ x 2 Nhắc lại, Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu n được lấy ra từ tập họp chính có phân phối chuẩn N(µ x ,σ x 2 ) và gọi S x 2 là phương sai của mẫu. Biến ngẫu nhiên X nS n x x − = − 1 2 2 2 1() σ sẽ tuân theo phân phối X 2 với độ tự do n - 1 2.5.1 Điểm phần trăm giới hạn trên X 2 γ, α Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối X 2 với độ tự do γ được ký hiệu X 2 γ X 2 γ,α là điểm phần trăm giới hạn trên nếu P(X 2 γ > X 2 γ,α ) = α Hình Thí dụ : Tìm X 2 6 , 0.05 P (X 2 6 > X 2 6, 0.05 ) = 0.05 X 2 6, 0.05 = 12.59 Tương tự ta có P (X 2 γ, > X 2 γ , α/2 ) = α 2 PX X () , γ γ α α 2 1 2 2 2 <= − Vì PX X () , γ γ α α 2 1 2 2 1 2 >=− − => PX X X() , ,/ γ αγγα α 1 2 22 2 2 1 − << =− Hình Khoảng tin cậy 80% 18.89 19.48 20.07 Khoảng tin cậy 90% 18.67 19.48 20.29 Khoảng tin cậy 95% 18.45 19.48 20.51 Khoảng tin cậy 99% 17.87 19.48 21.09 2.5.2 Khoảng tin cậy của phương sai phân phối chuẩn σ x 2 : Khoảng tin cậy với xác suất 100 (1- α)% của σ x 2 là () () ,, nS X nS X x n x x n − << − −−− 11 2 1 2 2 2 2 11 2 2 αα σ Trong đó X 2 n-1, α/2 là số xó P(X 2 γ > X 2 n-1 , α/2 ) = α/2 X 2 n-1 , 1 - α/2 là số P(X 2 γ > X 2 n-1 , 1 - α/2 ) = α/2 và biến ngẫu nhiên X 2 n-1 tuân theo phân phối X 2 với độï tự do n - 1: Chứng minh PX X X PX X X PX nS X P nS X nS X n nn n x x n x n x x n () (,/) ( () ) ( () () ) , ,/ , , ,/ ,/ , / γ αγγα α αα αα α αα σ α σα 1 2 22 2 2 11 2 2 1 2 1 2 11 2 2 2 2 12 2 2 12 2 2 2 11 2 2 1 21 1 1 11 1 − −− −− −− − −−− << =− << =− < − <=− − << − =− Thí dụ : Một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 viên thuốc nhức đầu cho thấy độ lệch chuẩn trong thành phần, cấu tạo thuốc. Sự tập trung của họp phần cấu tạo thuốc là 0.8 Tìm khoảng tin cậy 90% của phương sai của lô thuốc nói trên. (lô thuốc tuân theo phân phối chuẩn) Giải : n = 15 S x 2 = 0.8 2 = 0.64 100(1-α) = 90 => α = 0.10 => α/2 = 0.05 Tra bảng X 2 n-1 , 1-α/2 = X 2 14 , 0.05 = 23.68 và X 2 n-1 , 1-α/2 = X 2 14, 0.05 = 6.57 Khoảng tin cậy 90% của σ x 2 là () () . . . . ,/ , / nS X nS X x n x x n x x − << − × << × << −−− 11 14 0 64 2368 14 0 64 657 0378 1364 2 12 2 2 2 11 2 2 2 2 αα σ σ σ => 0.61 < σ X < 1.17 2.6 Ước lượng khoảng tin cậy của tham số thống kê p trong phân phối nhò thức trong điều kiện cỡ mẫu lớn . - Nhắc lại, gọi f là tỉ số của số lần thành công trong n phép thử độc lập [...]... việc ước lượng Giải ε = 0. 05 n = 25 1 - α = 0. 95 => α = 0. 05 => Zα/2 = Z0.0 25 = 1.96 4 f = = 0.16 25 cỡ mẫu n 196 2 × 0.16(1 − 0.16) n= = 206 .5 0. 05 2 Chọn n = 207 sản phẩm Ghi chú: Sau khi có n = 207 ta phải tính lặp lại lần thứ 2 với cỡ mẫu n = 207 nghóa là phải xác • đònh f của mẫu n = 207, (***) Nếu ban đầu ta chưa có biết lấy mẫu cỡ bao nhiêu Ta có thể giả sử f ≈ 0 .5 => n => tính • lặp như trên... 0.9 => α = 0.1 => α/2 = 0. 05 Tra bảng Z0. 05 = 1.6 45 Bởi vì hiện tại Ông ta chưa biết gì về tỉ lệ khách hàng có thể đặt tiền mua báo trước, nên ta giả sử f = 0 .5 Cỡ mẫu n sẽ là Z 2 f (1 − f ) 16 45 2 × 0 .5( 1 − 0 .5) n = α /2 2 = = 67. 65 0.1 ε Chọn cỡ mẩu n = 68 Nhà quản lý phải thăm dò trên mẫu có cỡ mẫu n ≤ 68 khách hàng Nếu tỉ lệ f gần bằng 0 .5 thì dùng Nếu tỉ lệ f khác 0 .5 thì ta tính lại n với f... 81 , X = 8 (số sản phẩm không đạt yêu cầu) X 8 = 0.099 f = = n 81 100(1 - α) = 90 => α = 0.01 => α/2 = 0. 05 vi p (Z > 1.6 45) = 0. 05 Tra bảng ta có Zα/2 = 1.6 45 Sf = f (1 − f ) = n 0.099(1 − 0.099) = 0.033 81 Khoảng tin cậy 90% của P 0.099 - 1.6 45 x 0.033 < P < 0.099 + 1.6 45 x 0.033 0.0 45 < P < 0. 153 2.7 Ước lượng cỡ mẫu (Estimating the sample size) - Trong các phần trước, chúng ta đi tìm các ước lượng... = ± 2 .5 kg σ = 10 kg (1 - α) = 0. 95 kg => α = 0. 05 Tra bảng có Zα/2 = Z0.0 25 = 1.96 196 2 × 10 2 n= = 6. 15 (2 .5) 2 Chọn n = 62 ống thép 2.7.2 Cỡ mẫu đối với khoảng tin cậy của µ trong N(µ,σx2) khi chưa biết σx2 Nhắc lại, khoảng tin cậy với xác suất (1 - α) x 100 của µ trong N(µ,σx2) khi chưa biết σx2 sẽ là: t n −1,α / 2 S x t n −1,α / 2 S x x− α = 1 n = 15 Sx = 20 tn - 1, α /2 = t14, 0. 05 = 1.761 Cỡ mẫu n được tính... f ) n Với độ chính xác ε, cỡ mẫu n đối với việc ước lượng p trong phân phối nhò thức sẽ là: Z 2 ⋅ f (1 − f ) n = α /2 2 => ε = Z α / 2 ε Thí dụ: Một kỹ sư kiểm tra chất lượng sản phẩm muốn tỉ lệ phế phẩm trong dây chuyền sản xuất với sai số ± 0. 05 và độ tin cậy 95% Trong lần lấy mẫu đầu tin với 25 sản phẩm người kỹ sư nhận thấy có 4 phế phẩm Hỏi cỡ mẫu cần phải để đảm bảo độ chính xác trong việc ước... độ chính xác ε cho trước, cỡ mẫu n đối với việc ước lượng µ trong N(µ,σx2), σx2 đã biết được bởi công thức n= 2 Z α / 2σ 2 x ε2 Thí dụ: Giả sử độ lệch chuẩn của các đường ống thép được sản xuất ra trong ngày ở một phần xưởng là 10 kg Chúng ta muốn ước lượng trọng lượng trung bình µ của các đường ống thép được sản xuất trong ngày ở phân xưởng đó với độ chính xác ± 2.5kg và với độ tin cậy 95% Tìm cỡ... tính toán chọn cỡ mẫu n đủ lớn để đảm bào độ chính xác ε - Để xác đònh cỡ mẫu ta cần các thông tin sau: • Đònh rõ độ tin cậy (1 - α) thường là 90; 95 hay 98% Thí dụ: Nếu muốn mức độ tin cậy 100% thì n = N -> Điều này quá tốn kém và không thực tế • Độ chính xác hay sai số cho phép ε hoặc bề rộng khoảng tin cậy w • Độ lệch chuẩn σ - Cỡ mẫu n lớn hay nhỏ sẽ tùy thuộc độ phân tán σ và sai số cho phép ε chứ . 95 => α = 0. 05 => Z α/2 = Z 0.0 25 => P(Z > Z 0.0 25 ) = 0.0 25 P(Z < Z 0.0 25 ) = F Z (Z 0.0 25 ) = 1 - 0.0 25 = 0.9 75 Tra bảng ta có: Z 0.0 25. 25 , σ x = 1.2 , 1-α = 0. 95 19.33 19.80 20.27 n = 64 , σ x = 1.2 , 1-α = 0. 95 19 .51 19.80 20.09 n = 25 , σ x = 2 , 1-α = 0. 95 19.02 19.80 20 .58 n = 25