Sáng kiến kinh nghiệm bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông phần 2

Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng « Đây sáng kiến kinh nghiêm sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2015 xin gửi tặng tailieu.vn” Phần 2: Nội dung SKKN Nội dung lí luận (bổ túc kiến thức tích phân): 1) Cơng thức tính đạo hàm 1) c '  (C số) 2) x  '   x  1 1) u '  u 1.u / 1 3)   '   ( x  0)  x 8) u x  0 u 4) sin u  '  u ' cos u 5) cos u  '   sin u u ' sa x 12) log a x  '  u' cos u u' 7) cot u '   sin u u u 8) e '  e u ' 6) tan u '  9)   10) a x  '  a x ln a 11) ln x  '  u u' 3) ( u )'  sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 7) x x  0 x sin x  '  cos x cos x  '   sin x tan x  '  cos x cot x  '   sin x x x e 'e 4) ( x )'  5) 6) u' 2)   '   ( x  0)   9) a '  a ln a u ' u u 10) log a u '  x ln a u' u ln a u' 11) ln u '  u 2)Quy tắc tính đạo hàm (u  v  w)'  u 'v' w' u u '.v  u.v'   '  v y ' x v (k.u)’ =k.u’ (u.v)’ =u’.v + u.v’ (v  )  y ' u u ' x  v'   '  v  ax  b     cx  d  (v  ) v / '  a.d  b.c (cx  d ) 3) Cơng thức tính vi phân Cho hàm số y =f(x) xác định (a,b) có đạo hàm (a,b) Kí hiệu d(f(x)) gọi vi phân hàm số f(x) x Và d ( f ( x))  f ' ( x)d ( x) Mangh■■ng Luôn 123doc Th■a thu■n l■icam s■ tr■ h■u k■t s■ nghi■m t■im■t d■ng s■website mang kho m■i th■ m■ l■i d■n CH■P vi■n nh■ng cho ■■u kh■ng ng■■i NH■N quy■n chia dùng, l■ CÁC s■l■i v■i và■I■U t■t công h■n mua nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N cho tàihi■n ng■■i li■u TH■A tài th■ hàng li■u dùng hi■n THU■N ■■u ■ t■t Khi ■■i, Vi■t c■ khách b■n l■nh Nam Chào online hàng v■c: Tác m■ng tr■ khơng tài phong thành b■n khác chun ■■n thành tíngì d■ng, v■i so nghi■p, viên 123doc v■i cơng c■a b■n hồn ngh■ 123doc g■c h■o, thơng B■n và■■ n■p có tin, cao th■ ti■n ngo■i tính phóng vào ng■, Khách trách tài to,kho■n nhi■m thu nh■ c■a ■■i hàng tùy123doc, v■i ý cót■ng th■b■n d■ ng■■i dàng s■ dùng ■■■c tra c■u M■c h■■ng tàitiêu li■u nh■ng hàng m■t■■u quy■n cáchc■a l■i123doc.net sau xác,n■p nhanh ti■n tr■ chóng thành website th■ vi■n tài li■u online l■n nh■t Vi■t Nam, cung c■p nh■ng tài li■u ■■c khơng th■ tìm th■y th■ tr■■ng ngo■i tr■ 123doc.net Nhi■u event thú v■, event ki■m ti■n thi■t th■c 123doc luôn t■o c■ h■i gia t■ng thu nh■p online cho t■t c■ thành viên c■a website Mangh■n Luôn Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mơ nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n 123doc Sau Th■a Xu■t h■■ng phát thu■n cam nh■n m■t t■k■t s■ t■i ýxác n■m t■■ng d■ng s■ nh■n website mang ■■i, t■o t■l■i c■ng ■■ng d■n 123doc CH■P nh■ng ■■u ■■ng h■ NH■N ■ã quy■n th■ng chia t■ng ki■m CÁC s■s■ l■i b■■c ti■n vàchuy■n ■I■U t■t mua online kh■ng nh■t bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh ng■■i li■u ph■n tài TH■A v■ li■u hàng thông dùng tríTHU■N hi■u c■a ■■u tin Khi qu■ Vi■t xác khách nh■t, minh Nam Chào hàng uy tài l■nh Tác m■ng tín kho■n tr■ phong v■c cao thành b■n email nh■t tàichuyên ■■n li■u thành b■n Mong v■i nghi■p, viên kinh ■ã 123doc 123doc.net! mu■n ■■ng c■a doanh hoàn mang 123doc kýonline v■i h■o, Chúng l■ivà 123doc.netLink cho Tính ■■ n■p tơi c■ng cao ■■n cung ti■n tính ■■ng th■i vào c■p trách xác tài ■i■m D■ch xãkho■n th■c nhi■m h■itháng V■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i ■■■c ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c g■i t■ng tài 123doc v■ mô nguyên b■n ng■■i ■■a t■s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c m■c ■ây) email M■c h■■ng quý 100.000 cho b■n tiêu báu, b■n, nh■ng ■ã hàng phong l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau vuingày, n■p lòng “■i■u giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Lnh■n Th■a Xu■t Sau Nhi■u 123doc Mang h■■ng phát thu■n l■i event cam s■ nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thông dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chun ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thơng B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t u■t phát Nhi■u Mang Ln 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n t■ m■t tr■ t■ h■u ýk■t s■ thú nghi■m t■i ýt■■ng xác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event t■o kho m■i ■■i, t■o t■ c■ng th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■ng ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia ki■m t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c ti■n s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công online h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N b■ng sang b■ng cho tài ■■nh hi■n tài ng■■i li■u ph■n tài TH■A li■u tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng trí hi■u hi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin qu■ t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia nh■t, b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online uy hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác tín m■ng tín kho■n tr■ cao nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n nh■t email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tín Mong b■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã mu■n t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n mang hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i l■i h■o, Chúng l■i thông B■n cho 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có c■ng tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i ■■ng tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác xã tài ■i■m D■ch xã to,h■i kho■n th■c nhi■m h■i thum■t tháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ngu■n ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cótài g■i t■ng th■ tài 123doc ngun v■ mơ nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t tri d■■i tri dùng ■■■c ch■ th■c tra th■c m■c ■ây) email c■u quý M■c h■■ng quý 100.000 cho tài báu, b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng phong ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u phú, quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a ■a l■i b■n vào d■ng, 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p giàu lòng “■i■u nhanh giàu ti■n giá s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u tr■ thành tr■ nh■p ■■ng 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email th■i vi■n th■i Thu■n mong c■a thành mong tài v■ li■u mu■n viên mu■n S■ online ■■ng D■ng t■o click t■o l■n ■i■u ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n ki■n V■” vào Vi■t 123doc cho top sau cho Nam, cho 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■i users website c■p users ■âynh■ng có ■■■c cóph■ thêm thêm tài bi■n g■i thu thu li■u t■t nh■p nh■t nh■p ■■c T■it■i Chính khơng t■ng Chính Vi■tth■i vìth■ Nam, vìv■y v■y ■i■m, tìm 123doc.net t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racó ■■i thu■c ■■i tr■■ng th■ nh■m nh■m c■p top ngo■i ■áp 3nh■t ■áp Google ■ng tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net nhu Nh■n nhuc■u c■u ■■■c chia theo chias■ quy■t danh s■tàitài hi■u li■u li■uch■t ch■t c■ng l■■ng l■■ng ■■ng vàvàki■m bình ki■mch■n ti■n ti■nonline online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Nhi■u Mang Luôn 123doc Th■a Xu■t Sau h■n h■■ng phát thu■n l■i event s■ cam nh■n m■t tr■ t■ h■u k■t s■ thú nghi■m t■i ýxác n■m t■■ng m■t d■ng v■, s■ nh■n website mang event kho m■i ■■i, t■o t■ th■ m■ l■i c■ng ki■m ■■ng d■n 123doc CH■P vi■n nh■ng cho ■■u ■■ng ti■n h■ kh■ng ng■■i NH■N ■ã quy■n th■ng thi■t chia t■ng ki■m dùng, l■ CÁC s■ th■c s■ l■i b■■c v■i ti■n vàchuy■n ■I■U t■t công h■n mua 123doc online kh■ng nh■t 2.000.000 ngh■ bán KHO■N sang b■ng cho tài ■■nh hi■n ng■■i li■u ph■n tài TH■A tài v■ th■ li■u hàng t■o li■u thơng dùng tríhi■n THU■N hi■u c■ c■a ■■u ■ tin t■t h■i Khi ■■i, qu■ Vi■t xác c■ khách gia b■n nh■t, minh l■nh Nam t■ng Chào online hàng uy tài v■c: l■nh thu Tác m■ng tín kho■n tr■ nh■p khơng tài phong v■c cao thành b■n email nh■t tài online khác chuyên ■■n li■u thành tínb■n Mong cho d■ng, v■i so nghi■p, viên kinh ■ã t■t 123doc 123doc.net! v■i mu■n công ■■ng c■a c■ doanh b■n hoàn mang ngh■ 123doc ký g■c online thành v■i h■o, Chúng l■i thông B■n 123doc.netLink cho viên Tính ■■ n■p có tơi tin, c■ng c■a cao th■ ■■n cung ti■n ngo■i tính website phóng ■■ng th■i vào c■p ng■, Khách trách xác tài ■i■m D■ch xã to,kho■n th■c nhi■m h■i thutháng V■ nh■ m■t s■ c■a (nh■ ■■i hàng ■■■c tùy ngu■n 5/2014; 123doc, v■i ■■■c ý cóg■i t■ng th■ tài 123doc v■ mô nguyên b■n d■ ng■■i ■■a t■ dàng s■ v■■t d■■i tri dùng ■■■c ch■ tra th■c m■c ■ây) email c■u M■c h■■ng quý 100.000 cho tài b■n tiêu báu, li■u b■n, nh■ng ■ã hàng phong m■t l■■t tùy ■■ng ■■u quy■n cách truy thu■c phú, ky, c■a c■p ■a l■i b■n vào 123doc.net m■i d■ng, sau xác, vuingày, n■p lòng “■i■u nhanh giàu ti■n s■ ■■ng tr■ giá Kho■n chóng h■u thành tr■ nh■p 2.000.000 website ■■ng Th■a th■ email vi■n th■i Thu■n c■a thành mong tài v■ li■u viên mu■n S■ online ■■ng D■ng click t■o l■n ký, D■ch ■i■u vào nh■t l■t link ki■n V■” vào Vi■t 123doc top sau cho Nam, 200 ■ây cho ■ã cung các (sau g■iwebsite c■p users ■âynh■ng ■■■c cóph■ thêm tài bi■n g■i thu li■u t■t nh■t nh■p ■■c T■it■i khơng t■ng Chính Vi■tth■i th■ Nam, v■y ■i■m, tìm t■123doc.net th■y l■chúng tìm ki■m tơi th■ racóthu■c ■■i tr■■ng th■nh■m c■p top ngo■i 3nh■t ■áp Google tr■ ■KTTSDDV ■ng 123doc.net Nh■n nhu c■u ■■■c theo chiaquy■t danh s■ tài hi■u li■udo ch■t c■ng l■■ng ■■ng vàbình ki■mch■n ti■n online website ki■m ti■n online hi■u qu■ uy tín nh■t Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thơng 4) Cơng thức tính ngun hàm :  dx  x  C x x x  e dx  e  C x  1  x dx  +C (   -1)  1 1   dx= +C (   1) (  1) x  1 x  dx=ln x +C  sin xdx   cos x  C  cos x dx = tanx+C x  a dx  10 ax C ln a  cos xdx  sin x  C  sin x dx= - cotx+C 5)Định nghĩa tích phân Cho hàm số y =f(x) liên tục a, b Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) a, b Hiệu số F(b)- F(a) gọi tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em định a, b hàm số f (x), kí hiệu  b a f ( x)dx Ta cị n dùng kí hiệu F ( x) ba  F (b)  F (a) Ta cò n gọi  b a dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f(x)dx biểu thức dấu tích phân f(x) hàm dấu tích phân 6) Phương pháp đổi biến số Định lí : Cho hàm số f(x) liên tục  a; b  Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục đoạn  ,   cho  (a)  a, (  )  b a   (t )  b với t thuộc  ,    b a  f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt  7) Phương pháp vi phân: Khi gặp tích phân có dạng I =   f (u )u dx ' Vì du = u’dx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông    f (u)u dx   f (u )du  F (u )   F ( )  F ( ) '  8)Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục  a; b  : b  b b  u ( x)v ( x)dx   u ( x)v( x)   v( x)u ' ( x)dx a a a ' b hay b b  udv  uv a   vdu a a Áp dụng cơng thức ta có qui tắc cơng thức tích phân phần sau:  Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv  uv dx cách chọn phần thích ' hợp f(x) làm u(x) phần lại dv  v ( x )dx '  Bước 2: Tính du  u dx v  sa b  Bước 3: Tính b   dv  v ' ( x)dx sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em ' b vdu  vu ' dx uv a a a    Bước 5: Áp dụng công thức Thực trạng thực tế chưa thực SKKN giải pháp Khảo sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm đề gồm câu hỏi thời gian 45 phút Đề Bài tốn 1: Tính tích phân sau   d (sin x) sin x Bài tốn 2: Tính tích phân sau   sin xdx  cos x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thơng Bài tốn : Tính tích phân sau   x cos xdx Kết học sinh chưa triển khai SKKN Điểm Số lượng 5 10 Phần trăm 12,5 7,5 12,5 25 12,5 17,5 12,5 - Các em hầu hết làm câu Tuy nhiên câu 2,3 có số học sinh giải chưa thực trọn vẹn Một số học sinh thực việc đổi biến câu quên không đổi cận Một số học sinh chưa nắm vững cơng thức tích phân phần Các em muốn có lời khuyên để tiếp cận các tập sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em * Giải pháp mới: Tơi đưa tốn Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích mơn học cho học sinh Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thơng Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập tổng qt, cụ thể hóa tốn - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết quả, tốn Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Bài tốn 1: Tính tích phân sau: d (1  2e x ) 0  2e x ex b) 0 dx  2e x 1.1 a) d (1  2e x )  2e x 0  2e x  ln  2e  ln b) Cách 1: sa a) sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Giải Nhận xét: Ta có 1  2e x   2e x  2e x dx  d (1  2e x )  e x dx  d (1  2e x ) ' Từ đó: ex 1 d (1  2e x ) 1  2e x dx = 0  2e x 0  2e x  ln  2e  ln du Cách 2: Đặt (1+2e x ) = u, du =2e x dx  e x dx  x   u    x   u   2e ex 1 2e du 0  2e x dx = 3 u  ln u 1 e  1  2e ln Bì nh luận: - Cách thực chất phép đổi biến giống cách Đây phương pháp dựa vào vi phân để tính tích phân - Tuy nhiên sử dụng cách số tập có nhiều ưu điểm + Khơng cần thực phép đổi cận không cần thiết + Cách làm ngắn gọn, đơn giản, không nhiều thời gian Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng - Ở cách biến đổi dài số tập tích phân phức tạp cồng kềnh phương pháp đổi biến lựa chọn thích hợp để tránh nhầm lẫn - Trong giảng dạy giáo viên nên định hướng cho học sinh làm tập nhiều cách, vừa có mục đích khắc sâu, củng cố kiến thức, qua em chọn cho cách giải thích hợp, tối ưu cho dạng tập đồng thời phát triển tư sáng tạo cho em - Trong trì nh học, phương án gọi phát triển tư tập giải xong để tạo nên tập khác Giáo viên làm mẫu trước sau hướng dẫn em làm theo Cách tạo tập từ 1.1 1 ex ex = + ) dx x dx 0 0  2e x dx  2e x x3 1  2e 1  2e = 10  ln = + ln 3 3 *)Từ 0 ( x  Vậy ta có tốn mới: x  e x  x 2e x 1)Tính tích phân: 0 dx (A-2010)  2e x 1 x (1  2e x )  e x ex dx = ( x )dx  0  2e x 0  2e x sa x  e x  x 2e x 0  2e x dx = sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Khi giải tập ta làm sau: Sau tiếp tục làm x  e x  x 2e x 1  2e 0  2e x dx = + ln     ex ex 2 2 *) 0 (sin x  cos x  )dx =  sin xdx +  cos xdx +  dx 0  2e x  2e x   =  cos x 02  sin x 02  ln  2e x     =  (cos  cos 0)  sin  sin  (ln  2e  ln  =  (ln  2e  ln Hay    ex (sin x  cos x)(1  2e x )  e x (sin x  cos x  ) dx = dx 0  2e x  2e x  sin x  cos x  2e x sin x  2e x cos x  e x = 02 dx  2e x  sin x  cos x  e x (2 sin x  cos x  1) = 02 dx  2e x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Vậy ta có tập 2)Tính tích phân    sin x  cos x  e x (2 sin x  cos x  1) dx ( Đáp số:  (ln  2e  ln 3) x  2e *) 0 (1  ex )dx   2e x  ex 1  2e 1  2e dx  x 10  ln =1ln x 01  2e 3 dx -  Hay  ex 1  2e dx ( Đáp số 1- ln ) x  2e 3)Tính tích phân: 0 Tương tự ta sáng tạo loạt tập sau: 1.2) Tính tích phân  d (1  sin x)  sin x  cos xdx b) 04  sin x   sin x c ) 04 dx ( B-2003)  sin x  sin x  cos x  sin x.sin x dx d) 04  sin x   d (1  sin x)  ln  sin x  sin x a) 04 b) c)  ln 2 cos xdx d (1  sin x) = 04  ln  sin x  sin x  sin x   sin x dx  sin x  = 04    ln cos x  d (1  sin x) dx =   ln  sin x  sin x  sin x  d)      sa Giải: sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em a) sin x  cos x  sin x.sin x dx   sin x =   cos x (sin x  )dx   sin x   cos x 1        ln 2 sin x  sin x.sin x  cos x dx  sin x sin xdx     cos x dx   cos x 04  ln  sin x  1  1)  ln  ln =  (cos  cos 0)  ln  ( 2 2  ln 2 1.3) Tính tích phân Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông  d ( x sin x  cos x) x sin x  cos x  x cos xdx b) 04 x sin x  cos x  x sin x  cos x  x cos x c) 04 dx( A  2011) x sin x  cos x  x sin x  sin x cos x  x cos x d) 0 dx x sin x  cos x a)  Giải a) b)   d ( x sin x  cos x)  ln x sin x  cos x x sin x  cos x  x cos xdx d ( x sin x  cos x) = 04  ln x sin x  cos x x sin x  cos x x sin x  cos x    ln 2   1    4    ln 2   1    4 Theo khảo sát phần trước, theo phương pháp truyền thống thông thường học sinh làm xong toán   x cos xdx x sin x  cos x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em giáo viên dừng lại Sẽ khơng có định hướng để em tiếp tục phát triển tư duy, khơng có nhiều em giải xác tốn thi đại học A2011, người thầy sử dụng theo phương pháp đưa toán tương tự liên hệ chúng với nhờ học sinh dễ dàng giải toán tưởng chừng phức tạp.Từ giúp tư em linh hoạt hơn.Các em giải nhanh tập c)   x sin x  cos x  x cos x dx  x sin x  cos x   = 04 dx  04   (1  x cos x )dx x sin x  cos x  x cos xdx 2    2   x 04  ln 1   =  ln 1   x sin x  cos x  4  4   x sin x  sin x cos x  x cos x sin x( x sin x  cos x)  x cos x d)  dx =  dx x sin x  cos x x sin x  cos x    x cos x x cos x = 04 (sin x  )dx =  sin xdx +  dx 0 x sin x  cos x x sin x  cos x  =  cos x + ln = ( 2  2    1    (cos  cos 0) + ln 1    4  4 2 2    + ln 1    1) + ln 1   =  2  4  4 1.4)Tính tích phân a)   esin x d sin x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông     b)  esin x cos xdx c)  (esin x  cos x) cos xdx ( ĐH- D-2005) d)  (esin x  2) cos xdx e)  (esin x  sin x) cos xdx Giải  esin x cos xdx =  esin x d sin x  esin x 04  e  (esin x  cos x) cos xdx =  esin x cos xdx +  cos x dx  d sin x  e     1      sin x  1 4 cos x dx + dx 2 0 1  2 1   d) 04 (esin x  2) cos xdx =  2 1 1  sin x 04  x 04 = e =e -   0 cos x  dx = e  2  1  2 2 e) 2 =e e 1  =e 2 e 2   sa  b) c) e  sin x sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em a)  sin x  e 2    esin x cos xdx +  cos xdx   sin  =e 2 1   (esin x  sin x) cos xdx =  esin x cos xdx +  sin x cos xdx =e 2 1    sin xdx  2 = e   cos x 04 = e   = e 1.5) Tính tích phân   a)  1  3sin x  d 1  3sin x  b)  c)   1 sin x  sin x sin x dx cos x  sin x dx (ĐH-A-2006) Giải Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng   1  3sin x  d 1  3sin x  = 2(1  3sin a)   b) 1 2  sin x  sin x  dx =   sin x  2 = (1  sin x)  1 2  x) sin xdx =  2  sin x 0   d 1  3sin x  1 2  c) Cách 1:   sin x  cos x  sin x 2  2 (1  sin x) = dx =    sin x  sin x  sin x 2 dx =  sin x  sin x dx Cách 2:    sin x cos x  sin x dx =  Đặt t = 1+3sin2x  sin x  sin x dx dt  sin xdx   t  4, x   t   sin x Khi 02 dx = 2 cos x  sin x sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Đổi cận sa x  dt  t t  Tổng quát:  Để tính I =  sin x cos xdx a cos x  b sin x dx(a, b  0) Ta đặt t = a2cos2x+ b2sin2x Bài toán 2: Xét tốn đơn giản Tính tích phân:   3sin x  cos x dx Bài làm:    3sin x  cos x dx =  cos x  sin x  02  437 Nhận xét: 1) Muốn đưa tích phân trở thành toán phức tạp ta làm sau: Bước 1: Phân tích sinx+4cosx = A( sinx- cosx) + B( sinx+cosx) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 10 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông t5 t3 = (   t ) 10     15 -Tích phân I2 có dạng b  sin 2n x cos k xdx ( k =1, n=0) a     1 12 cos xdx = (cos x  ) dx = cos xdx + dx 0 0 0 0   = sin x 02  x 02      (cos3 x  1) cos xdx =  15 2) Tính tích phân( ĐHQGHCM-2000)   sin xdx Giải: Nhận xét: sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  Tích phân  sin xdx b  sin 2n x cos k xdx ( k =0, n=2) a Hạ bậc   sin =     cos x  xdx =    dx =   cos x  cos x dx 40  0        1 dx -  cos xdx +  cos 2 x dx  20 40 40    14 14 14 =  dx -  cos xdx +  cos x  1dx 20 80 40   = x 04 - sin x 04 + =   1 sin x 04  x 04 32    8    16 32 32 3) Tính tích phân( ĐHSPHCM-2000) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 20 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng   cos xdx Giải Nhận xét  Tích phân  cos xdx b  sin 2n x cos k xdx ( k =2, n=0) a Hạ bậc      cos x  0 cos xdx = 0   dx = 0  cos x  cos x dx        1 =  dx +  cos xdx +  cos 2 x dx 20 40 40 =    1 dx +  cos xdx +  cos x  1dx  20 80 40 1 4   3 =   8 1 sin x 0  x 0 32 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em = x 0 + sin x 0 + 4) Tính tích phân( ĐHQGHCM-1998)   sin x cos3 xdx Giải: Nhận xét  Tích phân  sin x cos3 xdx tích phân có dạng b  sin 2n x cos k 1 xdx ( Trong n=1, k =1) a Đặt t = sinx  dt  cos dx Đổi cận: x   t  0, x    t 1 1   sin x cos3 xdx =  sin x cos x cos xdx =  t (1  t ) dt 0 1 0 =  (t  t )dt   t dt   t dt t t 5 = (  ) 10    15 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 21 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Bì nh luận: Thơng qua tốn thấy sau giải xong tập , việc hệ thống lại dạng tổng quát tập việc vơ cần thiết điều làm học sinh khắc sâu kiến thức giải loạt tập tương tự, giúp em hứng thú say mê việc sáng tạo tập mới, góp phần phát triển tư cho em Bài tốn 5: Tính tích phân 5.1   dx sin x  cos x  Nhận xét: Đây tích phân biểu thức có đồng thời xuất hàm sinx cosx, ta cần biểu diễn sinx cosx theo ẩn phụ đó, tan x x 2dt 1 t2 2t 1 t2 Sinx= , cosx = 1 t2 1 t2  Đổi cận: x   t  0, x   t  2dt  1 dt dx 1 t2  2    ln t  10  ln  ln  ln 0t 2 0 sin x  cos x  2t 1 t 2 2 2 1 t 1 t  dx 5.2) 02 sin x  cos x  x 2dt Đặt t = tan  dx  1 t2 2t 1 t2 Sinx= , cosx = 1 t2 1 t2  Đổi cận: x   t  0, x   t  2dt  1 dt dx 2dt 1 t2  2     5t  6t  6t sin x  cos x  1 t (t  1)(t  ) 2 3 2 1 t 1 t   1 1 1  1 dt =  dt -  = 0   dt 0t   t  t  1 t 1   5   1 1 1 1 1 ln t  10  ln t  10   ln  ln   ln  = ln  ln = ln 2 2 2 5 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Đặt t = tan  dx  Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 22 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Tổng qt: dx a sin x  b cos x  c x 2dt - Đặt t = tan  dx  1 t2 2t 1 t2 Sinx= , cosx = 1 t2 1 t2  d c - Đổi cận tính tích phân theo t Các tập tương tự Tính tích phân sau:  dx sin x   dx b) 02 cos x   dx c) 02 sin x  cos x  a)  5.3)  Tính tích phân:  sin x  16 cos x dx sin x  cos x Giải:  sin x  16 cos x sin x  16 cos x  sin x  cos x dx = 04 sin x  cos x dx  2(2 cos x  sin x)  4(2 sin x  cos x) = 04 dx sin x  cos x   cos x  sin x = 204 dx +  dx sin x  cos x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em   = 2  d (2 sin x  cos x) + 404 dx sin x  cos x  = 2ln sin x  cos x 04 +4  =2 ln  + Nhận xét: Trong tập ta tách sin x  16 cos x 2(2 cos x  sin x)  4(2 sin x  cos x)  sin x  cos x sin x  cos x Vậy làm để tách vậy, hệ số tìm nào? Ta có (2cosx-3sinx)= (2sinx+3cosx)’ Phương pháp: Tách 2sinx+16cosx =A(2cosx – 3sinx) + B(2sinx + 3cosx) Hay 2sinx + 16 cosx =(2B – 3A)sinx + (2A + 3B)cosx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 23 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Đồng hệ số ta 2 B  A  A    2 A  3B  16  B  Vậy sin x  16 cos x 2(2 cos x  sin x)  4(2 sin x  cos x)  sin x  cos x sin x  cos x Tổng quát:Tính tích phân b  a m sin x  n cos x dx a sin x  b cos x Bước 1: Đưa msinx + ncosx = A(asinx + bcosx)’ +B(asinx + bcosx) Bước 2: Đồng hệ số để tìm A B Bước 3: Tách b  a m sin x  n cos x dx thành tổng tích phân a sin x  b cos x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Các bước sáng tạo tập để có hệ số A, B đẹp: -Lấy mẫu số Ví dụ: 5sinx + 3cosx -Tính đạo hàm mẫu số ( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx - Lấy A, B số , ví dụ A=1, B =5 Tử số = (5cos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx ) = 22 sinx+20cosx Vậy ta có tập tích phân   22 sin x  20 cos x dx sin x  cos x Với cách làm ta tạo vơ số tập tích phân với kết số đẹp Giáo viên định hướng cho em học sinh thực em hứng thú say mê tìm tịi hơn, giúp em phát triển tư duy, kết học tập tốt nhiều Ta có tốn tương tự sau:Tính tích phân 1) 2) 3) 4) 5)  11sin x  10 cos x dx sin x  cos x   sin x  cos x 04 3sin x  cos x dx  19 sin x  cos x 04 sin x  cos x dx   sin x  cos x 04 sin x  cos x dx  13 sin x  14 cos x 02 sin x  cos x dx  Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 24 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thơng  5.4) Tính tích phân: 02 sin x  cos x  dx sin x  cos x    sin x  cos x  cos x  sin x  4(sin x  cos x  1)  dx = dx  sin x  cos x  02 sin x  cos x     cos x  sin x = 02 dx +4  dx -2  dx 0 sin x  cos x  sin x  cos x     d (sin x  cos x  1) 2 = 0 +4 0 dx - 02 dx sin x  cos x  sin x  cos x     =ln sin x  cos x  02 +4x 02 - 02 dx sin x  cos x   dx = ln2 ( Áp dụng phương pháp giải tập 5.1 5.2) sin x  cos x   sin x  cos x   2 dx   -2ln2 sin x  cos x  Với  Tương tự cách làm tập 5.3 ta có phương pháp tổng quát để làm dạng tốn sau: Tổng qt:Tính tích phân m sin x  n cos x  k dx a a sin x  b cos x  c b sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  Bước 1: Đưa msinx + ncosx + k = A(asinx + bcosx + c )’ +B(asinx + bcosx +c) + C Bước 2: Đồng hệ số để tìm A B, C Bước 3: Tách  b a m sin x  n cos x  k dx thành tổng tích phân a sin x  b cos x  c Các bước sáng tạo tập để có hệ số A, B đẹp: -Lấy mẫu số Ví dụ: 5sinx + 3cosx+2 -Tính đạo hàm mẫu số ( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx - Lấy A, B, C số bất kì, ví dụ A=1, B =5, C=5 Tử số = (5cos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx+2 )+5 = 22 sinx+20cosx+5 Vậy ta có tập tích phân   22 sin x  20 cos x  dx sin x  cos x  Ta có tốn tương tự sau:Tính tích phân 1)   sin x  cos x  dx sin x  cos x  Bài tốn Tính tích phân: Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 25 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng 6.1)I=  ( 2 6.3) K= t  )dt t 1 6.2)J =  ( 1 )dt  t  t 1 1  ( )dt  t2 t2 t t 6.4) M =  (  )dt 1 6.6) F =   t  t   dt 6.5) E=  1 t2 0   dt t  1 Bài làm 6.1) I =ln t  2 1 1 ) =ln )  (ln  ln 2 - ln t  = (ln  ln 5 6.2) J = ln t  - ln t  = (ln  ln1)  (ln  ln 2) =ln 1 4 ( ln t  - ln t  )= ((ln  ln1)  (ln  ln 5) ) = ln 4 3 3 dt dt 6.4)M =    = ln t 32 -2  t  dt =ln  t t 2 6.3) K = 6.5) Đặt t =tan u sa M= 1 (1  tan u )du 0  tan u = dt 0  t = t t 2    sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em dt = 1  tan u du t=  u  , t   u   du =  u 04 =  11 6.6) F =    2t  ln t   10   ln  3 Nhận xét bình luận 1)Trên tập tích phân đơn giản nhiên dạy đến tập ta không nên dừng lại đó, giáo viên nên hướng dẫn em xây dựng hệ thống tập hệ thống tập bản, sau nâng thành dạng tổng quát, xây dựng hệ thống tập tương tự tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo Cách sáng tạo tập mới: Bước 1: Biến đổi toán ban đầu Bước 2: Thay t hàm số biến x để tạo tập Ví dụ: t= 2x+1,t =sinx, Bước 3:Tạo tập 2) Bài tốn biến đổi thành: tốn 6.1) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 26 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng  I= 2 1 (t  )(t  1) dt  (2t  1)(t  1) = dt   2t 2 dt =ln  3t  *) Đặt t = cos x từ suy dt = dcosx = -sinx dx   x  , cos x   x  Đổi cận cos x  Vậy I =   cos    sin xdx sin xdx sin xdx   x  cos x  cos x  cos x  cos x  cos x  2 Vậy ta có tập  sin xdx cos x  cos x  1)Tính tích phân:  (Đề thi thử trung học phổ thông quốc gia chuyên Hưng Yên 2015) *) Đặt t = cosx dt = -sinxdx  x  sin xdx dt   =  2t  3t   cos x  cos x  2 Vậy ta có tập mới: 2) Tính tính phân:   sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Đổi cận t   x  0, t   sin xdx cos x  cos x  x ta có dt = dx 2 x Đổi cận t   x  2, t  2 dx dx   22   x x x  3x  22  1 *) Đặt t = Vậy ta có tập 3)Tính tính phân: x 2 dx  3x  Bài toán 6.2 1 1    t  t  t  t  1 t  3t  *)Nếu đặt t =e x  dt  de x  e x dx Đổi cận e x   x  ln 3, e x   x  ln Biến đổi Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 27 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông 1   2x t  t  e  3e x  ln ln e x dx dx Vậy J =  x   x x e  3e  ln e  2e  x  ln Vậy ta có tập ln dx (ĐH- khối B -2006) x e  e  ln 1)Tính tích phân:  x *) Nếu đặt t = x3 dt =3x2dx Đổi cận x   x  3 , x   x  3 x dx x  3x3  J=  Ta có tốn mới: 3 x dx  x  3x3  2) Tính tích phân: 1 1    t  t  t  t  1 t  3t  Nếu đặt t = 1+x  dt  d (1  x)  dx Đổi cận x    x  2, x    x  1 1    2 t  t  ( x  1)  3( x  1)  x  x sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em *) Vậy J = ln dx e x dx ln e2 x  3e x   2 x  x Vậy ta có tập x 3)Tính tích phân: Bài tập 6.3:  ( dx x 1 )dt =  dt  t2 t2 t 4 đặt t = x   dt  x x 4 dx t =3  x  =3 lấy x = t =4  x  =4 lấy x = 2 Từ ta có K = 4 3 t  4dt = 2  xdx x  x 2 = 2  dx x x2  Ta có tập mới: Tính tích phân: 2  dx x x2  (đại học khối A _2003) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 28 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng *) Bằng cách làm hồn tồn tương tự ta có tốn: 2) Tính tích phân dx x x  (đại học An Ninh -1999) *) Xét tốn ( ĐH – B 2012) Tính tích phân x3 0 x  3x  2dx Giải: Đặt t = x2 suy dt = 2xdx Với x =0 t = 0, x =1 t = 1 x3 dx Khi  x  3x  = 1 x 2 x 0 ( x  1)( x  2)dx  tdt 0 (t  1)(t  2)  0 ( t   t  1)dt t2 dt t2 = (ln t   ln t  ) 10  ln  ln t t Bài toán 6.4) M =  (  )dt =  Đặt t =2 + lnx dt =d lnx = dx x 2 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em t = ln x =0 từ x =1 t = 3thì ln x =1 từ x = e ln x = t-2 ; 2 ( t  t )dt = e  dx  dt x dx ln x x dt = 2  ln x 2 e ln xdx x(2  ln x)  Ta có tập 1) Tính tích phân: e ln xdx ( Đại học khối B -2010) x(2  ln x)  * ) Đại học khối B -2010 ngồi cách làm ta cị n có cách làm khác sau: +) Phương pháp đưa vào vi phân: e ln xdx = x(2  ln x)  e = d (2  ln x) (2  ln x) = ln3- ln2 - e e  ln xd (2  ln x) = (2  ln x)  2d (2  ln x) = ln  ln x 1e  2 (2  ln x) e 2  ln x  1 1 e = ln   (2  ln x  2)d (2  ln x) (2  ln x) e  d (2  ln x) (2  ln x) + ) Phương pháp tích phân phần: Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 29 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Đặt  u ln x  dv  dx  x ( 2ln x )2 Từ suy e ln xdx e 1 x(2  ln x)2 =- lnx  ln x + 1 1 =  ln  ln x 1e   ln 3 e   du  1x  v 1  2ln x dx 1 =  x(2  ln x) e  d (2  ln x) (2  ln x) sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Nhận xét bình luận: Ở tập có sử dụng phương pháp tích phân phần, phương pháp sử dụng ?, cách đặt u, dv cho nhanh hiệu quả? Dấu hiệu: Thường sử dụng có loại hàm khác trở lên Cách đặt u, dv : Ta thường ưu tiên u theo thứ tự sau: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ Giải thích: log( hàm loga) Nhì đa( hàm đa thức) Tam lượng( hàm lượng giác) Tứ mũ ( hàm số mũ) Ví dụ: D-2006 Tính tích phân: e  ( x  2)e 2x dx Ta có dấu tích phân có hàm đa thức hàm số mũ, đặt u = x-2, dv=e2xdx *) Nếu ta đặt t =sinx +2 : Sinx + = x=0  dt = dsinx = cosx dx  dt =cosx dx Sinx + = x= t2 sin x    t t t sin x  22  (t  t 2  sin x cos xdx = (sin x  2) )dt =   sin x cos xdx (sin x  2)  Vậy ta có tốn 2)Tính tích phân:  sin x cos xdx (sin x  2)  Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 30 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Bài tốn 6.5 E= dt 1 t 1 Vậy dt = 1  dx x x   1 1+ t2 =1+ (x- ) = x2 + -1 x x t =0 x-   x   lấy x=1 x 1 t =1 x-   x  x   lấy x= x  1  1 1  dx 2  x dx dt x   =  0  t = 1 x  x 1 x  1 x *) ta đặt t = x -   Vậy ta có tốn  dt 1 t  x4  x2  ( Đại học Ngoại Thương 2001)  12 sa Ta có 1  x dx sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em 1) Tính tích phân 1 x2  t     xdx  tdt  *) Đặt x   t  t =  x   lấy x =2 t =  x   lấy x = dt 1  t  xdx  x 2t  2  dx x  1x Có tốn sau 2) Tính tích phân:  dx x  1x ( Đại học Bách Khoa Hà Nội 1995) * ) Đề đại học BÁCH KHOA HÀ NỘI cịn có cách làm khác sau: sin tdt  dx  cos t cos t 1    x   cos t   cos t   t    x     cos t   t    cos t Đặt x = Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 31 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông x x2    sin tdt dt dx sin tdt cos t = = =   1 sin t x  1x   sin t 4 cos t cos t   1 1 1   cos t = sin t cos t cos t cos t cos t cos t cos t     dt =    dt Vì    4 3 t   ,   sin t   12 Bài toán 6.6  t2 1   tdt Biến đổi   t  t   dt =2   t  1 t   0 0 Đặt t = x  t2 =x-1 hay x = t2 +1 từ dx=2tdt Đổi cận t   x  1, t   x  Vậy  t2 1  xdx  tdt =    t 1  x 1  1 1 0   Ta có tốn sau xdx   ( ĐH _ A _2004) x 1  1 1 sa sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em  Tính tích phân :   * Bài tốn A-2004 cị n có cách làm khác sau dx  2(t  1)dt Đặt t = + x     x  t  1  Đổi cận x   t  2, x   t     t  1t  12  dt   xdx  2 =2   1  x    1   t   t  3t  4t   dt 1  t    t3 11 t2 =2   t  3t   dt =    4t  ln t  12   ln t  3 1 Tổng quát b    a p( x)  dx với p(x) đa thức chứa x, m, n, c số ta đặt ax  b  c  t = ax  b +c t = ax  b Bằng phương pháp ta giải tập sau: 1) Đại học ĐN -1997 Tính tích phân  dx   x  1 2 I =  Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 32 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng 2) Dự bị DDH1 A -2007 Tính tích phân  x  1dx   J =     2x    3) ĐHSPQN-1999 Tính tích phân  ( x  1)dx    x   T=   4) CĐXD -2005 Tính tích phân ( x  3)dx   x 1  x  3 1  T=   5) ĐH D-2009 Tính tích phân dx M=   x   e 1 x  3x  1 x  x dx ( ĐH_ Khối B-2014) sa 6) Với toán I = sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Ta làm sau : lấy tử chia mẫu ta x  3x  1 x  x dx = 2 2x  d ( x  x) 1 dx + 1 x  xdx = x + 1 x  x = 1+ln x  x 12   ln 7) ĐH D -2013 Tính tích phân 1 ( x  1) 2x 0 x  = 0 dx + 0 x2  dx 1 d ( x  1) = x 10  ln x  10   ln 2 x  =  dx +  8) ĐH D -2011 Tính tích phân  4x  dx 2x   Đặt t = x   x  2(t  1), dx  tdt Đổi cận x =  t  1; x   t   3 10 2t  3t 4x  dx =  )dt dt   (2t  4t    t t  2x   1 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 33 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng   2t 34  10 ln  2t  5t  10 ln t   13    =  Bì nh luận : Bài tập hàm đa thức biến đổi thành 4 dt t 4 dt a)  2t  3t  b)  2 t2 dt t2 d)   t2 1 tdt t   0 f)   c)  dt 1 t2  t  3t  4t   dt t  1 e)   *Vậy câu a,b gặp tích phân hàm đa thức f(x) mà mẫu số có bậc lớn bậc tử số mà mẫu phương trì nh bậc : ax2 +bx +c có nghiệm x1, x2 ta làm ? Phương pháp: Phân tích mẫu số thành nhân tử đưa f(x) dạng f(x) = cx  d a ( x  x1 )( x  x2 ) A B  x  x1 x  x2 sa Phân tích f(x) = sa ng sa ng ki sa ng ki en sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng sa ng ki en kinh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem en ki ng sa ki em nh sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem sa ng ki en kinh em sa ng ki en kinh ng nghi hiem ng ki en kinh em ki en kinh ng nghi hiem en ki em ki nh ng hiem nh ng hi ng hiemem hi em Sử dụng phương pháp hệ số bất định Từ tách tích phân phức tạp trở thành tổng hai tích phân đơn giản *) câu c ta tách thành tổng tích phân f(x) = ax  b A B   (cx  d ) cx  d cx  d 2 *) Ở câu d mẫu khơng phân tích thành nhân tử hay nói cách khác phương trì nh ax2 +bx +c =0 có   phân tích ax2 +bx +c = a  ( x-x1)2 + m2  Đặt x- x1 = mtant sau sử dụng phương pháp đổi biến số *) Ở câu e f f(x) đa thức có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải sử dụng phương pháp chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số để từ tích phân phức tạp chia thành tích phân đơn giản Cách sáng tạo tập tích phân phức tạp thực tổng tích phân đơn giản, giáo viên tự tạo tập nhằm tạo nên cho thân tài liêu phong phú Vậy việc dạy học tốn khơng nên dừng lại việc giải tập sau gấp sách lại ta nên xem xét lật lật lại tốn xem có cịn cách để giải tập khác khơng , tập có liên hệ với tập khác không? Nếu giáo viên giúp cho học sinh thường xuyên luyện tập kĩ em học sinh cảm nhận môn tốn khơng cịn khó khơ khan nữa, em thấy hứng thú học mơn tốn nhiều Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 34 ... = 2  xdx x  x 2 = 2  dx x x2  Ta có tập mới: Tính tích phân: 2  dx x x2  (đại học khối A _20 03) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 28 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường. .. x  2) d (2  ln x) (2  ln x) e  d (2  ln x) (2  ln x) + ) Phương pháp tích phân phần: Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 29 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông. .. A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Bài tốn : Tính tích phân sau   x cos xdx Kết học sinh chưa triển khai SKKN Điểm Số lượng 5 10 Phần trăm 12, 5 7,5 12, 5 25