Chuyển động của hạt trong trường điện từ

BDHSG Vật lý CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG ĐIỆN – TỪ A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một hạt có khối lượng m, điện tích q dương, bắt đầu chuyển động với vận tốc v theo hướng song song với trục ox trong một từ trường đều có cảm ứng từ B= ax (x ≥ 0). Hãy xác định độ dịch chuyển cực đại của hạt theo trục Ox. Giải: Ta thấy hạt chỉ chuyển động trong mặt phẳng Oxy. Gọi t v r là vận tốc của hạt tại thời điểm t. Do tác dụng của lực Lorentz t t F qB v= Ù ur ur ur vuông góc với t v r nên công của F L = 0, động năng của hạt đựơc bảo toàn. Ta có: x y y mv mv mv v v 2 2 2 0 1 1 1 2 2 2 = + ® £ = t v . * Theo định luật II Newton có qBv x = ma y ® Thay B = ax ; x dx v dt = ® qaxdx = mdv y ® qa y x V y xdx m dv 0 0 = ® ò ò y y mv qax mv mv x qa qa 2 2 2 2 = ® = £ Vậy x max = mv qa 2 Bài 2: Một điện tử (electron), chuyển động vào trong từ trường đều có cảm ứng từ B ur với vận tốc 0 v r vuông góc với cảm ứng từ B ur khu vực từtrường có tiết diện ngang là đường (hình) tròn bán kính R 0 , hướng vận tốc đi vào từ trường đến điểm A và qua tâm O tiết diện ngang của từtrường. Đặt màn (E) vuông góc với OA và cách O một khoảng là b (hình vẽ). Xác định độlệch của hạt đập trên màn (E) so với khi không có từ trường. Từ đó xét trường hợp v 0 khá lớn so với R 0 và B. Giải: Lực từ tác dụng lên ê là lực Lorentz làm ê chuyển động trên 1 cung tròn tâm O’ bán kính R, sau khi ra khỏi từ trường electron chuyển động thẳng đến đập ở M trên màn. IM = y là độ lệch của tia trên màn. Gọi C là điểm ê ra khỏi từ trường. Dựa vào hình vẽ ta có: · · MOI AO'C = = α 0 0 AC 2R sin 2R sin 2R cos 2 2 2 α π − α α   ⇒ = = =  ÷   0 R R cot 2 α ⇒ = Trần Quốc Toàn O x y v y v x v t B BDHSG Vật lý 0 R tan 2 R α ⇒ = Mặc khác bán kính chuyển động của hạt: 0 mv R eB = 0 0 eBR tan 2 mv α → = (1) Từ hình vẽ: y OItan btan = α = α , áp dụng công thức lượng giác: 0 0 2 2 2 0 0 2tan 2mv eBR 2 tan (mv ) (eBR ) 1 tan 2 α α = = α − − Khi v 0 đủ lớn so với B và R 0 , thì từ (1), suy ra: 0 0 2eBR tan mv α = Lúc đó: 0 0 2beBR y tan mv = α = Bài 3: Một từ trường đều có cảm ứng từ 2 2.10 ( )B J − = đặt vào khoảng không gian giữa 2 mặt phẳng P và Q song song với nhau, cách nhau 1 đoạn d=2(cm). Một electron có vận tốc ban đầu bằng 0 được tăng tốc bởi 1 điện áp U rồi sau đó được đưa vào từ trường nói trên tại 1 điểm A trên mặt phẳng P theo phương vuông góc với mặt phẳng (P). Hãy xác định thời gian electron chuyển động trong từ trường và phương chuyển động của electron khi nó ra khỏi từ trường trong các trường hợp sau đây? Cho 19 31 1,6.10 ( ); 9,1.10 ( ) e e C m Kg − − = = a) 3,52( )U kV = b) 18,88( )U kV = Giải: * Sau khi được tăng tốc trong điện trường, vận tốc của electron khi bắt đầu vào từ trường là v Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: 2 2 1 2 e U e U mv v m = ⇒ = (*) * Khi vào từ trường, electron chịu tác dụng của lực Loren tác dụng lên electron có phương và chiều như hình vẽ. Vì orl en F v → → ⊥ nên quĩ đạo chuyển động của electron là đường tròn và lực Loren đóng vai trò là lực hướng tâm orl en huongtam F F⇒ = 2 mv mv e vB R R e B ⇔ = ⇒ = (**) Thay (*) vào (**) ta được : 2 1 2 e U m mU R e B m B e = = Trần Quốc Toàn d QP A v e d QP A v B BDHSG Vật lý a) Khi 3 3,52 3,52.10 ( ) 1( )U kV V R cm = = ⇒ = Do R < d nên quĩ đạo chuyển động của electron là nửa đường tròn, bán kính R= 1(cm) và ra khỏi từ trường tại điểm A ’ , ngược với điểm vào từ trường. Thời gian electron bay trong từ trường là 10 1 2 . 9.10 ( ) 2 R R t s v v π π − = = = b) 3 18,88 18,88.10 2,3 2U kV V R cm d cm = = ⇒ = > = Nên electron ra khỏi từ trường tại 1 điểm trên mặt phẳng Q theo phương lệch với phương ban đầu 1 góc α xác định bởi : 0 2 sin 0,86 60 2,3 d R α α = = = ⇒ = Do đó cung AB có độ dài bằng 1/6 chu vi đường tròn Nên thời gian electron bay trong từ trường là : 10 1 2 . 3.10 ( ) 6 3 R m t s v e B π π − = = = Bài 4: Các electron qua O vào một miền D rộng L, trong đó có một từ trường đều không đổi. Ta xem ngoài miền D, từ trường bằng 0. Giả thiết bề rộng L của miền thỏa mãn: L << mv eB 0 = R hay: L eBL v mv 0 0 1 w = << với v 0 là vận tốc ban đầu của các electron cách O một đoạn D + L 2 có đặt một màn huỳnh quang. a) Xác định tung độ y P của điểm P tại đó electron ra khỏi miền D và góc α hợp bởi véctơ vận tốc của electron tại điểm đó với trục Ox. b) Suy ra vị trí của điểm chạm I trên màn. c) Xác minh rằng giá trị của véctơ PI ® đi rất gần điểm Q có hoành độ L 2 với những giả thiết nêu trên. Cho L = 1cm; hiệu điện thế tăng tốc V = 10KV; B = 3mT và D = 20cm. Giải: a) Trong miền D quỹ đạo của electron là một cung tròn tâm C (x C = 0 và y C = R = mv eB 0 ) Tại điểm P electron ra khỏi từ trường. Trần Quốc Toàn F loren d QP A v B α α O v B R 0 → v T D x I P α α C O L Q  BDHSG Vật lý có: y P = R(1 – cosα) X P = Rsinα (vì α nhỏ) L R sinaÞ = P L y L z 1 cos . sin a a a - Þ = = Với sinα L eBL R mv 0 a» = = P eBL y mv 2 0 2 Þ = Áp dụng số: v 0 = eV m s m 1 2 6 2 59,3.10 ( / ) æ ö ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç è ø α = eBL rad mv 3 0 0 89.10 5,11 - = = R = 11,2cm; L R 0,09= P y mm0,445Þ = b) Điểm chạm I có tung độ: y x = y P + D L tg D 2 a a - = = eBL mv 0 Þ y I = 1,78 (cm) c) OQ = Rsin L R 2 2 2 a a = = Þ Đường thẳng PI đi qua điểm O ở giữa OT. Bài 5: Một chùm electron được phun ra từ một sợi dây đốt nóng K và được gia tốc nhờ một điện áp U cho đến khi chui lọt qua một lỗ nhỏ trên một màn chắn nối đất. Hiệu điện áp gia tốc U phải bằng bao nhiêu để sau khi được gia tốc các electron đi theo đường tròn cách đều hai bản của một tụ điện trụ. Bán kính các bản tụ điện trụ là R 1 và R 2 , hiệu điện thế giữa chúng là U 0 . Giải: Gọi v là vận tốc sau khi gia tốc thì : 2 1 eU mv 2 = (1) Để các electron chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính r, lực điện trường đóng vai trò lực hướng tâm: 2 2 1 2 mv 2mv eE r R R = = + (2) Trần Quốc Toàn K U R 2 R 1 BDHSG Vật lý trong đó E là cường độ điện trường tại nơi có bán kính 1 2 R R r 2 + = . Thay mv 2 theo (1) được 1 2 4eU eE R R = + (3) Mặt khác, cường độ điện trường E trong tụ điện trụ và hiệu điện thế U 0 giữa hai bản tụ điện liên hệ với mật độ điện tích dài λ trên ống trụ trong theo các hệ thức: ( ) 0 0 1 2 E 2 r R R λ λ = = πε π ε + và 2 0 0 1 R U ln 2 R λ = πε nên ( ) 0 2 1 2 1 2U E R R R ln R = + (4) Thay vào (3) ta được 0 2 1 U U R 2ln R = Bài 6: Một hạt có khối lượng m và điện tích q chuyển động với vận tốc có độ lớn không đổi trong một vùng không gian có ba trường đôi một vuông góc nhau: đó là từ trường B ur = (0,B,0), điện trường E ur = (E,0,0) và trọng trường g r . Tại một thời điểm nào đó, người ta tắt điện trường và từ trường. Biết rằng động năng cực tiểu sau đó có giá trị bằng một nửa động năng ban đầu của hạt. Tìm các hình chiếu của vectơ vận tốc của hạt trên phương ba trường tại thời điểm tắt điện trường và từ trường. Giải: Lực tổng hợp F ur do điện trường và trọng trường tác dụng lên hạt là không đổi cả về độ lớn và về hướng. Lực Lorentz không sinh công (tức cũng không làm thay đổi độ lớn vận tốc của hạt), do đó hạt phải chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với lực F ur (nếu không, độ lớn vận tốc của hạt sẽ thay đổi). Vector cảm ứng từ cũng nằm trong mặt phẳng này, do đó hạt chuyển động thẳng, tức là tổng hợp tất cả các lực tác dụng lên hạt bằng không. Ta viết điều kiện này cho hình chiếu trên trục x: 2 2 0 z d x m qE qv B dt = − = ; suy ra: z E v B = (1) Khi tắt điện trường và từ trường, hạt sẽ chuyển động hướng lên với vận tốc ban đầu v 0 chỉ trong trọng trường. Tại thời điểm đạt tới độ cao lớn nhất, hạt có động năng cực tiểu và vận tốc có phương nằm ngang. Vì trọng trường không ảnh hưởng đến vận tốc theo phương ngang của hạt nên vận tốc này cũng chính là thành phần nằm ngang v n của vận tốc v 0 . Theo đề bài, động năng ban đầu lớn hơn 2 lần động năng cực tiểu sau khi tắt điện trường và từ trường, tức là 2 2 2 2 0 2 n z n v v v v = + = , suy ra: v z = v n . Do đó: 0 2 2 z E v v B = = (2) Khi hạt chuyển động trong các trường chéo nhau lúc đầu, các lực tác dụng lên hạt cân bằng nhau, đặc biệt theo trục z ta có: Trần Quốc Toàn BDHSG Vật lý x mg qv B = hay . x m g v q B = (3) Thành phần vận tốc theo phương y tìm được từ điều kiện: 2 2 2 2 0x y z v v v v+ + = (4) Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được: 2 2 . y E m g v B q B     = −  ÷  ÷     Bài 7: Có một chùm tia ion có mật độ đều, mang điện tích dương có dạng một hình trụ dài bán kính R. Mỗi ion trong chùm có điện tích q, khối lượng m, chuyển động với vận tốc v. Chứng minh rằng, tại bề mặt của chùm, mỗi ion chịu tác dụng của một hợp lực hướng ra phía ngoài chùm, tìm độ lớn của hợp lực tác dụng lên mỗi ion theo I, v, c, q. Với I là cường độ dòng điện tạo bởi chùm và c là vận tốc ánh sáng. Giải: + Do hình trụ dài nên bỏ qua tác dụng của hai đáy hình trụ. + Do tính đối xứng nên E ur vuông góc mặt bên hình trụ và E ur có độ lớn như nhau ở mọi điểm của mặt ngoài. + Gọi n là mật độ ion j là mật độ dòng điện Ta có: 2 2 . . I I j n q v n R R qv π π = = → = Áp dụng định lí O – G : 0 .2 Q E Rl π ε = Với 2 .Q n R l π = suy ra : 0 2 I E Rv πε = và E ur hướng ra ngoài. Lực điện trường tác dụng lên ion ở mặt ngoài: 0 2 d qI F qE Rv πε = = + Từ trường tại bề mặt : Áp dụng định lí Ampe: 0 0 .2 2 I B R I B R µ π µ π = → = Lực Lorentz tác dụng lên q: 0 2 L qv I F qvB R µ π = = + Hợp lực tác dụng lên q hướng ra ngoài: 2 2 0 0 2 0 0 (1 ) (1 ) 2 2 e L Iq Iq v F F F v Rv Rv c µ ε πε πε = − = − = − Với 2 0 0 1 c µ ε = Trần Quốc Toàn BDHSG Vật lý Bài 8: Xiclôtrôn là máy gia tốc hạt tích điện đầu tiên của vật lý hạt nhân (1931). Nó gồm có hai hộp rỗng có dạng trụ nửa hình tròn gọi là các D, đặt cách nhau một khoảng rất nhỏ (khe) trong một buồng đã rút hết không khí (hình vẽ). Các D được nối với hai cực của một nguồn điện sao cho giữa hai D có một hiệu điện thế với độ lớn U xác định, nhưng dấu lại thay đổi một cách tuần hoàn theo thời gian với tần số f nào đó. Một nam châm điện mạnh tạo ra một từ trường đều, có vectơ cảm ứng từ B ur vuông góc với mặt các D (mặt phẳng hình vẽ). Giữa hai thành khe của xiclôtrôn có một nguồn phát ra hạt α (khối lượng m α ) với vận tốc ban đầu là 7 0 v 10 m / s= vuông góc với khe, lúc ấy người ta điều chỉnh nguồn điện để cho D bên phải tích điện âm, D bên trái tích điện dương. Sau đó hạt α chuyển động với vận tốc tăng dần cho đến khi đủ lớn thì nó được lái ra ngoài cho đập vào các bia để thực hiện các phản ứng hạt nhân. Cho m α = 6,64.10 -27 kg, điện tích nguyên tố e =1,6.10 -19 C, B = 1T, U = 2.10 5 V. a. Chứng minh rằng trong lòng các D quỹ đạo của hạt α là nửa đường tròn. Tìm mối liên hệ của bán kính quỹ đạo vào khối lượng, vận tốc, điện tích của hạt α và vào cảm ứng từ B. Với chiều đi của hạt α như trong hình vẽ thì B ur hướng ra trước hay sau mặt phẳng hình vẽ? b. Nếu lần nào đi qua khe hạt α cũng chuyển động cùng chiều với điện trường do U sinh ra thì lần nào nó cũng được tăng tốc. Để có sự đồng bộ này, f phải thoả mãn điều kiện gì và lấy giá trị bằng bao nhiêu? Tính vận tốc v n của hạt α khi đi trên nửa đường tròn thứ n và bán kính R n của nửa đường tròn đó. Nếu bán kính của nửa đường tròn cuối là 0,5m thì hạt α đã chuyển động được khoảng bao nhiêu vòng? Tính vận tốc trước khi ra ngoài của nó? Giải: a. Trong lòng D chỉ có từ trường tác dụng, lực Lorenxơ lên hạt F 2ev B = ∧ r r r , e 0 > là điện tích nguyên tố. Lực Lorentz F v ⊥ r r nên là lực hướng tâm 2 m v 2evB R α = Suy ra quỹ đạo của hạt α là nửa vòng tròn, bán kính m v R 2eB α = (1) B r hướng từ phía trước ra phía sau (đi vào) mặt phẳng hình vẽ. b. Hạt α đi được một vòng thì U phải đổi chiều 2 lần, tức là chu kì chuyển động của hạt α và chu kì đổi chiều của U phải bằng nhau m 2 R 1 eB 2eB T f , 2 f v eB T m m α α α α   π π = = → = = ω = π =  ÷ π   (2) Trần Quốc Toàn ∼ ⊥ D D Bia BDHSG Vật lý 19 27 eB 1, 6.10 .1 f 7,67MHz m 3,14.6,64.10 − − α = = ≈ π Cứ mỗi một lần đi qua khe, hạt α lại thu thêm được một động năng bằng 2eU . Như vậy nếu hạt α qua khe lần thứ n và đi trên nửa vòng tròn n, động năng của hạt α tăng thêm một lượng 2neU . Động năng ban đầu của hạt là 2 0 0 1 K m v 2 α = . Như vậy động năng của hạt α khi đi trên nửa vòng tròn n là 2 2 0 0 n 1 1 K K 2neU m v 2neU m v 2 2 α α = + = + = . Vận tốc của hạt α khi đi trên nửa vòng tròn n là 2 n 0 4neU v v m α = + (3) Theo (1) bán kính của nửa vòng tròn n là 2 0 n n 4neU m v m m v R 2eB 2eB α α α + = = (4) Từ (4) suy ra 2 2 27 19 2 14 n 0 19 5 27 m 2eBR 6,64.10 2.1, 6.10 .1.0,5 n v 10 24 4eU m 4.1, 6.10 .2.10 6,64.10 − − α − − α             = − = − ≈  ÷  ÷             lượt Số vòng mà hạt α đã chuyển động là ≈ 12. Từ (3) suy ra sau 12 vòng, vận tốc của hạt α là 7 v 2, 4.10 m / s ≈ C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 9: Trong hệ tọa độ Oxyz có trục Oy hướng thẳng đứng lên trên, đặt đồng thời hai trường giao nhau là điện trường đều có vectơ cường độ điện trường E (0,E,0) = ur và từ trường đều có vectơ cảm ứng từ B (0,B,0) = ur . Tại gốc tọa độ O, người ta đặt một hạt có khối lượng m và điện tích q, sau đó buông nó ra với vận tốc ban đầu 0 0 v (v ,0,0)= r . Hãy xác định tọa độ của hạt theo các trục Ox, Oy, Oz sau khoảng thời gian bằng n lần chu kì chuyển động của nó và góc α hợp bởi vectơ vận tốc của hạt với trục Oy ở thời điểm đó. Bỏ qua tác dụng trọng lực. Đs: 0 n Bv tan 2 nE α = π Bài 10: Một thanh cứng mảnh cách điện đặt thẳng đứng cố định trên mặt bàn. Người ta lồng vào đó một điện tích điểm có khối lượng m, tích điện q, điện tích có thể trượt dọc theo thanh. Tại đầu thanh tiếp xúc với mặt bàn đặt một điện tích điểm Q. Coi ma sát trên thanh rất nhỏ. Xác định trạng thái cân bằng của điện tích điểm q và tần số góc đặc trưng của nó trong trạng thái đó. Trần Quốc Toàn BDHSG Vật lý Đs : 0 mg 2 g qQ πε ω = Bài 11: Trong một dự án xây dựng nhà máy điện, người ta đề xuất phương án sử dụng các dòng hải lưu ở biển và từ trường trái đất. Người ta sẽ ngâm hai bản kim loại thẳng đứng, khoảng cách giữa hai bải là ℓ, tiết diện mỗi bản là S vào trong nước biển. Nước biển có điện trở suất ρ, dòng nước giữa hai bản cực chảy từ tây sang đông với tốc độ là v. Từ trường ở khu vực đó coi như là đều và có hướng từ nam tới bắc, cảm ứng từ là B. Tìm công suất cực đại có thể nhận được khi mạch ngoài nối với tải R. Đs: 2 2 max B v S P 4 = ρ l Bài 12: Một chùm proton đi vào một vùng không gian có bề rộng d và có từ trường đều B 1 . Sau đó proton đi tiếp vào vùng không gian cũng có chiều rộng d nhưng từ trường B 2 = 2B 1 . Lúc đầu, Proton có vận tốc vuông góc với véctơ cảm ứng từ B và vuông góc với mặt biên của vùng không gian có từ trường. Xác định: a. Giá trị của hiệu điện thế V 0 để tăng tốc cho proton sao cho hạt proton đi qua được vùng đầu tiên. b. Hiệu điện thế V 0 sao cho proton đi qua được vùng thứ hai. Đs: a. 2 2 1 0 qB d V 2m > ; b. 2 2 1 0 qB d V 9 2m > Bài 13: Một hạt có khối lượng m, điện tích q > 0 chuyển động trong một từ trường biến thiên có tính đối xứng trụ với trục đối xứng ∆. Cảm ứng từ tại một điểm cách trục ∆ một khoảng r có phương gần như song song với trục ∆ và có độ lớn là n B(r) r α = (với α là hằng số dương, 0 < n < 1). Hạt chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆. Bỏ qua tác dụng của các lực khác so với lực từ. Hạt chuyển động tròn đều trên quỹ đạo bán kính R với tâm O nằm trên trục ∆. Giả thiết ban đầu hạt ở điểm A cách trục ∆ một khoảng R 1 và có vận tốc hướng theo phương bán kính ra xa trục. Biết rằng, trong quá trình chuyển động, khoảng cách cực đại từ hạt tới trục ∆ là R 2 . Tìm vận tốc ban đầu của hạt. Đs: 2 n 2 n 2 1 2 q (R R ) v mR (2 n) − − α − = − Trần Quốc Toàn BDHSG Vật lý Bài 14: Một quả cầu kim loại rỗng có bán kính trong r và bán kính ngoài R. Coi môi trường bên trong quả cầu là đồng nhất. Điện tích quả cầu là q 1 .Trên đường nối tâm dọc theo bán kính quả cầu có hai hạt giống nhau, mỗi hạt có điện tích q 2 được đặt bên trong và bên ngoài vỏ cầu. Các hạt luân phiên va chạm với bề mặt trong và ngoài vỏ cầu. Tại thời điểm hạt va chạm với bề mặt bên trong vỏ cầu, động năng của nó là K và áp suất trung bình của hạt lên bề mặt bên trong vỏ cầu là p. Coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi. Tìm áp suất trung bình của hạt lên bề mặt bên ngoài vỏ cầu. Biết các hạt có điện tích cùng dấu. Đs: 2 1 2 0 r q q R r p' p 1 R 4 KRr   −     = +  ÷  ÷  ÷ πε       TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Electricity and Magnetism, Edward M. Purcell, Harvard University, McGraw-Hill, 1985. 2. Задачи по общей физике, Иродов И.Е, Наука, 1979. 3. Физика в задачах, Г.Ф.Меледин, Наука, 1990. 4. Bài tập Điện học, Quang học, Vật lí hiện đại, Vũ Thanh Khiết, Nxb Giáo Dục, 2010. 5. Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí THPT – Điện học 2, Vũ Thanh Khiết, Nxb Giáo Dục, 2009. 6. Các đề thi học sinh giỏi vật lí quốc gia các năm. 7. Một số đề thi Olympic vật lí các nước. 8. Tạp chí Kvant. 9. Tạp chí Vật lí tuổi trẻ. Trần Quốc Toàn