NHỮNG bài TOÁN CHỌN lọc mũ LOGARIT

CHIA SẺ TÀI LIỆU ÔN THI CHẤT LƯỢNG CAO TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC MŨ - LOGARIT Câu 1: Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 728 số nguyên y thỏa mãn log  x2  y   log3  x  y  ? A 59 Câu 2: B 58 C 116 D 115  x  my  n  Biết có vơ số  x; y  thỏa mãn hệ phương trình  với m n tham số 2 x  ny   n thực Giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  2mx  ny 11 C  D  4 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để không tồn số thực  x, y  A Câu 3: B thỏa mãn đồng thời hệ thức x2   y  2  log x2  y2 1  2mx  y  m    Số phần tử S là: A Câu 4: B D Vô số C x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức Xét số thực không âm x y thỏa mãn x  y.4 P  x  y  x  y 33 65 49 57 B C D 8 Có số ngun x cho ứng với x có khơng 242 số nguyên y thỏa mãn A Câu 5: log  x2  y   log3  x  y  ? B 28 A 55 Câu 6: C 29 D 56 Có cặp số nguyên dương  m ; n  cho m  n  14 ứng với cặp  m ; n  tồn   số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? Câu 7: A 11 B 14 C 12 D 13 x Hỏi có tất giá trị nguyên m để phương trình log2 (4  2x4  100  m)  x  m có hai nghiệm thực phân biệt? A 95 B 99 Câu 8: C 122 D 94 Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m   20; 20 để phương trình   log x  m x  x   log x  m   x   x có ba nghiệm thực Số phần tử tập S là: A Câu 9: B Xét số thực x, y thỏa mãn x P  y 1 C D 28 C 5 D 3   x  y  x   x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số đây? 2x  y 1 A 2 B 4 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 10: Cho hàm số f  x   x  x  ln x với x  Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để phương trình f  x    f  x  m   có hai nghiệm phân biệt có tổng nhỏ 10 Số phần tử tập S là: A 11 B 12 C 14 D vô số Câu 11: Cho phương trình x  m.2 x 1  3m   Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt Số phần tử tập S A B C D 2 Câu 12: Hỏi có tất giá trị tham số nguyên m  30;30 để phương trình  x  2 log  x  m   x2  mx  m  3 log  x 1  có hai nghiệm thực phân biệt? A 31 B 32 C 59 D Câu 13: Cho số thực dương x  2021 số nguyên y thỏa mãn: log ( x  1)   y  Hỏi có tất số  x; y  thỏa mãn toán? A B C D Vô số Câu 14: Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m để có số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời hai hệ thức log 32  26 x  53 log  x 12   y  2 2 x2  y  x  y   8log m  729  196 Số phần tử tập S là: A 80 B 79 C 81 D 77 Câu 15: Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên tham số m để phương trình ( x2 2x m)(2 m x x2 1) (m 2x x )(3x 2x m 1) có nghiệm phân biệt Tổng giá trị tất phần tử tập S A B C D Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHIA SẺ TÀI LIỆU ÔN THI CHẤT LƯỢNG CAO TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.B 2.C 12A 3.A 13.C 4.B 14.B 5.D 15.A 6.A 7.D 8.C 9.D 10.A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C Điều kiện: x  y  x  y  Khi log  x  y   log3  x  y   x  y   x2  x   x  y  log3 log3  x  y   x2  y   x  y  log3   x  y  1 Đặt t  x  y 1 viết lại x  x  t log3  t   Với x ngun cho trước có khơng q 728 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình 1 tương đương với bất phương trình   có không 728 nghiệm t Nhận thấy f  t   t log3  t đồng biến 1;   nên x  x  729log3  729  3367 có 729 nghiệm nguyên t  Do u cầu tốn tương đương với x  x  3367  57  x  58 (do x nguyên) Vậy có tất 58  58  116 số nguyên x thỏa yêu cầu toán Câu 2: Chọn C Hệ phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm m  a b c m n 1       a' b' c' n 4n n  Khi đó: x  my  n   x  y   y   x Ta có: T  x  y  2mx  ny  x  y  x  y 3 3   x  (1  x)  x  2(1  x)  x  x    x      2 2  Chọn A Câu 3: 2 Miền biểu diễn x2   y  2  hình trịn  C  có tâm I  0,  bán kính R  log x2  y2 1  2mx  y  m     2mx  y  m   x  y    x  m    y  1  m2  m  2 Miền biểu diễn  x  m   y  1  m2  m  hình trịn  C   có tâm I   m,1 bán kính 2 R  m2  m  Để tồn số thực  x, y  thỏa mãn tốn thì:  2  m   m2  m    m  1;0     m    m  m  VN   II   R  R Câu 4: Chọn B x  x  y.4 x  y 1   y.4 x  y 1   x * Theo giả thiết  y  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Ta xét hai trường hợp sau: * Trường hợp 1: y    x   x  3  3  Khi P  x  x  x   ; P  2x  ; P   x  2   ;   2  2   Dựa vào bảng biến thiên suy giá trị nhỏ P  x  x  x   3  đạt x  2 2 3   33 Suy giá trị nhỏ biểu thức P  x  x        2 2 * Trường hợp 2: y   x  y 1    2x    2x   2x  x  y   log    log   y  y   y   x  y   log   x   log y  y  log  y     x   log 3  x  ** Xét hàm số f  t   t  log t với t  Ta có f   t     , t  t ln Suy hàm số f  t  đồng biến t  6 y   x  **  f  y   f   x   y   x    12 x  x y   2 Ta có P  x  y  x  y  x  Đặt f  x   x  20 x  45  12 x  x x  20 x  45  4x   6x  P  4  x  0 f  x  16 x  20 ; f  x   x  4 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHIA SẺ TÀI LIỆU ƠN THI CHẤT LƯỢNG CAO Khi giá trị nhỏ f  x   TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 x  20 x  45  x  0 đạt x  5 5    20    45 65 4 Suy giá trị nhỏ biểu thức P     2 Kết hợp hai trường hợp ta có giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y Câu 5: 65 Chọn D Điều kiện x  y  x  y  Khi log  x  y   log3  x  y   x  y   x2  x   x  y  log3  x  y   x2  y   x  y  log3   x  y  1 log3 Đặt t  x  y 1 viết lại x  x  t log3  t  2 Với x ngun cho trước có khơng q 242 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình 1 Tương đương với bất phương trình   có khơng q 242 nghiệm t Nhận thấy f  t   t log3  t đồng biến 1;   nên x  x  243log3  243  781 có Câu 6: 243 nghiệm nguyên t  Do u cầu tốn tương đương với x  x  781  27  x  28 (do x nguyên) Vậy có tất 28  28  56 số nguyên x thỏa yêu cầu toán Chọn A   1 với a   1;1 a    f   a   2ma  Đặt f  a   2a m  n ln a  a   Ta có: f  a   2a m  n ln a  f   a    2ma m 1  n a2  m 1   a m 1 a   n a2  n phải có nghiệm a0  2m n n    suy a0 nghiệm 2m m Ta có bảng biến thiên: Suy Ta thấy a  nghiệm phương trình f  a   Nếu m  suy để có nghiệm n   n  (loại) 2m Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Nếu m lẻ ta có a nghiệm  a nghiệm, phương trình 1 có đủ nghiệm Nếu m chẵn phương trình có tối đa nghiệm (vì khơng có nghiệm âm) Suy m lẻ Để có nghiệm dương thuộc khoảng  0;1 theo bảng biến, ta phải có:   f 1   n ln    n  2, 269 Suy n 1;2 m 3;5;7;9;11;13 , m  n  14 nên Suy có 11 cặp  m ; n  thỏa yêu cầu tốn Câu 7: Chọn D Ta có: log2 (4x  2x4  100  m)  x  m  4x  2x4  100  m  2xm (1) Đặt x  t (t  0) 1  t  (16  2m )t  100  m    Để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dương   16  2m 2  4(100  m)  16  2m 2  400  4m     m   2  16   m  100  m  m  100   Từ hai phương trình cuối m nguyên   m  99 Xét f  m   16  2m   400  4m  0(*) Với m   không thỏa mãn (*) Với m   f  m   1928   m  thỏa mãn Mà f  m  hàm tăng  6;99   m  99  có 94 giá trị nguyên m thỏa mãn toán Câu 8: Chọn C Nhận thấy: x2   x      Phương trình cho  log x m x  x   log x  m     log x  m x2   x   9  log x m x  x   log x2   x  x  m  * xm xm     x2   x   x   m2   x  m2  Suy ra: x  m      x   m   x  m  9 2 Ta xét hai trường hợp có số loga nào: Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”  CHIA SẺ TÀI LIỆU ÔN THI CHẤT LƯỢNG CAO   x  m    x  m Khi    x  m    x  m TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 1  x  m   9  m  5  x  m     x  m  9  m  4  1   x   m  Để phương trình có ba nghiệm thực phân biệt xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: m    m  3 Khi nghiệm x  0; x   m   3  m  5 Trường hợp 2: Khi  ln có nghiệm vi phạm số loga nên phương trình  m  4 có nghiệm phân biệt Thỏa mãn toán Suy giá trị nguyên tham số m thỏa mãn là: m  4;  5;  3 Có giá trị m thỏa Câu 9: mãn Chọn D Ta có x  2  y 1 x 1  y 2   x2  y  x   4x  2x  y  x 1  x2  y  x    x  1  y    (*) Đặt t   x  1  y , t    2 *  2t  t   (**) Xét hàm số f  t   2t  t  1, t  f   t   2t ln   ; f   t    t   log  ln  , f   log  ln    Từ bảng biến thiên ta thấy **   t     x  1  y  hình trịn tâm I 1;0  bán kính r  Ta lại có P  4y  Px   P   y  P  phương trình đường thẳng  d  2x  y 1 Yêu cầu toán tương đương d  I ,  d    r  3P 4P2   P  4 1  P  5P  8P  16  P  P  16   1   P  1  Suy P  1   3, 23 Câu 10: Chọn A 1   1 Ta có: f    x  x  ln    x  x  ln x    f  x  x  x   Mà đạo hàm: f   x   x ln  1x ln   với x  x x Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT x   Xét phương trình: f  x    f  x  m   có điều kiện xác định  m  x   *   Có f  x    f  x  m    f  x     f  x  m   f    2x  m  Vì hàm số y  f  x  hàm đơn điệu, nên có:   f  x  2  f    x   m   x  2m   (**)  x   2x  m  2x  m  Ở điều kiện * cần: x     x  2x  m Ta có:    m  4   2m  1  m2  8m  24  với m Tổng hai nghiệm:   x1  x2  10   x1  x2  m4  10   m  16 Tập giá trị m nguyên thỏa mãn là: S  5;6; ;15 Vậy có 11 giá trị m nguyên thỏa mãn Câu 11: Chọn B Đặt t  x  Phương trình trở thành: f  t   t  2mt  3m   1 Để có nghiệm x phân biệt phương trình 1 phải có hai nghiệm phân biệt lớn Cách 1:  '  m  3m    '  m  3m      Khi phải có: t2  t1    f 1   5m    m   VN t  t  2m    2  m  Cách 2: 1  2t  6t  t2 1 t2 1  0, t   m   , xét g  t   , g  t   2t  2t   2t  3 Bảng biến thiên Theo bảng biến thiên ta thấy khơng tồn m để   có hai nghiệm phân biệt lớn Câu 12: Chọn A x  m Điều kiện  x   *   Phương trình:  x  2 log  x  m   x  mx  m  log  x  1  Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHIA SẺ TÀI LIỆU ÔN THI CHẤT LƯỢNG CAO TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0     x   log  x  m    x    x   m  1 x  m   log  x  1      x   log  x  m   log  x  1   x   m  1 x  m  log  x  1      x   log  x   m  1 x  m   x   m  1 x  m  log  x  1  1 x    thỏa pt 1 Nhận thấy khi:  x  m  x  m       x   Với  ; ta chia hai vế 1 cho  x   x   m  1 x  m  được:  x   m  1 x  m       log  x  1    Dễ thấy:   m  1 x  m  x2 log x   m  1 x  m x Khi  log x   m  1 x  m x   m  1 x  m    log  x  1   pt x2  log x  0, x  0, x  x 1  2 vô nghiệm x   x   Vậy pt 1   2  x   m  1 x  m    f  x   x   m  1 x  m    3 Phương trình  3 có    m  1   m  1  m2  2m   0, m Lại f 1  1; f  m   1   3 có: ln có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1  1; m  x2  pt  3 ln có nghiệm thỏa mãn điều kiện * Để phương trình ban đầu có hai nghiệm x  không nghiệm pt  3 đồng thời phải thỏa  f    m  m ;m30;30    m  30; 29; ; 1;0 mãn điều kiện * tức là:  m  2  m Vậy có 31 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 13: Chọn C Từ giả thiết suy  y  log ( x3  1)  log (20213  1)  20, 78  y  log ( x3  1)  Z suy 2 ra:  y   log ( x3  1)  20  log  y  log 19   y  2 Vì y   1  y  log ( x3  1)  x   y    y    y    x  80 1  y  log ( x3  1)   y        y  1  y  1  Suy có tất ba số  x; y  thỏa mãn toán Câu 14: Chọn B Gọi M  x; y  Nhận thấy M nằm đường trịn (C) có tâm I 12; 2  bán kính R  14 Ta biến đổi: x2  y  x  y    x  1   y    AM ; điểm A  1; 2  2 Dễ dàng xác định được:  AM  27 hình vẽ bên Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Ta để ý từ: 26 x  53  26 x  53  196   x  12   y  2   x  1   y    AM 2 2 Suy ra: log32  26 x  53 log3   x2  y  x  y  AM  8log3 m   log32  AM  log3  8log3 m  729 729   log32 AM log3 AM   8log3 m  (*) Đặt t  log3 AM ,ÐK : log3 12  t  log3 272   t  t  Để ý  cho ta số  x; y   t  cho ta hai số  x; y  t  (*) trở thành t  t    8log3 m  f  t   t  6t  8log3 m ** Ta dễ dàng thành lập bảng biến thiên: Nhận thấy: 32  8log3 m    m  81 phương trình (**) có hai nghiệm t   0;6  tương ứng với số thực  x; y  Suy có 79 giá trị nguyên m thõa mãn Câu 15: Chọn A Với Với x2 2x m m 2x x2 x thỏa mãn phương trình; 2x m m 2x x 3m x x được: m 2x x2 , chia hai vế phương trình cho ( x2 2x x2 Nhận thấy hàm số f ( x) 10 2x m 2x ax m x 2x m)( m 2x x ) (*) với a x Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 0, ta CHIA SẺ TÀI LIỆU ƠN THI CHẤT LƯỢNG CAO Suy ra: 3m x x m 2x x2 2x x2 2x m 2x m Vậy phương trình cho tương đương với Ta vẽ đồ thị hai hàm số y x2 x y TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 phương trình (*) vơ nghiệm x2 2x m m 2x x2 x 0 m x2 m x 2x 2x x hệ trục tọa độ lưu ý hai đồ thị tiếp xúc điểm (0; 0) Dựa vào đồ thị ta nhận thấy để phương trình cho có nghiệm thực x m 0; tổng phần tử tập S Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 11 ... Chọn B x  x  y.4 x  y 1   y.4 x  y 1   x * Theo giả thiết  y  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT. .. x Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT x   Xét phương trình: f  x    f  x  m   có điều kiện xác định...CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 10: Cho hàm số f  x   x  x  ln x với x  Gọi S tập chứa tất giá trị nguyên