Bài thuyết trình: CHƯƠNG 6: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Cơ học lượng tử Quantum mechanics GVHD:PGS-TS Võ Thành Lâm CHƯƠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂ Particle motion in the radial NHÓM NGUYỄN THỊ 3116022030 HỒNG VY NGUYỄN THỊ 3116022031 NGỌC VY NGUYỄN THỊ 3116022027 NGỌC TÚ NGUYỄN 3116021016 MINH TUẤN Giới thiệu-Introduction • Trong chương trước, sinh viên tìm hiểu phương trình schrodinger Đến chương tìm hiểu phương trình Schrodinger hạt trường xuyên tâm với hệ tọa độ sử dụng hệ tọa độ cầu Bài toán thực tế ứng với trường hợp toán nguyên tử Hydro ion tương tự Các tính chất lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro khảo sát cách chi tiết • In the previous subject, we learned about Schrodinger’s equation In this subject will learn about Schrodinger equation of particle in the case of radial coordinate system used with the spherical coordinates The real math problem in this case is the problem of hydrogen atoms and ions similar.The nature of energy and electron wave function of hydrogen atoms will be examined in detail • Sau học xong chương này, sinh viên nắm cách giải phương trình trị riêng tốn tử mơmen tồn phần toán tử lượng trường xuyên tâm Sinh viên giải toán liên quan đến xung lượng, lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro • After completing this subject, We will understand how to solve the equation of the operator torque eigenvalues and full of energy operators in the radial.We will also solve the problems related to energy and momentum of the electron wave functions of hydrogen atoms Content Nội dung Chương Chuyển động hạt trường xuyên tâm Particle motion in the radial 1.Tốn tử mơmen xung 1.1 Khái niệm trường xun tâm 1.2 Tốn tử mơmen xung lượng 1.3 Các đặc điểm hạt chuyển động hạt trường xuyên tâm 2.Phương trình Schrodinger trường xun tâm 2.1 Phương trình bán kính phương trình góc 2.2 Khảo sát phương trình bán kính 3.Bài toán nguyên tử Hydro ion tương tự 3.1 Giá trị âm lượng electron nguyên tử 3.3 Kết luận toán nguyên tử Hydro ion tương tự Hydro 3.2 Năng lượng hàm sóng electron nguyên tử Hydro ion tương tự 4.Sự phân bố electron nguyên tử Hydro 4.1 Sự phân bố electron theo bán kính 4.2 Sự phân bố electon theo góc 5.Bài tập §1 :TỐN TỬ MÔMEN XUNG LƯỢNG Inherent angular momentum operators 1.1 Khái niệm trường xuyên tâm (The concept of the radial) Một trường lực gọi đối xứng xuyên tâm lực tác dụng điểm trường thỏa mãn điều kiện sau: • Đi qua điểm cố định tâm trường • Thế ứng với lực phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt đến tâm trường Khi nghiên cứu chuyển động hạt trường xuyên tâm có đại lượng động lực đóng vai trị quan trọng mơmen xung lượng Trước khảo sát chi tiết ta cần nghiên cứu cụ thể tốn tử mơmen xung lượng 1.2 Tốn tử momen xung lượng •Trong   chương ta sử dụng tọa độ cầu cho toán hạt chuyển động trường xuyên tâm Ta quan tâm đến hai thành phần tốn tử mơmen xung lượng Đó tốn tử hình chiếu mơmen xung lượng lên trục z (z) tốn tử mơmen xung lượng tồn phần (2) Trong chương II, ta biết thông tin tốn tử z, là: Dạng: Trị riêng: Hàm riêng chuẩn hóa: •   Trong tọa độ cầu, dạng toán tử là: với phần góc tốn tử Laplace có dạng: Ta chứng minh , nghĩa toán tử giao hốn với nhau, chúng có hàm riêng chung, ta gọi hàm •a)   Trị riêng toán tử Trước hết, ta đưa hai tốn tử bậc thang (ladder operater), có dạng sau: Ta chứng minh hệ thức sau Tác dụng hệ thức tốn tử lên hàm ta được: •Từ   phương trình trị riêng , ta tính được: Số hạng hàm riêng toán tử ứng với trị riêng Từ ta thấy tốn tử tác dụng lên hàm làm cho trị riêng toán tử thay đổi đơn vị : Như ta viết: Tốn tử gọi toán tử nâng (raising operator), toán tử gọi toán tử hạ (lowering operator) Vì trị riêng tốn tử hữu hạn nên giá trị m phải hữu hạn Giả sử ta đặt •   Bây ta tác dụng tốn tử lên hàm : Phương trình phương trình trị riêng tốn tử ứng với hàm riêng Như vậy, trị riêng toán tử là: , với Ta thấy rằng, ứng với giá trị có nhiều giá trị giá trị cực đại , •b)   Hàm riêng tốn tử Ta biết tốn tử , tốn tử , chúng hàm riêng chung Đây hàm điều hòa cầu có dạng phụ thuộc vào góc góc Ta ký hiệu hàm Phương trình trị riêng tốn tử là: Vì phụ thuộc vào góc nên hàm riêng tích hai hàm phụ thuộc vào biến riêng biệt: hàm riêng tốn tử Để tìm dạng cụ thể ta cần tìm dạng ••  Nên : dWnlm (r,,) = |nlm ( r,,) |2 r2dr sindd • Với d = sindd (r,,) = Rnl(r) (,) nlm dWnlm (r,,) = | Rnl(r)|2 r2dr |(,)|2d • Như xác xuất tìm electron nguyên tử tách thành số hạng độc lập 4.1 Sự phân bố electron theo bán kính ••  Mật độ xác suất tìm hạt khoảng bán kính từ : r  r + dr dWnlm (r,,) = |Rnl(r)|2 r2dr • Do điều kiện chuẩn hóa hàm cầu nên tích phân theo góc đơn vị =1 • Từ cơng thức tính mật đồ xác suất tìm hạt theo bán kính : 2 (r) = = |R (r)| r nl nl ••  Thay biểu thức hàm bán kính ứng với giá trị cụ thể n l ta biểu thức nl (r) ứng với trạng thái khác electron n l R nl(r) R10(r) = 2( • Do , mật độ xác suất có dạng 2 2 (r) = |R (r)| r = |2(| r nl nl = 4( r2 4.2 Sự phân bố electron theo góc ••  Mật độ xác xuất theo góc có nghĩa theo hướng khơng gian , trường hợp bán kính trải dài từ đến Xác suất tìm electron : dWlm (,) = |(,)|2d • Do điều kiện chuẩn hóa hàm bán kính nên tích phân theo bán kính đơn vị =1 • Mật độ xác suất tìm electron theo góc : (,) = = |(,)| lm ••  Thay biểu thức hàm cầu với giá trị cụ thể l m ta biểu thức lm (,) ứng với trạng thái electron Hàm phân bố xác suất theo góc trạng thái s,p d Đồ thị hàm vẽ hệ tọa độ cực Hàm phân bố xác suất theo không gian ba chiều Xác suất mô tả khoảng cách từ gốc tọa độ tới điểm bề mặt hình trịn xoay nhìn góc ••  Kết hợp phân bố theo bán kính theo góc ta phân bố xác suất electron không gian chung quanh hạt nhân nguyên tử biễu diễn phân bố toàn phần nlm ( r,,) = |nlm ( r,,) |2 Hàm phân bố xác suất toàn phần không gian ba chiều Độ sáng điểm hình vẽ tỉ lệ với xác suất tìm điện tử điểm §5 Bài tập Bài Đặt Chứng minh hệ thức sau: a) ; b) c) Lời giải a) Ta có Hệ thức giao hốn tốn tử hình chiếu momen xung lượng ( Điều cần chứng minh) 5.Bài tập Bài Đặt Chứng minh hệ thức sau: a) ; b) ; c) Lời giải b)  Xét Xét (1) (2) Như từ (1) (2) ta điều cần chứng minh:   5.Bài tập Bài Đặt Chứng minh hệ thức sau: a) ; b) ; c) Lời giải c) Trước hết ta tính tích của tốn tử : Thế (**) vào (*), ta được: = (*) Sử dụng hệ thức:  Ta có : (**) () T BÀI 2 : Tìm trị trung bình L2 ứng với trạng thái Y(= A Lời giải Điều kiện chuẩn hóa : () Thay A vào ta có = BÀI 2 : Tìm trị trung bình L2 ứng với trạng thái Y(= A Lời giải Hệ tọa độ cầu toán tử momen xung lượng ( ) (2) Thay (2) vào (1) ta được: Bài 3: Hàm sóng electron nguyên tử Hydro thời điểm t=0 có dạng: (1) Tính trị trung bình lượng Lời giải Trị trung bình lượng tính theo cơng thức (2) Thế (1) vào (2) ta được: Bài 3: Hàm sóng electron nguyên tử Hydro thời điểm t=0 có dạng: (1) Tính trị trung bình lượng Lời giải Vì nên : Vì nên CONCLUSION • In the chapter, we illustrate the separation of the threedimensional Schrodinger equation in the Descarter coordinate system by a few simple examples Describe the general properties of motion in a spherically symmetric field (radial field) with the V interractions only dependent on the distance r from the force field to the particle • Applying a three- dimensional Schrodinger equation for a one dimensional Schrodinger equation KẾT LUẬN • Trong chương này, ta minh họa việc tách biến phương trình Schrodinger ba chiều hệ tọa độ Descarter qua vài thí dụ đơn giản Trình bày tính chất tổng quát chuyển động trường có đối xứng cầu (trường xuyên tâm) với tương tác V phụ thuộc vào khoảng cách r từ tâm lực tới hạt • Đưa phương trình Schrodinger ba chiều phương trình Schrodinger chiều chứa biến số r ank you for your attenti ank you for your attenti ... dung Chương Chuyển động hạt trường xuyên tâm Particle motion in the radial 1.Toán tử mômen xung 1.1 Khái niệm trường xuyên tâm 1.2 Tốn tử mơmen xung lượng 1.3 Các đặc điểm hạt chuyển động hạt trường. .. Mặt khác, Chương V ta thấy mômen xung lượng ( ) hạt trường xuyên tâm tích phân chuyển động Đây hệ tính đối xứng cầu trường xuyên tâm 2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM Schrdinger... trục y có giá trị 1.3 Các đặc điểm chuyển động hạt trường xuyên tâm •Ta   nghiên cứu đặc điểm chuyển động hạt khối lượng trường xuyên tâm với Hamiltonian hạt trạng thái dừng : Dạng toán tử Laplace