BÀI TOÁN 4 BIỆN LUẬN NGHIỆM PT BPT mũ LOGARIT đáp án

NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 BIỆN LUẬN NGHIỆM PT-BPT-MŨ & LOGARIT BÀI TOÁN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Câu (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Gọi S tập giá trị nguyên m để phương trình x    10    x 10   m  2020  có hai nghiệm âm phân biệt Số tập S A B C Lời giải D Chọn D Do  Đặt    x 10   10  x 1, nên 10   t với t    10  3  , ta có phương trình  x x t 1 9t   m  2020   m  9t   2020   t t Phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt    có hai nghiệm t   0;1 1 Xét hàm số f  t   9t   2020  f   t    t t f  t    t   Bảng biến thiên: Do đó, m   2026; 2029  Do m    S  2027; 2028; 2029 Vậy số tập S Câu (THPT Liễu Sơn Vĩnh Phúc 2021) Cho phương trình 27 x  3x.9 x  (3x  1)3x  (m3  1) x3  (m  1) x , m tham số Biết giá trị m nhỏ để phương trình cho có nghiệm (0;  ) a  e ln b , với a, b số nguyên Giá trị biểu thức 17 a  3b A 26 B 48 C 54 D 18 Lời giải Chọn A Phương trình cho tương đương (3x )3  x.(3x )2  (3 x  1).3x  (m3  1) x  (m  1) x  (3x  x)3  3x  x  (mx)3  mx (*) Xét hàm số f (u )  u  u, f '(u )  3u   0, u   Phương trình (*) tương đương f (33  x)  f (mx) Nên 3x  x  mx  m  3x  1, x  x Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3x  1, x  x 3x ( x ln  1) Ta có g '( x )   g '( x)   x  log e x2 BBT Xét hàm số g ( x)  a  Phương trình có nghiệm m  g (log e)   e ln   b  Vậy 17 a  3b  26 Câu (THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa - 2021) Bất phương trình x x    x  3 nghiệm nguyên? A B 10 C Lời giải  x 16 x  48 x  36 x2 có D Vơ số Chọn A  x  1 Điều kiện:  x  Ta xét với giá trị nguyên x Với x  1 thay vào bất phương trình khơng thỏa mãn Với x  , bất phương trình tương đương với: 16 x  48 x  36  x 6  x   x  x x    x     * x 2 Xét hàm số f  t   2t t khoảng  0;   ta có: f   t   2t  2t 2t ln  , t  x2 x   x  1.2 x 1  Vậy hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;   , đó: 4x   4x   x 1  f    x 1  x  x  2  x  x  1  16 x  48 x  36  x  15 x  48 x  36  *  f    x     1,101   x  3  x  12 x  12     3  x     10,898  Vây bất phương trình có nghiệm ngun Câu (Chun KHTNHN - 2021) Có giá trị nguyên dương m khơng vượt q 2021 để phương trình x3  m.2 x    có nghiệm? A 2018 B 2017 C 2021 D 2019 Lời giải Chọn A x 3  m.2 x 2    4.4 x   m.2 x    Đặt t  x Phương trình trở thành: 4t  4t  mt    m   2 t Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Phương trình cho có nghiệm   có nghiệm dương 4t   0;   t 1 Ta có f   t    ; f   t    t  t Bảng biến thiên: Xét hàm số f  t   Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có nghiệm dương m  Vậy có 2018 số ngun cần tìm Câu 2 (Sở Thái Nguyên - 2021) Cho phương trình e2 2sin x  3.e1sin x  m.ecos x2   m   Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2020; 2021 để phương trình cho có nghiệm? A 36 B 46 D 38 C 44 Lời giải Chọn D 2 2 2 Phương trình e2 2sin x  3.e1 sin x  m.ecos x    m    e4 2cos x  3.e2cos x  m.ecos x    m   m   m  2 t t  (lo¹i )  t  3t   m   t  m    t  1  t  2t  m     t  2t   m   Phương trình cho có nghiệm  phương trình    có nghiệm t  e; e2  Đặt t  e2cos x (Điều kiện: e  t  e2 )  phương trình: t  3t  Xét hàm số f  t   t  2t đoạn e; e2  Ta có: f   t   2t    2t   t  Bảng biến thiên:  f  t   f  e   e2  2e ; max f  t   f  e   e  2e 2  e ;e    e ;e    f  t   m  max f t  Phương trình    có nghiệm t  e; e2   2 e ;e    e ;e     e2  2e  m  e4  2e2  e4  2e2  m  e2  2e Mà m nguyên, m   2020; 2021  m  39; 38; 37; ; 4; 3; 2 Vậy có 39    38 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - 2021) Tổng nghiệm phương trình 3 x  2   x 1   9.3x    x    x  x 8 27 5.5 x  x A 37 B 6 C Lời giải Chọn D D 3 3 x   Ta có: x 8   x 1   9.3x    x    x  x2  x 27 5.5 1 x 8  x 8    x    x2  x 1  3x  x 1   x  x  1 1 5 Xét hàm số f  t   t  3t  t ,  ln có: f   t   t  3t ln   0, t nên hàm số y  f  t  nghịch biến Do đó, phương trình 1 có nghiệm  f  x    f x  x  có nghiệm    3  37 x   x   x  x   x  3x      3  37 x   Vậy tổng nghiệm phương trình 3 Câu (THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa - 2021) Có giá trị m nguyên để phương trình m x 1  m  16 x  6.8 x  2.4 x 1 có hai nghiệm phân biệt? A B C D Lời giải Chọn A Đặt t  x (t  0) , toán trở thành tìm giá trị m nguyên để phương trình 2mt  m2  t  6t  8t có hai nghiệm dương phân biệt  m  t  4t Ta có 2mt  m2  t  6t  8t  (t  m)2  (t  3t )2    m  2t  t Đồ thị hai hàm số y  t  4t , y  2t  t khoảng  0;   Từ đồ thị ta có phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m  4; 3; 0;1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Câu 1 (Sở Thái Nguyên - 2021) Cho phương trình 3 x  3.3 x  x 1 1  x x   m    m.316 x  Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  2020; 2021 để phương trình có nghiệm? A 1346 B 2126 C 1420 D 1944 Lời giải Chọn A Điều kiện x  1 Ta có: 3 x 1  3  x  x  3  3.3 x  x 1 1  x x   m   1  2  x  x   3.3 2 x x  x x x   m   2 x x  m.316 x 0  m   * 33 x x x Đặt t  3 3  33  27 Phương trình có dạng:  t  3.t   m   t  m  ** Ta tìm m   2020; 2021 để phương trình ** có nghiệm lớn 27 Ta có: **   t  1  t  2t  m    t  2t  m  (vì t  27 )   t  1   m 1  m   t    m Vậy để phương trình ** có nghiệm lớn 27 1  m  m     m  675 1  m  676 1   m  27 Vì m   2020; 2021 nên có: 2020  675   1346 giá trị m Câu (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2021) Cho bất phương trình: x  (m  1)3x  2m  (1) Có giá trị nguyên tham số m nguyên thuộc  8;8 để bất phương trình (1) nghiệm x  A 11 B C Lời giải D 10 Chọn A Bất phương trình cho đưa x  3x t2  t  (m  1)3  2m   m(3  2)     m   x   f (t ); t  2 t2 t  4t  Khảo sát hàm số ta có f (t )    0, t  , dẫn đến hàm nghịch biến  0;   (t  2) 12 Khi x   t  , bất phương trình nghiệm m  f (3)   Kết hợp m   8;8 thu 11 giá trị nguyên m x x x x x  Câu 10 (THPT Phan Bội Châu - Đà Nẵng - 2021) Biết phương trình  hai nghiệm x1 , x2 2a  b là A 11  x   15   x  x 3 có x1  log a b  , a , b số nguyên tố, giá trị biểu thức x2 B 17 C 13 Lời giải D 19 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn A   3 3 3 1  2 3  Ta có:     x x 3  3  Chia hai vế phương trình cho  Ta    15    1     x x x 3  3  Đặt t         1 trở thành: t     x t  15 Suy  log3  t   t  8t  15    x2 t t  a  Do   2a  b  11 b  Câu 11 (THPT Yên cos3 x  1 1      16  8 A 1932 Phong - Bắc Ninh - 2021) Số nghiệm phương trình cos x  cos x  0; 2021 B 1930 C 1925 Lời giải D 1927 Chọn B  1 Ta có:    16  cos3 x 1   8 cos x 1  cos x  3cos x    2 3cos x t 1  cos x    2 4cos3 x * t 1 1 Xét hàm số f  t   t     , ta có: f   t      ln  , t   2 2 Suy hàm số f  t  đồng biến  Khi đó: *  f  3cos x   f  4cos3 x   3cos x  cos3 x  cos3 x  3cos x   cos x   3x  x  k    k ,  k      6063  2021   k    1929, 41  Vậy có 1930 số k  0;1; 2;, ,,;1929 hay phương trình có 1930 nghiệm đoạn  0; 2021 Với x   0; 2021 , suy ra:  k Câu 12 (THPT Gia Viễn A - Ninh Bình - 2021) Tập tất giá trị tham số m đề phương trình 7   x2  m 73  1 A 0;   16   x2  2x 1 có hai nghiệm phân biệt 1  B  ;  16     1 C   ;0      16   1 D   ;   16  Lời giải Chọn C     Ta có:    49  45     73  Vậy phương trình tương đương với: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021   3  x 2  m 73   2.2 x  x   x x2 2 x 1   7   x2     m 73  73          73  x2  x2 2x  (*) x2      2m  73  x2    Đặt t     x  log (t )  73  3   log (t )    t   Ta có:  73 3  (*)  2t  t  2m  (**)  Để phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình (**) có nghiệm t (**)  m  t   g (t ) t  (0;1) Ta có bảng biến thiên hàm số g (t ) sau: Như để phương trình (**) có nghiệm t  (0;1) đường thẳng y  m cắt   1 g (t ) nghiệm t  (0;1)  m    ;0       16  Câu 13 (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa - 2021) Có giá trị nguyên dương m để bất phương trình m.16 x   2m  1 12 x  m.9 x  nghiệm với x   0;1 ? B 11 A C 12 Lời giải D 13 Chọn C m.16 x   2m  1 12 x  m.9 x  (1) 2x x 4 4 Chia cho x ta được: 1  m     2m  1    m  3 3 x 4 Đặt t    ta được: mt   2m  1 t  m  (2) 3  4 Với x   0;1  t  1;   3  4 Do (1) có nghiệm với x   0;1  (2) có nghiệm với t  1;   3 t  4  f (t ) Với t  1;  ta có (2)  m  t  2t   3 t   4 4  0; t  1;  Vậy yêu cầu toán tương đương với m  f    12 t  2t   3 3 Vậy ta có 12 giá trị nguyên dương m f 't   Câu 14 (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - 2021) Biết phương trình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x3  x   24 x  32 có nghiệm x  a  b  c ,  a, b, c    Khi giá trị x2 x  x 2abc gần với giá trị giá trị sau A 28 B 24 C 54 Lời giải Chọn C  Điều kiện x  x3  x  x2  Phương trình  4x  3.2  4x   2 4 x 3  Dễ thấy f  t   t 4x    3x      x   2 t2  3x    8   4x   x   2 D 50 x2  24 x 16 x2  4x   2  2 4x x 3 24 x 16 x2  12  2  3x      x   3x      x   2  3x 4     x  đồng biến  0;   nên phương trình trở thành 3x   x3  12x  24x  16  x  x3  x  12x    3x3   x    x 3  x  x   3    3  9  2abc  54 1 Câu 15 (Sở Đồng Tháp 2021) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Có tất giá trị nguyên dương tham số m để phương trình phân biệt A B f  x  9m  m.3 f  x  f  x  có nghiệm thực C Lời giải D 10 Chọn A f  x   9m  m.3 f  x   f  x    32 f  x   f  x    m f  x        f  x f  x   m f  x    3 f  x    f  x  1  f x    3  m  f  x   log3 m    x  2 1  f  x      x  1 kÐp  Để PT có nghiệm thực phân biệt    có nghiệm thực khác 2; Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  2  log3 m  1 m9 m  Z  m  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8  Câu 16 (Sở Đồng Tháp 2021) Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình m.9x  m.4x   2m 1 6x có nghiệm với x   0;1 B m  ;0 A m  0;6 C m  ;6 D m  6;   Lời giải Chọn C x x 9 6 Ta có m.9x  m.4x   2m  1 6x  m    m  (2m  1)    4 4 x 3  3 Đặt t    , x   0;1  t  1;  2  2  3 Bất pt trở thành mt   2m  1 t  m  0, t  1;   2 m t  3 , t  1;   2  t  1 Xét g  t    * t t   3 / , t  1; ; có  t  1, g t      (t  1)  2  t  1 3 Từ *  m  g  t   g     3 2 1;    Câu 17 (Chuyên Biên Hòa - 2021) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ: y 2 x 1 Có bao f  x  A nhiêu  3.4 f  x  giá trị   m   B nguyên f  x 1 tham số m cho phương trình   m  có nghiệm x   1;  ? C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D 1  Đặt t  f  x  Với x   1;0   f  x    0;   t   ;1 4  Phương trình trở thành: t  3t   m  3 t   2m   1  t    ;1    t  1 t  2t   2m     t  2t   g  t  1 m     1  Để phương trình ban đầu có nghiệm x   1;0  phương trình 1 có nghiệm t   ;1 4  1  Ta có: g   t   t  1, t   ;1  4  g t    t   l t g'(t) g(t) + 57 32  57   57  Suy g  t     ;   hay m    ;    32   32  Vậy giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 18 (THPT Nuyễn Công Trứ - Hà Tĩnh - 2021) Tất giá trị m để bất phương trình: 2020 x  21x  m.2022 x có nghiệm không âm là: A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn A x  2020   21  Ta có: 2020 x  21x  m.2022 x  m       2022   2022  x x x 2020 21  2020   21  Xét hàm số f  x    ;  nên hàm số f  x     với x  có  2022 2022  2022   2022  nghịch biến  0;   BBT Vậy bất phương trình có nghiệm  m  Câu 19 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Có giá trị nguyên x đoạn  0; 2020 thỏa mãn bất phương trình sau Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Khi đó, Q  x  nghịch biến với x  1  a (3) Ta có:   1 x  a  a    Q  x   lim   e x  a  e x  ln  lim  e x  a  e x  ln 1   xlim         a x    a x    a       1 x    x     (4)   lim Q x  lim e x ea   ln 1  a        x   x     x   Kết hợp (3), (4) suy Q  x   có nghiệm   Do a số nguyên đoạn  10;10 nên kết hợp trường hợp thấy có 20 giá trị a thoả mãn điều kiện Câu 16 (Chuyên Sơn La - 2020) Có giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình e x  ln  x  2m   2m có nghiệm? A 2019 B 2020 C 2021 Lời giải D 4039 Chọn A ln x  m  Ta có e x  ln  x  2m   2m  e x  x  ln  x  2m   x  2m  e x  x  e   ln  x  2m  (*) Xét hàm số f  t   et  t với t    f   t   et   0, t Suy hàm số f  t  đồng biến  Do *  f  x   f  ln  x  2m    x  ln  x  2m   x  2m  e x  2m  e x  x Xét hàm số g  x   e x  x  g   x   e x   g   x    x  Bảng biên thiên Từ bảng biên thiên suy phương trình có nghiệm 2m   m  Mà m  , m   2020; 2020  nên m1;2;3; ;2019 Vậy có 2019 giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình x e  ln  x  2m   2m có nghiệm Câu 17 (Hậu Lộc Thanh Hóa 2020) Cho phương trình x me  10 x  m log  mx   2log  x  1   ( m tham số ) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt? A Vô số B 10 C 11 D Lời giải Chọn D me x  10 x  m log  mx   2log  x  1          mx    x 1   x   me  10 x  m     mx   x  1 1    *  3  4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 * m  pt vơ nghiệm x     m  10 x ex 1 * m  hệ *        m   x  1 x   x x (Vì e   e   e   )  x  1  x   10 x +Xét f  x   x g  x   e 1 x x 10  e x  1  e x 10 x 10e x 1  x   10  + f  x  2  e x 1  e x 1 x x x x Xét u  x   10e 1  x   10  u  x   10e  10e 1  x   10 xe  x   0;   Suy ra: Hàm số u  x  nghịch biến khoảng  0;    u  x   u     f   x   x   0;    f  x  nghịch biến khoảng  0;   lim f  x   10, lim f  x   x 0 x  + g  x   x 1 x2 1  0 x x  x  1 Suy phương trình có ba nghiệm thực phân biệt   m  10 Vì m    m  5;6;7;8;9 1  x   * m  hệ  *    m  f  x  m  g x     Tương tự ta có f   x   x   1;0  , lim f  x   x 1 g  x   10 10e 10e   , lim f  x   10 1 e  1  e e  x 0 x 1 x2 1  0 x x  x  1 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Suy phương trình có nhiều nghiệm thực phân biệt, không thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy có giá trị m Câu 18 (Liên  xm log trường Nghệ An 2020) Cho phương trình 2 x  x2 x  x  3  log  x  m    với m tham số Tổng tất giá trị  tham số m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt A B C Lời giải Chọn D Có  xm log x  x  3  2 x D log  x  m    2 x 1 x  m 2 1 x 1 log  x  1  2    log  x  m    2 21 x 1   log  x  m   log  x  1     1 x  m Xét hàm số f  t   21t có f   t   log  t   21t.ln  t    21t  t   ln  log  t     0, t  2 2 Phương trình cho  f  x  1   f  x  m    x  1  x  m     x  x   2m  x   2m   1  x 1  m  x  x  2m      x  x   m  x   2m   2 1  2 Khi ycbt  phương trình 1   có tổng cộng nghiệm thực phân biệt Vẽ đồ thị hàm số f  x   1 x  g  x    x  x  hệ trục tọa độ (tham 2 2 khảo hình vẽ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đồ thị hàm số f  x  g  x  tiếp xúc với điểm có hồnh độ x  1 Dựa vào đồ thị ta có m  , m  1, m  phương trình cho có nghiệm thực phân biệt 2 Vậy tổng giá trị thực m thỏa ycbt    2 Câu 19 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Biết điều kiện cần đủ tham số m để phương trình a log m  m  x  x có nghiệm m   với a , b hai số nguyên dương b  Hỏi b a  b  b bao nhiêu? A 31 B 32 C 21 D 23 Lời giải Chọn C m  x  x log m  m   x   x 2x m  m   *      *   m  x   m  x   x   x Xét hàm số f  t   t  t  t   Ta có f   t   2t   với t  , suy hàm số đồng biến với t   *  f   m  x  f  x   m  x  x   x   x  m ** Đặt t  x  t   , phương trình ** trở thành t  t  m *** Xét hàm g  t   t  t  t   , ta có g   t   2t   g   t    t  Bảng biến thiên t g –    g  Vậy để  *** có nghiệm t  m   a  1   a  b  b  21 b  4  Câu 20 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Tìm tập hợp giá trị tham số m để phương trình (ẩn x ): 3log2 x   m  3 3log2 x  m2   có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 x2  A  1;   \ 0 B  0;   C  \  1;1 D  1;   Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: x  Ta có: 3log2 x   m  3 3log2 x  m2   1   3log x    m  3 3log2 x  m2   Đặt: t  3log2 x  t    log x  log3 t  x  2log t Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó: t   m  3 t  m     Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt  Phương trình   có hai nghiệm phân biệt dương t1; t2  m  32   m  3       m  1    S     m  3     m  1  m  3  P   m   t1  t2   m  3 Theo hệ thức Vi-et, ta có:  t1.t2  m  Ta có: x1.x2   2log t 2log t   2log  t t   log m  2   2 3 2  log3  m2  3   m2    m2   m0  m  1 Vậy  m  Câu 21 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên số m   5;5 tham log 32  f  x   1  log 2  f  x   1   2m   log cho phương trình f  x    2m  có nghiệm x   1;1 ? A B C Lời giải D vô số Chọn A Với x   1;1  1  f  x     f  x    Đặt t  log  f  x   1  t   ;  , x   1;1 Khi phương trình cho trở thành: t  4t   m   t  2m  t    ;    t    t  2t  m      t  2t  m   t  2t  m * t  2t  m  Để phương trình cho có x   1;1  phương trình * có nghiệm t   ;  Xét hàm số f  t   t  2t  ;  có f   t   2t    t  1  ;  Ta có bảng biến thiên hàm số f  t   t  2t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  t f  t     f t  1 Từ bảng biến thiên suy phương trình * có nghiệm t   ;2  m  1  m   5;5 Mà   m  1; 0;1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán  m   Câu 22 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Có cặp số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện x  x 3  log3 B A  5 y  4 y  y    y  3  ? C D Lời giải Chọn D Ta có: Vì x  x 3 log3 x  x 3 5  30   y  4  y 3  y  3 5 3 x  x 3 (*)   y    y  3 2 Với y  3 ta có: y  y    y  3   4 y   y  1   y  3   y  y   3  y  Kết hợp với y  3 suy y  3 Thế y  3 vào (*) ta được: x  x 3  x  1   x2  2x     x  Vậy cặp số thực  x; y  thỏa mãn  1; 3 ;  3; 3 Câu 23 (Chuyên Lào Cai - 2020) Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  4000 5  25 y  y   x  log5  x  1  ? A B C Lời giải D Chọn A Đặt log  x  1  t  x  5t  Phương trình trở thành:  52 y  y   5t   5t   52 y  y  5t 1   t  1 Xét hàm số f  u   5u  u  f   u   5u.ln   nên hàm số đồng biến Vậy để f  y   f  t  1  y  t   y   t  log  x  1   y   log 4001   y    y  0;1; 2 Với nghiệm y ta tìm nghiệm x tương ứng Câu 24 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho x số thực dương y số thực thỏa mãn x x  log 14  ( y  2) y   Giá trị biểu thức P  x  y  xy  2020 A 2022 B 2020 C 2021 Lời giải D 2019 Chọn C Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x   x  2, x   x  x x Đặt y   t , t  thu 14  ( y  2) y   14  (t  3)t  t  3t  14  16  (t  1)2 (t  2)  16, t  Dẫn đến log 14  ( y  2) y    log 16    Như hai vế dấu đẳng thức xảy tức t    2  x   x  1; y   P  x  y  xy  2020  2021 x   x    Câu 25 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho phương trình log 3x  x   y  y  x  x  Hỏi có cặp số  x; y   x  2020 ; y   thỏa mãn phương trình cho? A B C Lời giải D Chọn D 2 log3 3x  x   y  y  x  x   log3 x  x   y  y  x  x        log  x  x    y  y  x  x   log3  x  x     x  x    y  y (1) Đặt log  x  x    z  x  x   3z (1) trở thành:  3z  z  y  y (2) Xét hàm số f  t   3t  t  f   t   3t ln   0, t   Suy hàm số f  t  đồng biến  (2)  f  z   f  y   z  y   Thay trở lại cách đặt ta có: log3 x  x   y  x  x   y Xét hàm số: g  x   x  x  2, x   0; 2020   g   x   x  g  x   x  Bảng biến thiên: Suy ra:   g  x   4076362   y  4076362   y  log 4076362 Do y     y  log 4076362  3,  y  0;1; 2;3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 g  x   g  x   g x      g  x   39  Dựa vào bảng biến thiên hàm số g  x  ta thấy phương trình có nghiệm  x  2020 Vậy có cặp số  x; y  thỏa mãn đề Câu 26 (Sở Phú Thọ - 2020) Có cặp số nguyên   x; y  thỏa mãn  x  2021  y  log x  y 1  x  y ? A 2020 B C 2019 Lời giải D 10 Chọn D Đặt log  x  y 1   t Suy x  y 1  2t , x  2t  y 1 Phương trình cho trở thành: y  t   2t  y 1   y  2.2 y  y  2.2t  t Xét hàm số g  x   2.2 x  x có g   x   2.2 x ln   0, x nên hàm số y  g  x  ln đồng biến Khi 2.2 y  y  2.2t  t  y  t hay y  log  x  y 1  Suy x  y 1  y  x  y  y 1  y 1 Mà  x  2021 nên  y 1  2021   y   log 2021 hay  y   log 2021  Lại có y số nguyên nên y  2,3, ,11 tức 10 giá trị thỏa mãn Xét biểu thức x  y 1 , giá trị nguyên y cho tương ứng giá trị nguyên x nên có 10 cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn yêu cầu đề Câu 27 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có cặp số nguyên  y  2020 3x  3x   y  log y A 2020 B C Lời giải  x; y  thỏa mãn D Chọn C Ta có:  log3 y x x x  3x   y  log y    x    y  3log y    x     3log y * Xét hàm số: f  t   3t   t   Ta có: f   t   3t.ln   0, t   Suy hàm số y  f  t  đồng biến  Khi đó: *  f  x   f   log y   x   log y  y  3x   y  2020 Do nên:  x2 x, y nguyên  2020   x   log 2020  x  2;3; 4;5;6;7;8 Ứng với giá trị x có giá trị y nên có cặp số  x; y  nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Câu 28 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có số hữu tỉ a thuộc đoạn  1;1 cho tồn số thực b thỏa mãn 2a 4a 1   a a a a 1 1  C D Vô số Lời giải log 1  a  b2  2b   A B Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Chọn C Ta có:  2x 8x  1 2x 4x  2x  1      x  x 1  x  x  2x 2x 4x   x 2x 4x     2  x   4x  2x x  4.2 x  Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 2x 4x   1 x  4.2 x    1 3 x  3 x 1   3 x Lại có   x      x       0 x 4  4  4   2 2x 4x 1 Từ 1 ;   suy x  x  x  1 x 1 1  2  log 1  a  b  2b     a  b  2b   a  b  2b    a   b  1  a   b  a  0 1;1 nên chọn phương án C Câu 29 (Tiên Lãng - Hải Phịng - 2020) Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2020 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 A 1010 B 2020 C Lời giải D Chọn C Đặt log3  x  1  t  x  3t  1, ta  3t  1  y  1  32 y   t  3.3t  t  3.32 y  y (*) Xét hàm số f  u   3.3u  u  f   u   3.3u ln   0, u    f  u  đồng biến  Do (*)  t  y , nên x  32 y   y  x  Vì x  2020  y  4039  y  log 4039 Vì y nguyên dương nên y  1; 2;3 Ta thấy với giá trị nguyên y tìm giá trị nguyên x Vậy có cặp  x; y  thỏa mãn PHẦN PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU BIẾN Câu 30 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2021) Tìm số cặp số nguyên log a b  log b a  ,  a  2020 ;  b  2021 A 53 B 51 C 54 Lời giải Chọn C Đặt t  log a b , log a b  log b a  trở thành  a; b  thỏa mãn D 52 t  t    t  5t     t t  Với t  , suy ra: log a b   b  a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a, b   2  a  2020   a  2020   a  2020   Mặt khác   2  b  2021  a  2021 1.41   a  2021  44.96     b  a   Suy có 43 số a  2;3; 4; ; 44 , tương ứng có 43 số b  ai2 , i  2, 44 Trường hợp có 43 cặp Với t  , suy ra: log a b   b  a a, b   2  a  2020   a  2020   a  2020   Mặt khác   3   a  2021 1.26   a  2021  12.64 2  b  2021 b  a   Suy có 11 số a  2;3; 4; ;12 , tương ứng có 11 số b  ai3 , i  2,12 Trường hợp có 11 cặp Vậy có 43  11  54 cặp Câu 31 (THPT Đông Sơn - Thanh Hóa - 2021) Có cặp số nguyên  x  2021  log  x  y A 2020 y 1  x; y  thỏa mãn   2x  y ? B 10 C Lời giải D 2019 Chọn B Đặt log  x  y 1   t  x  y 1  2t  x  2t  y1 Phương trình cho trở thành: y  t   2t  y 1   y  2.2 y  y  2.2t  t Xét hàm số f  x   2.2 x  x đồng biến R  y  t Suy phương trình log  x  y 1   y  x  y 1  y  x  y 1  x  2021   y 1  2021   y   log 2021   y  log 2021  Do y  Z nên y  2;3;4; ;11 có 10 giá trị nguyên y Mà x  y 1 nên với số nguyên y  2;3; 4; ;11 xác định giá trị nguyên x Vậy có 10 cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn toán Câu 32 (THPT Thạch Thành - Thanh Hóa - 2021) Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 127 số ngun y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 45 B 90 C 89 Lời giải D 46 Chọn B  x2  y  Điều kiện:  x  y  Ta có: log  x  y   log  x  y   x  y  3log  x  y   x2  y   x  y   x2  x   x  y  log log   x  y  1 Đặt t  x  y ,  t   1 trở thành x2  x  t log2  t   Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 Với x ngun cho trước có khơng q 127 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình   có khơng 127 nghiệm t nguyên dương log Ta có hàm số f  t   t  t đồng biến 1;  nên x2  x  128log2 128  2059 có 127 nghiệm nguyên t  Do u cầu tốn tương đương với x  x  2059  44  x  45 (do x nguyên) Vậy có 90 số nguyên x Câu 33 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho x , y số thực dương khác thỏa mãn x  y log x xy  log y x Tích giá trị nguyên nhỏ 2021 biểu thức P  x  y 2020! 2020! A 2021! B C D 2020! 16 Lời giải Chọn B Ta log x có: xy  log y x  log x  xy   log y x   log x y  log x y x  y log x y   log y  log x y      y  log y    x  x2 x  loại  nhận  1 P P  2.4 x   log  * x x Với x  , x  thì: P  P  Suy tập hợp số nguyên P thỏa mãn điều kiện * S  3; 4;5;6;7;9; ; 2020 Với y  Tích phần tử S là: 3.4.5.6.7.9 2020  2020! 16 Câu 34 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất giá trị thực tham số m   1;1 cho phương trình log m 1  x  y   log  x  y   có nghiệm nguyên  x; y  nhất? A B D C Lời giải Chọn B  x2  y2  Điều kiện:  x  y 1  Nhận xét: Vì x, y có vai trị nên phương trình có nghiệm  x0 ; y0   y0 ; x0  nghiệm phương trình *) Điều kiện cần: Phương trình cho có nghiệm  x0  y0 Thay vào phương trình ta log m 1  x02   log  x0   Vì x0    x0   Lại có x02  x0   log  x0    log m 1  x02   log m 1  x0    log x0  2  log x0   m  1  log x0   m  1  log x0  2  m    m  mà m   1;1  m  1 *) Điều kiện đủ: Với m  1 phương trình cho trở thành 2 x  y 1 2 log  x  y   log  x  y    x  y  x  y    x  1   y  1    Suy phương trình cho có nghiệm 1;1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy có hai giá trị m cần tìm m  1 Câu 35 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Có số nguyên y để tồn số thực  x thỏa mãn log11  3x  y   log x  y A ? B D vô số C Lời giải Chọn B 3x  y  11t Đặt log11  3x  y   log x  y  t   (*) t  x  y  Hệ có nghiệm  đường thẳng  : 3x  y  11t đường tròn  C  : x  y  4t có điểm chung   t 11t  11   d  O,    R   2t      t  log11 2 2 t t Do x  y  nên y   log11  1.9239767 Vì y   nên y 1;0;1 Thử lại: t  11t   3x   11 t t t t  - Với y  1 , hệ (*) trở thành       121  8.11  25  9.4 (**) t    x    11t   Nếu t       1   121t  4t Nếu t     121t  4t  11t  4t  25  t t 8.11  8.4 Vậy (**) vô nghiệm t t   log 11 3x  11t 121t 11 t - Với y  hệ (*) trở thành     t  log  x  11 t  x  2 t  11t   3x   11 t t t t  - Với y  hệ (*) trở thành       121  8.11  25  9.4 t    x   1  1 Xét hàm số f (t )  121t  8.11t  25  9.4t , liên tục  ;1 có f   f 1  nên phương 2  2 1  trình f (t )  ln có nghiệm thuộc đoạn  ;1 Khi hiển nhiên tồn x thỏa mãn 2  y Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn y  0, y  Câu 36 (Chuyên Bến Tre - 2020) Giả sử  x0 ; y0  nghiệm phương trình x 1  x sin  x 1  y  1   x  sin  x 1  y  1 Mệnh đề sau đúng? A x0  B 2  x0  C  x0  Lời giải D 5  x0  2 Chọn B Ta có x 1  x sin  x 1  y  1   x  sin  x 1  y  1 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  x  4.2 x   x   sin  x 1  y  1      x     x   sin  x 1  y  1  sin  x 1  y  1  cos  x 1  y  1   2   x     x   2sin  x 1  y  1   2sin  x 1  y  1   cos  x 1  y  1    x    2sin  x 1  y  1   cos  x 1  y  1   x   2sin  x 1  y  1    cos  x 1  y  1   Vì cos  x 1  y  1   sin  x 1  y  1  1 sin  x 1  y  1   x  (vô nghiệm) sin  x 1  y  1  1  x   x  x0    2;  Câu 37 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có ( x; y ) với x , y nguyên  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log     x  y  xy   log  ?  x 3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017.2020 Lời giải Chọn B Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ bất phương trình ta có:  y  2020;  x  2020; x, y  Z ,(1)  2y   2x 1  Ta có:  xy  x  y   log     x  y  xy   log    x3   y2  2y   2x 1    x   (y  2) log     x   (y  2) log    (*)  x3   y2   2x 1   Xét f ( x)  log    log     0, x   4; 2020 (2) x3  x3   + Với y  thay vào (*) ta được: 2  2x 1  3( x  4) log    ( x  3) log    (  x   4; 2020  (1) (2) )    x 3  Suy có 2017 ( x; y ) + Với y  thay vào (*) ta thấy  x   4; 2020  Suy có 2017 ( x; y ) + Với  y  2020  y    2y   y y  y2 Xét g(y)  log    log    log    0, y  (3)  y2  y2  y2 Suy (*) vô nghiệm ( Do (2) (3) ) Vậy có 4034 ( x; y ) Câu 38 (Sở Bắc Ninh - 2020) Có cặp số nguyên dương x y  x; y  thảo mãn  x   1   x  1  x , với x  2020 ? A 13 x y B 15 C D Lời giải Chọn D Ta có x  y  x  x  1   x  1 y  x  y  3x  x  1  x  3x  x  1   3x  x  1 y  x   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta thấy 3x  x   0, x    3x  x  1 y  x    y  x  y  log x  x  3k Vì x  2020  3k  2020  3k  36  k  0;1; 2;3;4;5;6 Câu 39 (Sở Bình Phước - 2020) Biết a, b số thực cho x  y  a.103 z  b.10 z , đồng thời x , y , z số số thực dương thỏa mãn log  x  y   z log  x  y   z  Giá trị 1  thuộc khoảng a b A (1;2) B (2;3) C (3; 4) Lời giải D (4;5) Chọn D log  x  y   z    x  y  10 z   Ta có:    x  y  10  x  y   2 2 z 1 z   log x  y  z      x  y  10  10.10    Khi x  y  a.10 z  b.10 z   x  y  x  xy  y   a.10 z   b.10 z    x  y  x  xy  y   a. x  y   b  x  y   x  xy  y  a. x  y   b. x  y  2  b b x  y   x  y  xy  a   x  y   2a.xy   10  10   b    a  1  a  1   Đồng hệ số ta   4,008  4;5  10   4   a b 225    b  15  2a  1  x  xy  y  a. x  xy  y   Câu 40 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Biết tất cặp  x; y thỏa mãn log  x  y     log  x  y  1 có cặp  x ; y  thỏa mãn: x  y  m  Khi tính tổng tất giá trị m tìm được? A 20 B 14 C 46 D 28 Lời giải Chọn D Ta có log  x  y     log  x  y  1  log  x  y    log  log  x  y  1  log  x  y    log  x  y  1  x  y    x  y  1 2  x2  y2  x  y     x  2   y  2  C  Khi tập hợp điểm M  x ; y  thỏa mãn đề nằm hình trịn tâm I  2;  , bán kính R  nằm đường thẳng  : x  y  m  Để tồn cặp  x ; y  đường trịn  C  phải tiếp xúc với đường thẳng  Điều kiện tiếp xúc: d  I ,    R  3.2  4.2  m 32  14  m    14  m    14  m  5  m  14    m  14  Vậy tổng tất giá trị m 28 Câu 41 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có cặp số nguyên x  y  0;  20  x  20 log  x  y   x  y  xy  x  y  ? A 19 B C 10 Lờigiải D 41 Chọn C Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  x ; y  thoả mãn NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 + Điều kiện: x  y  + Ta có: x  y  nên log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x  y  x  y   x  y  3xy  x  y  x y  log  x  y  3xy   log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x  y  3xy   x  y  3xy  log  x  y   x  y Xét hàm số: f  t   log t  t , ta có: f 't   (1) 1  t  0;  nên hàm số f  t  đồng t ln biến  ;    Do đó: 1  f  x  y  xy   f  x  y   x  y  xy  x  y   x  y  x  y  1   x   y x  y  nên x  y  1 y  19  y 1 + Do y   nên y  9; 8; ; 1; 0 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả mãn YCBT + Do 20  x  20 suy  Vậy có 10 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn YCBT Câu 42 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho số thực x , y thỏa mãn x  , y  log x log y  log x log y   log xy   Giá trị biểu thức P  x  y gần với số số sau A B C 10 D Lời giải Chọn B Đặt a  log x , b  log y Do x  , y  nên a  , b  log 9 Theo giả thiết ta có: a  b  1  2ab   a  b    2a 2b  a  2b  7b  1   1 2 Coi 1 phương trình bậc hai ẩn a , b tham số Để phương trình 1 có nghiệm a     2b2  7b  12  36b  4b4  28b3  45b  22b      thì:  2b  7b    2b2  7b   2b  7b     2b  b   b  12  4b  20b  1      4b  20b    2b  7b   2b  7b    Với b   2a  6a    a  Khi P  x  y    8,1 2 4b  20b   Với  : hệ vô nghiệm b  log 2b  7b   Vậy giá trị biểu thức P  x  y gần với Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 ... thỏa ycbt Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021 BIỆN LUẬN NGHIỆM PT- BPT- MŨ & LOGARIT BÀI TOÁN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH... có nghiệm ** có nghiệm  pt 1 có nghiệm pt   có nghiệm phân biệt pt 1 có nghiệm pt   có nghiệm phân biệt có nghiệm chung x  5 25  m m  m  suy tích giá trị m thỏa yêu cầu toán. .. thành t log 22 t 22t 4t ? ?4? ?? t  t     3t  4t  3t  12t  4t  12t  3t     4t  2t 2t t 1 1 1 3 t t ? ?4? ?? ? ?4? ?? Xét hàm số f  t      4t  f   t     ln  4t ln  t 3 3