Ứng dụng một số công thức nội suy cổ điển giải toán ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG —————— oOo —————— Phạm Đức Mạnh ỨNG DỤNG MỘT SỐ CƠNG THỨC NỘI SUY CỔ ĐIỂN GIẢI TỐN Ở PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Tốn Sơ Cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2011 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học :TS Trịnh Đào Chiến Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 2: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 08 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong q trình tính tốn Tốn học, đơi ta cần phải xác định giá trị hàm số f (x) điểm tùy ý cho trước, điều kiện cho biết số giá trị rời rạc hàm số đạo hàm hàm số đến cấp số điểm x1, x2, x3, , xk cho trước Nhằm thuận tiện cho tính tốn, người ta thường xây dựng hàm f (x) đa thức đại số Các toán nội suy cổ điển đời từ sớm đóng vai trị quan trọng thực tế Các toán nội suy phần quan trọng đại số giải tích tốn học Chúng không đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong chương trình Tốn phổ thơng, lý thuyết vấn đề chưa đề cập, ứng dụng sơ cấp thường ẩn sau định lý, tốn, cơng thức quen thuộc Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, toán liên quan đến toán nội suy thường ẩn dạng toán đa thức, toán khai triển, đồng thức, ước lượng tính giá trị cực trị tổng, tích, toán xác định giới hạn biểu thức cho trước, v.v Đây thường tốn khó Do đó, việc hình thành chuyên đề chọn lọc vấn đề tốn nội suy, góc độ tốn phổ thơng, đặc biệt ứng dụng việc giải số dạng tốn khó cần thiết Luận văn phần đáp ứng nhu cầu Mục đích đề tài Với vấn đề đặt trên, mục đích đề tài đề cập đến số toán nội suy cổ điển việc ứng dụng chúng để giải số dạng tốn khó tốn đa thức, dạng toán khai triển, đồng thức, toán xác định giới hạn biểu thức cho trước, tốn tính chia hết đa thức, ứng dụng vào tính giới hạn số dạng vô định, , hệ thống lại số dạng toán sáng tác nhiều tập 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích trên, luận văn tập trung vào nghiên cứu công thức nội suy: Công thức nội suy Lagrange; công thức nội suy Taylor, khai triển Taylor; công thức nội suy Newton, khai triển Taylor - Gontcharov phạm vi ứng dụng chương trình tốn phổ thơng, giải số tốn khó chương trình phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Dựa tài liệu sưu tầm được, chủ yếu tài liệu [2], [3]; luận văn tổng hợp lại vấn đề phục vụ cho mục đích nghiên cứu, phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Một phần quan trọng luận văn sở lý thuyết nêu, luận văn sưu tầm phân loại hệ thống tập, số tập đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế; số thi Olympic Tốn Sinh Viên tồn quốc Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Do đó, nội dung nghiên cứu luận văn mang tính khoa học, tính sư phạm phần đóng góp vào thực tiễn dạy học Tốn phổ thơng, phù hợp với chun ngành Phương pháp tốn sơ cấp Sau cho phép bảo vệ, thông qua góp ý để sửa chữa bổ sung, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh phổ thông quan tâm đến vấn đề Trong khuôn khổ luận văn, nhiều góc độ sâu sắc nội dung vấn đề mà luận văn chưa đề cập Tác giả luận văn tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn ngày cập nhật, dùng làm tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi bậc Trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Từ phương pháp phân loại theo vấn đề, phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm ba chương sau đây: Chương Một số toán nội suy cổ điển Trong chương này, luận văn trình bày ngắn gọn số kiến thức liên quan Chương Một số ứng dụng công thức nội suy Lagrange Trong công thức nội suy, cơng thức nội suy Lagrange có vị trí đặc biệt, luận văn dành riêng hẳn chương để nghiên cứu ứng dụng công thức giải bải tốn khó phổ thơng Chương Một số ứng dụng công thức nội suy Taylor, khai triển Taylor; nội suy Newton khai triển Taylor - Gontcharov Chương luận văn trình bày ứng dụng của: nội suy Taylor , khai triển Taylor ; công thức nội suy Newton khai triển Taylor Gontcharov vào vấn đề: ước lượng đa thức, xấp xỉ đa thức, xấp xỉ hàm số đặc biệt tính giới hạn Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN NỘI SUY CỔ ĐIỂN 1.1 Tính chất đa thức Kí hiệu: deg P (x): Bậc đa thức P (x) Quy ước: • deg P (x) = P (x) = c, c ∈ R− đa thức • P (x) đa thức không miền D ⊂ R P (x) = 0, ∀x ∈ D Nếu không rõ miền D, ta hiểu D = R Định lý 1.1 ([3]) Mỗi đa thức bậc n (n ∈ Z+) khơng có q n nghiệm thực Định lý 1.2 ([6]) Hai đa thức có bậc khơng q n (n ∈ Z+), có giá trị trùng n + điểm phân biệt, chúng trùng Định lý 1.3 (Định lý Gauss, [3]) Trong trường số phức C đa thức bậc n (n ∈ Z+) có đủ n nghiệm Định lý 1.4 ([6]) Trong trường số thực R, đa thức Pn(x) = anxn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0; (n ∈ Z+) viết dạng: Pn (x) = an s Y i=1 (x − di) k Y x + bj x + cj j=1
di nghiệm thực đa thức Pn(x); bj ; cj ∈ R; s + 2k = n; b2j − 4cj < s ∈ Z+, k ∈ Z+ Định nghĩa 1.1 ([2]) Các đa thức Tn (x) (n ∈ N) xác định bởi:     T0(x) = 1; T1(x) = x   Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1 (x), n > gọi đa thức Chebyshev (loại 1) Tính chất 1.1 ([2]) Tn(x) ∈ Z[x] (đa thức với hệ số nguyên) có bậc n hệ số bậc cao 2n−1 hàm số chẵn n chẵn hàm số lẻ n lẻ Tính chất 1.2 ([2]) |Tn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1] |Tn (x)| =   kπ , k ∈ Z x = cos n 1.2 Một số tính chất đại số tổ hợp Quy ước: a0 = b0 = 1; Cn0 = 1, n ∈ Z+ Tính chất 1.3 ([7]) Cơng thức khai triển nhị thức Newton (a + b)n = n X Cni an−i bi i=0 Tính chất 1.4 ([7]) n P Cnk = 2k i=0 1.3 Một số toán nội suy cổ điển 1.3.1 Bài toán nội suy Lagrange Bài toán 1.1 (Bài toán nội suy Lagrange, [2]) Cho n số thực x1; x2; x3; ; xn phân biệt n số thực tùy ý y1; y2; y3 ; ; yn Hãy xác định đa thức L(x) có bậc không n − (deg L(x) ≤ n − 1, n ∈ Z+) Định lý 1.5 ([2]) Cho n (n ∈ Z+) số thực x1; x2; x3; ; xn phân biệt n số a1; a2; a3; ; an tùy ý Thế tồn đa thức Pn(x) có bậc khơng n − thỏa điều kiện: P (xj ) = aj ; ∀j = 1, n (1.1) 14 2.2 Ứng dụng cơng thức nội suy Lagrange vào giải tốn Bài toán 2.3 Xác định đa thức bậc hai nhận giá trị 3, 1, x −1, 0, tương ứng Bài toán 2.4 Cho a1; a2; a3; ; an đôi khác Chứng minh đa thức f (x) có bậc deg f (x) ≤ n − T = Với T xác định f (a1) (a1 − a2) (a1 − a3) (a1 − a4) (a1 − an) f (a2) + + (a2 − a1) (a2 − a3) (a2 − a4) (a2 − an) T = ·········································· + f (an) (an − a1) (an − a2) (an − a3) (an − an−1) Bài toán 2.5 Chứng minh đa thức bậc hai nhận giá trị nguyên ba điểm nguyên liên tiếp biến số x đa thức nhận giá trị nguyên x nguyên Bài toán 2.6 Cho a1; a2; a3; ; an n số thực đôi khác Gọi Ai (i = 1, 2, 3, , n) phần dư phép chia đa thức f (x) cho x − a Hãy tìm phần dư r(x) phép chia đa thức f (x) cho (x − a1)(x − a2)(x − a3) (x − an) 15 Bài toán 2.7 Giả sử đa thức f (x) = c0 + c1 x + c2x2 + c3x3 + · · · + cn xn có giá trị hữu tỉ x hữu tỉ Chứng minh rằng, tất hệ số c1; c2; c3; ; cn số hữu tỉ Bài tốn 2.8 (Vơ địch Châu Á - Thái Bình Dương, 2001) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descartes vng góc, điểm gọi "điểm hỗn hợp" hai thành phần tọa độ số hữu tỉ, thành phần số vơ tỉ Tìm tất đa thức có hệ số thực cho đồ thị đa thức khơng chứa điểm hỗn hợp Bài tốn 2.9 Tìm tất đa thức bậc ba P (x) Q(x) thỏa mãn bốn điều kiện: a) Cả hai đa thức nhận giá trị điểm x = 1, 2, 3, b) Nếu P (1) = P (2) = Q(1) = Q(3) = c) Nếu P (2) = P (4) = Q(2) = Q(4) = d) Nếu P (3) = P (4) = Q(1) = Bài tốn 2.10 (Vô địch Mỹ, 1975) Đa thức P (x) bậc n thỏa mãn đẳng thức: P (k) = k = 0, 1, 2, 3, , n Tính P (n + 1) k Cn+1 với 16 Bài toán 2.11 (VMO - 1977) Giả sử cho trước số nguyên x0 < x1 < x2 < < xn Chứng minh giá trị đa thức P (x) = xn +a1xn−1 +· · ·+an điểm x0; x1; x2; · · · ; xn ln tìm số mà giá trị tuyệt đối khơng bé n! 2n Giải Với ≤ i ≤ n, áp dụng công thức nội suy Lagrange, đa thức P (x) biểu diễn lại dạng   n n X Y x − xi   P (xj ) P (x) = xj − xi i=1 i6=j Giả sử khẳng định tốn khơng đúng, nghĩa |P (xj )| < n! với j = 0, 1, 2, 3, , n 2n Khi hệ số cao P (x) tổng hệ số cao n x−x Q i thỏa điều kiện tích x − x i i=0 j i6=j     X n n n n Y X n! Y     P (x ) < j n xj − xi |xj − xi| j=0 j=0 i6=j i6=j ≤ n X n! j=0 n 1 X n! Q = 2n (j − i) 2n j!(n − j)! i