BÀI TOÁN 5 MIN MAX mũ LOGARIT đáp án

NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021   MIN-MAX MŨ &LOGARIT BÀI TOÁN Câu (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn  4x 4 y2 2 2 2  y2 , điều kiện  t   khi đó  x  x  y 1  23 x  y  42  x  y   Gọi  m.M   lần  lượt  là  giá  trị  nhỏ  nhất  và  lớn  nhất  của  x  y 1  Tổng  M  m  bằng P x y4 36 18 18 36 A  B  C D 59 59 59 59 Lời giải  Chọn A Đặt  t  x 2  y2  2x  y 1  23  x 4 y2  42 x 4 y2  đưa về:  16  4  4    t     t      (1)  t t t t   Với điều kiện  t   nên  1  t    t    t  x  sin a Suy ra  x  y   suy ra tồn tại   a  2  để     2 y  cos a sin a  cos a  2sin a  cos a  Khi đó  P     2sin a  cos a  sin a  cos a    P   sin a   P   cos a  2  8P   t  2t  2 Điều kiện để tồn tại giá trị của  a  thỏa mãn khi và chỉ khi   2  P    P     P      59 P  36 P     18  442 18  442 P   59 59  18  442 m  36  59  mM  Vậy   59  M  18  442  59  (THPT Phan Đình Phùng - Hà Nội - 2021) Cho hai số thực  a, b  thõa mãn   a  b   Tìm  giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau  T  log 2a b  log ab a 36   2279 A Tmin    B Tmin  13   C Tmin  16   D Tmin  19   16 Lời giải  Chọn C 36 Ta có  T  log 2a b  log ab a 36  log 2a b  36    log 2a b    log a ab  log a b Đặt  t  log a b   Vì   b  a   nên  log a b  log a a  t    36 Xét hàm f  t   t   trên  1; )   1 t Câu Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  f '  t   2t  36  t  1 , f ' t    t    Bảng biến thiên    Từ bảng biến thiên ta có  Tmin  16   Dấu  "  " xảy ra  t   b  a   Câu (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho các số thực dương  a , b, x, y  thỏa mãn  a  1, b   và  a x1  b y  ab  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  thuộc tập hợp nào dưới đây?  A 7;9   B 11;13   C 1; 2   D 5;7   Lời giải  Chọn A    x   log a ab   log a b   3 Ta có  a x1  b y  ab       1     y  log b ab  1  log b a   1    3  log a b    Thay vào  P ,  ta được  4  1    P  3x  y  3  log a b  1   3   log a b  16       log a b   3log a b  Vì  a  1, b   nên  log a b   Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có  16   16 16     log a b P   log a b      3log a b  3log a b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  log a b  Vậy giá trị nhỏ nhất của  P  bằng  Câu 4  log a b    3log a b 16   7;9   (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Cho các số thực  x ,  y  thỏa mãn  ln y  ln  x3    ln   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  H  e4 y  x  x2  A   e x2  y  x  y  1  y   C   B e   D   Lời giải Chọn C  Điều kiện: y  0, x     Từ giả thiết ta có:  ln y  ln  ln  x3    ln y  ln  x3    y  x3    y  x   x  x      Xét hàm số  h  x   x3  x   trên   2;    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021   x  1 Ta có:  h  x   x  ,  h  x    3x       x 1 h  1  ,  h 1  , h   3      Bảng biến thiên:    h  x    Suy ra:   y  x    y  x    Từ bảng biến thiên suy ra:   2;  Ta có:  2 y  x  y   x3    y  x   y  x  e y  x   y  x   y  x   x2  y  x  y  1  y  e      2 Xét hàm số  g  t   et  t  t  trên   0;     Ta có:  g   t   et  t  ,  g   t   et    H  e4 y  x  x2  Ta có:  t   g   t   et   e0   , suy ra hàm số  g   t   đồng biến trên   0;     Suy ra:  t  :  g   t   g     , suy ra hàm số  g  t  đồng biến trên   0;     Vậy  g  t   g    , Suy ra:  H    0;  x  y Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi:    x  y    3 y  x  Câu (THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho  các  số  thực  x, y   với  x    thỏa  mãn  e x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1   y  Gọi  m là giá  e trị nhỏ nhất của biểu thức  T  x  y   Mệnh đề nào sau đây là đúng? A m   2;3 x3 y B m   1;0  C m   0;1 D m 1;  Lời giải  Chọn C + Ta có  e x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1  + Đặt  f  t   et  e t e x 3 y  t  f   t   et  et  y  e x 3 y  e x3 y Câu  x  3 e  xy 1    xy  1*     0, t    Nên hàm số  f  t   đồng biến trên    nên  *  f  x  y   f   xy  1  Do đó  x  y   xy   y   g  t     x  y  e xy 1  x 1 2x   T  x 1  g  x   x 3 x3  0, x   nên  g  x   đồng biến trên   0;   Suy ra  MinT  Min g  x   g     0;  (Chuyên KHTNHN - 2021) Cho  a, b   là các số thực dương thỏa mãn  a b  ab 3   ab  Giá trị  ab nhỏ nhất của biểu thức  a  b  là:  A      B   C 1   D    Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   ab  Điều kiện:  ab    ab   ab   log (2 a b  ab3 )  log    ab  2a b  ab 3   a  b  2ab   log 1  ab   log  a  b    a  b   log  a  b    log 1  ab     2ab      a  b   log  a  b     2ab   log   2ab  (2) Xét hàm số đặc trưng  f (t )  t  log t  với  t   Ta có:  f '(t )    0, t   nên hàm số  f (t )  t  log t  đồng biến trên   0;     t ln Mà (2) là  f ( a  b)  f (2  ab)  nên     a  b   2ab   Để có  a, b  thỏa mãn bài tốn thì   a  b 2  4ab    2ab   4ab   a 2b  3ab   3     ab     0  ab  0  ab  0  ab  2 Ta có  P  a  b   a  b   2ab    2ab   2ab  4a 2b  10ab    Bảng biến thiên    Từ bảng biến thiên ta có P   Câu (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2021) Xét các số thực dương  a , b, x, y  thỏa mãn  a  1, b   và  a x  b y   ab    Biết  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  P  xy  x  y   có  dạng  m  n 30   (với  m , n  là các số tự nhiên). Tính  S  m  2n   A S  34   B S  28   C S  32   Lời giải  D S  24   Chọn B 6   x  1  log a b  a x  a 6b 2 x  log a  a b  Ta có  a  b   ab    y       6 6 y   log a   b  a b y  log a b  b    b Vì  a  1, b   nên  log a b    2x 3y Do đó  P  3xy  x  y  18 1  log a b 1  log b a   1  log a b   1  logb a     44  24log a b  20log b a  44   6log a b  5logb a    Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho   số dương, ta có  log a b  5log b a  log a b.5log b a  30   Khi đó  P  44  4.2 30  44  30   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  log a b  5log b a   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  là  44  30   Suy ra  m  44, n   Vậy  m  2n  28   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ÔN THI THPTQG 2021  Câu (Chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam - 2021) Cho  2  số thực  x, y   với  x  0,  y    Biết  biểu thức  S  2y 2 x y x x   2x  y x a  có giá trị nhỏ nhất là   với  a , b  là các số nguyên dương và  x b 2y a  là phân số tối giản. Tính  P  a  b b A P  11   B P  15   C P  17   Lời giải  D P  13   Chọn C 2  y   x x 2  y 2 Ta có  S      x        1  y     x 2 t t2 1 t 1 Đặt  t    , t     S         2 t   t  1 2  t  1  y 1 t 1 t 1 t 1 t 1           2  t  1  t  1  t  1 8 8  77 1 t  t  t  t  13        t  1  t  1  t  12 8 8 4 13  khi  t    Suy ra  a  13, b   P  a  b  17   Vậy giá trị nhỏ nhất của  S  bằng  x5  Câu (Sở Thái Nguyên - 2021) Cho các số thực  x ,  y  thỏa mãn  e  x2  log 11 y   y y   6   với  x   và  y   Giá trị của biểu thức  P  x  y  xy  2021 bằng A 2014 B 2019 C 2008 D 2010 Lời giải  Chọn D   Xét hàm số  f  x   x    trên khoảng   0;     2x 5 Ta có:  f   x   x    5x   x   x   x    x x x Bảng biến thiên:    7 x5   x5   Từ bảng biến thiên   f  x   f 1  x     e x  e0  e x    1   2x   Đặt  t  y   (Điều kiện:  t  )   11 y   y y    t  12t    Xét hàm số  g  t   t  12t   trên  1;     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  t  Ta có:  g   t   3t  12   3t  12  t      t  2 ( lo¹i ) Bảng biến thiên:    Từ bảng biến thiên   g  t   g    t  12t   10  11 y   y y    10    log 11 y   y y     log10  log 11 y   y y           Từ  1  và       e x5   x2  log 11 y   y y       x5  25x2  72 x  x  1 e      t  y  log 11 y   y y   6     2  P    1.3  2021     2021  2010   Vậy giá trị của biểu thức  P  là  2010   Câu 10 (THPT Nghi Sơn - Thanh Hóa - 2021) Có  bao nhiêu cặp  số   x; y    thuộc  đoạn  1; 2020    thỏa  mãn  y  là số nguyên và  x  ln x  y  e y ?  A   B   C 2021   Lời giải D 2020   Chọn B Ta có:  x  ln x  y  e y  x  ln x  e y  ln e y   Xét hàm số  f  t   t  ln t  trên   0;   , ta có  f   t     0, t   f  t   đồng biến trên  t y y  0;        f  x   f  e   x  e   Do  x  1; 2020  nên 1  e y  2020   y  ln 2020   Mà  y    và  y  1; 2020  nên  y  1; 2;3; 4;5;6;7   Vậy có  cặp số   x; y   thỏa mãn bài tốn.  Câu 11 (THPT Lê Văn Hưu - Thanh Hóa - 2021) Cho  x, y  là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều  kiện   xy  1 xy   y   x    Tìm  giá  trị  lớn  nhât  của  biểu  thức  y x y x  2y ? P  2 6 x  y x  xy  y  A  10 30  B  10 30 10  30 Lời giải  C D 57   30 Chọn B Ta có   xy  1   xy   y   x    xy  1 y   xy   y  y  1  xy  y Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  x  0, y   xy   y   xy   y  xy     xy   y       y    xy   y  xy   y     x 1 x 1 1 x  1            Vậy    0;    y  4 y y y y 2 y x x 1 2 x y x  2y y y Lại có  P         x x  xy  y  x  y  x x   1  y   y 3 y    t 1 t 2 x  Đặt  t  ,  bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  trên  y t  t   t  1  1 t   0;   (Ta có thể dùng MT bỏ túi để kiểm tra kết quả ở bước này).   4 3t  Ta có  P  t      2 t     t  t  3 25 3t  25  1 Với  t   0;  , ta có  3t   ;  t  t  3  3;  ;   4    t  t  3  t  1 1   t  1 3t  25      nên hàm    , suy ra  P  t   24 2  t  1  t  t  3  1 số đồng biến trên nửa khoảng   0;   Vậy giá trị lớn nhất của P đạt được tại  t   là   4  10  khi  x  ; y    max P  30 Câu 12 (THPT Nguyễn Huy Hiệu - Quảng Nam - 2021) Cho  a, b   là  hai  số  thực  dương  thỏa  mãn   4a  2b   2 log    a  3b   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  T  a  b    ab  A .  B 1.  C .  D .  2 Lời giải  Chọn C  4a  2b   Ta có  log    a  3b   log  4a  2b    log  a  b   a  3b     ab   log  4a  2b  5   4a  2b  5  log  a  b   5a  5b     log5  4a  2b     4a  2b  5  log5  5a  5b    5a  5b  1   Xét hàm số  f  t   t  log5 t  với  t     0, t   Do đó  f  t   đồng biến trên   0;     t ln Khi đó  1  4a  2b   5a  5b  a   3b   Ta có  f   t    3 5  Thay vào  T  a  b  10b  30b  25  10  b       2 2  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   b  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi     a   Câu 13 (THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa - 2021) Cho  hai  số  thực  dương  x, y thỏa  mãn    log x  x  x  y   log   y   x  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  T  x  y là    A 18   B 12   C 20   D 16   Lời giải  Chọn D log x  x  x  y   log   y   x                1    log x  x  log  x   y    x   y      Xét hàm số f  t   log t  t       t    f '(t )    0   t     t ln Suy ra hàm số  f (t ) đồng biến trên   0;     Ta có     f ( x )  f  x   y    x  x   y   y   x   Vì  x, y   x   0;6  hàm số  f (t ) đồng biến trên   0;     Khi đó T  x  y  x    x       x   0;6    T '  x    x  1      Bảng biến thiên:  Vậy T  16 Câu 14 (THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa - 2021) Có bao nhiêu số nguyên  y  sao cho ứng với số nguyên  y  có tối đa  100  số nguyên  x  thỏa mãn  y2 x  log  x  y    A 17   B 18   C 13   Lời giải D 20   Chọn D Điều kiện:  x   y   Xét hàm số  f  x  y3 x  log  x  y   ta có:  f   x  2.3 y3 x.ln  0   x  y .ln Bảng biến thiên    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  Từ bảng biến thiên trên ta có tâp nghiệm của bất phương trình là   y ; x0   Để có tối đa  100  số  nguyên  x  thì  f  y 101   y  y  202  3log5 101   10  y    Vậy có  20  giá trị nguyên của  y   Câu 15 (THPT Cẩm Bình - Hà Tĩnh - 2021) Có  bao  nhiêu  cặp  số  nguyên   x; y    thoả  mãn     x  2021 và  y  log x  y 1  x  y   A 2020   B 10   C   Lời giải  D 2021   Chọn B 2y  2t  x  y  2.2t  x  2.2t  y   Phương trình đã cho trở thành:  y  t  2.2t  y  y  2.2 y  y  2.2t  t *   Đặt  log  x  y 1   t  x  y 1  2t  x  Xét hàm số:  f (u )  2.2u  u  Tập xác định D     Ta có:  f (u )  2.2u.ln   u  Suy ra hàm số  f (u )  2.2u  u đồng biến trên     Do đó phương trình  * có một nghiệm duy nhất:  y  t  x  2.2 y  y  x  y  y  log  x    Do   x  2021  log  y  log 4042   y  log 4042  11, 98   Lại có  y  là số nguyên nên:  y  2;3.; ;11   Với mỗi giá trị của  y ta tìm được duy nhất một giá trị của x. Vậy có  10 cặp số ngun   x; y  để  thoả mãn điều kiện bài tốn.  Câu 16 (Sở Phú Thọ - 2021) Có  bao  nhiêu  cặp  số  nguyên   x; y    thỏa  mãn   y  2021   và  3x  3x   y  log y ?  A 2021   B   C   Lời giải D 2020   Chọn B 3x 1   x  1  y  log  y    Đặt  3x 1  u  x   log u ,  u   , suy ra:  u  log u  y  log  y    *   Xét hàm số  f  t   t  log t  trên   0;      ,  t   nên từ  *  suy ra:  t ln  *  f  u   f  y   u  y   Ta có:  f   t    Khi đó ta có:  y  3x 1  y  3x    **   y    y  2021 , suy ra:  Theo giả thiết:   0  y  2021 x   x       x2 1   2021 0  x   log 2021  6,928 x   x      x  2;3; 4;5;6;7;8 (có   số)  0  x   2  x  Từ  **  ta có, ứng với mỗi giá trị của  x , cho duy nhất một giá trị của  y  nên có   cặp.  Câu 17 (Sở Phú Thọ - 2021) Cho  hai  số  thực  a  1, b    Biết  phương  trình  a x b x 1  có  hai  nghiệm   xx  phân biệt  x1 , x2  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S      x1  x2   bằng   x1  x2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A 3   C   Lời giải  B   D 3   Chọn A 2  Do  a  1, b   nên ta có  a x b x 1   log b a x  log b b x 1   x   x log b a     x  x log b a   1  Ta thấy  1  ln có 2 nghiệm trái dấu  x1 , x2 (do tích  ac  1  ).   x1  x2   logb a Theo Vi-ét ta có      x1 x2  1    Khi đó  S      x1  x2   Vì  a  1, b   logb a     x1  x2      x1  x2   Đặt  t    x1  x2   t    1  4t   2t  2t  3 2t.2t  3 (theo bđt Cô-si).  t t t 1 Dấu bằng có khi   2t  t   hay  x1  x2    Vậy min S  3   t 2 Ta có  S  Câu 18 (Sở Thái x  2 2x Nguyên - Cho  2021) các  số  thực  x, y   thỏa   log 2021 2020  2004   y  11 y     với  x    và  y  1   Giá  trị  của  biểu  thức  2021 P  x  y  xy   bằng A 14   B 11   C 10   Lời giải D 12   Chọn B x3  2021 3  x2 x3   2021  log 2021 2020  2004   y  11 y  1 2x Ta có:  x3      2021log 2020  2004   y  11 y    x3 x3 1 cauchy 2       ,  x   VT  2021  2021   1   2 2 2x 2 2x 2x 2x Ta có:  2004   y  11 y   2004  Đặt  t  mãn  3   y   12 y    y 1  t    f  t   2004  t  12t  f '  t   3t  12   f '  t    t  2     Dựa vào BBT, ta có  f  t   2020 , dấu  "  "  xảy ra  t     2   Từ  1  và      Dấu  "  "  xảy ra đồng thời ở  1  và       VP  2021log 2020 2020  2021.1  2021 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Điều kiện:  x  ,   y    Ta có  log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log   y   x  xy    log x  log x  x  log   y   log x  x  xy    log  x   x  log  x   y    x   y    *   Xét hàm số  f  t   log t  t  trên   0;      0, t   0;    nên hàm số  f  t   đồng biến trên   0;    t.ln Khi đó  *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  y   x   Ta có  f   t    T  x3    x   x3  3x  18  g  x    Xét hàm số  g  x   x3  3x  18  trên   0;     x  1   0;   Ta có  g   x   3x  ;  g   x        x    0;   Bảng biến thiên:    x  Từ bảng biến thiên suy ra  T  g  x   g 1  16  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi     y   x  Câu 64 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Xét  các  số  thực  dương  a , b   thoả  mãn   ab log  2ab  a  b   Tìm giá trị nhỏ nhất  Pmin  của  P  a  b ab A Pmin  1  B Pmin   C Pmin  1  D Pmin     Lời giải Chọn C Điều kiện   ab   ab     ab Ta có  log  2ab  a  b   log 1  ab   log  a  b    a  b   1  ab     ab  log 1  ab    1  ab   log  a  b    a  b     log 2 1  ab   1  ab   log  a  b    a  b  1   Xét  hàm  số  f  t   log t  t   với  t    có  f   t     0, t    nên  hàm  số  t.ln f  t   log t  t  đồng biến trên khoảng   0;    Ta có  1  f  1  ab    f  a  b   1  ab   a  b   a  b  2a  1  b  2a    a    2a   a 2a  Khi đó  P  a  b  a     2a  2a  2a  4a  a  1  Xét hàm  g  a      g a   g a   a  2a   2a  1 Do  a, b   Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a   2a  NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  Bảng biến thiên    Vậy  Pmin  1    Câu 65 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho  a, b, c   là  các  số  thực  dương  khác  1  thỏa  mãn  c c log 2a b  log b2 c  log a  log b    Gọi  M , m   lần lượt là  giá trị  lớn nhất,  giá trị  nhỏ  nhất  của  b b P  log a b  logb c  Giá trị của biểu thức  S  3m  M  bằng  A 16   B   C 6   D   Lời giải Chọn C Biến đổi đẳng thức đề bài ta được  c c log 2a b  log b2 c  log a  logb   log 2a b  log b2 c  log a c  log a b  2logb c  b b                                                              log 2a b  logb2 c  log a b.logb c  log a b  2log b c  Đặt  u  log a b; v  log b c  ta có phương trình  u  v  uv  u  2v     u  2uv  v  u  2u   v  4v      (u  v)  (u  1)  (v  2)  3       (*)   Ta có bất đẳng thức quen thuộc  x  y  ( x  y )2  dấu bằng xảy ra khi  x   y , áp dụng bất  đẳng thức này ta có  1 (u  1)2  (v  2)2  (u   v  2)2  (u  1)  (v  2)  (u  v  1)  (**)  2 Từ (*) và (**) ta có   (u  v)  (u  v  1)  hay   P  ( P  1)  3P  P    1  P    Vậy  m  1, M   suy ra  S  m  3M  6    2 x  Câu 66 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho các  số  thực  x,  y thỏa mãn  log    log y  x  y  xy     2 x  Hỏi giá trị nhỏ nhất của  P  x  y  xy  là bao nhiêu?  A 30  20   B 33  22   C 24  16   D 36  24   Lời giải  Chọn D 2  x x2 0 0  2  x    Điều kiện xác định:    x  x2   y0  y   y  Theo bài ra ta có:  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   2 x  log    log y  x  y  xy   2 x  log (2  x)  log ( x  2)  log y  2( x  2)  y ( x  2)   log (2  x)   (2 x  4)  log  ( x  2) y   y ( x  2)  log (4  x)  (4  x)  log  y ( x  2)  y ( x  2) Xét hàm số  f (t )  log t  t (t  0) :  f '(t )    0t    t.ln Suy ra:  f (t ) là hàm đồng biến trên khoàng  (0; )   Mà  f (4  x)  f  y ( x  2)  nên   x  y ( x  2)  y   2x   x2 Vì  P  x  y  xy  ( x  y )   Thay vào P ta có:  2 3  2x   x2   P x       4 x2  4 x2  x2  Xét hàm số  y   trên khoảng  (2; 2) :  x2 x( x  2)  ( x  4) x  x  y'   ( x  2) ( x  2)  x  2  2 y '   x  4x      x  2  2(l ) (Vì  x  (2; 2) )  Lập bảng biến thiên:      Dựa vào bảng biến thiên, ta có  ymin  4    Vậy  Pmin  4   36  24     Câu 67 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho  các  số  thực  x, y    và  thỏa  mãn  điều  kiện  xy    Biểu  thức  P  log x x  log y sau đây đúng  A T  131   y2 4 đạt  giá  trị  nhỏ  nhất  tại  x  x0 , y  y0   Đặt  T  x0  y0   mệnh  đề  nào  B T  132   C T  129   Lời giải  D T  130   Chọn D y2 log x y   log x  2log y      Ta có  P  log x x  log y 2 log x log 2 y 2  log x 2log y   a 2b  1 Đặt  log x  a ,  log y  b  ( a, b  ), ta được  P        a 2b   a 2b  log Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  Vì  xy   suy ra  log x  log y   a  b    a   b   2       a 2b   b 2b  1 Xét hàm  f (b)   trên   0; 2 ,ta có:    b 2b  1   f (b)   2   b   2b  1 Suy ra  P  f   b     2b  1  4(4  b)   b  Ta có:  f    9 , f  2  , f 10   7      4 1    log x  4  x  x     Suy ra trên đoạn   0;   ta có:  P         7  y  24  y  24 log y     4  1  7 Vậy  T  x  y        130       4 Câu 68 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương  a , b , c  thỏa mãn  abc  10  Biết giá trị lớn nhất của  m m biểu thức  F  log a.log b  log b.log c  log c.log a  bằng   với  m , n  nguyên dương và   tối  n n giản. Tổng  m  n  bằng A 13 B 16 C D 10 Lời giải Chọn C x log a  x a  10   Đặt  log b  y  b  10 y , mà  abc  10  10 x.10 y.10 z  10  x  y  z  *   log c  z  z  c  10 Ta có  F  5log a.log b  log b.log c  log c.log a  xy  yz  zx   Từ  *  y   x  z , thay vào biểu thức  F , ta được:  F  x 1  x  z   1  x  z  z  xz  2 z  x  xz  z  x   1 x   xz  z  x  x  x     2 2    2  z  x   xz  z  x    x  x      4  2   2 z  1 5   2  z  x     x       2 2   x  y  z  y     Vậy  max F   khi và chỉ khi   z  x     x    2    x   z    Vậy  m  5, n   m  n    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 69 (Sở Bình Phước - 2020) Cho  x, y   là  các  số  thực  dương  thỏa  mãn  log x  log y   log  x  y   Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  x  y  bằng  A 2    B    D 9.  C    Lời giải  Chọn A Với  x  0; y   Ta có:  log x  log y   log  x  y      1  xy  x  y         y  x  1  x  x 1    x2 0 2y  x  Đặt  m  x  y  ta có:     x  m  x   x2  x  m    m  x  1  x  x m x2  x x 1 Xét hàm số  g  x   2x2  x  với  x    x 1 2    2 x   Vậy  m   2 , dấu bằng xảy ra khi    (thỏa mãn điều kiện bài toán).  y  43  Vậy GTNN của  x  y  là   2   Ta tìm thấy  g  x    2  khi  x  1;   x  2021   y  y  2022 Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  x3  y  x  xy  Tính  M m A  B 5 C D 3   Lời giải  Chọn D Ta có  x  2021  20201 x  y y  y  2022  x  2021 20201 x  y  y  y  2022 Câu 70 (Sở Yên Bái - 2020) Cho các số thực  x, y  thuộc đoạn   0;1 thỏa mãn  20201 x  y     20201 y 1  y   2021  2020 x  x  2021     Ta có  f  t   2020t t  2021 với  t   0;1 có  f  t   2020t.ln 2020 t  2021  2.2020t.t          Do vậy  f  t   2020t t  2021 đồng biến trên khoảng  t   0;1   Suy ra  f 1  y   f  x   x   y  y   x   Do vậy  Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  3 2 x  y  3x  xy  x  1  x   3x  x 1  x  3  x3   18 x  18 x  x3  3x  x  x  4 x3  30 x  27 x    Xét  f  x   4 x  30 x  27 x   với  x   0;1    x  Mà  f  x   4 x  30 x  27 x  nên  f   x   12 x  60 x  27       x  (loai)  1 1 Mặt khác  f    6, f 1  5, f      Do vậy  M  và  m     2 2 Vậy nên  M m  3   Câu 71 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Xét  các  số  thực  dương  x y   thỏa  mãn  log x  log y  log  x  y   Tìm giá trị nhỏ nhất  Pmin  của biểu thức  P  x  y   2 A Pmin  17   B Pmin    C Pmin    D Pmin  25   Lời giải  Chọn C Ta có  log x  log y  log  x  y   log  xy   log  x  y   xy  x  y   2 2   y  1 x  y   Do  y   y    y  1 x  y   Mà  x   nên  y   , hay  y    y2 y2  Suy ra  P  x  y   3y   y 1 y 1 Khi đó ta có  x  y2  y  trên  1;    y 1 Xét hàm số  f  y   Ta có  f   y   y2  y  y  1 3  y2  8y   y  1   y   1;   ;  f   y        y   1;    Bảng biến thiên:    3 Từ bảng biến thiên suy ra  f  y   f     Vậy  P  f  y     2   y  Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi     y x    y 1 Câu 72 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho  a  0, b    thỏa  mãn  log10 a 3b 1  25a  b  1  log10 ab 1 10a  3b  1   Giá trị biểu thức  a  2b  bằng?  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A 6.  B 11     Lời giải D 22.  C Chọn B Với  a  0, b   ta có  25a  b   10 ab  , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  b  5a   Suy ra  log10 a 3b 1  25a  b  1  log10 a 3b 1 10ab  1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  b  5a   Mặt khác, ta lại có với  a  0, b   thì  log10 a 3b 1 10ab  1  0, log10 ab1 10a  3b  1    Do đó:  log10 a 3b 1  25a  b  1  log10 ab 1 10a  3b  1  log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1    log10 a 3b 1 10ab  1 log10 ab 1 10a  3b  1    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   b  b  5a b  5a      10a  3b   10ab  a  log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1  11  a  2b    Câu 73 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho  các  số  thực  dương  a; b; c   khác  1  thỏa  mãn  c c log 2a b  log b2 c  log b  log a  Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  b ab P  log a ab  log b bc  Tính giá trị biểu thức  S  2m2  9M A S  28 B S  25   C S  26 D S  27 Lời giải Chọn D Đặt  x  log a b; y  logb c,  x; y  0  loga c  xy  P  loga ab  logb bc  x  y  x  P  y   log 2a b  log b2 c  logb c c  log a  x  y  y   xy   x b ab Khi đó ta có   P  y   y  y    P  y  y    P  y     y   P  3 y  P  P   Phương trình có nghiệm khi     3P  P    1  P  5  m  1; M   S  27   3 1    log x  4     x    x0   T  x  y  130   Nên giá trị nhỏ nhất của  P  là      0 7 log y   y  24  y  24    Câu 74 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho  a  0, b    thỏa  log4 a5b1 (16a  b  1)  log8ab1 (4a  5b  1)   Giá trị của  a  2b  bằng  A   B   27   Lời giải  C D 20   Chọn C Theo bất đẳng thức Cơsi với  a  0, b   ta có:  16a2  b2   16a b2   8ab   16a  b2   8ab   (*)  Do  4a  5b    nên từ (*) có:  log a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  log a5b1 (8ab  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)   Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn  NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021   log4 a5b1 (16a2  b2  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)  log4 a5 b1 (8ab  1)  Mặt khác  4a  5b    và  8ab   nên:  log a5b1 (8ab  1)    log4 a5 b1 (8ab  1)    log a5b1 (8ab  1) Suy ra  log a5b1 (16a2  b2  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)    16a2  b2 b  4a    a    Đẳng thức xảy ra khi  4a  5b   8ab   2b  6b         a, b  a, b  b  27 Vậy  a  2b    Câu 75 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét  các  số  thực  a , b, x, y   thỏa  mãn  a  1, b    và  a  Giá trị lớn nhất của biểu thức  P  x  y  thuộc tập nào dưới đây? b 1  1   3 3  A  0;  B  1;   C 1;  D  ;  2  2   2 2  Lời giải  Chọn A  x   a a a   x  log a  x  1  log a b  b b    Từ giả thiết ta có:         a a b y   y  log y    1 b     log a b  b b ax  by  Đặt  t  log a b  Vì  a  1, b  , nên  t    1 t t t 32   1  t     1             2 t t  2 t 2 t 3 2 t  1  0, 086   0;  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi    t     t     Pmax  2 t  2 Khi đó: P  Câu 76 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho các số thực  x ,  y  thay đổi thỏa mãn  x  y  xy   và  hàm số  f  t   2t  3t   Gọi  M  và  m  tương ứng là giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất  của   5x  y   Q f    Tổng  M  m  bằng   x y4  A 4    B 4    C 4  2   Lời giải  D 4    Chọn D y  y2  2    Ta có  x  y  xy    x    2  5x  y   t  x  y    x  y    t   x   t  1 y  4t     Đặt  t  x y4 y 3y    t  5  x    3t    4t   2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    4t   y    t    x    2      4t    t  5   2   3t   3y      t       2  y  y2  3t    x        2   3t    12t  24t     t      Xét hàm số  f  t   2t  3t   với    t    Ta có  f   t   6t  6t  6t  t  1   t  Khi đó  f   t       t      Ta có  f   5  ,  f    1 ,  f 1  , f   5      Do đó M  f    ,  m  f   5    Vậy  M  m  4    Câu 77 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho  biểu  thức  P  y  x 3 (1  x  y 1 )  2 x  y 1   và  biểu  thức  Q  log y 3 x y  Giá trị nhỏ nhất của y để tồn tại x đồng thời thỏa mãn  P   và  Q   là số  y0   Khẳng định nào sau đây là đúng ? A y0  là số hữu tỷ B y0 là số vô tỷ.  C y0 là số nguyên dương D y0  là số tự nhiên chẵn.  Lời giải Chọn A  y  2x   Điều kiện     y  P  y  x 1.(1  42 x  y 1 )  22 x  y 1  y  x 1.(1  Đặt  t  y  x   ta có  P  3t (1  Cho  P   3t (1  x  y 1 ) y  x 1   1 ) t   t 1 )  t   12t  3t  4t  2t (1)   t * Với  t   thỏa mãn (1).  * Với  t   ta có  12t  4t  t t t t   12     (1) thỏa mãn.  t t   * Với  t   ta có  12t  4t  t t t t   12     (1) không thỏa mãn.  t t   Vậy  (1)  t   hay  y  x   (a).  y  2x 1     y  2x    1  Vì  Q  log   y  x 1 y   y  y  x   x  y  (b).   y  2x 1   Từ (a), (b) và điều kiện ta có   x  y    y   Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ nên  NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  Cặp số  ( x; y )  thỏa mãn hệ được biểu diễn ở miền khơng bị gạch ở hình bên. Điểm A thuộc miền  khơng bị gạch và có  ymin      11 Vậy  y0   Do đó  y0       3 Câu 78 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hai số thực  a,  b  lớn hơn  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu   a  4b       log ab b 11 B .  thức  S  log a  A     C D   Lời giải  Chọn C 2  a2  4b2  a2  4b2 a   2b  4ab    ab  log Theo bất đẳng thức Cơsi ta có    loga ab   a 4   Do  a,  b 1loga b  loga    Ta có   a  4b  1 S  log a    log b ab  log a ab  log b ab 4     loga b  1     logb a  1  loga b  4loga b    4t Xét hàm số  f  t   t    với  t    4t Đặt  t  loga b , ta có  S  t  4t 1 Ta có  f   t   1    4t 4t 4t 1 1  f t     4t 1   t   t    Khi đó    4t Bảng biến thiên  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    Suy ra  f  t    khi  t    t 0;   Vậy giá trị nhỏ nhất của  S   khi  t  log a b   b  a   Câu 79 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với  các  số  thực  dương  x, y, z   thay  đổi  sao  cho   x  y  2z  log   x  x    y  y    z  z    , gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  2  x y z  x  y  z  x  y  11z  biểu thức  T   thứ tự là  M  và  m  Khi đó  M  m  bằng: x  y  86 A  B C  D    2 Lời giải Chọn D  x  y  2z  +) Ta có  log   x  x    y  y  8  z  z      2  x y z   log  x  y  z   log  x  y  z   x  y  z  4( x  y  z )  log  x  y  z   4( x  y  z )  log  x  y  z   x  y  z  (1).   t  0, t    t ln +) Ta có  (1)  f   x  y  z    f  x  y  z   x  y  z  x  y  z   +) Xét hàm đặc trưng  f  t   log t  t , t   có  f   t   2   x     y     z    36   +) Thay vào biểu thức  , ta được  T   x  y  8z   x  y  11z   x  y  86  T  x  y  86   y  3z   6Tx   5T  1 y  3z   86T y  3z    x  y  86  6T  x     5T  1 y     z     86T  12T   5T  1  12  6T  x     5T  1 y     z    54T   +) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  6T  x     5T  1 y     z     2  6T    5T  1  32 36      54T   36  6T    5T  1  32  720T  360T  360   1  T    Suy ra  M  m     Câu 80 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho các số thực  x, y  thỏa mãn  ln y  ln( x  2)  ln  Tìm  giá trị nhỏ nhất của biểu thức  H  e y  x  x2  x2  y  x( y  1)  y Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  A B C e D   e Lời giải Chọn A Do  ln y  ln  x3    ln  x3   y  y  x3  x   y  x   H e yx   y  x Đặt  t  y  x  t   y  x  2   x3  x3  3x  x  g  x   với  x  2   3 3x  ,  g   x    x  1  g  x   g 1  , suy ra  t    t2 Xét hàm số  f  t   et  t   với  t    t f  t   e 1  t   g x  f   t   et    f   t    e    Ta có bảng biến thiên như sau    Suy ra  H  f     Vậy  H    Câu 81 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  dãy  số   un    có  số  hạng  đầu  u1    thỏa  mãn  log 22  5u1   log 22  7u1   log 22  log 22   và  un 1  7un   với  mọi  n  1.  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  n   để  un  1111111  bằng:  A 11   B   C   Lời giải D 10   Chọn D  Ta có  un 1  7un , n    un   là một cấp số nhân với số hạng đầu là  u1 , công bội  q    2 log 22  5u1   log 22  7u1    log  log u1    log  log u1     log 22  2.log 5.log u1  log 22 u1  log 22  2.log 7.log u1  log 22 u1    2log 22 u1   log  log  log u1  log 22  log 22    2log 22 u1  2.log 35.log u1  log 22  log 22  log 22  log 22    2log 22 u1  2.log 35.log u1   2log u1  log u1  log 35    u   loai  log u     u1   nhan    log u  log 35  35  2 log u1   log 35 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Số hạng tổng quát của dãy số là  un  u1.q n 1  n 1 n 1 n      35 5.7 un  1111111  n   1111111  n   5555555  n   log 5555555    n  log 5555555   Vì  n     nên giá trị nhỏ nhất của  n  bằng  10   Câu 82 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho  x, y  là các số thực dương thỏa mãn  22 xy x y   xy   x y Khi  P  2xy  xy  đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức  3x  y  bằng  A   B   C   D   Lời giải  Chọn C Ta có  22 xy  x y   xy  xy  x  y  log   xy   log  x  y    x y  log 2 1  xy   1  xy   log  x  y    x  y    Xét hàm số  f  t   log t  t  là hàm số đồng biến trên   0;     Do đó từ  *  ta có  1  xy   x  y  x  2 y   2y 1 Suy ra  P  xy  xy   y  y  Pmin   khi  y   x    Do đó  x  y    Câu 83 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho  x, y   là  các  số  dương  thỏa  mãn  x2 y2   là:  1 2y 1 x 32 D .  log  x  y   log  x   log  y   Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  A 31   29   Lời giải  B   C Chọn D Ta có:  log  x  y   log  x   log  y   log  x  y   log  xy   x  y  xy   Mặt khác:  xy  x  y  2 xy   xy    xy    xy    2  x  y   xy  x2 y2    Áp dụng bất đẳng thức cauchy- Swat ta có:  P     y  x  x  y xy  Đặt  xy  t  suy ra  P   xy  xy   t2   t2 Xét hàm số  f  t   f  t   t  4t t  2 t , với  t  8;      t2  0, t  , suy ra hàm số  f  t   đồng biến trên khoảng   8;      32 32    P  f t   5 x  y x  32  khi       MinP   xy  y   f  t   f 8   Câu 84 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn  log  x  1  log  y  1   Khi biểu thức  P  x  y  đạt giá trị nhỏ nhất thì  x  y  a  b   2 với  a, b  Tính  T  ab Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NHỮNG BÀI TỐN KHĨ ƠN THI THPTQG 2021  A T    B T  C T    D T    Lời giải Chọn C  x, y  x    Ta có  log  x  1  log  y  1        y   x   y   x     1   x  1    12  , dấu bằng xảy ra khi và chỉ  Khi đó  P  x  y  x   x 1  x 1  khi   x  x 1         1   2  x  1   3x  y    1   x 1 3    y  1    y   x  5 Vậy  a  1, b   nên  T    3   Câu 85 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho  các  số  thực  x, y   thay  đổi,  thỏa  mãn  x  y    và  ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   Giá trị nhỏ nhất của  M  x  y  là A 2 B C D 16.  Lời giải Chọn C Với  x  y  ,  ta  có  1 x y ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   ln  x  y   ln  xy   2ln 2 x y 2  x y  x y 2  ln  xy   ln    xy      x  y  xy   x  y   (*)   x y  x y u  x  y  Đặt     v  xy  4v 2  f  v  ,  (v  1)   Ta có (*)   u  4v  v  u   v  1 u  4v  u  v 1 8v  v  1  4v 4v  v    f v   ,  f   v    v   do  v    2 v  v      Bảng biến thiên :    x  y    x   Vậy  min( x  y)  u    xy      y    x  y    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 86 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Xét  x, y, z  là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện  xyz   Giá  trị nhỏ nhất của biểu thức  S  log32 x  log 32 y  log32 z  bằng 1 1 A B C D .  16 32 Lời giải  Chọn C Ta có  log  xyz    log x  log y  log z   Đặt  a  log x, b  log y, c  log z  Khi đó ta  có  a, b, c   và  a  b  c    1 S  log32 x  log32 y  log32 z  a3  b3  c   a  b   3ab(a  b)  c3   4 a  b 1 (a  b)  c   3c  3c  1  với   c    4 Đặt  f (c)  3c  3c  ,  f (c)   6c    c    Ta có bảng biến thiên   a  b    a  b  c   a b   1    Từ đây ta suy ra  S  , dấu bằng xảy ra khi  c    16  c   a  b Khi đó  x  y  2, z        Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ...  log  4a  2b  5? ??   4a  2b  5? ??  log  a  b   5a  5b     log5  4a  2b     4a  2b  5? ??  log5  5a  5b    5a  5b  1   Xét hàm số  f  t   t  log5 t  với  t    ... 52  30 log a b  22 log b a  52  30 log a b.22 log b a  52  1 65   Vậy  P  đạt giá trị nhỏ nhất là  m  n 1 65  khi  30log a b  22logb a  log a b  11 ba 15 11 15   m  52  m  n  56 ... giải Chọn C D P  1   Ta có:  5? ?? x y   25 xy  x  y   xy   53 xy1    2  5x  y  x  y  5xy1  xy    Xét hàm số  f  t   5t  t   f   t   5t ln     Do đó hàm số  f  t