Nhìn lại các bài toán vận dụng cao mũ – logarit

NHÌN LẠI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO MŨ - LOGARIT 2020 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Hướng tới kỳ thi THPT Quốc Gia 2020  Các toán cập nhật  Định hướng dạng tốn khó  Phong phú đa dạng  Quan trọng miễn phí  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Copyright © 2019 by Tap chi va tu lieu toan hoc All rights reserved No part of this book may be reproduced or distributed in any form or by anymeans, or stored in data base or a retrieval system, without the prior written the permission of the author NHÌN LẠI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO MŨ – LOGARIT TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Ebook tốn NHÌN LẠI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO MŨ - LOGARIT T Biên soạn: Tạp chí tư liệu tốn học rong đề thi THPT Quốc Gia tốn cực trị nói chung ln tốn mức độ vận dụng vận dụng cao đa phần cảm thấy khó khơng nắm phương pháp, kiến thức bất đẳng thức hay đánh giá túy Chính lí mà nảy ý tưởng viết số trị đề thi thử đề thi THPT Quốc Gia Ở viết giới thiệu cho bạn dạng tốn cực trị hàm số mũ – logarit với mong muốn đọc hiểu áp dụng cho toán khác phức tạp phát triển thêm nhiều vấn đề khác Để viết nên viết khơng thể khơng có tham khảo từ nguồn tài liệu các group, khóa học, tài liệu thầy cô mà tiêu biểu Group Nhóm tốn: https://www.facebook.com/groups/nhomtoan/ Website Tốn học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ Website Toanmath: https://toanmath.com/ Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810 Thầy Lã Duy Tiến – Gi{o viên trường THPT Bình Minh Thầy Lê Phúc Lữ - Cơng tác phòng R&D Cơng ty Fsoft thuộc tập đo|n FPT Thầy Đặng Thành Nam – Giảng viên Vted Thầy Đặng Việt Đông – Gi{o viên trường Nho Quan A Thầy Nguyễn Đăng Ái – Thuận Thành – Bắc Ninh Trong viết có sáng tác tự sưu tầm nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp với qua địa sau: Nguyễn Minh Tuấn – Đại học FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Bản ebook phát hành miễn phí blog CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN, fanpage Tạp chí tư liệu toán học hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại khơng cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC viết giúp bạn hiểu giải dạng toán bất đẳng thức cực CHƯƠNG | Các toán cực trị mũ – logarit CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT I MỞ ĐẦU N hư ta biết đề thi mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia 2018 vừa qua có xuất câu cực trị logarit khơng phải l| b|i to{n khó kh{ l| lạ v| g}y lúng túng cho nhiều học sinh, thực chất mấu chốt toán việc sử dụng bất đẳng thức AM – GM để đ{nh gi{ Trong b|i viết bạn tìm hiểu phát triển b|i to{n cao v| ơn lại dạng tốn cực CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN trị xuất nhiều trước đ}y! Bài toán mở đầu Cho số thực a  0, b  thỏa mãn log 4a  5b 1  16a  b    log 8ab 1  4a  5b    Giá trị biểu thức a  2b bằng? 20 A B 27 Câu 43 mã đề 105 – Đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn 2018 C D Nhận xét Với chưa có kiến thức nhiều bất đẳng thức khả cao bỏ số khác sử dụng CASIO tìm mối liên hệ x,y cách cho Y  1000 , nhiên chắn phương trình vơ nghiệm Nếu tinh ý ta nhận thấy đề yêu cầu tìm giá trị biểu thức a  2b có nghĩa l| a,b số x{c định rồi, ta phải nghĩ tới phương ph{p đ{nh gi{! Chú ý thêm l| c{c số lớn giả thiết theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có thêm 16a  b  8ab Đến đ}y b|i to{n gần coi giải quyết! Lời giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 16a  b  8ab Từ đ}y suy ra: VT  log 4a  5b 1  8ab    log 8ab 1  4a  5b    a, b   27  a  2 Dấu “=” xảy 16a  b   a  2b  log b   8ab  4a  5b    Vậy chọn đ{p {n D Chú ý Ngo|i phép đ{nh gi{ đầu ta sử dụng thêm đ{nh gi{ sau: log a b  log b a  log a b  1  log a b  2 log a b log a b Tạp chí tư liệu tốn học | Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Ta tìm hiểu b|i to{n đề thi THPT Quốc Gia, chuyên đề chủ yếu nhắc tới dạng toán kiểu vậy, nhiên trước tiên ta nhắc lại số dạng toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC kiến thức lý thuyết cần phải nắm rõ | Chinh phục Olympic toán | Các toán cực trị mũ – logarit II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để làm tốt toán chuyên đề cần phải nắm kiến thức lý thuyết bất đẳng thức, điều kiện có nghiệm biến đổi logarit sau Đ}y l| nội dung chun đề mà muốn nhắc tới, dạng toán lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Trước tiên để làm tốt ta cần có số kiến thức bất đẳng thức nhắc lại kiến thức học sau: Bất đẳng thức AM – GM + Cho số thực dương a,b a  b  ab Dấu “=” v| a  b + Cho số thực dương a,b,c a  b  c  3 abc Dấu “=” v| a  b  c CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN + Tổng quát với số thực dương n + Dạng cộng mẫu số x i 1 i  n i 1 n i 1 i 1  xi  n n  xi Dấu “=” v| x1  x2   xn Dấu “=” v| x1  x   x n n x n i 1 x  x  x  x  2 Khi cho n  2, n  ta bất đẳng thức quen thuộc  1 1      x x x x  x  x Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz + Cho số  x , x , , x n   y , y , , y n   n  n   n  ta có   xi   yi     xi yi   i 1  i 1   i 1  Dấu “=” v| số lập thành số tỉ lệ Chú ý cho n  2, n  ta bất đẳng thức quen thuộc +  x1  x 2  y  y 2    x1 y  x y  +  x1  x 2  x  y  y 2  y    x1 y  x y  x y  2  n   n a i  i 1  x2 y2  x  y   n + Dạng cộng mẫu Engel tổng quát  Trong dạng   a b ab i 1 bi  bi i 1 dạng ta hay gặp Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Svacxơ a a a Dấu “=” xảy     n Riêng dạng cộng mẫu cần thêm điều kiện b1 b bn b1 , b , , b n  Tạp chí tư liệu tốn học | Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Bất đẳng thức Minkowski Tổng qu{t: Cho số thực r  v| số dương a , a , , a n , b , b , , b n ta có: 1 n  n r r  n r r r r a  b     i i         bi   i 1   i 1   i 1  Ở đ}y xét trường hợp cho số  a , a , , a n   b1 , b , , b n  Khi ta có: n a i 1 Dấu “=” xảy i  n b i 1 i  n  a i 1 i  bi  a1 a a     n b1 b bn Dạng m| ta hay gặp a2  b2  c2  d2  a  c   b  d 2 Bất đẳng thức n|y Bất đẳng thức Holder   Cho c{c số dương xi , j i  1, m , j  1, n j m  m   n j  Khi với số 1 , 2 , , n  thỏa mãn  i  ta có:    x i , j      x i , j  j1  i 1 i 1  j1  i 1  n n Ở đ}y ta xét trường hợp đơn giản cho dãy số gồm  a, b, c  ;  m, n, p  ;  x, y, z  Ta có: a  b3  c3  x  y  z  m  n  p3    axm  byn  czp  Dấu “=” xảy dãy tương ứng tỷ lệ  Một bất đẳng thức dạng n|y m| ta hay gặp:   a   b   c    abc  Bất đẳng thức trị tuyệt đỉi Cho số thực a,b ta có a  b  a  b  a  b Dấu “=” thứ a,b dấu, dấu “=” thứ a,b trái dấu Điều kiện có nghiệm phƢơng trình bậc Cho phương trình ax  bx  c   a   Khi nếu: +   phương trình có nghiệm , đồng nghĩa vế trái ln khơng âm khơng dương +   phương trình có nghiệm phân biệt Ứng dụng kiến thức áp dụng cho b|i tìm điều kiện có nghiệm để suy min, max Ngồi phải ý tới số phép biến đổi logarit m| ta học | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC gọi l| bất đẳng thức Vector | Các toán cực trị mũ – logarit Tính chất hàm đơn điệu Nếu hàm số f  x  đơn điệu liên tục tập x{c định phương trình f  x   a có tối đa nghiệm Nếu hàm số f  x  đơn điệu khơng lien tục tập x{c định phương trình CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN f  x   a có tối đa n  nghiệm Tạp chí tư liệu tốn học | Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | III CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT KỸ THUẬT RÚT THẾ - ĐÁNH GIÁ ĐIỀU KIỆN ĐƣA VỀ HÀM BIẾN SỈ Đ}y l| kỹ thuật mà gặp toán cực trị mà ta nghĩ tới, hầu hết chúng giải cách biểu thức từ giả thiết xuống yêu cầu từ sử dụng công cụ đạo hàm, bất đẳng thức để giải Sau đ}y ta v|o c{c ví dụ minh họa VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số thực a, b  thỏa mãn log a  log b  Giá trị lớn biểu thức A log  log B log  log C  log  log  D log  log Chuyên KHTN Hà Nội – Lần – 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi yêu cầu b|i to{n ta được: P  log a  log b  Xét hàm số f  t   log a log b log a  log a    log log log log log t  log  t  f '  t     t  log a  log t log  t Ta có f '  t     t  log t   t  t.log 22  t  1  log 22    f t  f    log  log  P  log  log 2   log  Chọn ý A Ví dụ 2: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log a  log Giá trị nhỏ biểu b thức P  4a  b  log  4a  b  viết dạng x  y log z với x,y,z số thực dương lớn Khi tổng x  y  z có giá trị bao nhiêu? A B C D Cris Tuấn Lời giải Từ giả thiết ta có 4 log a  log  log a  log 2  a  b b b Đặt t  4a  b , theo bất đẳng thức AM – GM ta có | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC P  log a  log b bằng? | Các toán cực trị mũ – logarit t  4a  b3  256 256 b3 b3 256 b3 b3 3  b      12 b6 b6 2 b6 2 Khi P  4a  b  log  4a  b   f  t   t  log t 4  1  0t  12 Vậy hàm f  t  đồng biến  12;   t ln 12 ln  P  f  t   f  12    log  x  y  4, z   x  y  z  Ta có f '  t    Chọn ý C Ví dụ 3: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log  12  a  b   gi{ trị nhỏ biểu thức P  log  a   b    Khi m a3 b3 45 viết dạng với m,n   n b2 a2 ab m tối giản Hỏi giá trị m  n bao nhiêu? n B 63 C 64 D 65 số nguyên dương CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A 62 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log  12  a  b   log  a   b     log  12  a  b   log 2  ab2  a   b    a   b    12 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có  12  a  b    a   b     a  b    a  b  Biến đổi tiếp biểu thức P  a  a    b3  a    a   b   a4  b4   a3  b3  45 45    ab ab  a   b    4 a  b   a  b  Chú ý tới bất đẳng thức quen thuộc  a  b   a  b   1  a  b    a  b  45  a  b 4   a  b 3 45 t  4t 45      Từ suy P  2 ab a  b  12  t  t  a   b    12  a  b  Xét hàm số f t  t  4t  12  t  t   t  t   t 45       45  45   f ' t        0 3 t  12  t   12  t  t  12    12    P  f t   f  4  61 61  P   m  n  65 4 Chọn ý D Tạp chí tư liệu tốn học | Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Ví dụ 4: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log  x  2y   log x  log y , gi{ trị nhỏ biểu thức P  e dương v| A 62 x2 1 y e y2 x1 viết dạng m với m,n số nguyên n m tối giản Hỏi giá trị m  n bao nhiêu? n B 78 C D 91 Sở giáo dục đào tạo tỉnh Hải Phòng Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log  x  2y   log x  log y  log  x  2y   log xy  x  2y  xy  x x  y  y 2 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số Engel ta có: 2 P e Đặt t  x 1 y e y2 x1 x x   y 2    y y x 2   ln P           2y  x  2y  1  x x    y  1 2  x t2  y  t    ln P   f  t   f  4   P  e 2  t  1 Chọn ý C x y Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn  x, y  đồng thời  2x2  2xy  y 2xy m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x, y   e x y x y  5.2 Gọi M,  xy  x  y2 Khi gi{ trị biểu thức T  M  m có giá trị bao nhiêu? A e  B e  C e  D Không tồn Lời giải x y Từ giả thiết ta có  x y Đặt a  , b  y x Khi f  x, y   e 2x  2xy  y 2xy  a, b   x y 2 x y x y x y  5.2   4.2 ta được: a  2x y  y x  5.2 4a  5b   a  b  4a  5b    a  b  x  y b y2 x2 x x  e   x   g x 2 | Chinh phục Olympic tốn y x TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC x   y  x x x x  x     y  y     y  4  y    y  2 2  2  | Các toán cực trị mũ – logarit Ta có g '  x   e x  x  1,g ''  x   e x   g  x   g    , không tồn giá trị nhỏ Chọn ý D Ví dụ 6: Gọi S tập hợp cặp số thực  x; y  thỏa mãn x   1; 1 đồng thời ln  x  y   2017x  ln  x  y   2017y  e 2018 Biết giá trị lớn biểu thức x y P  e 2018x  y    2018x với x, y  S đạt  x ; y  Mệnh đề n|o đ}y đúng? A x0   1;  B x  1 D x0   0;  C x  THPT Chuyên Quốc Học – Huế năm 2017-2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có ln  x  y   2017x  ln  x  y   2017y  e 2018 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN x y   x  y  ln  x  y   2017  x  y   e 2018 e 2018  ln  x  y   2017   * xy e 2018 e 2018  f '  t     0, t   f  t  đồng biến  0;   t t t 2018  y  x  e 2018 Khi phương trình  *   x  y  e Xét f  t   ln t  2017   P  e 2018x   x  e 2018   2018x  g  x   g '  x   e 2018x  2019  2018x  2018e 2018   4036x  g ''  x   e 2018x  2018.2020  2018 x  2018 e 2018   4036  e 2018x  2018.2020  2018  2018 e 2018   4036  0, x   1;  Nên g '  x  nghịch biến  1; 1 Mà g '    e 2018  2018  0,g '    2019  2018e 2018 nên tồn x0   1;0  cho g '  x0    max g  x   g  x  1;1 Chọn ý A Ví dụ 4: Cho số thực x,y thỏa mãn 3x  y2  log  x  y   biểu thức P   x  y   3xy bao nhiêu? A 13 B 17   log   xy   Giá trị lớn C D Lời giải Điều kiện x  y;  xy Biến đổi giả thiết ta có 3x  y2   3x  log  x  y   log   2xy   y2 2 log  x  y    2xy   log   2xy  Nếu x  y   VT  log   2xy   VP Tạp chí tư liệu tốn học | 10 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Nếu x  y   VT  log   2xy   VP  Vậy x  y    x  y    2xy  xy  2 2  x  y Khi ta có: P   x  y   6xy  x  y   3xy  2a  3a  a    3 2 Do xy    x  y    2;   a2    f a  a  x  y   f 1   13 Chọn ý A Ví dụ 8: Cho số thực dương a, x, y, z thỏa mãn 4z  y , a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  log a2  xy   log a  x y  x z   4z  y B  A 4 25 16 D  C 2 21 16 Từ giả thiết ta có z  y2 x2 y2 x2 y2  x3 y3  x2 z  x3 y   x3 y3   xy  4 Khi S  log  xy   log  xy  a 2  25 25    log a xy      16 16  Chọn ý B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho số thực x,y thỏa mãn log x2  y2 1  2x  4y   Tính P  x biểu thức y S  4x  3y  đạt giá trị lớn A P  B P  C P   13 D P  17 44 Câu 2: Cho số thực dương x,y thỏa mãn xy  4y  Tìm giá trị lớn biểu thức S  x  2y  6y  ln   x y   A 24  ln B 12  ln Câu 3: Cho số thực x,y thỏa mãn x biểu thức S  x  y  x  y C  y2 1  ln D  ln  log  x  y    Biết giá trị lớn a a với a,b số nguyên dương v| phân số tối b b giản Tính T  a  2b A 25 B 34 11 | Chinh phục Olympic toán C 32 D 41 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giải | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 4: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Giá trị nhỏ biểu thức S  2x  y là? A 2  B C  D  2 Câu 5: Cho số thực a,b thỏa mãn a  b  log a2  b2  a  b   Giá trị lớn biểu thức P  2a  4b  là? A 10 B 10 Câu 6: Cho số thực x,y thỏa mãn xy  4, x  10 D C 10 , y  Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  log 22 x   log y   Tính S  M  2m CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A 10 B 10 10 D C 10 Câu 7: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn log x  log  x  3y    log y Biết giá trị lớn biểu thức S  dương v| A 30 xy x2  xy  2y  2x  3y x  2y a b với a,b,c số nguyên c b phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P  a  b  c c B 15 C 17 D 10 Câu 8: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn log x2  xy  3y2  11x  20y  40   Gọi a,b giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S  A 10 B 14 C 11 y Tính a  b ? x D Câu 9: Cho số thực x,y thỏa mãn log  x  3y   log  x  3y   Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  y A B 2 C D Câu 10: : Cho số thực x,y thỏa mãn log  x  3y   log  x  3y   Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  y  A 10  B 3 C 35 D 32 Tạp chí tư liệu tốn học | 12 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Câu 11: Cho số thực x,y thỏa mãn log x2  y2   x  y    Tìm giá trị lớn biểu thức S  3x  4y  A 9 B 3 C 5 D 5 Câu 12: : Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  3y A B C D Câu 13: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  y C D Câu 14: Tìm tất giá trị thực tham số m để tồn cặp số thực  x, y  thỏa mãn log x  y 2  4x  4y    A  10   2 B  10   x  y  2x  2y   m Câu 15: Cho số thực x,y thỏa mãn  3x 10  C 2 y2    9x 2 y D  y  x2  10  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  2y A  B C  33 D  Câu 16: Cho số thực x,y thỏa mãn x  2y  log x2  y2  2x  y   Biết giá trị lớn a ab với a,b,c số nguyên dương v| phân số tối c c giản Tính giá trị biểu thức P  a  b  c P  x  y A 17 B 12 C 11 D 16 Câu 17[THTT]: Cho số thực dương thay đổi a,b thỏa mãn điều kiện: ln a   ln b   ln b  ln a Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ log b a Giá trị M  m bằng? A  1  B  1   C   D 1  Câu 18: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn y  4x , giá trị lớn biểu thức P  ln 2x  5y 2y  5x m có dạng ln  n Tính tổng m  n  y x 13 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC B A | Các toán cực trị mũ – logarit B 24 A 25 D C 29 Câu 19: Cho số thực dương thay đổi a,b thỏa mãn log  a    log  b    Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  a  b A 12 B 14 C D 16 Câu 20: Cho số thực x thỏa mãn x   0; 16  Biết giá trị nhỏ biểu thức f  x   8.3 x x 9 x 1 9 x đạt x  m m với m, n số nguyên dương v| n n phân số tối giản Tính m  n A 17 B 18 C 19 D 20 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN HƣỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn ý C Ta có 2x  y  x  y    x     y    2 Khi theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 4 S   x  1   y       32   x     y   2  7  13  x  x  y     Dấu “=” xảy    4x  3y   y    Câu Chọn ý C 1  x 4y     2   Theo giả thiết ta có t   y y y  Khi S  x  6y  ln      ln  t    f  t  x y  t Đến đ}y xét tính đơn điệu hàm số ta f  t   f     ln Câu Chọn ý B Ta chuyển toán giải phương trình logarit để tìm mối liên hệ x,y Xét hàm số f  t   t 1  log  t    đ}y l| h|m đồng biến  0;   Do f  t    t   x  y   xy   1; 1 Khi ta  S   x  y    x  xy  y      2xy   xy   512 16 S 27 Câu Chọn ý C Áp dụng tính chất logarit từ giả thiết ta suy được: Tạp chí tư liệu tốn học | 14 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | x3 xy  x  y  y  x    x  y  x1 Vì x,y dương nên từ điều kiện ta suy x  Khi ta 2x  y  2x  x3  f x   f x1  2  4 Câu Chọn ý B 2 1  1  Theo giả thiết ta có a  b2   a  b  a  b2   a     b    2  2  Khi theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 1 1   P  2a    4b    2 2   2  1  1  2  a   b          10     x    x   log x   1;  x 2 1  Khi P  log 22 x    log x    ;   S    2  Theo giả thiết ta có y  Câu Chọn ý D Theo giả thiết ta có log  x  3xy   log 4y  x  3xy  4y   x 1 y Khi chia tử mẫu cho y ta chuyển b|i to{n xét tính đơn điệu hàm t1 2t   3t f t    f ' t      0 2 3 t  t  t t2 t2 2     t t2   f  t   f  1     P  10 Câu Chọn ý C Từ giả thiết ta suy 2x  xy  3y  11x  20y  40  Thế Sx  y vào giả thiết ta  4S   x   20S  11  x  40  Sử dụng điều kiện có nghiệm ta có  55  10 55  10  11  x   240S  440S  199   S   ; ab  60 60   Câu Chọn ý A x  3y  Theo giả thiết ta có   x  0; log  x  9y    x  9y  10 x  3y  Khi y  x  S  8x  18xS  9S  10    Phương trình phải có nghiệm dương nên ta có  x S S  Câu 10 Chọn ý C 15 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Câu Chọn ý A | Các toán cực trị mũ – logarit Tương tự c}u Câu 11 Chọn ý D L|m tương tự câu ta có 2 1  1  x y   x  y   x  y    2  2  2 2  1  1  5 5 2  x   y             1 1    S  3 x    4 y     2 2    x   Dấu “=” xảy  y   1 10 3 10 Câu 12 Chọn ý C CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Tương tự câu Câu 13 Chọn ý A 2 xy Từ giả thiết ta có x  y  xy    x  y   S  x  y     Câu 14 Chọn ý A Từ giả thiết thứ ta suy  x     y    Đ}y l| hình tròn  C  có tâm 2 I  2;  R  Từ giả thiết thứ ta suy  x     y    m  m  , đ}y l| 2 đường tròn  C  có tâm I  1;  , R  m Do yêu cầu toán nên  C  ,  C  phải tiếp xúc với nhau, suy I 1I  R  R  m   10   Câu 15 Chọn ý A Ta đưa việc giải phương trình từ tìm mối liên hệ x,y Từ giả thiết ta có  3x  S  x2  x    2 y2 x2  y   43   x2  y x2  y      f  x  2y    f  x  2y   x  2y  Chú ý Ngồi ta đặt t  x  y sau dùng máy tính để giải phương trình mũ! Câu 16 Chọn ý C Tương tự câu Câu 17 Chọn ý A Đặt x  ln a, y  ln b  x   y  y  x2  x   2; 2 Do log b a  ln a x x    x   x  2; 2  ln b y y Câu 18 Chọn ý B Tạp chí tư liệu tốn học | 16 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Theo giả thiết ta có t  P  ln y  Khi ta x  2x  2y 2x  5y 2y  5x 11 2    ln   5    ln     2t   ln  13 y x t   y  x Câu 19 Chọn ý A Theo giả thiết ta có  a   b    64 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta ab2 64   a   b       a  b   14  a  b  12   Câu 20 Chọn ý A 16 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Giá trị nhỏ hàm số l| đạt x  17 | Chinh phục Olympic toán | Các toán cực trị mũ – logarit HÀM ĐẶC TRƣNG Dạng to{n n|y đề cho phương trình h|m đặc trưng từ ta tìm mối liên hệ biến rút vào giả thiết thứ để giải u cầu tốn Nhìn chung dạng tốn ta cần nắm kỹ biến đổi làm xuất h|m đặc trưng kết hợp với kiến thức đạo hàm giải trọn vẹn! Ta có tính chất sau hàm số Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu chiều miền D tồn u, v  D phương trình f  u   f  v   u  v Ta dùng kiến thức n|y để giải toán mục này! CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN VÍ DỤ MINH HỌA 2y  Câu 1: Cho số thực không âm x,y thỏa mãn x2  2x  y   log x1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức P  e 2x 1  4x  2y  A m  1 B m   C m  e D m  e  Thầy Đặng Thành Nam – Vted.vn Lời giải Mấu chốt toán phải làm xuất h|m đặc trưng từ rút mối liên hệ x y Biến đổi giả thiết ta có: 2y  1 log  2y    log  x   x1  2x  4x   log  x    log  2y    2y x  2x  y   log  x  2x  y      x    log 2  x    log  2y    2y   f  x   2 Xét hàm số f  t   log t  t đoạn  0;   ta có f '  t     f  2y  1 1    Do f  t  hàm t ln đồng biến  0;   Vậy phương trình    2y    x   Thế vào biểu thức cần tìm ta P  e 2x 1  4x2   x      2 Chọn ý B Chú ý:  Phần tìm giá trị nhỏ hàm biến xin nhường cho bạn đọc!  Để tìm hàm đặc trưng ta phải dựa vào biểu thức mũ biểu thức hàm logarit  Với thi trắc nghiệm ta lược bỏ bước xét hàm số đơn điệu để suy ln mối liên hệ Tạp chí tư liệu tốn học | 18 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | xy Câu 2: Cho số x,y,z thỏa mãn x  y  z  đồng thời log     x  z   z  x  2y  y  z   Khi GTNN biểu thức P  A B z  4y bao nhiêu? 4z  2xz  4y 2 C Nguyễn Minh Tuấn D Lời giải Ý tưởng tốn khơng mới, vấn đề ta phải tìm mối liên hệ biến với nhau, bám sát vào biểu thức dấu logarit để xây dựng hàm đặc trưng Biến đổi giả thiết ta được:  log  x  y    x  y   log  y  z    y  z  2  x  y  y  z  x  z  2y Thế vào giả thiết ta được: P z  4y x  2xz  2z t  2t   x     t   1 2 2 4z  2xz  4y x  4xz  5z t  4t   z  Từ đ}y dẽ d|ng tìm P  Chọn ý A   y2  Câu 3: Cho số x, y  thỏa mãn x  y  v| đồng thời x  2y   ln  2  x y  4y x Biết giá trị nhỏ biểu thức P    m n với m,n số nguyên dương y x  y2 2 2 Hỏi có số  m, n  thỏa mãn? B A C D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Nhìn thấy biểu thức logarit viết dạng phân thức ta nghĩ tới hàm đặc trưng Biến đổi gải thiết ta   y2  x  2y   ln  2  x y  2  ln   y    y  ln  x  y   x  y  x  2y  Tuy nhiên vấn đề khó không nằm việc biến đổi mà nằm phần sau Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 19 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC xy log     x  z   z  x  2y   yz   log  x  y   log  y  z   z  x  2y  x  z  | Các toán cực trị mũ – logarit x4 x4 x4 x2 x      27x   3x 2 2 2 x y y y x  y  y  y 27 27 16y 16y 16y 4y     108y   3.2y 2 2 2 2 2 2 2 x  y 2y  x  y  x  y   2y  x  x  y  y  x  y  27 Cộng vế theo vế ta P  3  27 Vậy có số  m, n  thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý D Câu 4: Cho phương trình log  2x  2x    y  y  x  x Hỏi có cặp số nguyên dương  x, y  ,   x  500  thỏa mãn phương trình cho? CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A C B D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: log  2x  2x    y  y  x  x  log  x  x    x  x   y  y 2 2  log x2  x    log  x  x    y  y  log  x  x    y 2 Do  x  500  y  log  x  x     0; 18    y  Vậy ta có giá trị nguyên y thỏa mãn yêu cầu đề b|i đồng nghĩa có cặp số  x, y  thỏa mãn phương trình cho Chọn ý A Câu 5: Cho số thực a,b,c thỏa mãn log trị lớn biểu thức P  A 12  30 B abc  a  a    b  b    c  c   Giá a  b2  c2  2 a  2b  3c abc  30 C  30  30 D 3 Thầy Đặng Thành Nam – Vted.vn Lời giải Một toán phát biểu đơn giản khó Trước tiên biến đổi giả thiết ta abc log 2  a a  4  b b  4  c c  4 a  b2  c2   log  a  b  c    a  b  c   log  a  b  c    a  b  c   a  b  c    a  b  c     a     b     c    10  C  2 Đến đ}y sử dụng đại số kh{ l| khó, v| ý tưởng sử dụng yếu tố hình học tác giả tốn hay l| sử dụng điều kiện tương giao mặt phẳng mặt cầu hình phẳng Oxyz Quy đồng giả thiết ta được: Tạp chí tư liệu tốn học | 20 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | a  2b  3c  a  P  1  b  P    c  P     P  abc Điều kiện tương giao mặt phẳng  P  mặt cầu  C  là: P   d  I;  P    R I  2; 2;  , R  10  6P  12 3P  12P  14  10  P   30 Chọn ý D Ví dụ 6: Tìm tất giá trị thực dương tham số a thỏa mãn bất đẳng thức  a 1 2  a    A  a  B  a  2017 2017     2017  2017    a C a  2017 D  a  2017 Lời giải Lấy logarit số vế ta 2017 a  1   a       2017  2017   2017 log  a  a   a log  2017  2017  2  a   2            log  a  a  log  2017  2017        a 2017 Xét hàm số :   log  x  x  log x   x x x x   x.ln     ln     2    0 f x    f ' x  x x x ln  x      Suy f  x  hàm giảm  0;    f  a   f  2017   a  2017 Chọn ý D Nhận xét Qua ví dụ ta phần n|o hiểu ý tưởng v| phương ph{p l|m dạng to{n n|y Sau đ}y l| c{c b|i tập luyện tập cho bạn BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log  ab  3ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ ab biểu thức S  a  5b A 95  B 21 | Chinh phục Olympic toán 95  15 12 C 95  16 D 95  21 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC THPT Kiến An – Hải Phòng 2017 – 2018 | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 2: Cho số thực dương x,y thỏa mãn 2017 1 x  y biểu thức S   4x  3y  4y  3x   25xy x  2018 Biết giá trị nhỏ  y  2y  2019 a với a,b số nguyên dương v| b a tối giản Tính T  a  b b A T  27 B T  17 C T  195 D T  207  ab Câu 3: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log  2ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ ab biểu thức P  a  2b 10  10  D 2 2 2 y x Câu 4: Cho số thực x,y thỏa mãn e x  4y  1x  e y  1x  y  Biết giá trị lớn a a biểu thức P  x  2y  2x2  8y  x  với a,b số nguyên dương v| tối giản b b Tính T  a  b CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A 10  A T  85 B 10  C B T  31 C T  75 1 Câu 5: Cho số thực dương x,y thỏa mãn 3xy 1    3 biểu thức P  2x  3y A  B 10  10 D T  41 x2 y   2xy  2x  4y Tìm giá trị nhỏ C 15  20 Câu 6: Cho số thực dương x,y thỏa mãn  x  y   x  y  log D 4 xy    xy   2xy   xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  3y A  15 B  15 C Câu 7: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log 15  y x1 D  15   y  3y  x  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  100y A 2499 B 2501 Câu 8: Cho số thực x,y thỏa mãn log trị lớn biểu thức P  A 69  249 94 B C 2500 D 2490 xy  x  x    y  y    xy Tìm giá x  y  xy  x  2y  xy6 43  249 94 C 37  249 21 D 69  249 94 Tạp chí tư liệu tốn học | 22 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Câu 9: Cho số thực x,y thỏa mãn log x  2y  xy6 trị nhỏ biểu thức P  37  249 69  249 D 21 94 2x  y  Câu 10: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log  x  2y Tìm giá trị nhỏ xy A 69  249 94 xy  x  x    y  y    xy Tìm giá x  y  xy  2 biểu thức S  B 43  249 94 C  x y D  C xy Câu 11: Cho số thực x,y thỏa mãn log 2  x  x    y  y    xy Biết giá x  y  xy  trị lớn biểu thức P  x  2y  a  b a , với a,b,c số nguyên dương v|  c xy2 c tối giản Tính S  a  b  c B 231 A 221 C 195 D 196 Câu 12: Cho số x,y thỏa mãn  x  y   x  xy  y    ln biểu thức P  A y  y2  x  x2  Tìm giá trị nhỏ 1   xy x  y 2xy B D C Câu 13: Cho số thực dương x,y thỏa mãn 20182xy  4x2 y 2  2x  y Tìm giá trị nhỏ xy  biểu thức S  x  4y A  B  Câu 14: Cho x,y số thực thỏa mãn log C  y x1  D    y  x   y  x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y A  B  Câu 15: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log C 2 6x  6y  23  9x  9y  6x  6y  21 Biết x2  y2 giá trị lớn biểu thức P   x  y  50  9xy   39x  6y nguyên dương v| A 188 a tối giản Tính T  a  b b B 191 23 | Chinh phục Olympic toán D 1 C 202 a với a,b số b D 179 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC B  A | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 16: Cho số thực x,y thỏa mãn x, y  log  x    y    y1    x  1  y  1 Biết giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  57  x  y  số thực có dạng a  b với a,b số nguyên Tính T  a  b A 28 B 29 C 30 Câu 17: Cho số thực x,y thỏa mãn log biểu thức P  A D 31 x y  x  2y   3xy Tìm giá trị nhỏ 3xy  x 2 2x  xy  2y 2xy  y B C D CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  4a  2b   Câu 18: Cho số thực a,b thỏa mãn log    a  3b  Tìm giá trị nhỏ  ab  biểu thức P  a  b A B C D  x  4y  Câu 19: Cho x,y số thực dương thỏa mãn log    2x  4y  Tìm giá trị nhỏ  xy  biểu thức P  A 2x  2x y  6x x  y B 16 C Câu 20: Cho x,y số thực dương thỏa mãn x2 y D 25 5xy  xy  x    3 x  y  y  x   3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  x  2y A  B  C  D  HƣỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta log   ab   log  a  b    ab     a  b    log    ab      ab   log  a  b    a  b     ab   a  b  b  3a     a  b  6a 0  a  6 3a   1  95  95   S  f  a   f    3   Câu Chọn ý D Biến đổi giả thiết ta Tạp chí tư liệu tốn học | 24 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | x    2018  2017 x    y   2018 2017 1 y  x   y  S  16  x  x    x  x   12  191 16 Câu Chọn ý A Tương tự câu Câu Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta 4e x  y  x2   4e y  1 x2  y   x  4y   x  4y   x  4e x  y  1 x2  y   x  4e y  1 x2  x  4y   x  y   x  x  y  4y 58 27 lớn P  Câu Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta có 1   3  xy 1    xy     3 x2 y   x  2y    xy  x  2y  1x   4   P  f  x   2x        f  x     Câu Chọn ý C Biến đổi giả thiết ta có x  y  x  y  log  x  y      xy      xy   log    xy    x  y    xy   y  2  x 2x x   0;    P  x   2  15  2x  2x  Câu Chọn ý B Biến đổi giả thiết ta có log y  y  3y  log x    x    x   y  x   P  x  100 x     x   50  2501  2501 Câu Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta có  x  y   log  x  y  xy    x  y  xy   x  y   log   x  y     x  y   log  x  y  xy    x  y  xy  log y  3y y  3y     x  y   x  y  xy    x     3 x    2 2 2   25 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Đến đ}y vào giả thiết lại khảo sát hàm số đoạn  1; 1 ta tìm giá trị | Các tốn cực trị mũ – logarit 2 y 3 y 3  2  x        a  b     2  2   a b Khi ta b 2b ,y    P  x  y    x  2y  3 b 3b    Pa   8  a     P  1 a   P   b  8P     3   x a Coi   l| phương trình đường tròn  C  có tâm gốc tọa độ R    l| phương trình đường thẳng  d  Để  C   d  có điểm chung ta có điều kiện: 8P  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN d  O;d   R   P  1  P  3 1 69  249 69  249 P 94 94 Câu Chọn ý D Tương tự câu Câu 10 Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta có log  2x  y    log  x  y   x  2y  log  2x  y     2x  y    log   x  y     x  y   x  2y   S  f  x    x 1  f   1x 2 Câu 11 Chọn ý A Tương tự câu Câu 12 Chọn ý C Biến đổi giả thiết ta có x  yx  xy  y    ln  y  y2  x  x2     x  y   x  y   ln y  y   ln x  x        ln x  x   x  2x  ln y  y   y  2y xyP  x2  2 x Câu 13 Chọn ý D Câu 14 Chọn ý B Đề thi HKI – Chuyên Amsterdam – Hà Nội – 2017 – 2018 Câu 15 Chọn ý A Câu 16 Chọn ý B Tạp chí tư liệu tốn học | 26 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh – Lần – 2017 – 2018 Biến đổi giả thiết ta có log   x    y    y1    x    y     y   log   x    y       x    y    log   x    y     9   x    log  x    log  y      x  1 y1 y1  log  x    x   log 9   x1  x  y   xy    xy  y1 y1 y1 a  83 Khi P    xy   3xy   xy   57   xy   f  xy   f    b  112   Câu 17 Chọn ý B Biến đổi giả thiết ta có x2  y2 2x  2y 2 2  2x  2y   3xy  x  log  2x  2y  3xy  x 2 2 3xy  x 3xy  x  log  2x  2y   2x  2y  log  3xy  x   3xy  x  2x  2y  3xy  x  x  3xy  2y    x 2 y x x 2    y y x 3 P    f   f   2x y 2 1 y Câu 18 Chọn ý C Câu 19 Chọn ý B Câu 20 Chọn ý B Biến đổi giả thiết ta 5xy  xy  x    3 x  y  y  x   3 x2 y  x2 y 5 3  x  2y  5xy 1  31xy  xy  x2 y   xy  x  y   y  x    x    y   S  f x  x  27 | Chinh phục Olympic toán  x  1 x2    f 2  42 x1 x  2 x2 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC log | Các toán cực trị mũ – logarit CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐỊNH LÝ VIET Phương ph{p chung toán dạng hầu hết l| đưa giả thiết phương trình logarit dạng tam thức, sau sử dụng định lý viet phép biến đổi logarit để giải b|i to{n Để hiểu rõ ta v|o c{c ví dụ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số nguyên dương a, b  thỏa mãn phương trình: 11log a x log b x  log a x  20 log b x  11  Biết phương trình có tích nghiệm số tự nhiên nhỏ Tính S  2a  3b A 28 B 10 C 22 D 15 Đề minh họa học sinh giỏi tỉnh cấp THPT tỉnh Phú Thọ CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Lời giải Ta đưa phương trình phương trình bậc theo ẩn log a x ta được: 11log b a  log a x     log b a  log a x  11  Để phương trình có nghiệm    400  log b a   164 log b a  64  Gọi x , x nghiệm phương trình theo định lý Viet ta có log a x1  log a x2    5log b a  11log b a  20 log a b  11 11 20 20 log a b   x1 x  b 11 a 11 11 11 Do a,b số nguyên dương đồng thời tích nghiệm số tự nhiên nhỏ nên ta  log a  x1 x   11 có đ{nh gi{ sau x1 x  b a Để x1 x  * 20 11  a b 20 18 11    b 20 11   2 b 11   9.b8  n 11  9.2  n  , mặt khác n 11  n Đến đ}y ta xét c{c trường hợp sau  Nếu n   b  8192  b   Nếu n   b  708588  b   Nếu n   b  708588  b  Vậy a  2, b  Chọn ý A Ví dụ 2: Xét số nguyên dương a,b cho phương trình a ln x  b ln x   có nghiệm phân biệt x , x v| phương trình log x  b log x  a  có nghiệm x , x thỏa mãn x x  x x Khi gi{ trị nhỏ biểu thức S  2a  3b A 30 B 25 C D 17 Câu 46 mã đề 104, đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn 2017 Lời giải Tạp chí tư liệu tốn học | 28 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Điều kiện để hai phương trình có hai nghiệm phân biệt x  0, b  20a  v| a,b đồng thời số tự nhiên lớn Xét phương trình a ln x  b ln x   , đặt t  ln x phương trình trở thành at  bt   , giả sử t  ln x , t  ln x nghiệm phương trình theo Viet ta có: t  t  ln x1  ln x2  ln  x1 x2    b  b  x1 x  e a a Tương tự phương trình log x  b log x  a  ta có x x  10  b Mặt khác theo giả thiết ta có: b  b b b ln 10  ln 10   ln 10   a 2 a a a ln 10 Đồng thời ta lại có a số nguyên dương nên suy a  b2  20a  0, b  *  b  x1 x  x x  e  b a  10  b  Vậy S  2a  3b  2.3  3.8  30 Ví dụ 3: Cho số thực a, b  v| phương trình log a  ax  log b  bx   2018 có nghiệm phân biệt m,n Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   4a  9b  36m n   A 144 B 72 C 68 D 216 Lời giải Ta đưa phương trình phương trình bậc theo ẩn log a x ta được: log a  ax  log b  bx   2018    log a x   log b x   2018  log a x log b x  log a x  log b x   2018  log b a  log a x     log b a  log a x  2017 Theo định lý viet ta có log a m  log a n    log b a 1   log a b   log a  log a  mn   mn  log b a ab ab Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 36  36  P   4a  9b2   2    4a 9b 2 2  144 ab a b   4a  9b  Dấu “=” xảy  36  a  3, b    2 a b Chọn ý A 29 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Chọn ý A | Các tốn cực trị mũ – logarit Ví dụ 4: Cho số thực a,b,c thay đổi lớn 1, thỏa mãn a  b  c  100 Gọi m,n nghiệm phương trình  log a x     log a b  log a c  log a x   Tính giá trị biểu thức S  a  2b  3c mn đạt giá trị lớn 500 700 A B C 00 3 D 600 Lời giải Với toán giả thiết đưa tam thức bậc sẵn nên ta cần sử dụng tới định lý viet, ta log a m  log a n   log a b  log a c  log a  ab c   mn  ab c Theo bất đẳng thức AM – GM ta có mn  ab c  ab  100  a  b    3b 3b   3a  100  a  b  100  a  b  100  a  b   27  2  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN 3b   3a     100  a  b    625.10     27  27    3b 50 100 150 700 Dấu “=” xảy 3a   100  a  b  a  ,b  ,c  S  3 3 Chọn ý B Ví dụ 5: Cho phương trình ln x   m   ln x  n    , ln x   n   ln x  m    Biết phương trình   ,   có nghiệm phân biệt đồng thời có chung nghiệm x nghiệm phương trình   , x nghiệm phương trình   Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  x 2 A B C D Đề thử nghiệm mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia 2018 – Bộ GD&ĐT Lời giải Điều kiện m  n Gọi x nghiệm chung phương trình ta có ln x   m   ln x  n    n   ln x   m   ln x  n  m  ln x  n  ln x  m     0   n  m  ln x  m  n  ln x  1  m  n  Áp dụng định lý viet cho phương trình ta có  ln x0  ln x1  m   ln x1  ln x2  m  n  ln x0  ln x2  n   ln x1 ln x0  n ln x1 n    m ln x1  n ln x  ln x2 ln x0  m ln x2 m Tạp chí tư liệu tốn học | 30 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit |  ln x2  m n n  ln x2  ln x  m  n  ln x     m  n   m m  ln x1  n Khi S  x1  x 2  e 2m  e 2m Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: S  x1  x 2  e 2m  e 2m  e 2m e 2m  Chọn ý B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho số thực a, b  Biết phương trình a x b x 1  có nghiệm phân biệt x , x  xx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S      x1  x   x1  x  A B 3 C 3 D x , x v| phương trình b x 1   9a  có nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện x  x1  x  x  x   Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 12 B 46 S  3a  2b C 44 D 22 Câu 3: Xét số nguyên dương a,b cho phương trình a.4  b.2  50  có nghiệm x x phân biệt x , x v| phương trình x  b.3x  50a  có nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện x  x  x1  x Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  2a  3b A 49 B 51 C 78 D 81 Câu 4: Cho số thực a, b  thay đổi thỏa mãn a  b  10 Gọi m,n nghiệm phương trình  log a x  log b x   log a x   Tìm giá trị nhỏ P  mn  9a 279 81 45 C D B 90 4 Câu 5: : Cho số thực a, b  thay đổi thỏa mãn a  b  10 Gọi m,n nghiệm A phương trình  log a x  log b x   log a x  log b x   Tìm giá trị nhỏ P  mn 16875 4000 B C 15625 D 3456 16 27 Câu 6: Biết m,n số nguyên dương thay đổi lớn phương trình A log m x log n x  log m x  log n x  2017 ln có nghiệm phân biệt a,b Tính S  m  n để tích ab số nguyên dương nhỏ A 20 B 12 C 24 D 48 Câu 7: Biết m,n số dương thay đổi khác thỏa mãn m  n  2017 phương trình log m x log n x  log m x  log n x  2017  có nghiệm phân biệt a,b Biết giá trị lớn biểu thức ln  ab  nguyên dương Tính S  2c  3d 31 | Chinh phục Olympic toán  c  d ln    ln   với c,d số  13  18  13  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 2: Cho số nguyên dương a, b  Biết phương trình a x   b x có nghiệm phân biệt | Các tốn cực trị mũ – logarit A 2017 B 66561 C 64544 D 26221 Câu 8: Cho số thực a, b  Biết phương trình a x b x   có nghiệm thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log a  ab  log a b A 2017 B 66561 C 64544 D 26221 Câu 9: Cho số nguyên dương a, b  thỏa mãn phương trình: 13 log a x log b x  log a x  20 log b x  11  Biết phương trình có tích nghiệm số tự nhiên nhỏ Tính S  3a  4b A 52 B 34 C 70 D 56 Câu 10[Minh Tuấn]: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Gọi m,n nghiệm phương trình log b x.log b  xabc   712 Biết giá trị nhỏ biểu CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  10  1   thức P  log  3mn       108  viết dạng i  log j với i,j số mn  a b c    nguyên dương Khi gi{ trị biểu thức T  i  j bằng? A B C D HƣỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn ý C Biến đổi giả thiết đồng thời áp dụng định lý viet ta x1  x2   log b a x   x log b a    x1 x  1 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 2     S   log b a     log b a  log b a   log b a   log b a  Câu Chọn ý B Với phương trình đầu ta lấy logarit vế ta x  x log a b   Phương trình n|y có nghiệm    log a b     b  a 2 Tương tự với phương trình ta có x  x log b  9a       log b  9a      x1  x2  log a b Theo viet ta   log a b.log b 9a    log a 9a    a   x3  x  log b  9a  Khi ta b  16  b  17  S  46 Câu Chọn ý D   0; S  0; P1  Điều kiện để phương trình có nghiệm dương l|   b2  200a   0; S  0; P2  Tạp chí tư liệu tốn học | 32 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | 50  x1 x2 50  x  x  log 2  a a Theo viet ta có  3x3 3x4  50a  x  x  log  50a    50  Theo giả thiết ta có x  x  x1  x  log  50a   log    a   b  25  S  81  a  Câu Chọn ý A Biến đổi phương trình đầu ta phương trình tương đương log b a  log a x   log a x   Theo viet ta có log a n  log a n  279  log a b2  mn  b2  P  b  9b  90  log b a Câu Chọn ý D Biến đổi phương trình đầu ta phương trình tương đương log b a  log a x     log b a  log a x   Theo Viet ta có log a m  log a n   3log b a  log a b   mn  a b log b a  S  a  10  a   f  a   f    3456 Câu Chọn ý B L|m tương tự ví dụ minh họa Câu Chọn ý B Biến đổi phương trình tương đương log n m  log m x    log n m   log m x  2017  Theo viet ta có 6 log n m  7 log m a  log m b   ab  m n  ln  ab   ln m  ln  2017  m   f  m  8log n m  12102  12102 14119  f m  f   ln  S  66561   ln 13 13  13  Câu Chọn ý C Ta có log a b  Lấy logarit vế ta x  x log a b  log a b  Điều kiện có nghiệm phương trình l|    log a b   log a b   log a b   P  log a b  Câu Chọn ý C Tương tự ví dụ minh họa Câu 10 Chọn ý A Nguyễn Minh Tuấn Biến đổi giả thiết tương đương với 33 | Chinh phục Olympic toán   f  log a b   f    log a b TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC | Các toán cực trị mũ – logarit log b x.log b  xabc   712  log b x  log b x  log b a  log b c    712   log b x     log b a  log b c  log b x  712  Theo định lý viet ta có log b m  log b n  log b abc  mn  abc Khi ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức  10  1   P  log  3mn       108   log  3abc  10  ab  bc  ca   108  mn  a b c    Theo bất đẳng thức Schur bậc ta có 3abc    a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c      ab  bc  ca   36  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  3abc  10  ab  bc  ca   2  ab  bc  ca   72 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ab  bc  ca   a  b  c   12  2  ab  bc  ca   72  96  P  log  96  108   log 12   log Tạp chí tư liệu tốn học | 34 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI BIỂU THỨC LOGBA Vấn đề đề cập tới đ}y thực chất toán biến đổi giả thiết theo ẩn log b a v| đưa khảo sát hàm số biến đơn giản Sau đ}y l| c{c ví dụ minh họa VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho a,b số thực thay đổi thỏa mãn  a  b Biết giá trị nhỏ biểu thức P   log a b  2   log  b a b  m  n  p số nguyên Tính giá trị a  T  m  n  p ? A 1 C 14 B D 10 Lời giải Biến đổi giả thiết ta  P   log a b   log  2 b a   b a    log a b   1  log a   b a  a  2       1 2   log a b   1     log a b      log a b   b    log a a     t1 Đặt t  log a b   t  1  S  f  t   4t   f t  f          0;1 2  t2    Chọn ý C  1 Ví dụ 2: Cho số thực x , x , , x n thuộc khoảng  0;  Tìm giá trị nhỏ biểu  4 1 1 1    thức S  log x1  x    log x2  x     log xn  x   4 4 4    A 2n B C n D Lời giải Trước tiên ta xét tới bất đẳng thức phụ xk  1   xk   xk    2  Bất đẳng thức đúng, {p dụng vào tốn ta có:  P  log x1 x 22  log x2 x 32   log xn x12  log x1 x  log x2 x   log xn x Théo bất đẳng thức AM – GM ta có:    log x1 x  log x2 x   log xn x  2n log x1 x log x2 x log xn x  2n Chọn ý A 35 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Vted.vn | Các tốn cực trị mũ – logarit Ví dụ 3: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn  b  a  Biết giá trị nhỏ biểu  3b   thức P  log a   12 log 2b a l| M đạt a  b m Tính M  m ?   4a  a 37 28 C D A 15 B 12 3 Lời giải Ta có bất đẳng thức phụ sau 3b   4b3   2b    b     Mặt kh{c Khi ta 3b  b3  4a3 a  b  a  nên ta CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN     b3 12 P  log a  12   log a b    b a  log a b  1  log a  a  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 12 3 12 3log a b     log a b     log a b     3.3  2  log a b  1  log a b  1 12 Dấu “=” xảy  log a b  1   log a b   b  a  a  b 2 log b   a  Chọn ý D Ví dụ 4: Cho số thực a,b thỏa mãn điều kiện 3a   b  v| đồng thời biểu thức   a3   P  log a     log 3a a  đạt giá trị nhỏ Tính tổng S  3a  b  4b  16  b  A B 13 25 D 14 Đề thi thử trường THPT Kim Sơn A – Ninh Bình lần C Lời giải Ý tưởng tốn khơng tốn trước dồn log a b điều khó, thay a3 vào tinh ý ta dồn biến theo ẩn loga bất đẳng thức AM – GM 4b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:      a3    a3   P  log a     log 3a a   log a    3a   4b  16   4b  16  log a b   b22   2  a    log a     4b  16  log a a  4b        a  3   log a       4b  16  log a     a 4b    Tạp chí tư liệu tốn học | 36 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Sử dụng bất đẳng thức AM – GM lần ta     3     a  a  a  3 log a   log a      log a       4b  16  log a   4b   4b  16  log a      a a 4b  4b    2     a3   a3    3 log a  log     a   4b   4b  16  log a    a 4b   Dấu “=” xảy a  b  Chọn ý A Ví dụ 5: Cho số thực a, b, c   1;  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A log 289  log B 11 C D Đề thi thử chuyên Lê Hồng Phong Lời giải Xét bất đẳng thức phụ x  4x   x   x    x    x   1;  Áp dụng v|o b|i to{n ta được: P  log bc  2a  8a    log ca  4b  16b  16   log ab  c  4c    log bc 2a  log ac 4b  log ab c  log bc  log ca   log bc a  log ac b  log ab c  Mặt khác a, b, c   1;  nên ta có log bc  log ca  1 1     log bc log ca log  2.2  log  2.2  Lại theo bất đẳng thức Nesbit ta có: a,b,c  log bc a  log ac b  log ab c    cyc ln a  ln b  ln c Vậy giá trị nhỏ P Chọn ý D Chú ý: Cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit Đ}y l| bất đẳng thức tiếng, có 20 c{ch chứng minh cho bất đẳng thức n|y, sau đ}y xin trình b|y cách xét hiệu nhanh cho người tham khảo Xét số thực dương a,b,c thay đổi, ta có a b c    bc ca ab a  b a b c Chứng minh: Ta có     0 b  c c  a a  b cyc  a  c  b  c  37 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC P  log bc  2a  8a    log ca  4b  16b  16   log ab  c  4c   | Các toán cực trị mũ – logarit Bất đẳng thức ln nên ta có điều phải chứng minh! BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho số thực a  1, b  Tính giá trị biểu thức S  log a ab biểu thức P  log a2 b  log b a đạt giá trị nhỏ nhất? A 1 B C  D  4  Câu 2: Cho số thực b  a  Tính giá trị biểu thức S  log a ab biểu thức log a b  log a ab đạt giá trị nhỏ ? 2 a log a   b 11 B S  C S  A S  4 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN P D S  Câu 3: Cho số thực a  1, b  Biết giá trị nhỏ biểu thức S  1  log ab a log ab b m m với m,n số nguyên dương v| phân số tối giản Tính P  2m  3n n n A 30 B 42 C 24 D 35 Câu 4: Cho số thực a, b   1; 2 thỏa mãn a  b Biết giá trị nhỏ biểu thức P  log a  b2  4b    log 2b a m  3 n với m,n số nguyên dương Tính S  m  n a A B 18 C 54 D 15  a4  Câu 5: : Cho số thực a  b  , biết P  log 2b    log b a đạt giá trị nhỏ b  M b  a m Tính m  M ? 37 A B 10 C 17 Câu 6: Cho số thực a  b  Biết biểu thức P  D a  log a đạt giá trị lớn log ab a b có số thực k cho b  a k Mệnh đề n|o sau đ}y đúng? 1 A  k  B  k  C 1  k   2  a2 Câu 7: Cho số thực b  a  Tìm giá trị lớn P  log a3  b A 23  16 2 B 23  16 2 C 35 23  2 D  k0  b   log b2   ? a  D 23  2 Tạp chí tư liệu tốn học | 38 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Câu 8: Cho số thực a  b  Biết biểu thức P  a  log a đạt giá trị lớn log ab a b M có số thực m cho b  a m Tính M  m 81 23 19 49 A B C D 16 8 16 Câu 9: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn  b  a  Tìm giá trị nhỏ biểu 1  thức P  log a  b    log a b ? 4  b A 0,5 B 1,5 C 4,5 D 3,5 Câu 10: Cho số thực a,b thỏa mãn điều kiện a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 19 B 13 C 14 D 15 Câu 11: Cho số thực thay đổi a,b thỏa mãn  b  a  Tìm giá trị nhỏ biểu  6b   thức P  log a3    log b a   a 23 25 D 2 Câu 12: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A C B 12 a b P  log a    log b   ? b a B  A D  C  Câu 13: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức log a3  ab  log b a P b  log a b    1 số thực B A e Câu ? 14: Cho  a  4b  S  log a     log ab b A B 4 a,b lớn C 13 4 trị nhỏ D C e Tìm gi{ D Câu 15: Cho số thực a   b  Tìm giá trị lớn P  log a2  a b   log A  B  2 39 | Chinh phục Olympic toán C  b D  2 a3 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC a P  log 2a  a   log b   ? b b | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 16: Cho số thực dương a,b nhỏ Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức  4ab  P  log a    log b  ab   a  4b  12 2 B 2 2 C 32 2 D 5 2 CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN A Tạp chí tư liệu tốn học | 40 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | SỬ DỤNG PHƣƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC Đ}y l| nội dung chun đề mà muốn nhắc tới, dạng toán lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Ví dụ minh họa đưa phần mở đầu chuyên đề, sau đ}y toán dạng mà muốn đề cập tới CÁC BÀI TỐN Câu 1: Cho x, y  thỏa mãn điều kiện log 2x.log 2y  log 22 4xy Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  a, b  Tính giá trị biểu thức a  b 2 cosy Biết M.n  a.2 1 b với B 32 C 33 D 35 x Câu 2: Cho x  2, y  thỏa mãn log log log 22 2y  Đặt P  x  y Mệnh đề x y sau đ}y đúng? A P  19 B P  19 C P  19 D Không tồn Câu 3: Cho x, y  thỏa mãn điều kiện:  log 3y  log 3y  log 3y log 3xy  log x Đặt P  x  xy  y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P   11; 12  B P   12; 13 C P   10; 11 Câu 4: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x  2, y   log D P  10 đồng thời: x  log 3y  log 22 3y  12 log x  log x log 3xy   80 Hỏi có số nguyên dương không vượt x  3y ? A B C D 11 Câu 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x, y  đồng thời:    log x  log y  log 3  log x  log y  log 2 x y  xy   8  Hỏi BCNN a b bao nhiêu? A B C 12 D 16 Câu 6: Cho hai số thực x, y  thỏa mãn điều kiện: log 2  x  y   log 2 x  y x  4y   log  4xy   Giá trị lớn biểu thức f  x, y   2xy  x  2y  x  4y bằng? A B 41 | Chinh phục Olympic toán C D TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC A 31 sin x | Các toán cực trị mũ – logarit 3  x  27 Câu 7: Cho hai số thực x,y thỏa mãn  đồng thời 2  y  16 27 16 36 log log  xy y  2x  log  x  y   log  y  2x  3 Đặt P  x   y  log   xy  Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  B P  C P  Câu 8: Cho hai số thực x   y  thỏa mãn điều kiện log  3x  y  2x  3y 1 2x 3y 1   log D P  3x  y  log  3x  y  Khi biểu thức P  4xy có ước số nguyên? A B C D CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Câu 9: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x  2y đồng thời  x  y 4   x  y 2 e x y   e  x  y    4e Đặt P  a  b Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  B P  C P  D max P  Câu 10: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn   log y2  y x2 x  x  y   x2 y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  log x  y 1  y  x  2x  4y 16 1 5 Câu 11: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn    ln xy  x y x y 2 A B C D Hỏi có số nguyên dương không vượt a  b ? A B D C   2 0  x  y  Câu 12: Cho số x,y thỏa mãn  x, y  tan  x2  y2    sin x2  y2  2.2 x  y 2 2   2 4.4x  16 y    Tính giá trị biểu thức P   sin  x  y   cos   x  y     2   A B C  2018 D Câu 13: Cho số thực x,y thỏa mãn x  x    x   sin  x  y     Đặt P  sin 2018  y  1  x 2018 Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? Tạp chí tư liệu tốn học | 42 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | A P  B P  D P   4; 5 C P  Câu 14: Cho hai số thực x, y  thỏa mãn log 22 2x  log 22  y   log 22 x   Tính giá trị biểu thức P  log  x  y  A log B log C D Câu 15: Cho hai số thực dương x  y  thỏa mãn   log  x  y   12  x  y  log  x  y    log 22  x  y    Đặt P  a  b Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  C P  B P  D P  Câu 16: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện log 22 2x  log 22 4y    log xy   11 A C B D x, y  Câu 17: Cho số thực dương x,y thỏa mãn  đồng thời x  y  x  y  2 y  x  9.2 2 x  y Đặt P  x  y Hỏi có số ngun dương khơng vượt q P ? A C B D x   y Câu 18: Cho số x,y thỏa mãn  thoả mãn y   ln  x  y   ln   y   ln x1 Giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y là? A B C Câu 19: Cho số x, y  thỏa mãn D log x  log 24 y  log 22 x   log y2 x Có số nguyên dương không vượt 8xy ? A C B   D   Câu 20: Cho số thực x,y thỏa mãn  x  y  x  y  x 3y    x  Đặt P  e x2  y2 A P  e  y2 x    x  2y  Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? B P  e C max P  e Câu 21: Cho số x, y  thỏa mãn điều kiện 2 x  y 1 43 | Chinh phục Olympic toán    x  y 1 3x  4y 3  1x  y  2x  3y D P  e  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Đặt P  x  y Hỏi P có ước số ngun? | Các tốn cực trị mũ – logarit x2  y2 a a Biết biểu thức  với phân số tối giản Tổng a  b bằng? b b A B C D Câu 22: Cho số x, y  thỏa mãn  2x  3.4 y y  3.2 2x  x  y  e x y3  2 x 1  y 1  m m với m,n số nguyên dương v| phân số n n tối giản Hỏi T  m  n có giá trị bao nhiêu? Khi x  y viết dạng A 149 B 147 C 160 D 151 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Câu 23: Cho số thực a,b,c thỏa mãn  a, b, c  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log a b  log b c  log c2 a 2 A B C 4 Câu 24: Cho số thực x,y thỏa mãn x 4x y  y  24 D D 4 Đặt P  x  y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  B C Câu 25: Cho số a,b thỏa mãn b  a  log b a  16 log a b a3  a Giá trị biểu thức P  log   ? b A C B Câu 26: Cho số thực x, y  thỏa mãn log  y  2x v| đồng thời điều kiện x 2x log log xy  x y 16 Đặt P  x.2 y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P   4; 5 D B P   1;  C P   2; 3 D P   6;7  2  x  Câu 27: Cho số thực x,y thỏa mãn  Hỏi có số  x, y  thỏa mãn 2  y    phương trình log   sin xy   cos  x   ? 6  A B C D Câu 28: Tìm tổng số    5; 16  để phương trình sau có nghiệm đoạn  1;  Tạp chí tư liệu tốn học | 44 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | cos x  sin x  x      cos2      3  17  34 63 51 A B C D 5 5 Câu 29: Tìm tổng số    2;7  để phương trình sau có nghiệm đoạn  1;  A 17   5    log   sin  x     cos x   2  18 19 B C 7 Câu 30: Biết tồn a để phương trình sin x D 20  sin x  cos x  sin x  a có nghiệm nhất, hỏi a có tất ước số nguyên B số C Khơng có D Vơ số Câu 31: Cho số thực dương x,y thõa mãn điều kiện   xy   1     log 2xy x         2 x2  y2  xy   2 log x y  1    1    Hỏi có số nguyên dương không vượt a b A 13 B 14 C 15 D 16 Câu 32: Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn x  y   biểu thức S  3x  y    x  y   27 x y   x  y  a tối giản Tính P  a  b b A P  B P  141   x   y  Giá trị lớn a với a,b số nguyên dương b C P  148 D P  151 Câu 33: Cho x,y số tự nhiên khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  36 x  y A P  B C 10 D 11 c c  log b  b b Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  log a b  log b c Câu 34: Cho số thực dương a,b,c kh{c thỏa mãn log a2 b  log b2 c  log a Tính S  2m  3M A S  B S  C S  D S  Câu 35: Cho số thực a,b,c khác thỏa mãn 3a  5b  15 c Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c   a  b  c  là? A 3  log B 4 45 | Chinh phục Olympic toán C 2  D 2  log TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC A số | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 36: Cho a,b hai số thực thay đổi thỏa mãn b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  b P   10a  log b A    2  log    ln 10    ln 10 B    2  log    ln 10    ln 10 C log  ln 10  D    2  ln    ln 10    ln 10 Câu 37: Cho số thực a,b,c lớn thỏa mãn log a    log b log c  log bc Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  10 log 22 a  10 log 22 b  log 22 c A 3  log B 4 D 2  log C 2  Câu 38: Với a,b,c lớn Tìm gi{ trị nhỏ P  log a bc  log b ca  log c ab CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A B 12 C 11 D 10 Câu 39: Với a,b,c lớn Tìm gi{ trị nhỏ P  log a bc  log b ca  log c ab A 16 B  C  D  Câu 40 [Lê Phúc Lữ]: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| thỏa mãn A abc  a x  b y  cz Tìm giá trị nhỏ P  x  y  2z C B D 10 Câu 41: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| 16 16 thỏa mãn abc  a x  b y  cz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   z x y A 20 B 20  3 C 24 D 24  3 Câu 42: Cho số thực a,b,c thỏa mãn  a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  log a b  log b c  log c a D 2 Câu 43: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a  log b  log c  Biết giá trị lớn A 2 B C biểu thức T  log a log b  log b log c  log c log a Mệnh đề n|o đ}y k đúng? A k  B k  3k  C k  3k  D k  Tạp chí tư liệu tốn học | 46 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Câu 44: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a log b  log b log c  log c log a  Biết giá trị nhỏ biểu thức P  log a  log b  log c số nguyên dương v| A 64 m  n với m,n,p p m phân số tối giản Tính m  n  p ? p B 16 D 22 C 102   Câu 45: Với n số nguyên dương, biết  log  log       2018    2017 mà biểu   thức dấu ngoặc có tất n dấu Tìm giá trị nhỏ n? B 2014 C 2013 D 2020    Câu 46: Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn log log 2a log 2b  1000   Giá trị lớn ab là? A 500 B 375 C 125 D 250 Câu 47: Cho số thực dương a  , biết a  a bất đẳng thức x a  a x với số thực x lớn Hỏi mệnh đề n|o đ}y đúng? A  a0  C  a  B e  a  e D e  a  e Câu 48: Cho hàm số f  x   e x  a sin x  b cos x  với a,b số thực thay đổi v| phương trình f '  x   f ''  x   10e x có nghiệm Tìm giá trị lớn biểu thức S  a  2ab  3b A 10  10 B 20  10 1  Câu 49: Cho số thực a,b thỏa mãn    n  C 10  20 an 1   e  1  n  D 20  b n với số n nguyên dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  b ? 1 C D  1 3 B ln 2 ln ln Câu 50: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz  10 Tìm giá trị nhỏ A biểu thức P  log x   log y   log z  A 29 B 23 C 26 D 27 Câu 51[Minh Tuấn]: Cho số thực x,y cho tổng chúng không }m v| đồng thời    x y  x y  2x 2 y     2x 2 y  x y 2  y  x 1   1 47 | Chinh phục Olympic toán  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC A 2021 | Các toán cực trị mũ – logarit Biết giá trị biểu thức P  x  y  m m với m,n số nguyên dương v| n n phân số tối giản Hỏi biểu thức m  n có tất ước số nguyên? A C B D Câu 52: Cho số thực a, b, c   2;  Biết giá trị lớn biểu thức m m  a  b  c  với m,n số nguyên dương v| phân số tối n n giản Tính P  m  2n S  4a  4b  4c  A P  257 B P  258 C P  17 D P  18 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN 2 x2 y2 16 z2  128  Câu 53: Có tất số thực  x; y; z  thỏa mãn  2  xy  z     xy  z  A C B D THPT Chuyên Quốc học Huế - Năm học 2017 – 2018 m2 x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m 1x f  a   f  b   với số thực a,b thỏa mãn e a  b  e  a  b  Tính tích phần tử Câu 54: Cho hàm số f  x   log tập hợp S A 27 B 3 C 3 D 27 2  9x  4y  Câu 55: Cho hệ phương trình  có nghiệm  x; y  thỏa log 3x  2y  log 3x  2y       m  mãn 3x  2y  Tìm giá trị lớn m? A 5 B log C D log THPT Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình lần năm 2017 – 2018 9x Câu 56: Cho hàm số f  x   x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m  m2 cho f  a   f  b   với số thực a,b thỏa mãn e a  b  e  a  b   Tính tích phần tử S A 81 B 3 C D 9 Câu 57: Cho phương trình 3x  a.3x cos  x   Có giá trị thực tham số a thuộc đoạn  2018; 2018  để phương trình cho có nghiệm thực? A B 2018 C D Tạp chí tư liệu tốn học | 48 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Câu 58 : Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn   x  y    y  z    x  z   Biết giá trị lớn biểu thức P  x  y  z  ln  x  y  z   số nguyên dương v| A 13 2 a x  y  z  với a,b b a tối giản Tính S  2a  3b b B 42 D 71 C 54  2m  1, h  x    x  1x  Tìm tham số m để x hàm số g  x   h  x  f  x  có giá trị nhỏ với x   0;  Câu 59: Cho hàm số f  x    m   x  A m  B m  1  C m   ; 1 2  D m  m m với m,n số nguyên dương v| phân số tối giản Tính T  2m  3n n n A T  C T  B T  D T  11 Câu 61: Cho số thực a, b, c  1;  thỏa mãn log 32 a  log 32 b  log 32 c  Tính giá trị biểu thức S  a  b  c biểu thức P  a  b  c   log a a  log b b  log c c  đạt giá trị lớn nhất? A B 3.2 C D THPT Chuyên Thái Bình lần năm học 2017 – 2018 Câu 62: Cho số thực x,y phân biệt thỏa mãn x, y   0; 2018  Đặt S   y  x  ln  ln  Mệnh đề n|o đ}y đúng? y  x  2018  y 2018  x  2 4 B S  C S  D S  1009 1009 1009 1009 Câu 63: Cho số a, b, c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   log bc a log ac b 3log ab c A S  A 20 B 10 D 12 C 18 THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần năm 2017 – 2018 Câu 64: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    a  b  a 2b 1  c  d  c 2d  A 17 B ln 16 49 | Chinh phục Olympic toán  17  C    16  D ln 17 16 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Câu 60 : Số thực a nhỏ để bất đẳng thức ln  x  1  x  ax2 với số thực x | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 65: Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn x  y  8z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x y z   D  log B C 12 Câu 66: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu A thức P  log a  log b  log 27 c x Câu 67: Biết a số thực dương để bất đẳng thức a  9x  nghiệm với A log x B C log 15 D log C a   0; 10  D a   10 ;   Mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A a   10 ; 10  B a   10 ; 10  THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN n Câu 68: Gọi a giá trị nhỏ f  n    log i 2 9n nhiên n để f  n   a ? A i với n  , n  Có số tự C B Vơ số Câu 69: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn x D x    log 14   y   y  Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  ? A B C D THPT Quãng Xương – Thanh Hóa lần năm học 2017 – 2018 Câu 70: Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện x  y  16 z  x  y  z Tìm giá trị lớn biểu thức P  x   y   z  A  87 B  87 Câu 71: Giá trị lớn hàm số y  C  87 ln x  ln x  D  87  m đoạn  1; e  đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A 1 2 B 1  C 1  2 D 1  Câu 72: Biết  số thực lớn thỏa mãn bất đẳng thức    n  1 n   e, n   Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A    0;  B    1;  C    1;  D    2;  Tạp chí tư liệu tốn học | 50 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Câu 73: Cho số thực a,b không âm thỏa mãn log ab   0;  đồng thời  log ab  log ab    log ab  1 log ab  1 ab1 2a 2b  Biết x y 10 viết dạng m n với a,b số nguyên dương Hỏi có tất số  m; n  vậy? A B C D Câu 74: Có cặp số nguyên  a; b  thỏa mãn  a, b  100 cho đồ thị 1 1  y  x  cắt điểm phân biệt? x a b b a A 9704 B 9702 C 9698 D 9700 Câu 75: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn đẳng thức sau:    log log  x  9y  6xy  2x  6y    log log  9x  y  6xy  6x  2y    m m với m,n số nguyên không âm phân n n số tối giản Hỏi m  n có giá trị Biết xy viết dạng A B C 10 Câu 76: Cho số thực x,y thỏa mãn  x  y   tan  x  y   sin  x  y  D 11  v| đồng thời   cot  x  y   cos x  y   log   x y    Tính giá trị biểu thức sin  x y  x  y   ? 4  B C D 2 Câu 77: Cho số thực a,b,c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau A P  4a  b  16 c  a  16 b  c  16a  b  c A B 3 C D Câu 78: Cho số thực thỏa mãn x   2;  ; y   0;  ; z  1;  Khi gi{ trị lớn biểu thức T  A 10  x y z  B 11   log  x    log y    log z  bằng? C  14 D 12 Câu 79: Cho số thực x,y,z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P   2011x  y  2z   2011y  z  x   2011z  x  y A B C D Câu 80: Cho hai số thực a, b, c, d, e dương thỏa mãn a  b  c  d  e  1000 51 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC hàm số y  | Các toán cực trị mũ – logarit a  b  c  d  e  a  b  c  d  e    a  b  c  d  e  a  b  c  d  e   a  b  c  d  e  Tìm giá trị lớn biểu thức M   a  c  A 499 499 B 500 500 b d C 500 499 D 499 500 Câu 81: Giá trị nhỏ m để hệ phương trình sau có nghiệm : CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN log  x  y   log  xy      3  x  y  2xy  m A B C Câu 82: Cho số thực x,y thỏa mãn  D  log  x    log 2  y   log  y    log Giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   15xy là? A P  80 B P  91   x3 2 C P  83 D P  63 Câu 83 : Có tất cặp số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3 x2  x  log  5 y    ?   y  y    y    A B D C Câu 84: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z  y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log xyz ? P  log 22 xy  log  x y  x 3z   y  xy  2zy  2xz A B C 1 A B C D 1 k Câu 85: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức    với sin x x    x   0;  Khi gi{ trị k là?  2 D Câu 86: Cho số thực a, b, c,d cho c  d  đồng thời thỏa mãn log   a  b    log  a  b   4  2  c.2  d.2 c d  ln  c  d  2cd  4c  4d    16  Gọi M m GTNN GTLN biểu thức P  a  c   b  d 2 Tính giá trị S  M  n ? A B C 10 D 12 Tạp chí tư liệu tốn học | 52 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Cho số x, y  thỏa mãn điều kiện log 2x.log 2y  log 22 4xy Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  sin x 2 cosy Biết M.n  a.2 1 b với a,b số nguyên dương v| a, b  Tính giá trị biểu thức a  b 3 A 31 B 32 C 33 D 35 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log 2x.log 2y  log 22 4xy  log 2x.log 2y   log 2x  log 2y    log 2x  log 2y    log 2x  log 2y  x  y f  t   2t  Ta có f '  t    t ln  t 1t 1 t 2  f '  t   t ln  1 t t  t2 1 t ln t   0;   ln   t 1 t    t2 t a  a ln   2a khoảng  0;  ta có g'  a    0a   0;  a a2 Do g  a  nghịch biến  0;  ta t   t  t  Xét hàm số g  a   1   Mặt khác ta lại có f    f    3; y  2  2 min P    1 max P  2 Chọn ý D Câu 2: Cho x  2, y  thỏa mãn log x log log 22 2y  Đặt P  x  y Mệnh đề x y sau đ}y đúng? A P  19 B P  19 C P  19 D Không tồn Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Nhìn thống qua nhiều bạn cho dạng toán rút để tìm min, max, nhiên ta phải sử dụng đến kiến thức bất đẳng thức Biến đổi giả thiết ta có: x log log log 22 2y     log x  log x  log y  log y    x y Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 53 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Thế vào giả thiết ta P  h  x   sin x  cos x  t  0;  Đặt t  sin x ta | Các toán cực trị mũ – logarit   log x  log x  log y  log y      log x  log x  log y  log y  log y   2 log y  log y     AM  GM   log x  log x  log y   2  4    VP     3  log x  log x  log y log x  x   Dấu “=” xảy    log y  log y  y  3  log x  Từ suy P  18  19 Chọn ý A Câu 3: Cho số thực x, y  thỏa mãn điều kiện: CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  log 3y  log 3y   log 3xy   log x Đặt P  x  xy  y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P   11; 12  B P   12; 13 C P   10; 11 D P  10 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Ý tưởng kiếm điều kiện ràng buộc x,y sau giả thiết nhận nghiệm Vậy l|m để tìm mối liên hệ n|y? Dưới đ}y l| c{ch giải Biến đổi giả thiết ta được:  log 3y  log 3y   log 3xy   log x 2  log x  log x log 3y  log 3y log x log Ta nhận thấy log x  log 3y  log  3xy  3xy  log x  a  Để đơn giản ta đặt log 3y  b Lúc ta có giả thiết  log c 3xy  a  b  c    a  ab  2abc   Thế b   a  c vào giả thiết ta được: 0 Coi vế trái tam thức bậc theo biến a với c tham số ta có:  2c  1 a2   2c2  5c   a     2c  5c    18  2c     2c    c  4c   2 Chú ý với điều kiện x, y  ta có a, b, c  Mặt khác a  b  c   c  Tạp chí tư liệu tốn học | 54 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Suy   , điều n|y đồng nghĩa VT    log x  a  x  2    Dấu “=” xảy b   log 3y    y     c  log   3xy  Từ đ}y suy P  76  12 Chọn ý C Câu 4: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x  2, y   log 2 đồng thời: x  log 3y  log 22 3y  12 log x  log x log 3xy   80 B A C D 11 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Giống với b|i ý tưởng l| tìm mối liên hệ x,y nhiên khơng tinh ý a vất vả Chú ý với b|i trước ta cần làm xuất biểu thức có dạng log b.xy Dễ thấy bên biểu thức thứ đặt nhân tử chung ta tìm biểu thức Lời giải b|i to{n sau Biến đổi giả thiết ta được:  log x  log 3y  log 22 3y  12 log x  log x log 3xy   80   log x  log 3y   log 22 3y  log x   log 3xy    80     log x  log 3y   log 22 3y  log x log   80 3xy     Đặt  log x, log 3y, log2    a, b, c  a  b  c  3xy   Giả thiết lúc trở thành  5a  b   b  4ac   80 Với điều kiện x  2, y  b   a, b, c  từ ta có 5a  b   a   v| đồng thời 2  b  b  b2  4ac  b2   ab  bc   4ac   a   c    2  b   2a  2b  2c  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có P  10  a    2c  b   10    80 2    55 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Hỏi có số ngun dương không vượt x  3y ? | Các toán cực trị mũ – logarit  a  log x  x     Dấu “=” xảy b   log 3y    y c      log 1 3xy  Do x  3y  Vậy có tất số nguyên dương không vượt x  3y Chọn ý C Câu 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x, y  đồng thời:     log x  log y  log 3  log x  log y  log 2   x y  xy   Hỏi BCNN x y bao nhiêu? A B C 12 D 16 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Sau tìm hiểu ý tưởng tốn tốn hẳn đơn giản với bạn Biến đổi giả thiết ta được:     log x  log y  log 3  log x  log y  log 2   x y  x y        log x  log y  log  log x  log y  log 8 xy  xy   2 Đặt ý log x  log y  log   log   log x  log y xy xy Thế vào giả thiết ta được:   log x  log y   log x  log y     log x  log y    log x   log y   Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: log y    4  log y     log x  log y    log x   2    log y          x  log x  Dấu “=” v|    y  log y  Chọn ý A Tạp chí tư liệu tốn học | 56 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Câu 6: Cho hai số thực x, y  thỏa mãn điều kiện: x  y log 2  x  y   log x  4y   log  4xy   Giá trị lớn biểu thức f  x, y   2xy  x  2y  x  4y bằng? A B C Nguyễn Minh Tuấn D Lời giải Nhìn hình thức tốn cồng kềnh, thấy tốn có chứa dấu trị tuyệt đối nên ta nghĩ tới bất đẳng thức liên quan tới log 2  x  y   log 2 x  y x  4y   log  x  y    log  log  x  y     log x  4y  xy x  4y    log  x  4y    log  x  4y   xy Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có log  x  4y    log  4xy    VP  x  4y     log   log  x  y    Dấu “=” xảy  xy  x  2y  Thế vào f  x, y  ta f  x, y   g  x   2x  x Ta có g '  x    1 1  2x  x   maxg  x   g    1;   2x 2 Chọn ý C 3  x  27 Câu 7: Cho hai số thực x,y thỏa mãn  đồng thời  y  16  27 16 36 log log  xy y  2x  log  x  y   log  y  2x  3 Đặt P  x   y  log   xy  Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  B P  C P  D P  Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Sau l|m quen với hướng giải có lẽ kh{ l| đơn giản với bạn rồi, cần sử dụng bất đẳng thức AM – GM để triệt tiêu biểu thức chứa biến Biến đổi giả thiết ta có: log 27 16 36 log  xy y  2x  log  x  y   log  y  2x  3 57 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có: | Các tốn cực trị mũ – logarit    log  x  y     log  y  2x     log  x  y   log  y  2x     36 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:   log  x  y     log  y  2x  1   log  x  y   log  y  2x       log  x  y    12  log  y  2x  1   log  x  y   log  y  2x    AM  GM    log  x  y   12  log  y  2x    log  x  y   log  y  2x       36 6   x   log  x  y   x  y  Dấu “=” xảy    y  2x   log y  2x      y    Từ suy P  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Chọn ý A Câu 8: Cho hai số thực x   y  thỏa mãn điều kiện log  3x  y  2x  3y 1 2x 3y 1   log 3x  y  log  3x  y  Khi biểu thức P  4xy có ước số nguyên? A B C D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: log  3x  y  2x  3y  2x  3y 1   log 3x  y  log  3x  y   log  3x  y  2x  3y 1   2x  3y 1 log  3x  y    log  3x  y  2x 3y 1 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 2x  3y  log  3x  y  2x 3y 1    log  3x  y    log  3x  y   2 2x  3y 1 log  3x  y    log  3x  y   2x 3y 1 log  3x  y    42x 3y 1  2 Cộng vế bất đẳng thức ta VT  VP 2x  3y 1  x    2x  3y 1  2x  3y    Dấu “=” xảy    3x  y  y  log  3x  y    Vậy P  4xy  có tất ước số nguyên 1, 3 Chọn ý B Tạp chí tư liệu tốn học | 58 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Câu 9: Cho hai số x, y  thỏa mãn x  2y đồng thời 2 Đặt P  x  y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? B P  A P   x  y 4   x  y 2 e x y C P    e  x  y    4e D max P  Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Đ}y l| câu hay hẳn nhiều bạn nghĩ tới phương ph{p đ{nh gi{ đầu tiên, ý tưởng l| trước tiên ta cần phải biết tới bất đẳng thức phụ sau Bất đẳng thức phụ hay gặp: e x  x  Chứng minh: Xét hàm số f  x   e x  x   f '  x   e x  , f '  x    x   f  x   f     e x  x  1x  x  y 4   x  y 2 e x y   e  x  y    4e   x  y 4   x  y 2 e x y2   x  y  2  Áp dụng bất đẳng thức phụ ta có: e x  y    x  y    Mặt kh{c theo AM – GM ta có  x  y 4   x  y 2 2  x  y 2   x  y 2  22   x  2y 2  xy1 Vậy VT  Dấu “=” v|  x  y   Chọn ý C Câu 10: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện   log y2  y x2 x  x  y   x2 y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  log x  y 1  y  x  2 x  y A B C 16 Nguyễn Minh Tuấn D Lời giải Đến khơng dễ to{n trước nữa, ta cần chút kỹ biến đổi để có thêm định hướng giải toán Biến đổi giả thiết ta được: 2   log y2  y x2 x  x  y    x 2 y 2 x2 y 1 1 log x  y 1  x  y   y  x   2 x2 y 1 2  x2 y  2 log x y 1  y  x    log x y  y  x    Khi P viết lại thành P  log x  y 1  y  x  x2 y 59 | Chinh phục Olympic tốn  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Biến đổi giả thiết ta được: | Các toán cực trị mũ – logarit a  log x  y   y  x  b1   2a 1 Để đơn giản ta đặt  x2 y b  a  2b b   Thế v|o ta P  b2   b  2b  b 1  b   Chọn ý C Câu 11: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 1 5  2  ln xy  2 x y x y 2 Hỏi có số nguyên dương không vượt x  y ? A B D C Lời giải CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Với ta sử dụng cách dồn biến đại lượng xy Có thể thấy vế tr{i l| đa thức đối xứng 1 5 nên ta cho x  y    Vậy toán thêm bớt sau:   x y x y 2x xy 1 5  2  ln xy  2 x y x y 2  1 5 5  2   ln xy   2 x y x y 2xy 2xy  1 1 5  2    ln xy   2 x y xy x  y 2xy 2xy x  y  x y  x  y 5  ln xy   2xy 2xy  x  y  2  x  y   2x  xy  2y   2x y  x  y  Xét hàm số f  t   t  ln t  t    f '  t     5    ln       xy  xy   5 1    , f '  t    t   f  t   f 1  2 t Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  y  Chọn ý C Câu 12: Cho số thực x,y thỏa mãn đồng thời điều kiện  x  y   , x, y  tan  x2  y2    sin x2  y2  2.2 x  y 2 2   2 4.4x  16 y    Tính giá trị biểu thức P   sin  x  y   cos   x  y     2   A 2018 C  B D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  sin x  y  2  tan x  y  2    sin x  y  tan x  y  Tạp chí tư liệu tốn học | 60 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit |     Xét hàm số f  t   sin t  tan t   t    f '  t   cos t   0t  0;  2 cos t   2  f t   f 0   2    sin x2  y  tan x2  y2  2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2.2  x y 4.4 x  16 y 2.2  x   y   4  y x      x   y  2   4  x y 2  Từ suy VT   VP x  y  x  y  Dấu “=” xảy  x   x  y 1P 0 y 2.2  x   2y  Chọn ý B Đặt P  sin 2018  y    x 2018 Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  B P  C P  D P   4; 5 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: x  x    x   sin  x  y       2 x  2.2 x     x   sin  x  y       2 x  2.2 x     x   sin  x  y    sin  x  y    cos  x  y        sin   y   x x  2 x  sin  x  y     cos   y      x cos   y    x Vì cos  x  y     sin  x  y    1  Nếu sin  x  y     x  - Phương trình vơ nghiệm  Nếu sin  x  y    1  x   x   sin  y    1 Vậy giá trị biểu thức P  Chọn ý B Câu 14: Cho hai số thực x, y  thỏa mãn log 22 2x  log 22  y   log 22 x   Tính giá trị biểu thức P  log  x  y  A log B log C D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Ý tưởng giống với b|i 12, hình thức đơn giản nhiều Biến đổi giả thiết ta có: 61 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Câu 13: Cho số thực x,y thỏa mãn x  x    x   sin  x  y     | Các toán cực trị mũ – logarit log 2x  log 2 Xét hàm f  t  Từ suy  t  1  t2  2 y   log x   2  t  0  f 't    log  x   1 2t   t  1  log  x   1   log 22  y   log x  2 , f ' t    t   f t   f 1  2 log 22 x   Mặt khác theo giả thiết ta có: log 22  y    log     Dấu “=” xảy x  y  Chọn ý C Câu 15: Cho hai số thực dương x  y  thỏa mãn điều kiện:   CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN log  x  y   12  x  y  log  x  y    log 22  x  y    Đặt P  a  b Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  C P  B P  D P  Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Vẫn l| ý tưởng toán 12 14 nhiên với cần chút kiến thức bất đẳng thức giải nhanh nhiều thay c{ch đạo hàm truyền thống Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: log  x  y    log  x  y    log  x  y     log  x  y     log 22  x  y    log  x  y   12 log  x  y     log 22  x  y    2 Mặt khác theo giả thiết ta lại có x  y     Dấu “=” xảy x  y  Chọn ý A Câu 16: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện log 22 2x  log 22 4y    log xy   11 Đặt P  x  y Hỏi P có ước số nguyên? A B C D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Đ}y l| dạng tốn quen thuộc m| ta có hướng giải c{c b|i to{n trước   Đặt  log 2x, log 4y, log2    a, b, c  a  b  c  xy   Tạp chí tư liệu tốn học | 62 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | 11 Nhận thấy giả thiết l| đa thức đối xứng theo biến a, b nên dấu “=” xảy a  b  x, c  y đến đ}y ta tham số hóa để tìm điểm rơi Giả thiết trở thành Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: a  x  2ax  2  a  b  c  2x  a  b   3y c  2y  2x b  x  2bx c3  y  y  3y c  y  2x  3y  Đến đ}y ta cần tìm x, y thỏa mãn   Vậy P số nguyên 2x  y  x  nên khơng có ước ngun dương Chọn ý D x  y  2 y  x  9.2 2 x  y Đặt P  x  y Hỏi có số nguyên dương không vượt P ? A C B D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Đ}y l| b|i to{n với c{ch ph{t biểu đơn giản nhiên số bạn dễ bị nhầm {p dụng bất đẳng thức AM – GM Sau đ}y lỗi v|i bạn mắc phải Với ý tưởng c{c b|i to{n cũ thường có đ{nh gi{ sau: 1 1 x y  2 y 2x  x  y   x  y  x y  3 2 2 xy xy     Sau có đ{nh gi{ ta đ{nh gi{ vế tr{i để dấu “=”, nhiên điều n|y l| điểm rơi b|i to{n Để giải ta phải ý thêm tới điều kiện m| đề b|i cho l| x  y  từ đ}y ta suy x  y  Sử dụng bất đẳng thức AM  GM ta có: xy  2 y2 x  xy  2  xy  xy xy   8 xy   Mặt kh{c ta lại có x  y   2x  y  2 y  y 2   y 2  2   3.2 x  y 3.2 x  y    4 4 x  Vậy VT  VP Dấu “=” xảy v|  y  Chọn ý A Nhận xét Ngo|i mắc phải lỗi số lần đầu gặp bị nhầm đ}y l| dạng to{n tìm mối liên hệ x,y, ta phải tinh ý nhận yêu cầu đề b|i l| hỏi có số nguyên dương để nhận phải sử dụng tới phương ph{p đ{nh gi{! 63 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 17: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn điều kiện x  y  đồng thời | Các toán cực trị mũ – logarit x   y Câu 18: Cho số x,y thỏa mãn  thoả mãn điều kiện: y  ln  x  y   ln   y   ln x1 Giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy  y là? A B C Nguyễn Minh Tuấn D Lời giải Thực chất đ}y l| b|i to{n kh{ l| đơn giản, để ý tới yêu cầu b|i to{n l| tìm gi{ trị nhỏ nên chắn từ giả thiết ta phải tìm mối liên hệ x v| y CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN x  y  a x  a  b Đặt  Giả thiết trở th|nh   2 1  y  b ln a  ln b  ln ab Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ln a  ln b  ln a.ln b   ln a  ln b   Mặt kh{c ln ab 1  ln ab   ln a  ln b   2   ln a  ln b  ln a  ln b     ln a  ln b  ln ab Vậy VT  VP Dấu “=” xảy v| a  b  x  y   y  x   2y Khi Pmin  Chọn ý D Câu 19: Cho số thực x, y  thỏa mãn điều kiện log x  log 24 y  log 22 x   log y2 x Có số nguyên dương không vượt 8xy ? A C B D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: y2 log x  log y  log x   log x 2  log x  log 22 y  log 22 x   log y  log x  log x  log 22 y  log y  log 22 x   log x  log x  log 22 y log 22 x   Tạp chí tư liệu tốn học | 64 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit |   log x     log y    log x  log 22 y log 22 x   2 log x  1   x   log y   log x  log y   y  2  Khi 8xy  , có tất số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Chọn ý D     Câu 20: Cho số thực x,y thỏa mãn  x  y  x  y  x 3y    x  y2 Đặt P  e x    x  2y  Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P  e  B P  e C max P  e x2  y2 D P  e  Nguyễn Minh Tuấn Thực chất c}u n|y để giới thiệu cho c{c bạn bất đẳng thức quen thuộc, đề thi không dạng kiểu n|y Chú ý tới bất đẳng thức Holder m| giới thiệu đầu  Một bất đẳng thức m| ta hay gặp:   a   b   c    abc  Có bổ đề sau: Cho số thực dương a, b, c, x, y, z, m, n, p ta ln có: a  b3  c3  x  y  z  m  n  p3    axm  byn  czp  Chứng minh: Theo AM  GM ta có: a3 m3 x3    a3  b3  c3 m  n  p3 x3  y  z3 y3 b3 n3    a3  b3  c3 m  n  p3 x3  y  z3 p3 c3 z3    a3  b3  c3 m  n  p3 x3  y  z3 3 a a a 3axm  b  c  m  n  p  x  y  z  3byn  b  c  m  n  p  x  y  z  3cpz  b  c  m  n  p  x  y  z  Cộng bất đẳng thức có điều phải chứng minh  Quay lại b|i phương trình trở thành:   a   b   c    abc     Theo bất đẳng thức Holder ta có        cyc        a      3  abc   3 Với toán đặt x  y  a, x  y  b, x 3y  c  abc  2x , đ}y l| dạng Dấu “=” xảy x  y  x  y  x  3y  x  y  Vậy P  e Chọn ý B 65 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Lời giải | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 21: Cho số thực x, y  thỏa mãn điều kiện 2 x  y 1    x  y 1 3x  4y 3  1x  y  2x  3y x2  y2 a a  với phân số tối giản Tổng a  b bằng? b b B C D Biết biểu thức A Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Nhìn chung tốn nhìn cồng kềnh, ta tư theo hướng m| ta hay nghĩ tới l| quy đồng Biến đổi giả thiết ta được: 2 x  y 1    x y 1 3x 4y 3  1x  y  2x  3y  4x 5y   4x 6y   y   2x 3y  2 x  y   2 x  3y   2 x 2 y  2 x 3y  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Đến đ}y việc trở nên đơn giản phải không nào? Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2x  y   2x 2 y  2x 3y  2x  3y   2 2x  y 4.2 2x 2 y  2 2x 3y.2 2x 3y 4   VP x  x2  y2 Dấu “=” xảy    4 y  Chọn ý A Câu 22: Cho số thực dương x, y thỏa mãn 2x  3.4 y  y  3.2 2x  x  y  ex y3  2 x 1  y 1  m m với m,n số nguyên dương v| phân số n n tối giản Hỏi T  m  n có giá trị bao nhiêu? Khi x  y viết dạng B 147 A 149 C 160 D 151 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Nhìn hình thức cồng kềnh, ý tới đại lượng x  y  e x  y  , điều n|y l|m ta liên tưởng tới bất đẳng thức phụ e x  x  , đến đ}y hướng b|i to{n sau: Biến đổi giả thiết ta được:  3.4 2x y   3.2 y 2x  x  y  ex y3  2 x 1 2 y 1   2x  2y  3.2 2x 2y  2x  2y 2y  3.2 2x  x  y  e x y 3 Đặt x  a, y  b theo bất đẳng thức AM – GM ta có: a a  3b b b  3a  a ab  ; a  b a  3b  b ab a 2a a b b  ;      a  b b  3a b  3a b  3a b  3a  a  b  b a  3b  2b a b a     a  3b a  3b  a  b  Tạp chí tư liệu tốn học | 66 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | 2x  2y Cộng hai bất đẳng thức với ta có 2x  3.2 y  2x  2y 2 y  3.2 2x 2 Mặt khác theo bất đẳng thức phụ quen thuộc ta có: x  y  e x y3  x  y   e x y3     Câu 23 Cho số thực a,b,c thỏa mãn  a, b, c  Khi trị nhỏ biểu thức 1 m , với m,n số nguyên dương P  log a b  log b c  log c2 a viết dạng 2 n m phân số tối giản Hỏi T  m  n có giá trị bao nhiêu? n A 171 B 89 C 195 D 163 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 1 1  P  log a b  log b c  log c2 a  log a b log b c  log c2 a  log a c  log c2 a 2 4 1 1 1  log a c  log c2 a  log a c  log a c  log a c  log a c  log c2 a 4 4 4 1 1 log a c log a c log a c log a c log c2 a  4 4 4 Vậy gi{ trị nhỏ P  , T  189 Chọn ý B  55 Câu 24: Cho số thực x,y thỏa mãn x 4x 2 y  y  Đặt P  x  y Hỏi mệnh đề sau đ}y đúng? A P  B C Nguyễn Minh Tuấn D Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x 4x y  y x 4x 2 2 2  x  Dấu “=” xảy v|  P  y  2 67 | Chinh phục Olympic toán y y   VP TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 2 x  y  Vậy VT   VP Dấu “=” xảy  xy  x  y   135 Khi x  y  16 Chọn ý D | Các toán cực trị mũ – logarit Chọn ý D Câu 25: Cho số a,b thực a,b thỏa mãn b  a  log b a  16 log a b  Giá trị biểu a3 a thức P  log   ? b A C B D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: log b a  16 log a CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Suy f '  t   t ln  b a3 2 log b a 2 3  4 log a b   4   f t   t 1 3 4    t 4  t  log b a   0; 1   3   t 4 t   3 t ln   4.2   ln    4.2  ln  t    f t   t 1 3 4    t 4  f     VT  VP a Dấu “=” xảy a  b  P  log    b Chọn ý A Câu 26: Cho số thực x, y  thỏa mãn 2x Đặt  y  2x log log log xy  x x y 16 P  x.2 y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P   4; 5 B P   1;  C P   2; 3 D P   6;7  Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta log 2 2x log log xy  x y 16    log x   log x  log y   log  log y   a  log x Để đơn giản ta đặt   1  a b  log y  a  b  1 a  b  16 16 Nếu a   VT  , vô lý 1 Để ý thấy  y  2x  log 2x  log  a   a  a   x x Nếu   a  ta có: 1  a  a  b  1 a  b   1 1   a  a  b   a  b     a   a      a  a    2 4  16  Tạp chí tư liệu tốn học | 68 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | 1    a log x   x     4 4 Dấu “=” xảy   P  6, 07725   1 b  log y  y  2    2 Chọn ý D 2  x  Câu 27: Cho số thực x,y thỏa mãn  Hỏi có số  x, y  thỏa mãn 2  y    phương trình log   sin xy   cos  x   ? 6  A C B D Lời giải Thực chất đ}y l| c}u kh{ đơn giản ta l|m quen với phương ph{p đ{nh gi{ rồi,   Ta có  sin xy   log   sin xy   , mặt khác cos  x    Do phương trình 6  thỏa mãn khi:     x   2k  cos  x       6    k, n     sin xy  xy    n   13   Với giả thiết  x  nên k  Với k   x   y    n  13   9  y    13 Do  y      n    n  1; 2   13    y  15  13 Vậy có số thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý B 9 17    Câu 28   5; ;  5    6 12   Câu 29    ;  7  Câu 30: Biết tồn a để phương trình sin x  sin x  cos x  sin x  a có nghiệm nhất, hỏi a có tất ước số nguyên A số B số C Không có D Vơ số Lời giải Do sin x  sin  x  ,  sin  x     sin x  nên phương trình có nghiệm l| x 2 có nghiệm x Nên để phương trình có nghiệm đồng nghĩa với x  Thế ngược lại ta giải a  69 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC câu 28, 29 l|m tương tự nên trình bày lời giải câu 27 | Các toán cực trị mũ – logarit Chọn ý D Câu 31: Cho số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện   xy   1     log 2xy x         2 xy   2 log x y  1    1    x2  y2  Hỏi có số nguyên dương không vượt a b B 14 A 13 C 15 D 16 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN   xy   1     log 2xy x          2 x2  y2       xy   log 2xy x          2 2 xy  2 xy  1 1  1    log 2xy x   2  log x y    xy 2     x2  y2  log x y  1  2 y  1 x 1    log x2  y2   xy   log 2xy x xy  2 xy   2 log x y  1    1    x2  y2   log x y  1  2 x2  y2  log x y  Đến đ}y ta có bổ đề quen thuộc cần phải nhớ 1 Bổ đề Với số thực khơng âm a,b ta ln có   2  a  1  b  1  ab Ta có đẳng thức sau đ}y:  a  1   b  1 ab  a  b     ab     Vậy bất  ab  a  2  b  2   ab  2 đẳng thức chứng minh Ta dùng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz chứng minh Ta có: b   a     ab    b     a    a  b  ab      a  1     a  ab    b     b  2        a  b  ab  1 a    b  1 Cộng lại có điều cần chứng minh! Áp dụng v|o b|i to{n ta 2 xy  1    log x y  1  xy 2 log x y  Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta có Tạp chí tư liệu tốn học | 70 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit |  2 2 x y 4  log x y   2 xy  log x y   xy  log x y  Dấu “=” xảy x  y  Khi có tất 16 số nguyên dương không vượt a b Chọn ý D Câu 32: Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn x  y   biểu thức S  3x  y    x  y   x  y   x  y  a tối giản Tính P  a  b b A P  B P  141   x   y  Giá trị lớn a với a,b số nguyên dương b C P  148 D P  151 Đ}y l| đề thi THPT Quốc Gia 2016 biến tấu để trở thành câu hỏi trắc nghiệm! Từ giả thiết ta có  x  y     x2  y3    x y1 x2 y  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số thực không âm ta có: x  y   x  y    x  y     x  y    1  x  y  Mặt khác ta lại có:  x  y  1 x  y  3  x  y   x  y   x  y    x  y  1     x  y  1  x  y  1    x  9746  x2 y3 0 Nếu x  y  1    S 243 x  y  1  y  3  Nếu  x  y  Đặt t  x  y  t   3;7  Xét hàm số f  t   3t    t    t  t   3;7   f '  t   3t  ln   t   t    t ln  f ''  t   3t  ln  t ln  ln  t   t   t ln   3t  ln    t   ln 2  ln  t  0t   3;7  Vì f '    0, f '    nên tồn số a   3;7  cho f '  a   Suy f  t  nghịch biến 193 193 ; f    35  f  t   f    t   3;7  3 Ta chứng minh x  y  với x  y  3, x   3; a  v| đồng biến  a;7  Mặt khác f    Nhận thấy khi: + x   2; 3  y   x   y  x  6x   x  y  2x  6x    x   x     + x   x2  y2  71 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giải | Các tốn cực trị mũ – logarit Vậy x  y   S  148 Chọn ý D Câu 33: Cho x,y số tự nhiên khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  36 x  y A P  B D 11 C 10 Lời giải Đ}y l| câu phát biểu vô đơn giản, thực chất toán làm tự luận khó đòi hỏi tới kiến thức số học Ta có 36 m tận 6, 5n tận Nếu 36m  5n P có tận 1, 36m  5n P có tận Xét P  ta có 36 m  5n   36 m   5n Đẳng thức xảy vế trái chia hết cho 35 nên chia hết cho 7, vế phải khơng chia hết cho CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Xét P  ta có 5n  36 m   5n chia hết cho 9, vơ lí Xét A  11 , xảy khả n|y chẳng hạn m  1, n  Vậy P  11 Chọn ý D c c  log b  b b Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  log a b  log b c Câu 34: Cho số thực dương a,b,c kh{c thỏa mãn log a2 b  log b2 c  log a Tính S  2m  3M A S  B S  C S  D S  Thầy Đặng Thành Nam – Vted.vn Lời giải Đặt x  log a b, y  log b c  P  x  y , giả thiết viết lại thành x  y  xy  x  2y  Thế y  x  P vào giả thiết ta x  y  xy  x  2y   x    P  x  P    Phương trình có nghiệm     P    P     1  P  2 Chọn ý C Câu 35: Cho số thực a,b,c khác thỏa mãn 3a  5b  15 c Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P  a  b2  c2   a  b  c  là? A 3  log B 4 C 2  D 2  log Lời giải c Biến đổi giả thiết ta có   15  t  a  log t, b  log t, c  log 15 t a  c  b 1 ab     ab  bc  ca  1 log t 15 log t  log t a  b  a b Tạp chí tư liệu tốn học | 72 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Khi ta có P   a  b  c    ab  bc  ca    a  b  c    a  b  c    a  b  c   4 2 Chọn ý B Câu 36: Cho a,b hai số thực thay đổi thỏa mãn b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a  b   10a  log b  A    2  log    ln 10    ln 10 B    2  log    ln 10    ln 10 C log  ln 10  D    2  ln    ln 10    ln 10 Lời giải Xét điểm A  a; 10  , B  b; log b  , đồ thị hàm số y  10 x , y  logx đối xứng qua a A, B đối xứng với qua đường thẳng y  x , điểm A,B nằm đường thẳng y   x  m Vì ta có       A  a; 10a  , B  a; 10 a   AB  P  10 a  a  f  a   f  log   log       ln 10    ln 10     ln 10 Chọn ý B Câu 37: Cho số thực a,b,c lớn thỏa mãn log a    log b log c  log bc Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  10 log 22 a  10 log 22 b  log 22 c A 3  log B 4 D 2  log C 2  Lời giải Biến đổi giả thiết ta log a    log b log c  log bc  log a  log b  log c    log b log c  log a log b  log a log c  log b log c  Đặt  log a; log b; log c   x, y, z ta cần tìm giá trị nhỏ S  10x  10y  z Bây ta cần tìm số k dương cho 10x  10y  z  2k  xy  yz  xz   10x  10y  z  k  x  y  z   k  x  y  z   2k  xy  yz  xz    k  10  x   k  10  y   k   z  k  x  y  z  y2 x2 z2     k x  y  z 1 k  10 k  10 k  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu Engel ta có 73 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC đường thẳng y  x khoảng cách điểm A v| B l| P v| đạt giá trị nhỏ | Các toán cực trị mũ – logarit y2 x  y  z x2 z2    1 1 1   k  10 k  10 k  k  10 k  10 k  1 Đến đ}y sử dụng giả thiết ta chọn k cho kk2 1   k  10 k  10 k  Chọn ý B Câu 38: Với a,b,c lớn Tìm gi{ trị nhỏ P  log a bc  log b ca  log c ab A B 12 C 11 D 10 Lời giải Đ}y l| câu sử dụng bất đẳng thức AM – GM kh{ l| Biến đổi giả thiết áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN P  log a bc  log b ca  log c ab  log a b  log b a  log a c  log c a  log b c  log c b  log a b.log b a  log a c.log c a  log b c.log c b  10 Chọn ý D Tương tự với câu 39 Chọn ý C Câu 40: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| thỏa mãn A abc  a x  b y  cz Tìm giá trị nhỏ P  x  y  2z C B D 10 Lê Phúc Lữ Lời giải 1 Từ giả thiết ta có a x  abc  log abc a  tương tự  log abc b,  log abc c x y z  1     log abc a  log abc b  log abc c   x y z Theo bất đẳng thức AM – GM ta có : 1 4z 4z    2  xy  T  2z  f  z   f    xy x y z 2z  2z  Chọn ý C Câu 41: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| 16 16 thỏa mãn abc  a x  b y  cz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   z x y A 20 B 20  3 C 24 D 24  3 Lời giải Tạp chí tư liệu tốn học | 74 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Tương tự với câu 40 ta có  1     log abc a  log abc b  log abc c   x y z 1 1 1 16   P  16     z2  16     z  32   z  f  z   f    20 z z  x y Chọn ý A Câu 42: Cho số thực a,b,c thỏa mãn  a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  log a b  log b c  log c a B A 2 C D Lời giải Đ}y l| c}u tương tự câu 23 ta phải dùng tới bất đẳng thức AM – GM để triệt tiêu biến S  log a b  log b c  log c a  log a b.log b c  log c a  log a c  log c a  2 log a c log c a  2 log a c.log c a  2 Chọn ý A Câu 43: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a  log b  log c  Biết giá trị lớn biểu thức T  log a log b  log b log c  log c log a Mệnh đề đ}y k đúng? A k  B k  3k  C k  3k  D k  Lời giải Một c}u ho|n to|n tương tự với câu 37, ta dùng phương ph{p tham số hóa kết hợp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Đặt  log a; log b ; log c    x , y , z   x  y  3z2  Ta có đ{nh gi{  x  2y  3z  2k  xy  yz  xz   Khi cần tìm k cho k  y2 x2 z2    k x  y  z 1 k1 k2 k3  k  3k  1   k1 k2 k3 Chọn ý C 75 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Theo bất đẳng thức AM – GM ta có | Các tốn cực trị mũ – logarit Câu 44: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a log b  log b log c  log c log a  Biết giá trị nhỏ biểu thức P  log a  log b  log c số nguyên dương v| A 64 m  n với m,n,p p m phân số tối giản Tính m  n  p ? p B 16 D 22 C 102 Lời giải Với toán đặt  log a ; log b ; log c    x , y , z  xy  yz  3xz  ta khơng thể áp dụng phương ph{p l|m b|i trên, ta cần phải nghĩ c{ch đặt khác Đặt  log a; log b; log c   ix, j y, k z  ijxy  jkyz  3kixz  j Chọn j   i  k  Khi ta 3xy  3yz  3xz   xy  yz  xz  Bài toán lại quay trở tốn CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Tìm m,n,p thỏa mãn ij  kj  3ki  i  k  Với c{ch l|m tương tự c{c b|i to{n ta tìm P  3  17 Chọn ý D Cách Chú ý giả thiết u cầu tốn vai trò biến a,c l| nên dấu “=” xảy a  c Khi ta có: P  2x  y   P  3x  2xy   2x  y   3P   x  2Pyx  y    3x  2xy  Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc ta tìm đ{p {n tốn   Câu 45: Với n số nguyên dương, biết  log  log      2018    2017 mà biểu   thức dấu ngoặc có tất n dấu Tìm giá trị nhỏ n? A 2021 B 2014 C 2013 D 2020 Lê Phúc Lữ Lời giải Từ giả thiết ta có 2018   2018  2n   2018  2 n   log     2018    n log 2018        log  log  2018    2017   log 2  n  log  log 2018   2017        n log 2  2020,  n  2020,  n  2021 Vậy giá trị nhỏ n 2021 Tạp chí tư liệu tốn học | 76 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Chọn ý A    Câu 46: Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn log log 2a log 2b  1000   Giá trị lớn ab là? A 50 B 375 C 125 D 250 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được:      log log 2a log 2b  1000    log 2a log 2b  1000    log 2b  1000   a  1000  2 b  a b  1000 a Do a,b số nguyên dương nên ta có 1000 a Mặt khác ta lại có 1000  3.53  a   Nếu a   b  125  ab  375  Nếu a   b  500  ab  500 Vậy giá trị lớn ab 500 Chọn ý A Câu 47: Cho số thực dương a  , biết a  a bất đẳng thức x a  a x với số thực x lớn Hỏi mệnh đề n|o đ}y đúng? A  a0  B e  a  e C  a  D e  a  e Lời giải ln a ln x  a x ln x  ln x ln e Ta xét f  x    f 'x  , f '  x    x  e  f  x   f e   x x e Từ ta suy a  e Lấy logarit tự nhiên vế ta ln  xa   ln  a x   a ln x  x ln a  Chọn ý C Câu 48: Cho hàm số f  x   e x  a sin x  b cos x  với a,b số thực thay đổi v| phương trình f '  x   f ''  x   10e x có nghiệm Tìm giá trị lớn biểu thức S  a  2ab  3b A 10  10 B 20  10 C 10  20 D 20  Lời giải Do f  x   e  a sin x  b cos x  nên phương trình f '  x   f ''  x   10e x tương đương x e x   a  b  sin x   a  b  cos x  2b sin x  2a cos x   10e x   a  3b  sin x   3a  b  cos x  10 Phương trình có nghiệm  a  3b    3a  b   100  a  b  10 Khi ta có: 77 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  Nếu a   b  250  ab  500 | Các toán cực trị mũ – logarit S  a2  2ab  3b2  10  a2  2ab  3b2  10    10  a2  2ab  3b2  a b 2  10  t  2t   t 1 a   f t t   b  Khảo sát hàm số f  t   f  t   f   20  10 Chọn ý B 1  Câu 49: Cho số thực a,b thỏa mãn    n  an 1   e  1  n  b n với số n nguyên dương Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức a  b ? A  ln 2 B C 1 ln D 3 ln CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Lời giải Đ}y l| câu khó khơng phù hợp với kì thi THPT Quốc Gia nên tham khảo  n  b, n  * Lấy logarit tự nhiên vế ta có a  1  ln    n  Xét hàm số f  x    x, x  ta có a  b  max f  x   f  x  x1 x1 1  ln    x  Mặt khác f '  x     0, x  , ta x  x  1     1 max f  x   f  x   f    lim f  x     lim  x x1 x  x  x1 ln  ln         x     1 1    x ln     ln     1 x x x1      lim    lim x  x  1 ln ln   ln    x  x  1 x  1  x  x    x  12 x  x  1  x2 1    lim    lim   x  x  2x  ln ln 2x  ln 2 2 x  x  1 Vậy a  b   ln 2 Chọn ý A Chú ý: Ở đ}y ta dùng tới quy tắc Trong giải tích, Quy tắc l'Hơpital (ph{t }m Lơ-pi-tan) (cũng gọi quy tắc Bernoulli) quy tắc sử dụng đạo hàm để tính tốn giới hạn có dạng vô định Ứng dụng quy tắc n|y l| đưa dạng vô định trở thành dạng hữu hạn, cho phép tính tốn giới hạn cách dễ dàng Dạng đơn giản quy tắc l'Hôpital phát biểu sau: Tạp chí tư liệu tốn học | 78 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Cho hai hàm số f  x  ,g  x  lim f  x   lim g  x    lim x c ln có lim x c f x g x  lim x c f ' x g ' x x c x c f  x tồn ta g  x Việc lấy đạo hàm tử số mẫu số thường l|m đơn giản thương số, làm khử dạng vô định Câu 50: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz  10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log x   log y   log z  A 29 B 23 C 26 27 D Lời giải  log y  log z  P  log x   log y   log z   log x    16 10    log x    log yz   16  log x    log   16 x   2  log x     log x  2  16   log x   log x      2  26 Đẳng thức xảy x  10 , y  z  100 Chọn ý C Câu 51: Cho số thực x,y cho tổng chúng không }m v| đồng thời   x y  x y  2x 2 y     2x 2 y  x y 2  y  x 1   1 m m Biết giá trị biểu thức P  x  y  với m,n số nguyên dương v| n n phân số tối giản Hỏi biểu thức m  n có tất ước số nguyên?  A  B C D Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Ta có T  a a  m m b  a a am     m  a  b Nên   1 b bm b b  m bb  m Theo giả thiết ta có x  y   x  y  Ta có đ{nh gi{ sau:  4x  y  x y1   x  y    x  y  x y Khi sử dụng kết   ta có:    4x  y  4x  y  x y1 1  4x  4y      4x  y  x  y  x y  4x  y  4x y  x  y  x y1 79 | Chinh phục Olympic toán   TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Áp dụng bất đẳng thức Mincowsky ta có | Các tốn cực trị mũ – logarit      x y   2 x y y  x 12  1 1    1   2     4.2  4.2   1 4 2   2   Mặt khác   x y 2 x2 y x y xy xy2 x2 y xy xy xy xy Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  4.2 x  y 2  xy 4  1 4 4.2 x  y  2  xy  x  x  y    P   m  n  25 Vậy VT  VP Dấu “=” xảy   16 x  y  y    Chọn ý C CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Câu 52 : Cho số thực a, b, c   2; 3 Biết giá trị lớn biểu thức m m với m,n số nguyên dương v| phân số tối  a  b  c  n n giản Tính P  m  2n S  4a  b  c  A P  257 B P  258 C P  17 D P  18 Lời giải Với dạng toán ta xét tới bất đẳng thức phụ t  mt  n, t   2; 3 16  2m  n m  48 Thay t  2, t  ta hệ phương trình   64  3m  n n  80 Giờ ta cần bất đẳng thức t  48t  80 với t   2;  toán giải Ta xét f  t   t  48t  80  f '  t   t ln  48; f '  t    t  log 48 ln 48   Nhận thấy f    f    0; f  log   nên bất đẳng thức ln   Dấu “=” xảy t  2; 3 Khi ta S  4a  b  c  1  a  b  c   48 a    a   240  16 4 Chọn ý D Bài tập tương tự Cho số thực x, y, z  1;  Tìm giá trị lớn S  3x  3y  3z  A B 15 C x  y  z D 12 Ta xét bất đẳng thức phụ 3t  6t  Chọn ý D Tạp chí tư liệu tốn học | 80 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | 2 x2 y2 16 z2  128  Câu 53: Có tất số thực  x; y; z  thỏa mãn  2  xy  z     xy  z  A C B D THPT Chuyên Quốc học Huế - Năm học 2017 – 2018 Lời giải Từ giá thiết ta có: x2    xy Đặt  y2 16 z2  128  x2 y2 16 z2  27  x2  y  z2     z     xy  z   xy z   x y z    2  x ; y ; z   a, b, c Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có Dấu “=” xảy a  b2  c2  x  y  z  Vì x  nên có tất số thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý B m2 x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số 1x m f  a   f  b   với số thực a,b thỏa mãn e a  b  e  a  b  Tính tích phần tử Câu 54: Cho hàm số f  x   log tập hợp S A 27 B 3 D 27 C 3 Lời giải Theo giả thiết ta có e a  b 1  a  b  e a  b 1   a  b  Mặt khác theo bất đẳng thức phụ m| ta chứng minh tập trước ta ln có e a  b    a  b   Do dấu “=” xảy a  b  Khi ta có m 1  a m2a f  a   f  b    f  a   f   a   log  log   m  27 1a  1  a Do tích c{c phần tử S 3 Chọn ý C 81 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  a  2b  4c  a  b  b  c  c  c  c  7 a b c  | Các toán cực trị mũ – logarit 2  9x  4y  Câu 55: Cho hệ phương trình  có nghiệm  x; y  thỏa  log m  3x  2y   log  3x  2y   mãn 3x  2y  Tìm giá trị lớn m? B log A 5 D log C THPT Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình lần năm 2017 – 2018 Lời giải Từ phương trình hệ ta có  3x  2y  3x  2y     3x  2y  3x  2y Từ phương trình hệ ta có CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN   log m log  3x  2y   log  1  2x  2y   log  3x  2y  log m    log   log  3x  2y    log  log m  log  3x  2y    0  log m  log m 1  Giải bất phương trình ta m   ;  \1 3   3x  2y  3x  2y     3x  2y  Khi hệ phương trình đầu có dạng    log M nên ln có 3x  2y  1 log m 3x  2y  M nghiệm Vậy giá trị lớn m để hệ có nghiệm Chọn ý C 9x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m 9x  m cho f  a   f  b   với số thực a,b thỏa mãn e a  b  e  a  b   Tính tích Câu 56: Cho hàm số f  x   phần tử S B 3 A 81 C D 9 Lời giải Theo giả thiết ta có e ab2  ab1  e a  b 2   a  b   Mặt khác theo bất đẳng thức phụ m| ta chứng minh tập trước ta ln có e a  b     a  b   Do dấu “=” xảy a  b  Khi ta có: 162  m  9a  a  9a a f a  f  b  a   1  m a  m 81  m  a  a   m  m  81  162  m  81  m  3 Chọn ý D Bài tập tương tự Tạp chí tư liệu tốn học | 82 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | 4t Cho hàm số f  t   t với m  tham số thực Biết f  x   f  y   với m 1 1  x,y thỏa mãn  x  y    x  y   Tìm giá trị f  t  đoạn  ; 1 2 2  Hướng dẫn A B C D Chú ý từ giả thiết áp dụng bất đẳng thức AM – GM   x  y   1 x  y   x  y  2 Đến đ}y b|i to{n quay toán Chọn ý B 16 t Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m 16 t  m cho f  a   f  b   với số thực a,b thỏa mãn e a  b  e  a  b   Hỏi S có phần tử? A B 20 C 11 D 34 Chọn ý B Câu 57: Cho phương trình 3x  a.3x cos  x   Có giá trị thực tham số a thuộc đoạn  2018; 2018 để phương trình cho có nghiệm thực? A B 2018 C D Lời giải Biến đổi giả thiết ta có : 3x  a.3x cos  x    x  a.3x cos  x    3x    3x  32  x  a.cos  x   *  Điều kiện cần Nếu phương trình  *  có nghiệm x ta thấy  x l| nghiệm  *  x0   x  x0  Thay vào  *  ta a  6 Điều kiện đủ Ngược lại a  6 phương trình  *  trở thành 3x  32  x  6.cos  x  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 3x  32  x  3x.32  x  mà 6.cos  x   x x x x   3   3  x1 Do 3x  32  x  6.cos  x      cos  x  cos  x           Chọn ý A 83 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Cho hàm số f  t   | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 58 : Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn   x  y    y  z    x  z   Biết 2 giá trị lớn biểu thức P  x  y  4z  ln  x  y  z   số nguyên dương v| a  x  y  z  với a,b b a tối giản Tính S  2a  3b b B 42 A 13 D 71 C 54 Lời giải Theo giả thiết   x  y    y  z    x  z    2x   x  Tương tự ta 2  x, y, z  Khi ta có:  x  y  z    x  y  z    xy  yz  xz    x  y  z  Đồng thời x  y  z  x  y  z  ln x  y  z   ln x  y  z   CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Xét bất đẳng thức phụ t  mt  n Khi ta cần bất đẳng thức với t   0;  nên thay t  0, t  vào giải hệ ta tìm m  3, n  Xét hàm số f  t   t  3t   0; 1 ta có f '  t    t ln    t  log Lập bảng biến thiên ta dễ ln bất đẳng thức Dấu “=” xảy t   t  Áp dụng vào tốn ta có 21 P  x  y  z  x  y  z   4 Chọn ý C Bài tập tương tự Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn   x  y    y  z    x  z   18 Biết giá trị y x z lớn biểu thức P     dương v| 2 a  x  y  z  với a,b số nguyên b 108 a tối giản Tính S  2a  3b b A 13 B 42 D 71 C 54 Ta giả thiết ta tìm điều kiện biến x,y,z áp dụng y nguyên cách làm c}u để giải toán Chọn ý C  2m  1, h  x    x  1x  Tìm tham số m để x hàm số g  x   h  x  f  x  có giá trị nhỏ với x   0; 1 Câu 59: Cho hàm số f  x    m   x  A m  B m  1  C m   ; 1 2  D m  Lời giải Tạp chí tư liệu tốn học | 84 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Ta thấy với m, ta ln có h   f    nên tốn trở th|nh tìm m hàm số g  x   h  x  f  x   0x   0; 1 Dễ thấy với x  bất đẳng thức ln đúng, ta xét  0;  Ta dễ thấy h  x  l| h|m đồng biến  0;  , h     h  x   0x  0;  Đến đ}y lại rút gọn toán trở th|nh tìm m để f  x   0x   0;  Đặt t  x  t   1;   ta có f  x     m  1 6x  t2  t  2  2m    m  t  2mt   t   m    6x t  2t Đến đ}y b|i to{n trở thành toán đơn giản, ta cần m  1;6 t2  t   t  2t Chọn ý B m m với m,n số nguyên dương v| phân số tối giản Tính T  2m  3n n n A T  C T  B T  D T  11 Lời giải Đ}y l| c}u kh{ việc ứng dụng đạo h|m tìm điều kiện có nghiệm Biến đổi giả thiết ta có a  Xét hàm số f  x   x  ln  x  1 , x  x2 x  ln  x   x2 Xét h  x   ln  x    x   f ' x  ln  x    x  x3 x x1 x x2  h 'x    0, x   h  x   h    x1  x  1 Vậy f '  x    f  x   lim f  x   x 0 1 a 2 Chọn ý B Bài tập tương tự Số thực a nhỏ để bất đẳng thức ln  x    x  với m,n số nguyên dương v| A B 20 x2 m  ax với số thực x n m phân số tối giản Tính T  2m  3n n C 11 D 34 Tương tự c}u đ}y l| c}u kh{ việc ứng dụng đạo h|m tìm điều kiện có nghiệm Chọn ý C 85 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 60 : Số thực a nhỏ để bất đẳng thức ln  x    x  ax với số thực x | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 61: Cho số thực a, b, c   1;  thỏa mãn log 32 a  log 32 b  log 32 c  Tính giá trị biểu thức S  a  b  c biểu thức P  a  b3  c3   log aa  log b b  log c c  đạt giá trị lớn nhất? A B 3.2 C D THPT Chuyên Thái Bình lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Ý tưởng b|i trước ta phải sử dụng tới bất đẳng thức phụ Ta có đ{nh gi{ t  3t log t  log 23 t  Để chứng minh đơn giản ta đặt log t  x Khi ta cần chứng minh t  3tx  x  Xét hàm số 1 f  t   t  log t, t  1;   f '  t    ; f 't    t   f t   t ln ln CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Khi t  x   t  x    t  3tx  x    t  x    t  t  x    x  x    Vậy bất đẳng thức cần chứng minh Áp dụng vào tốn ta có P   a    a log a    log 32 a     Chọn ý D Bài tập tương tự Cho số thực a, b, c  1;  thỏa mãn log 32 a  log 32 b  log 32 c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  b  c   log a a  log b b  log c c  ? A B D C 3 Chọn ý D Câu 62: Cho số thực x,y phân biệt thỏa mãn x, y   0; 2018  Đặt S  A S   y  x  ln  ln  Mệnh đề n|o đ}y đúng? y  x  2018  y 2018  x  1009 B S  1009 C S  1009 D S  1009 Lời giải Một toán nên tham khảo có sử dụng tới kiến thức khơng chương trình phổ thơng t   Xét hàm số f  t   ln   tham số u nằm x v| y Theo định lý Lagrange ta có  2018  t  S f  y  f x yx  f ' u  AM  GM 2018 2018   u  2018  u  1009  u  2018  u      Chọn ý A Tạp chí tư liệu tốn học | 86 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Định lí Lagrange - Lagrange's Mean Value Theorem Nếu f  x  hàm liên tục đoạn  a; b  v| đồng thời có đạo hàm khoảng  a; b  f  b  f a ba f  b  f a Chứng minh: Xét hàm số F  x   f  x   x Ta có F  x  hàm liên tục đoạn ba  a; b , có đạo hàm khoảng  a; b  F  a   F  b  Theo định lí Rolle tồn c   a; b  tồn c   a; b  cho f '  c   f  b  f a f  b  f a  f 'c  ba ba Định lí Rolle hệ định lí Lagrange trường hợp f  a   f  b  cho F'  c   Mà F'  x   f '  x   A 20 B 10 D 12 C 18 THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần năm 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có P    log a bc  log b ac  log c ab log bc a log b log ab c ac  log a b  log a c  log b a  log b c  log c a  log c b   log a b  log b a    log a c  log c a    log b c  log c b  Vì a, b, c số thực lớn nên: log a b, log b a, log a c, log c a, log b c, log c b  Do {p dụng bất đẳng thức AM – GM , ta có: P  2 log a b.2 log b a  2 log a c.8 log c a  2 log b c.8 log c b     20 a  b log a b  log b a   Dấu “=” xảy log a c  log c a  c  a  a  b  c  log c  log b c  b2 c  b  Chọn ý A Câu 64: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    a  b2  a b2   c2  d  c 2d  B ln A 17 16  17  C    16  D ln 17 16 Lời giải Từ giả thiết ta có: P    a  b  a b   c  d  c d     a    ln P   ln  a   87 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 63: Cho số a, b, c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   log bc a log ac b 3log ab c | Các tốn cực trị mũ – logarit Ta có đ{nh gi{ sau ln  t    mt  n , để tìm hai số m,n ta sử dụng tới bất đẳng thức tiếp tuyến, đ}y l| phương ph{p hay để chứng minh bất đẳng thức đối xứng với biến độc lập Cơ sở phương pháp  Nếu đường thẳng y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm A  x0 ; y  , A khơng phải điểm uốn tồn khoảng D chứa x cho f  x   ax  b f  x   ax  b Đẳng thức xảy x  x  Nếu đường thẳng y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm A  x0 ; y  ta ln ph}n tích f  x    ax  b    x  x  g  x  , k  k CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Sau đ}y ta {p dụng lý thuyết vào tốn Chú ý ta có  ln  a   biểu thức đối xứng theo bốn biến a,b,c,d đồng thời giả thiết l| đối xứng nên ta dự đo{n dấu “=” xảy a  b  c  d  Quay lại bất đẳng thức phụ m| ta tìm hệ số ln  t    mt  n , ta tìm m,n cho hai đồ thị hàm số y  ln  t   , y  mt  n tiếp  m   17 xúc điểm có ho|nh độ t  ta  Vậy ta có bất đẳng thức n    ln 17  17 16 17 phụ ln  t    , dễ thấy bất đẳng thức n|y ln đúng, {p dụng t  ln 17 17 16 vào toán ta có: 17  17   17  ln P   ln  a    a     ln   ln P   17 16  16  17  16  Chọn ý C Câu 65: Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn x  y  8z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  A 12 x y z   B C D  log Lời giải Chú ý với điều kiện x,y,z khơng âm ta ln có x , y , 8z  Theo nguyên lý Dirichlet ta có 2 x     y    x.4 y  x  y     x.4 y.8z  x  y  8z  x.8z  y.8z  8z        8z  x  y  8z  x z y z Chú ý x , y , 8z  8z  Tạp chí tư liệu tốn học | 88 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit |  x.4 y.8z  x  y  8z    x  2y  3z   S  Chọn ý C Nguyên lí Dirichlet Nguyên lý lồng thỏ biết đến từ l}u Ngay chương trình phổ thơng sở l|m quen với phương ph{p giải toán Thực nguyên lý mang tên nhà bác học người Đức Pête Gutxtap Legien Đirichlê (1805-1859) Nguyên lý phát biểu đơn giản: Nếu nhốt thỏ vào lồng mà số lồng số thỏ, thể n|o có lồng nhốt hai thỏ Ngun lí Dirichlet có nhiều ứng dụng Tốn Học, điển hình bất đẳng thức Chúng thường áp dụng để giải số toán bất đẳng thức không Hôm đưa số ví dụ để bạn hiểu vấn đề Trong số a,b,c ln có số nằm phía với số m bất Câu 66: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log a  log b  log 27 c A log C log 15 B D log Lời giải Giả thiết tương đương P  log a  log b  log 27 c  log a  log b  log c  log  abc  Theo nguyên lý Dirichlet ta có  a  1 b  1   ab  a  b   abc  c  a  b    ac  bc  c  a c1 b c1 c  a b c   P  log  abc   log 3  Chọn ý B Câu 67: Biết a số thực dương để bất đẳng thức a x  9x  nghiệm với x Mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A a   10 ; 10  C a   0; 10  B a   10 ; 10  D a   10 ;   THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018 Lời giải Bất đẳng thức a x  9x  với x  phải với x   a  10 Do a  nên hàm số y  a đồng biến , đồ thị hàm số x có bề lõm quay lên Hay hàm số hàm số lõm Do hai đồ thị hàm số y  a x y  9x  qua điểm A  0;  ất đẳng thức a x  9x  nghiệm với x đường thẳng y  9x  tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A  0;   y'     y'  a x ln a   ln a   a  e Chọn ý A 89 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC kỳ (Hay lớn m bé m) Đ}y l| sở lời giải toán | Các toán cực trị mũ – logarit n Câu 68: Gọi a giá trị nhỏ f  n    log i 2 với n  , n  Có số tự 9n nhiên n để f  n   a ? A i C B Vô số D Lời giải Từ giả thiết ta có f  n    f  n  log  n   f  n   log n , f n   9 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  f  n   f  n   Để f  n  đạt giá trị nhỏ ta có   f  n   f  n   f  n  log  n    f  n   log  n    9   39   n  39  log n   f  n   log n  f  n    Vậy có giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý A Câu 69: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn x x    log 14   y   y  Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  ? A B C D THPT Quãng Xương – Thanh Hóa lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Khi l|m quen với dạng toán dạng tốn trở nên vơ bình thường Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có x x 2 x x 4 Mặt khác ta có 14   y   y   14   y   y   y  Đặt t  y     Xét hàm số f  t   t  3t  14, f '  t    t   f  t   16  log 14   y   y   x  Dấu “=” xảy  P2 y   Chọn ý C Bài tập tương tự Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  biết rằng: A x2  x2 1 13    log 14   y   y    x  0, 1  y     B C D Tạp chí tư liệu tốn học | 90 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | THPT Chuyên Lương Văn Ch{nh – Phú Yên năm học 2017 – 2018 Chọn ý D Câu 70: Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện x  y  16 z  x  y  z Tìm giá trị lớn biểu thức P  x   y   z  A  87 B  87 C  87 D  87 Lời giải a, b, c  Đặt x , 3y , 4z   a, b, c    2 a  b  c  a  b  c 1  1 1   Khi ta có P  2a  3b  4c   a     b     c    2  2 2     2  1  1    9  87 P       a     b     c      2  2    2  2 Chọn ý A ln x  Câu 71: Giá trị lớn hàm số y  ln x   m đoạn  1; e  đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A 1 2 B 1  C 1  2 D 1 Lời giải Ta có max y  max 0;2  1;e    t1 t 1  m Xét f  t   t1 t 1  m, f '  t    1t t2   0t1 Mặt khác ta có f    m  1, f    m  , f    m   5  21  m   m    1 2  y  m  ; m   1;e    Chọn ý C 1  Câu 72: Biết  số thực lớn thỏa mãn bất đẳng thức    n  n   e, n  mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A    0;  B    1;  C    1;  Lời giải Gọi f  n  số thực thỏa mãn đẳng thức 91 | Chinh phục Olympic toán D    2;   Hỏi TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có | Các toán cực trị mũ – logarit 1  1  n  nfn  1   e   n  f  n   ln      f  n   n 1 n   ln    n  1 Trên khoảng  1;   ta xét hàm số f  x    x ta có f '  x   1 1 1  2 ln    x  x   ln    x x   t Mặt khác ln  t    t  Thật ta có: t1   1 t 1 t 2t g  t   ln  t     g 't     0 t1 t   t  1 t  t   t  1 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Nên suy g  t   g     ln   t   t Do ta t1 1 1   ln      x  x   ln      f '  x  x  1 x x    x2    x  Vậy hàm số f  x  đồng biến  1;   Do ta suy   f  n     f    1 ln Chọn ý C Câu 73: Cho số thực a,b không âm thỏa mãn log ab   0;  đồng thời  log ab  log ab    log ab  1 log ab  1 ab1 2a 2b  Biết x y 10 viết dạng m n với a,b số nguyên dương Hỏi có tất số  m; n  vậy? A B C D Lời giải Một tốn khó nên đưa để bạn tham khảo nhé, đề thi khơng gặp tốn loại Trước tiên ta đặt log ab  x,  log ab  y  x  y  Vế trái viết lại x x  y y f x  f y xy  f   *  - Bất đẳng thức Jensen   Thật ta giả thiết  a  b  viết bất đẳng thức dạng Ta có bất đẳng thức  xy    x  y  f    f  x   f  y   f           yx yx yx Vế trái bất đẳng thức có dạng f '     f '   f ''        2 xy Trong x       y,      Vì ln f  x   x ln x Tạp chí tư liệu tốn học | 92 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | 1   f '  x   f  x   ln x   f ''  x   f  x     ln x     0, x   0;  x  yx Suy f ''         Vậy bất đẳng thức  *  Khi {p dụng ta có 1 x 1 xx  y y  x x    x   f  x   f   x   2f    2 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1 ab1 2.2 a b    2 2a2b  2 2a 2b Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  y   x y 10  128  32   Chọn ý D Bất đẳng thức Jensen tính chất hàm lồi Ở b|i to{n ta sử dụng tới tính chất có lẽ gặp bất đẳng thức Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  v| n điểm tùy ý nên  a; b  Ta có    x1  x   x n   n  i 1 n  x  x   x n  Nếu f ''  x    f  xi   nf   n   i 1 Nếu f ''  x   n  f  x   nf  i Ngoài cần ý thêm  Nếu hàm số f  x  có f ''  x   0, x   a; b  f  x  làm hàm lồi  a; b   Nếu hàm số f  x  có f ''  x   0, x   a; b  f  x  làm hàm lõm  a; b  Câu 74: Có cặp số nguyên  a; b  thỏa mãn  a, b  100 cho đồ thị hàm số y  1 1  y  x  cắt điểm phân biệt? x a b b a A 9704 B 9702 C 9698 D 9700 Lời giải Ta thấy a  1; b  , a  b đường cong trùng nên có vơ số điểm chung, loại Vì vai trò a,b nên ta cần tìm cặp số nguyên  a; b  với a  b  cho phương trình 1 1 1 1   x   x  x    có nghiệm phân biệt x a b b a a b a b x x 1 1 1 1 Xét hàm số f  x   x  x    f '  x      ln a    , f    a b a b a b  ln b  Ta có f '  x    x  x0  log b   , f '  x   x  x , f '  x   x  x a  lna  ln a lnb  ln b  Nếu x0   log b     a; b    4;  1 lna a b   a 93 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC lạ, phần giới thiệu cho bạn có quan tâm tới | Các tốn cực trị mũ – logarit lnt ln ln ln ln ln 100       t 100 Khi f  x   f  x   f     f  x  có nghiệm x  Chú ý xét hàm số f  t   Nếu x  , vẽ bảng biến thiên cho hàm số ta thấy phương trình f  x   ln có nghiệm phân biệt Với b  k  2, 3, ,99   a  k  1, ,100  tức có 100  k cách chọn a 99 Vậy có   100  k   4851 cặp  a; b  a  b  1 loại cặp  4;  ta có 4850 cặp k 2 Xét tương tự với trường hợp b  a  ta có tất 9700 cách chọn Chọn ý D Câu 75: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn đẳng thức sau:    CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN log log  x  9y  6xy  2x  6y    log log  9x  y  6xy  6x  2y    m m với m,n số nguyên không âm phân n n số tối giản Hỏi m  n có giá trị Biết xy viết dạng A B C 10 D 11 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương    log log  x  9y  6xy  2x  6y    log log  9x  y  6xy  6x  2y     log  log  3x  y  1     log log   x  3y    log  log       Ta thấy  Do VT  VP log  log   3x  y       log  log     log log 3   x  3y    2 3 2 3 2 x  3y   1 Dấu “=” xảy   x  y   xy  3x  y   Chọn ý A Câu 76: Cho số thực x,y thỏa mãn  x  y   tan  x  y   sin  x  y   v| đồng thời   cot  x  y   cos x  y   log   x y    Tính giá trị biểu thức sin  x y  x  y   ? 4  A 2 B C Nguyễn Minh Tuấn D Lời giải Tạp chí tư liệu tốn học | 94 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | + Nếu  x  y   , áp dụng tính chất lượng giác bất đẳng thức AM – GM ta có  tan  x  y   sin  x  y    cot  x  y   cos x  y    tan  x  y   sin  x  y  sin  x  y    cot  x  y   2    x  y  , , áp dụng tính chất lượng giác bất đẳng thức AM – GM ta có + Nếu  tan  x  y   Vậy  tan  x  y   sin  x  y  sin  x  y    cot  x  y     cot  x  y   cos x  y  cos x y   tan  x  y   cos  x  y    cot  x  y   cos  x  y  2  Mặt khác log   x y   log    xy     2 Nên dấu “=” xảy    sin  x y  x  y    4  x  y  Chọn ý C P  4a  b  16 c  a  16 b  c  16a  b  c A B 3 C D Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có P   4a  b  16 c  a  16 b  c  16 a  b  c  Theo bất đẳng thức Holder ta có 4 a  b  16 c  9a  16 b  c  16 a  b  c    a  b  c  9a  b  c  16a  b  c      16   39  P  39  3 Chọn ý B Câu 78: Cho số thực thỏa mãn x   2;  ; y   0;  ; z  1;  Khi gi{ trị lớn biểu thức T   x y z    log  x    log  y    log z  bằng? C  14 B 11 A 10 D 12 Lời giải Theo Cauchy – Schwarz , ta có:  x y z  Dấu "  " xảy khi: 2 1     1 x  y  2z        x  y  2z    x  y  2z  2 2    x  y  z  x  y  4z  1  x  y  2z    log  x  1  log  y  1  log z   T   x  y  2z  log  x    log  y    log z  Suy T  95 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Câu 77: Cho số thực a,b,c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau | Các toán cực trị mũ – logarit  x  y  2z  log  x  1  log  y  1  log z  5  T   x  log  x      y  log  y      z  log z  2 Áp dụng kết quan trọng x   a   log a x   0, x  1; a  Dấu “=” xảy x  T x  log  x      x    log  x        x  a   y  log  y      y    log  y       T  10  z  log z   z  log z     Dấu “=” xảy x  y  4z  Câu 79: Cho số thực x,y,z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN P   2011x  y  2z   2011y  z  x   2011z  x  y A B C D Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Mincowsky bất đẳng thức AM – GM ta có:   2011 x  y  2z   3 3  x  y  2z yz2 x z x2 y     2011  2011  2011    2 x  y  2z y  z  x z  x  y     2  27   2011  6   Chọn ý C Câu 80: Cho hai số thực a, b, c, d, e dương thỏa mãn a  b  c  d  e  1000 a  b  c  d  e  a  b  c  d  e    a  b  c  d  e  a  b  c  d  e   a  b  c  d  e  Tìm giá trị lớn biểu thức M   a  c  A 499 499 B 500 500 b d C 500 499 D 499 500 Lời giải Một câu mang tính tham khảo cho bạn có tìm tòi thơi Tạp chí tư liệu tốn học | 96 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | a  b  c  d  e  h a  b  c  d  e  k  Đặt a  b  c  d  e  l ta thấy h  k  n  m  l  a  b  c  d  e  1000 v| đồng thời a  b  c  d  e  m  a  b  c  d  e  n 2a  h  k, 2b  k  l, 2c  l  m, 2d  m  n, 2e  n h Từ suy h, k, l, m, n số chẵn Bên cạnh ta suy a  c  Để M   a  c  b d 1  h  k  l  m   1000  n  , b  d  1000  h  2 đạt giá trị lớn n h có giá trị nhỏ nhất, mà n,h chia hết h  n   max M  499 499   TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC k  9974  2t l  2, 4, , 2t  t  1, 496 Đẳng thức xảy  l  m   2t k  l  m  996 Chọn ý A Câu 81: Giá trị nhỏ m để hệ phương trình sau có nghiệm :  log  x  y   log  xy     3  x  y  2xy  m B C A D Lời giải Đặt log  x  y   a, log  xy    b a  b  Lại có:  x  y   4xy   a    3b     32 a    12 a  8.3a  36  2 Xét hàm g  a   12 a  8.3a  36 đồng biến , g  1   a  m   x  y   3xy  x  y   2xy   a    32 a   a   a    f  a  3 H|m f đồng biến  1;   suy m  f(1)  Vậy hệ phương trình có nghiệm phương trình thứ có nghiệm a1m1 Câu 82: Cho số thực x,y thỏa mãn   log  x    log 2  y   log  y    log Giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   15xy là? A P  80 B P  91 C P  83   x3 2 D P  63 Lời giải Giả thiết tương đương   1 log  x    log 2  y   log  y    log 2 97 | Chinh phục Olympic toán  x3 2  | Các toán cực trị mũ – logarit  log x   log  x3     y   y   2 x    log y   log x3 2     x  3  x     y  3  y   x  y  Ta có x  y   2   y3  x3  y3  x  y  x   y    x  y    x  y   x  y    x  y    x  y  Mặt khác x  y     x   y   2  x  y   x  y   x  y   4;  Xét biểu thức P   x  y   15xy   x  y   7xy  16  x  y   7xy  7x  y    16y  5x y   Mà   P  16   x   5x  64  21x y   x Kết hợp với x  y   x  3;7   64  21x  83 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Vậy gi{ trị nhỏ biểu thức P 83 Câu 83: Có tất cặp số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3 x2  x  log  5 y    ?   y  y    y    A D C B Lời giải x  2x  x  2x  3  y Từ giả thiết ta suy 5    log 5 5  y   3 x2  2x  5  y     y  3  y  y    y    4y    y    y    3y    y     y  3  2  y  y    y    4y    y    y    3y    y    2  x  1 Dấu “=” xảy y  3 Thế vào giả thiết ta x2  2x     x  Vậy tồn số thỏa mãn yêu cầu đề Câu 84: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z  y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log xyz ? P  log 22 xy  log  x y  x 3z   y  xy  2zy  2xz A C 1 B D Lời giải Ta có P  log 22 xy  log  x y  x 3z   y  xy  2zy  2xz  log 22 xy  log  x y  x 3z    2z  y   x  y   log 2 xy  log  x y  x 3z  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x y  z x  2x y 3z Tạp chí tư liệu tốn học | 98 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit |      P  log 22 xy  log   x yz    log 22 xy  log  x yz     Trường hợp 1: y  z  P  log 22 xy  log xy    Trường hợp 2: y  z  P  log 22 xz  log xz    Vậy P   , dấu “=” xảy x  , y  z   log xyz  1 16 1 k Câu 85: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức    với sin x x    x   0;  Khi gi{ trị k là?  2 B D C Lời giải 1 k 1 k Ta có  1    1 2 sin x x  sin x x  1   Xét f  x    , x   0;  sin x x  2 Ta chứng minh f '  x    Thật f '  x   cos x     , x   0;  sin x x  2 sin x  2x cos x 0 x3 sin x    sin x  x cos x  , x   0;   2 sin x      sin x  x cos x , x   0;   g  x    x  , x   0;  cos x  2  2 Ta có g   x   2 cos x  1  cos x cos x     cos x  cos x  3  cos x  1 cos x cos x    1  cos x   cos x cos x   1     , x   0;   2   Do g  x   g    Suy f   x   , x   0;   2 Vẽ bảng biến thiên ta suy f  x    99 | Chinh phục Olympic toán k k   , x   0;       k      2 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC A | Các toán cực trị mũ – logarit Câu 86: Cho số thực a, b, c, d cho c  d  đồng thời thỏa mãn log   a  b    log  a  b   4   c  d c d 2 2  ln  c  d  2cd  4c  4d    16  a  c   b  d Gọi M m GTNN GTLN biểu thức P  Tính giá trị S  M  n ? A C 10 B D 12 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Biến đổi giả thiết ta có log   a  b    log  a  b   a  b   10  a  b    a     b    49 2 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Giả thiết tương đương  c.2 d.2  c d  ln  c2  d  2cd  4c  4d    16  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có   c d   c d  22  c d  c d    ln  c  d     16   16 Mặt khác ln  c  d      VT  16 Dấu “=” xảy c  d  2 Ta sử dụng phương ph{p hình học cho Xét đường tròn tâm I  5;  bán kính R  , v| đường thẳng    : x  y   Gọi điểm A  a; b  , B  c;d  Ta có hình vẽ đ}y B I A Ta có P  AB  d  0;    R   2  a  c  b  d  AB      AB max  AB  2R   Tạp chí tư liệu tốn học | 100 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI THAM SỐ Ta thấy tốn chứa tham số câu hỏi quan trọng đề thi, trải dài chương hàm số mũ – logarit, thực chất toán chất giống nhau, khác phép biến đổi, tính chất phép biến đổi Trong chương tìm hiểu toán chứa tham số liên quan tới mũ – logarit, sau vào kiến thức cần nhớ! Ứng dụng tam thức bậc hai t tam thức ọi , c hai f  x   ax  bx  c,  a   ,   b  4ac tổng t ch hai nghi m x , x b  S  x1  x   a thức i t  c P  x x   a  iều ki n f  x   c hai nghi m trái ấu P     iều ki n f  x   c hai nghi m phân i t c ng ấu  P       iều ki n f  x   c hai nghi m phân i t ương  S  P       iều ki n f  x   c hai nghi m phân i t âm  S  P    hi so sánh hai nghi m với số   0, ta thư ng đ t t  x   để chuyển so sánh với số 0, c thể sau  x   x    x  x  2  x2  x1        x   x     x1    x2     x1  x  2  x   x     x1  x2        x1    x2     x   x     x1    x   x    x     101 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC I MỞ ĐẦU | Các toán liên quan tới tham số   f  x   0, x    f  x   0, x   ấu f  x  :  f x  0, x       f  x   0, x      a     a     a     a  Ứng dụng đạo hàm ài to n T m m để phương tr nh f  x; m   c nghi m tr n  ộc l p m khỏi iến số p ảng iến thi n hàm số f  x  D   CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN ng f  x   A  m  đưa ựa vào ảng iến thi n ác đ nh giá tr tham số m để đư ng th ng y  A  m  nằm ngang c t đ th hàm số y  f  x  ết lu n nh ng giá tr cần t m m để phương tr nh f  x   A  m  c  nghi m tr n  ếu hàm số y  f  x  c T T tr n th giá tr m cần t m nh ng m thỏa m n f  x   A  m   max f  x  D  D ếu ài toán y u cầu t m t m tham số để phương tr nh c k nghi m phân i t, ta cần ựa vào ảng iến thi n để ác đ nh cho đư ng th ng y  A  m  nằm ngang c t đ th hàm số y  f  x  t i k điểm phân i t ài to n T m m để ất phương tr nh f  x; m   ho c f  x; m   c nghi m tr n  c ộc l p m khỏi iến số ng f  x   A  m  ho c f  x   A  m  đưa  p ảng iến thi n hàm số f  x  D  ựa vào ảng iến thi n ác đ nh giá tr tham số m để ất phương tr nh c nghi m ới ất phương tr nh f  x   A  m  đ nh ng m cho t n t i phần đ th nằm tr n đư ng th ng y  A  m  , tức A  m   max f  x  D  max f  x   D ới ất phương tr nh f  x   A  m  đ nh ng m cho t n t i phần đ th nằm ưới đư ng th ng y  A  m  , tức A  m   f  x  D  f  x   D ài to n T m tham số m để ất phương tr nh f  x   A  m  ho c f  x   A  m  nghi m x  D ? Tạp chí tư liệu tốn học | 102 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit |  ất phương tr nh f  x   A  m  nghi m x  D  f  x   A  m   ất phương tr nh f  x   A  m  nghi m x  D  max f  x   A  m   ác ài toán li n quan h phương tr nh, h D D ất phương tr nh th ta cần iến đổi chuyển phương tr nh ất phương tr nh hi đổi iến, cần quan tâm đến điều ki n iến TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  103 | Chinh phục Olympic toán | Các tốn liên quan tới tham số II CÁC BÀI TỐN Câu 1: Tìm số giá tr nguyên tham số x 1  41x   m    2  x  2 x   16  8m có nghi m  0; 1 ? A m C B để phương tr nh D THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần năm 2017-2018  32 x  x 1  32  x 1  2017x  2017 Câu 2: Tìm tất giá tr m để h sau có nghi m   x   m   x  2m   A m  3 C m  2 B m  3 D m  2 THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần năm học 2017 – 2018 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Câu 3: Có số nguy n ương a để phương tr nh sau c nghi m nhất?  3a2  12a  15 log 27  2x  x2    92 a2  3a   log A B    x2  x2    log 2x  x  log  11    9 11      D C Vô số THPT Cổ Loa – Hà Nội lần năm 2017 – 2018 Câu 4: Gọi S t p hợp tất giá tr m cho 10m  log mx 5  2x  5x    log A 15 mx  x phương tr nh  2x   có nghi m Tìm số phần tử S B 14 C 13 D 16 THTT số – 486 tháng 12 năm 2017 Câu 5: Cho tham số thực a Biết phương tr nh e  e x x  cos ax có nghi m thực phân bi t Hỏi phương tr nh e x  e  x  cos ax  có nghi m thực phân bi t A B D 11 C 10 THPT Chuyên Thái Bình – Lần năm học 2017 – 2018  Câu 6: Cho bất phương tr nh m.3x 1   3m      4   x x  , với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với x    ;  A m  22 3 B m  Câu 7: hương tr nh x   m  3x 22 3 22 22 D m   3 THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa năm 2017 – 2018 C m    x  6x  9x  m  x 2  x 1  có nghi m phân bi t m   a; b  đ t T  b  a thì: A T  36 B T  48 C T  64 D T  72 Tạp chí tư liệu tốn học | 104 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | THPT Trần Nhân Tông – Quảng Ninh lần năm học 2017 – 2018 Câu 8: Số giá tr nguyên nhỏ 2018 tham số m để phương tr nh log  2018x  m   log  1009x  có nghi m là? A 2020 B 2017 C 2019 D 2018 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Câu 9: Cho a , x số thực ương, a  thỏa mãn log a x  log  a x  Tìm giá tr lớn a B log  e   A ln 10 e C e D 10 log e e Phổ thông khiếu – Đại học Quốc Gia TP HCM lần năm 2017 – 2018  2x  mx   log    2x  mx   x  có hai nghi m thực phân bi t?   x    B A D C Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ lần năm học 2017 – 2018 Câu 11: Có giá tr m để giá tr nhỏ hàm số f  x   e 2x  4e x  m tr n đo n  ; ln  ? B A D C THPT Chuyên Ngoại ngữ - Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Câu 12: Có giá tr nguyên thuộc khoảng  9;  tham số m để bất phương   trình log x  log m x  x    x   x có nghi m thực? A B D 11 C 10 Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Nam năm học 2017 – 2018 Câu 13: Tìm t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh sau c nghi m  e 3m  em  x   x   A  0; ln      B   ; ln     1  x  x2  1 C  0;   e  1  D  ln 2;   2  Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh lần năm học 2017 – 2018      Câu 14: ho phương trình log x  x  log 2017 x  x   log a x  x  Có giá tr nguyên thuộc khoảng  1; 2018  tham số a cho phương tr nh đ cho c nghi m lớn A 20 B 19 105 | Chinh phục Olympic tốn C 18 D 17 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC ương tham số m để phương tr nh Câu 10: Có giá tr nguy n | Các toán liên quan tới tham số Câu 15: Giả sử t n t i số thực a cho phương tr nh e x  e  x  cos ax  có 10 nghi m thực phân bi t Số nghi m phân bi t phương tr nh e x  e  x  cos ax là: A B 20 C 10 D Câu 16: Có số nguyên m để phương tr nh sau c nghi m thực? ln  m  sin x  ln  m  sin x    sin x B A C D Câu 17: Cho n số tự nhiên thỏa m n phương tr nh 3x  3 x  cos nx có 2018 nghi m Tìm số nghi m phương tr nh x   x   cos 2nx A 4036 B 2018 C 4035 D 2019 THPT Quảng Xương – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018 CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Câu 18: Gọi S t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh m.3x 7 x  12  32 x  x  9.310  5x  m có ba nghi m thực phân bi t Tìm số phần tử S A C B Vô số D THPT Trần Hưng Đạo – TP HCM năm học 2017 – 2018 Câu 19: Có giá tr nguyên tham số m để t n t i c p số  x; y  thỏa mãn e x  y   e 3x  y  x  y  , đ ng th i thỏa mãn log 22  2x  y     m   log x  m   B A C D Sở Giáo dục đào tạo Bà Rịa Vũng Tàu đề năm 2017 – 2018 Câu 20: Biết  a; b  khoảng chứa tất giá tr tham số thực m để phương tr nh  73 A M   x2  m 73  x2  2x B M  1 c ốn nghi m thực phân bi t Tính M  a  b 16 7 D M  16 THPT Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh lần năm học 2017 – 2018 C M  Câu 21: Có giá tr nguyên tham số m nhỏ 10 để phương tr nh m  m  e x  e x có nghi m thực? A B D C 10 Sở Giáo dục đào tạo Bắc Giang năm học 2017 – 2018   Câu 22: Cho hàm số f  x    a   ln 2017 x   x  bx sin 2018 x  với a,b số thực   2   f  5   Biết f log  Tính f 5log  A f 5log B log   C f 5log  2   D f 5log  Sở Giáo dục đào tạo Bắc Giang năm học 2017 – 2018 Tạp chí tư liệu tốn học | 106 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit |  Câu 23: Cho bất phương trình m.3x   3m      x  4  x  , với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với x    ;  A m  22 3 B m  22 22 22 C m  D m   3 Chuyên Đồng sông Hồng lần năm học 2017 – 2018 Câu 24: Tìm tất giá tr thực tham số m để phương tr nh ln  m  ln  m  x    x có nhiều nghi m B m  A m  D m  1 C m  e THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần – năm học 2017 – 2018 ho phương tr nh e e   sin x    sin x  m cos x với m tham số thực Gọi S t p tất giá tr m để phương tr nh c nghi m Khi đ   ; a   b;   Tính T  10a  20b A T  10 B T  C T  S có d ng D T  10 THPT Kim Liên – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Câu 26: Có số nguyên m để phương tr nh log 3x2  3x  m   x  5x   m 2x  x  Có hai nghi m phân bi t lớn A C B Vô số D THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm học 2017 – 2018 Câu 27:       ho phương tr nh log x  x  log x  x   log m x  x  Có giá tr nguy n ương khác m cho phương tr nh đ cho c nghi m x lớn ? C B A Vô số D THPT Chuyên Đại học Vinh – Nghệ An lần năm học 2017 – 2018 Câu 28: Có tất giá tr nguyên tham số a thuộc khoảng  0; 2018  để ta ln có lim A 2011 n  3n  1 ?  n n a 9 2187 B 2016 C 2019 D 2009 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp lần năm học 2017 – 2018 Câu 29: ho phương tr nh x   m   x    Biết phương tr nh c hai nghi m x , x thỏa mãn  x1   x    Kh ng đ nh ốn kh ng đ nh ưới 107 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 25: m cos x  sin x | Các toán liên quan tới tham số A Khơng có m B  m  D m  C m  THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Câu 30 : Tìm t p hợp S tất giá tr tham số m để phương tr nh sau c a nghi m phân bi t 2 3 1 A S   ; 1;  2 2 x  1 log  x  2x    3 1 B S   ; 1;  2 2 x m log  x  m   3  C S   ; 1;  2  3 1 D S   ; 1;   2 2 THPT Chu Văn Anh – Hà Nội năm học 2017 – 2018 Câu 31 : Có số nguy n ương m đo n  2018 ; 2018  cho bất phương tr nh sau với x   ; 100  :  10x  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A 2018 B 4026 m log x 10 11  10 10 log x C 2013 D 4036 Câu 32 : Gọi S t p giá tr tham số thực m để hàm số y  x  ln  x  m   đ ng  biến t p ác đ nh Biết S   ; a  b  Tính tổng K  a  b A K  5 B K  D K  C K  Câu 33 : Cho hai số thực a , b  a  1, b   hương tr nh a x  b x  b  ax có nhiều nghi m? A B C D Câu 34: T p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh 27 x  m.32x 1   m   3x 1   m    Có nghi m thực phân bi t khoảng  a; b  Tính giá tr biểu thức S  a  b A B  C  D   Câu 35: Có số nguyên m   2018; 2018 để phương tr nh x    x  m có nghi m thực phân bi t? A 2013 B 2012 C 4024  Câu 36: Cho bất phương tr nh log 3a 11   log   D 2014   x  3ax  10   log 3a  x  3ax  12    Giá tr thực tham số a để bất phương tr nh tr n c nghi m thuộc khoảng sau A  1;  B  1;  C  0;  D  2;   THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần năm học 2017 – 2018 Tạp chí tư liệu tốn học | 108 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Câu 37: Có giá tr nguy n ương tham số m để t p nghi m bất phương   trình 3x    3x  2m   chứa không số nguyên? A 3281 B 3283 C 3280 D 3279 Câu 38: Có số nguyên a   2019; 2019  để phương tr nh 1  x  xa ln  x    có hai nghi m phân bi t? A 2017 B 2022 C 2014 D 2015 Câu 39: Tất giá tr m để bất phương tr nh  3m   12 x    m  x  3x  có A  2;   B   ; 2  1  C   ;   3  1  D  2;   3  Câu 40: Tìm m để bất phương tr nh x  3x  x   mx có t p nghi m A Không t n t i m B ln 26 C ln 26 D ln Câu 41: Với a tham số thực để bất phương tr nh x  3x  ax  có t p nghi m , đ A a    ;  Câu 42: B a   ;  C a   ;    D a   ;  ho phương tr nh  log 22 x  log x   3x  m  ( m tham số thực) Có tất giá tr nguy n ương tham số m để phương tr nh đ cho c hai nghi m phân bi t? A 80 B 81 109 | Chinh phục Olympic tốn C 79 D Vơ số TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC nghi m với x  là: | Các toán liên quan tới tham số III HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Tìm số giá tr nguyên tham số x 1  41x   m    2  x  2 x   16  8m có nghi m  0; 1 ? A m C B để phương tr nh D THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần năm 2017-2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: x 1  41x   m    2  x  2 x   16  8m   x   x    m    x   x   16  8m t t  u  x   x   x , x   0; 1  u  x   x   x  x  0; 1 Suy u    t  u   hay CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  3 t  0;   t  x   x  2.2 x.2  x  x   x  t  hương tr nh trở thành :  2  t    4t  m    16  8m  t   t  m     2m  t  t  m    2m    m  t    t2  t   m  t     t   t     3  m  t   t  0;     2  t  m1 ể phương tr nh đ cho c nghi m  0; 1 th phương tr nh t  m  phải có nghi m  3  3  5 t  0;  Suy m   0;  , hay m  1;   2  2  2 Chọn ý A  32 x  x   32  x   2017x  2017 Câu 2: Tìm tất giá tr m để h sau có nghi m   x   m   x  2m   A m  3 C m  2 B m  3 D m  2 THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần năm học 2017 – 2018 Lời giải iều ki n x  1 Xét 32 x  x1  32    9x    x1 x1  2017x  2017  32 x.3  32.3 x 1  2017  2017x  2017   x  Dễ thấy x  nghi m Nếu x  VT   x   Suy  x   x1 x1 x1  , VP  2017   x    2017   x  vơ nghi m Tạp chí tư liệu tốn học | 110 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Nếu 1  x  VT   x    Suy  x   V y bpt 32 x  x1 x1 x1  , VP  2017   x    2017   x  có nghi m với 1  x   32  x1  2017x  2017 có nghi m với 1  x  Cách Xét: f  x   x   m   x  2m   Ta có   m  4m  , để bpt có nghi m 1  x   Tr ờng hợp    2   m   , bpt có nghi m 1  x     m   Tr ờng hợp     , nghi m bpt   ; x    x ;    m  2  3m   f  1  Ta có  1;    x ; x      m  2 f  1  m   o đ ất phương tr nh có nghi m 1  x  m  2 Kết hợp điều ki n ta m   2  m  2    Từ     suy h đ cho c nghi m m  2 Cách Bài toán trở thành tìm m để bpt x   m   x  2m   có nghi m 1  x  Bất phương tr nh tương đương m  x    x  2x   m  Ta có f '  x   x2  4x  x  2 ể bất phương tr nh x  2x   f  x   *  (Do 1  x  ) x2 Xét f '  x    x     1; 1  *  có nghi m m  f  x  L p bảng biến thiên hàm số x 1;1 f  x   1; 1 ta có m  f    f  1   2 V y m  2 Chọn ý C Câu 3: Có số nguy n ương a để phương tr nh sau c nghi m nhất?  3a 9   12a  15  log 27  2x  x    a  3a   log 2  A B    x2  x2    log 2x  x  log     11  11      C Vô số D THPT Cổ Loa – Hà Nội lần năm 2017 – 2018 Lời giải iều ki n  x  Biến đổi phương tr nh an đầu tương đương 111 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC thì: | Các toán liên quan tới tham số a   x2  4a   log  2x  x    9a  6a   log 11      x2   log 2x  x  log     11       x2   a2  4a   log  2x  x    9a  6a   log 11    0  log  2x  x    x2   3a     a   log  2x  x    3a   log 11  * 0      a2    log 11   2x  2 Mà vế trái  *  ương với a nguy n ương Vì  x  nên  x   * o đ từ     log 11  0 2  2x  2x  suy log  2x  x    2x  x   x  2x    không t n t i x y khơng có giá tr tham số a thỏa mãn yêu cầu đề CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN họn ý B Câu 4: Gọi S t p hợp tất giá tr m cho 10m  log mx 5  2x  5x    log A 15 mx  x phương tr nh  2x   có nghi m Tìm số phần tử S B 14 C 13 D 16 THTT số – 486 tháng 12 năm 2017 Lời giải Ta có: 2x  5x   với x n n phương tr nh an đầu tương đương với  mx    mx   mx     mx   2x  5x    x2 2x  5x   x  2x      x  hương tr nh c nghi m tương đương với ta nh n nghi m x  lo i x  ho c nh n nghi m x  lo i x   Trư ng hợp 1: Nh n nghi m x  lo i x     m   2m      iều tương đương với 2m   m  (vơ lí)  5m   m 1      5m    m    Trư ng hợp 2: Nh n nghi m x  lo i x  Tạp chí tư liệu tốn học | 112 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit |     m   m   5m     1  m      iều tương đương với 5m   m    2m    m         2m   m    m  10m  30  Suy ra:  10  10m  25 Vì 10m   m  12 nên 10m  11; 13; 14 ; 25  30 Trong t p hợp có 15 phần tử nên t p hợp S c 15 phần tử Chọn ý A Câu 5: Cho tham số thực a Biết phương tr nh e x  e  x  cos ax có nghi m thực phân bi t Hỏi phương tr nh e x  e  x  cos ax  có nghi m thực phân bi t A B C 10 D 11 THPT Chuyên Thái Bình – Lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Ta thấy phương tr nh e  e x x uy phương tr nh e  e x  ex  ex x  cos ax c nghi m x c nghi m  *   cos ax   e x  e  x    cos ax    cos a x  x2 ax e  e  cos   x x    ax  x   e  e   cos x ax    e  e  2 cos    hương tr nh   phương trình   có nghi m chung x cos x0 e2 e   x0 ax0  x0  - vô lý V y   ,   có nghi m khác  cos  hương tr nh   có nghi m ( theo  *  ) x0 Nếu x nghi m   x  e  e  x0  x0 x0 ax0  x   cos  e  e  2 cos a      hi đ x0 nghi m   V y phương tr nh   có nghi m phân bi t ( khác nghi m phương tr nh   ) hương tr nh đ cho c 10 nghi m 113 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  11 13 14 25   30  Chú ý: m   ; ; ;      10 10 10 10   10  | Các toán liên quan tới tham số Chọn ý C  Câu 6: Cho bất phương tr nh m.3x 1   3m      x  4  x  , với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với x    ;  A m  22 3 B m  22 3 22 22 D m   3 THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa năm 2017 – 2018 C m  Lời giải Bất phương tr nh tương đương m.3    3m    x1   4   x x x x  4   4        3m      3m      CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN x  4  t t    , x  nên  t    Ta cần tìm tham số m cho t  3mt  3m   , với  t  Ta có m  t  t  t2  Ta tìm GTLN hàm số f  t     t   m  max  0;1 3t  3t  3t   t  1  t  2t  Ta có f   t    0    t  1  t  1  22 t   f 1   3t  3  L p bảng biến thi n ta max  0;1  Chọn ý A Câu 7: hương tr nh x   m  3x   x  6x  9x  m  x 2  x 1  có nghi m phân bi t m   a; b  đ t T  b  a thì: A T  36 B T  48 D T  72 C T  64 THPT Trần Nhân Tông – Quảng Ninh lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương x2  m  3x 2 m  3x 2 Xét hàm số f  t   t  t đ ng biến   x  6x  9x  m  x 2  x 1    x     m  3x   2 x m  3x  m  3x  2  x    x   1 có f   t   t.ln  3t  0, t  nên hàm số liên t c o đ từ   suy m  3x    x   m   9x  6x  x 3 Tạp chí tư liệu tốn học | 114 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Xét hàm số f  x   x  6x  9x  x  có f   x   3x  12x  ; f   x     x  L p bảng biến thiên ta thấy phương tr nh c nghi m phân bi t  m  Suy a  4; b   T  b  a  48 Chọn ý B Câu 8: Số giá tr nguyên nhỏ 2018 tham số m để phương tr nh log  2018x  m   log  1009x  có nghi m là? A 2020 B 2017 C 2019 D 2018 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 2018x  m  6t  t  m  t  m  2 t  t t log  2018x  m   log  1009x   t   t 1009x  t f  t   2 t  t Ta có: f   t   t ln  t.ln t   ln Xét f   t        log 16  t  log  log 16  ln 2 L p bảng biến thiên ta thấy phương tr nh f  t   m có nghi m   m  2018 nên ta có: m  f  log  log 16    2, 01 Mà  m    V y có 2020 giá tr m thỏa mãn yêu cầu toán 2  m  2017  m  Chọn ý A Câu 9: Cho a , x số thực ương, a  thỏa mãn log a x  log  a x  Tìm giá tr lớn a B log  e   A C e ln 10 e D 10 log e e Phổ thông khiếu – Đại học Quốc Gia TP HCM lần năm 2017 – 2018 Lời giải log x log x Ta có: log a x  log  a x   log a x  x log a    log a   x log a  x log a Giá tr a lớn log a lớn log x  ln x với x  Ta có f   x   ; f  x    x  e x ln 10 x log e L p bảng biến thiên ta dễ dàng suy  log a  lớn e Xét hàm số f  x   hi đ  log a  log e log e  a  10  log a   e e Chọn ý D 115 | Chinh phục Olympic toán log e e TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giải | Các toán liên quan tới tham số Câu 10: Có giá tr nguy n ương tham số m để phương tr nh  2x  mx   log    2x  mx   x  có hai nghi m thực phân bi t?   x2   B A D C Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ lần năm học 2017 – 2018 Lời giải x   iều ki n:  2x  mx   hương tr nh an đầu tương đương  2x  mx   log    2x  mx   x    x2   CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  log 2x  mx   2x  mx   log  x    x   f Xét hàm số f  t   log t  t với t   0;   có f   t     2x  mx   f  x       , t   0;   t ln  f  t  đ ng biến  0;   nên    2x  mx   x  x  2 x  2  Từ đ   2 2x  mx    x   x   m   x     ể có hai nghi m thực phân bi t   có hai nghi m phân bi t x , x lớn 2    m  2  12  m  m      4  m     x1     x     x  x   x x  x  x   3   m     2      x1   x    m     m  mà m  m  *  m  1; 2; 3; 4 Chọn ý B Câu 11: Có giá tr m để giá tr nhỏ hàm số f  x   e 2x  4e x  m tr n đo n  ; ln  ? A B C D THPT Chuyên Ngoại ngữ - Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Xét x   ; ln  t t  e x  t   ; 4 Lời giải t g  t   t  4t  m với t  1 ;  o hàm: g   t   2t  Xét g   t    2t    t  Ta có: g    m  ; g    m  ; g    m Tạp chí tư liệu tốn học | 116 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Giá tr nhỏ f  x   e 2x  4e x  m  ; ln  thuộc A   m  ; m  ; m    m  10  A  7 ; ; 10 Xét m      m  2  A  5 ; ; 2 Ta thấy m  10 thỏa mãn yêu cầu toán f  x    m   A  5 ; ; 9 Xét m     (không thỏa mãn) m  3  A  7 ; ; 3  m   A  2 ; ; 6 Xét m    m  6  A  10 ; ; 6 Ta thấy m  6 thỏa mãn yêu cầu toán f  x   V y có hai giá tr m thỏa mãn u cầu tốn Câu 12: Có giá tr nguyên thuộc khoảng  9;  tham số m để bất phương   trình log x  log m x  x    x   x có nghi m thực? B A D 11 C 10 Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Nam năm học 2017 – 2018 Lời giải 0  x  0  x  0  x   iều ki n    1  x  m x    x   m x  x    x   x  m  x  Bất phương tr nh đ cho tương đương:  log x  log m x  x    x   x   x x  m x  x2    x   x    x3  m x  x2    x   x  m x x  1  x  x xx   x 1x  1x x  x   1x  Áp d ng bất đ ng thức AM – GM ta có :   1x   x   x  1x  1x   x  Vì v y m  x   x Khảo sát hàm số f  x   x   x  0;  ta f  x    1, 414 V y m nh n giá tr 2, 3, 4, 5, 6,7, Chọn ý B 117 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Chọn ý D | Các tốn liên quan tới tham số Câu 13: Tìm t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh sau c nghi m  e 3m  e m  x   x   A  0; ln      B   ; ln    1  x  x2   1 C  0;   e 1  D  ln 2;   2  Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh lần năm học 2017 – 2018 Lời giải 1  t  t t  x   x2   hi đ 2 t   2x  x  e 3m  e m  t  t    e 3m  e m  t  t Xét hàm f  u   u  u  f   u   3u  Hàm số đ ng biến  e 3m  e m  t  t  e m  t hương tr nh c nghi m: em   m  ln 2 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Chọn ý B       Câu 14: ho phương trình log x  x  log 2017 x  x   log a x  x  Có giá tr nguyên thuộc khoảng  1; 2018  tham số a cho phương tr nh đ cho c nghi m lớn A 20 B 19 C 18 D 17 Lời giải x   x  x  x  x   x  x   h n thấy với x  Biến đổi phương tr nh tương ương :      log x  x  log 2017 x  x   log a x  x         x    , x  )  log x  x  log 2017 x  x   log a 2.log x  x      log 2017 x  x   log a   (vì log x    Xét hàm số f  x   log 2017 x  x  tr n khoảng  3;   Ta có f '  x   x2  1.ln 2017  f '  x   , x  L p bảng biến thiên ta thấy phương trình   có nghi m lớn  log a  f     log a  log 2017  2   log a  log 3 2 2017  a    a  log 32 2017  19, L i a nguy n thuộc khoảng  1; 2018  nên a  2; 3; ; 19 V y có 18 giá tr nguyên tham số a thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý C Tạp chí tư liệu tốn học | 118 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Câu 15: Giả sử t n t i số thực a cho phương tr nh e x  e  x  cos ax  có 10 nghi m thực phân bi t Số nghi m phân bi t phương tr nh e x  e  x  cos ax là: A B 20 C 10 D Lời giải Đây câu tương tự với câu đề thi thử Chuyên Thái Bình lần hương tr nh đầu tương đương x    x  cos ax    e  e   cos ax    x x   x2 ax e  e  cos x     x2 ax     e  e    cos    x x   ax     e  e  2 cos 2  1 2 Nh n thấy x  không nghi m phương tr nh đ cho Nếu x  x nghi m   x   x nghi m   o đ số nghi m     đ ng th i khác đôi uy phương tr nh   c nghi m x ; x ; x ; x ; x V y phương tr nh e x  e  x  cos ax c nghi m phân bi t x1 x x x x , ; ; ; 2 2 Chọn ý A Câu 16: Có số nguyên m để phương tr nh sau c nghi m thực? ln  m  sin x  ln  m  sin x    sin x A B C D Lời giải m  sin x  ln  m  sin x   iều ki n:  m  sin x  hương tr nh đ cho tương đương m  sin x  ln  m  sin x   e sin x  m  sin x  ln  m  sin x   e sin x  sin x e ln  m  3sin x  Xét hàm số f  t   e t  t , t   ln  m  sin x   e sin x  sin x ,   Ta có f   t   e t   , t  Nên hàm số f  t  đ ng biến V y    f ln  m  sin x    f  sin x   ln  m  sin x   sin x t a  sin x , a   1; 1 hương tr nh trở thành: ln  m  3a   a  m  e a  3a Xét g  a   e a  3a , a   1; 1 , g   a   e a   , a   1; 1 119 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC e e x | Các tốn liên quan tới tham số V y để phương tr nh c nghi m thực g    m  g  1   e   m   e V y có giá tr nguyên tham số m là: ; ; ; Chọn ý B Câu 17: Cho n số tự nhiên thỏa m n phương tr nh 3x  3 x  cos nx có 2018 nghi m Tìm số nghi m phương tr nh x   x   cos 2nx A 4036 B 2018 C 4035 D 2019 THPT Quảng Xương – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương x   x   cos 2nx  x   x  2.3x.3 x   cos 2nx  3  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN x  3x  3 x  cos nx    cos nx   x x    2 cos nx    x 2 hi đ     có nghi m chung 3x  3 x  3 x  3x  3x  3 x  x  Thay x  vào   ta 30  30  cos   , tức     khơng có nghi m chung M t khác ta thấy x nghi m   x0 nghi m   Mà   có 2018 nghi m nên 2 c 2018 nghi m V y phương tr nh đ cho c 4036 nghi m Chọn ý A Câu 18: Gọi S t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh m.3x 7 x  12  32 x  x  9.310  5x  m có ba nghi m thực phân bi t Tìm số phần tử S A C B Vô số D THPT Trần Hưng Đạo – TP HCM năm học 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: m.3x   7 x  12 x2 7 x  12  1 m3 hương tr nh đ cho c    32 x  x  9.310  5x  m  m 3x 2x  x2  7 x  12     32x x 3x 7 x  12  1  x   3x 7 x  12     x  0   m  32 x  x   2x  x  log m   *   a nghi m thực phân bi t, ta c trư ng hợp sau: Tr ờng hợp 1:  *  có nghi m x  nghi m l i khác Thay x  vào  *  ta log m  3  m  hi đ * 27  x  1 trở thành x2  2x     (Thỏa yêu cầu) x  Tạp chí tư liệu tốn học | 120 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit |  Tr ờng hợp 2:  *  có nghi m x  nghi m l i khác Thay x  vào  *  ta log m  8  m  8 hi đ  * x  trở thành x2  2x     (Thỏa yêu cầu)  x  2    log m    m3 Tr ờng hợp 3:  *  có nghi m kép khác  log m  3 log m  8  V y có giá tr m thỏa yêu cầu đề Chọn ý A Câu 19: Có giá tr nguyên tham số m để t n t i c p số  x; y  thỏa mãn e x  y   e 3x  y  x  y  , đ ng th i thỏa mãn log 22  2x  y     m   log x  m   C D Sở Giáo dục đào tạo Bà Rịa Vũng Tàu đề năm 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có e x y1 e Xét hàm số f  t   e t  t 3x  y  x  y   e 2x  y 1   2x  y    e 3x  y   3x  2y  Ta có f   t   e t   nên hàm số đ ng biến ng f  2x  y    f  3x  2y   2x  y   3x  2y  y   x o đ phương tr nh c Thế vào phương tr nh l i ta log 22 x   m   log x  m   ng t   m   t  m   t t  log x , phương tr nh c ể phương tr nh c nghi m    3m  8m    m  o đ c số nguyên m thỏa mãn Chọn ý A Câu 20: Biết  a; b  khoảng chứa tất giá tr tham số thực m để phương tr nh 7   A M  x2  m 73  x2  2x 1 B M  c ốn nghi m thực phân bi t Tính M  a  b 7 D M  16 THPT Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh lần năm học 2017 – 2018 16 C M  Lời giải Biến đổi giả thiết ta có: 7   x2 x2  m 73 x2  x2 x2  2x 1 x2 73  73      m    2     x2 73  73  73  Vì      n n đ t t    ,  t  phương tr nh trở thành 2       121 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC B A | Các toán liên quan tới tham số m   2t  t  2m   2m  2t  t  *  t Xét hàm số f  t   2t  t ,  t   f   t   4t  , f   t    t  Vẽ bảng biến thiên ta thấy để phương tr nh đ cho c ốn nghi m thực phân bi t th phương tr nh t  *  phải có hai nghi m phân bi t thỏa mãn  t  Từ đ ta  2m  1 1 0m M 0  16 16 16 Chọn ý B Câu 21: Có giá tr nguyên tham số m nhỏ 10 để phương tr nh m  m  e x  e x có nghi m thực? A B D C 10 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Sở Giáo dục đào tạo Bắc Giang năm học 2017 – 2018 Lời giải m  e  iều ki n:  x m  m  e  x 2x m  t  e t t  m  e  t   ta suy ra:  x  t  m  e x e x  t   1  e  t  t  e   e  t  e  t      x e  t     2x x x x hương tr nh   vơ nghi m e x  t   hương tr nh   tương đương với e x  t  e x  m  e x  m  e 2x  e x   hương tr nh m  m  e x  e x  *  có nghi m thực phương tr nh   có nghi m thực  x   ln L p bảng biến thiên hàm số f  x   e x  e x ta suy phương tr nh   có nghi m Xét hàm số f  x   e x  e x với x  , ta có: f   x   2e 2x  e x   e x  m Kết hợp với giả thiết m số nguyên nhỏ 10 ta suy m  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 V y có 10 giá tr thỏa mãn Chọn ý C   Câu 22: Cho hàm số f  x    a   ln 2017 x   x  bx sin 2018 x  với a,b số thực   2   f  5   Biết f log  Tính f 5log  A f 5log B log   C f 5log  2   D f 5log  Sở Giáo dục đào tạo Bắc Giang năm học 2017 – 2018 Lời giải Tạp chí tư liệu tốn học | 122 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit |   t g  x    a  1 ln 2017 x   x  bx sin 2018 x có t p ác đ nh t p đối xứng   , g   x    a   ln 2017 x   x  bx sin 2018  x  Ta có với x     a2  1 ln 2017   x 1 x    2018   bx sin  x      a   ln 2017 x   x  bx sin 2018  x   g  x       Suy g  x  hàm số lẻ, m t khác log  5log nên g 5log  g 5log  g log        Theo giả thiết ta có f log  g log   g log        o đ f 5log = g 5log   g log   4   2 Chọn ý C   4   x x  , với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với x    ;  A m  22 3 B m  22 22 22 C m  D m   3 Chuyên Đồng sông Hồng lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương m.3 x1    3m      4   x x x x  4   4    3m   3m         3     x  4  t t    Khi x   t  BPT trở thành:   3m  t  3m   t  0, t   0;   3m  , t   0;  t t1 t  2t  t  , t   0;   f   t     t  1 t1 t1 Vẽ bảng biến thiên ta thấy để để bất phương tr nh đ cho nghi m với Xét hàm số f  t   x    ;  3m    m  22 3 Chọn ý B Câu 24: Tìm tất giá tr thực tham số m để phương tr nh ln  m  ln  m  x    x 123 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  Câu 23: Cho bất phương trình m.3x   3m    | Các tốn liên quan tới tham số có nhiều nghi m B m  A m  D m  1 C m  e THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần – năm học 2017 – 2018 Lời giải iều ki n x  e  m  m t ln  m  x   y ta e y  m  x Thay vào   ta ln  m  y   x  e x  m  y x e  m  y Ta có h  y  ex  ey  y  x  ex  x  e y  y e  m  x Do hàm số f  t   e t  t đ ng biến nên suy x  y  x  ln  x  m   e x  x  m Xét hàm số g  x   e x  x ; g   x   e x  ; g   x    x  Vẽ bảng biến thiên cho hàm g  x  ta suy phương tr nh c nhiều hai nghi m CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN m  Chọn ý B Câu 25: ho phương tr nh e m cos x sin x  e 2 1sin x    sin x  m cos x với m tham số thực Gọi S t p tất giá tr m để phương tr nh c nghi m   ; a   b;   Tính hi đ S có d ng T  10a  20b C T  B T  A T  10 D T  10 THPT Kim Liên – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi phương tr nh đầu tương đương e m cos x sin x  e e m cos x  sin x Xét hàm số f  t   e t  t  t    sin x    sin x  m cos x  m cos x  sin x  e  1 sin x   , f  t   et    f  t   em cos x sin x  m cos x  sin x  e    sin x  đ ng biến  1 sin x     sin x   m cos x  sin x    sin x   m cos x  sin x   hương tr nh c nghi m m    m   S   ;     ;   V y T  10a  20b  10 Chọn ý A Câu 26: Có số nguyên m để phương tr nh Tạp chí tư liệu tốn học | 124 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | 3x2  3x  m   x  5x   m 2x  x  Có hai nghi m phân bi t lớn log A C B Vô số D THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm học 2017 – 2018 Lời giải iều ki n: 3x  3x  m   Biến đổi giả thiết tương đương  3x2  3x  m   3x  3x  m   x  5x   m  log     x  5x   m  log 2 4x  2x   2x  x    log  3x  3x  m    log  4x  2x     4x  2x     3x  3x  m   Xét hàm số: f  t   t  log t  0;   , ta có f   t    o đ hàm số f  t  đ ng biến  0;    , t   0;   t.ln hi đ phương tr nh    f  4x  2x    f  3x  3x  m    4x  2x   3x  3x  m   x  5x  m    iều với x  Vẽ bảng biến thiên ta thấy phương tr nh   có hai nghi m phân bi t lớn , ta có g   x   2x    x  Xét hàm số: g  x   x  5x  25 21  m   4    m  3 Do m  4 Chọn ý C Câu 27:   nên m  5; 4     ho phương tr nh log x  x  log x  x   log m x  x  Có giá tr nguy n ương khác m cho phương tr nh đ cho c nghi m x lớn ? B A Vô số D C THPT Chuyên Đại học Vinh – Nghệ An lần năm học 2017 – 2018 Lời giải iều ki n ác đ nh: x  x   x  x 1 x2   x 1 x 1   0 t t  log x  x2   t  x  x  ln ln x  x  x  x2  ln   125 | Chinh phục Olympic tốn   TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  log  3x  3x  m     3x  3x  m    log  4x  2x     4x  2x     | Các toán liên quan tới tham số  M t khác ta có x   t  log 2   hương tr nh trở thành 1  t.log   log m  log m   t t ể cho phương tr nh đ cho c nghi m x lớn ta cần có t.log t  log m log m   Do m  *   log 2   m5  log 2   m  nên m  Chọn ý D Câu 28: Có tất giá tr nguyên tham số a thuộc khoảng  0; 2018  để ta CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN ln có lim n  3n  1 ?  n n a 9 2187 A 2011 B 2016 C 2019 D 2009 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Từ giả thiết ta ln có n 1 3  0, n Từ đ suy 5n  n  a n n lim n  3n  n  3n   lim 5n  n  a 5n  n  a Theo đề ta có lim 1    3    lim n a 3a 5 a   9 9 1 n  3n  1  a 7  a   n n a 2187 9 2187 Do a số nguyên thuộc khoảng  0; 2018  nên có a  7; 8; 9; ; 2017 nên ta có tất 2011 giá tr a Chọn ý A Câu 29: ho phương tr nh x   m   x    Biết phương tr nh c hai nghi m x , x thỏa mãn  x1   x    Kh ng đ nh ốn kh ng đ nh ưới A Không có m B  m  C m  D m  THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Lời giải t t2 x  t   th phương tr nh đ cho trở thành t   m   t     Tạp chí tư liệu tốn học | 126 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | iều ki n để phương trình có hai nghi m x , x phương tr nh   có hai nghi m  m  1  2 m  2m         ương phân i t t , t  S   2  m      m  1  2  m  1  2 P  8     m  1 hi đ t  m   m  2m   x1 , t  m   m  2m   x2 Ta có t t  x1  x2   x  x  ,  x1   x     x x       log m   m  2m  log m   m  2m      m   m  2m  2   log m   m  2m  3  log m   m  2m      2   u  t u  log m   m  2m    trở thành 3u  u     u   Nếu u   m   m  2m    m  2m    m th phương tr nh vô nghi m m  1  2  Nếu u   m   m  2m    m  2m    m  m  (nh n) V y m  thỏa mãn yêu cầu tốn Chọn ý B Câu 30 : Tìm t p hợp S tất giá tr tham số m để phương tr nh sau c a nghi m phân bi t 2 3 1 A S   ; 1;  2 2 x  1 log  x  2x    3 1 B S   ; 1;  2 2 x m log  x  m   3  C S   ; 1;  2  3 1 D S   ; 1;   2 2 THPT Chu Văn Anh – Hà Nội năm học 2017 – 2018 Lời giải Xét hàm số f  t   t.log  t   , f   t   t.ln 2.log  t    t  , t   t   ln  f  t  đ ng biến  0;   Biến đổi giả thiết tương đương 2 x  1 log  x  2x      x 1 log 2   x  1  x m 2 2 log  x  m   x m log  x  m   2  f  x     f  x  m    x    x  m   Khi x  m , (1)  x  4x   2m    Khi x  m , (1)  x  2m    127 | Chinh phục Olympic toán  1 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC    log m   m  2m  log | Các toán liên quan tới tham số  Tr ờng hợp 1:   có nghi m kép x ,   có hai nghi m phân bi t khác x 3   có nghi m x   ,   có hai nghi m phân bi t x    2 Tr ờng hợp 2:   có nghi m kép x ,   có hai nghi m phân bi t khác x hi đ m   1   có nghi m x   ,   có hai nghi m x    2 Tr ờng hợp 3:   (3) có chung nghi m x hi đ m   3 1 hi đ x  m  m  , thử l i m  thỏa yêu cầu toán V y S   ; 1;  2 2 Chọn ý B Câu 31 : Có số nguy n ương m đo n  2018 ; 2018 cho bất phương CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN tr nh sau với x   ; 100  :  10x  A 2018 m B 4026 log x 10 11  10 10 log x C 2013 D 4036 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương log x  11   m  10   log x    10 log x   log x  10m  log x    11log x     10m  log x    log x  10 log x  Do x   ; 100   log x   ;  o đ ta có 10 log x  log x 10m  log x    log x  10 log x   10m  log x  t t  log x , t   ;  , xét hàm số f  t   Ta có: f   t   ể 10m  10  2t  t  t  1  t   ;  10t  t t1 o đ f 0  f t   f 2    f t   16 10 log x  log x 16 m với x   ;100  10m  15 log x  8  o đ m   ; 2018  hay có 2018 số thỏa mãn  15  Chọn ý A Câu 32 : Gọi S t p giá tr tham số thực m để hàm số y  x  ln  x  m   đ ng  biến t p ác đ nh Biết S   ; a  b  Tính tổng K  a  b A K  5 B K  C K  D K  Lời giải iều ki n ác đ nh: x  m  Tạp chí tư liệu tốn học | 128 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | 2x   m   x  1 Cách Ta có y  2x  , y   2x   m   x    xm2 xm2  Trư ng hợp   m  4m    2   m  2  hi đ y  x   m  2;    m  2  Trư ng hợp  , đ y  có hai nghi m phân bi t  m  2  x1    m    m  4m  2 Vẽ bảng biến thi n ta suy được: , x2  y  x   m  2;    x  m     m    m  4m  2   m    m  4m   m  2 m  2 m  4m   m  4m     m  4m   m   m  2   m  2   m  2  m  4m      m  2   V y S   ; 2    a  2 , b  nên K  a  b  2x   m   x  1 Cách Ta có y  2x  , y   2x   m   x    xm2 xm2  Trư ng hợp   m  4m    2   m  2  , đ y  x   m  2;     m  2  Trư ng hợp     , *  m  2  hi đ phương tr nh c hai nghi m phân bi t x , x x1  x    m    Theo Viet ta có  Hàm số đ ng biến   ; x   x ;   đ ta x1  x   x1  x2   m    cần có x1  x    m   Suy ra:   m  2   x1  m   x  m    Kết hợp  *   * *  có m  2  Hợp hai trư ng hợp có giá tr cần tìm m  100 V y S   ; 2    a  2 , 100 nên K  a  b   Chọn ý C Câu 33 : Cho hai số thực a , b  a  1, b   hương tr nh a x  b x  b  ax có nhiều nghi m? B A C Lời giải Xét hàm số f  x   a  b  b  ax Ta có f   x   a x ln a  b x ln b  a x x 129 | Chinh phục Olympic tốn D TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  | Các toán liên quan tới tham số Do f ''  x   a x ln a  b x ln b  nên hàm số đ cho c tối đa cực tr o đ phương tr nh đ cho c tối đa hai nghi m Ta chọn số để phương tr nh tr n c nghi m e sau Chọn a  b  e ta có f   x   2e x  e , f   x    x  ln e  e f  ln   e ln  ; lim f  x    x   2 Vì v y phương tr nh đ cho c tối đa nghi m Chọn ý C Câu 34: T p hợp tất giá tr thực tham số m để phương trình 27 x  m.32x 1   m   3x 1   m    Có nghi m thực phân bi t khoảng  a; b  Tính giá tr biểu thức S  a  b B  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A C  D   Lời giải t t  3x  t   phương tr nh trở thành t  3mt   m   t  m   Ta cần t m điều ki n để phương tr nh c nghi m phân bi t ương Xét hàm số y  t  3mt   m   t  m   y'  3x  6mx   m    t  m   xCD Ta có y'     t  m   xCT ể phương tr nh c nghi m ương phân i t m   m    y CD y CT    x CD  0, x CT    m  m  m  2m       y        m       m  1 Chọn ý D Câu 35: Có số nguyên m   2018; 2018 để phương tr nh x    x m c nghi m thực phân bi t? A 2013 B 2012 C 4024 D 2014 Lời giải 3 hương tr nh tương đương với m  x 1   x Hàm số f  x   x 1   x 2 hàm số chẵn o đ ta cần xét nửa khoảng  0;   để suy bảng biến thiên hàm số f  x  t p số thực Xét hàm số Tạp chí tư liệu tốn học | 130 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit |  x1 3x 2   x  2 g  x   x  ln  3x  x    x 1 f x    x    f '  x    x1 2 2 x    3x   x   2 ln  3x    x    Ta có g '  x   x 1 ln x   ln 2   0, x  2,g    ln   0,g    16 ln   nên phương tr nh g  x   có nghi m x0   2;  Vẽ bảng biến thiên cho hàm số f  x  ta suy phương tr nh c nghi m thực m    m  7, 8, , 2018 m  f  x   x0    3x0   Chọn ý B    x  3ax  10   log 3a  x  3ax  12    Giá tr thực tham số a để bất phương tr nh tr n c nghi m thuộc khoảng sau A  1;  B  1;  C  0;  D  2;   THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Biến đổi bất phương tr nh tương đương iều ki n ác đ nh  a   log 3a 11   log   log 3a 11  log  log      x  3ax  10   log 3a  x  3ax  12     x  3ax  10  log 3a  x  3ax  12    x  3ax  10  log 3a  x  3ax  12   log 3a 11 t t  x  3ax  10   x2  3ax  12  x2  3ax  10   t2  hi đ trở thành log  t   log 3a  t    * log 11 3a  Nếu  a  ất phương tr nh  log 11 3a  bất phương tr nh  *  trở thành log  t   log 11 3a log 3a  t     log  t   log 11  t    Xét hàm số f  t   log  t   log 11  t    t   hàm đ ng biến đ ng th i f    nên f  t   f    t   x  3ax   nghi m không thỏa mãn 131 | Chinh phục Olympic toán ể phương tr nh c nghi m ta có a  , TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  Câu 36: Cho bất phương tr nh log 3a 11   log  | Các toán liên quan tới tham số  Nếu a   log 11 3a  ến t tương tự trư ng hợp ta t m a  Chọn ý C Câu 37: Có giá tr nguy n   ương tham số m để t p nghi m bất phương tr nh 3x    3x  2m   chứa không số nguyên? A 3281 B 3283 C 3280 D 3279 Lời giải Ta có m  * hi đ  2m   3  3  3x  2m    x  log  2m  ể t p nghi m bất phương tr nh chứa khơng q số ngun x2   3x  2m    CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN log  2m    2m  38  m  3280, Mà m nguy n ương n n ta có m  1; 2; ; 3280 V y có 3280 giá tr nguy n ương tham số m thỏa mãn u cầu tốn Chọn ý C Câu 38: Có số nguyên a   2019; 2019  để phương tr nh 1  x  xa ln  x    có hai nghi m phân bi t? A 2017 B 2022 C 2014 D 2015 Lời giải ln  x    x  4   iều ki n ác đ nh x    x  5 3x    x   1 1  x  xa   x x a Ta có ln  x    ln  x    t hàm số f  x   1  x  x có D   5; 4    4;    0;   ln  x    Tạp chí tư liệu tốn học | 132 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | 1 3x ln    nên f  x  ngh ch biến khoảng Suy f '  x    x   ln  x    3x  12 243 ; lim f  x    ; lim f  x    5  5 x 4 x 5 1 242 x4 lim f  x    ; lim f  x    ; lim f  x    ác đ nh Ta có lim f  x   x 0 5 x  x 0 L p bảng biến thiên ta dễ dàng phương tr nh f  x   a có hai nghi m phân bi t a   243 242   a  a  Do   a   2019; 2019   a   4; 2018  V y có 2018    2015 giá tr a Câu 39: Tất giá tr m để bất phương tr nh  3m   12 x    m  x  3x  có nghi m với x  là: A  2;   B 1  C   ;   3    ; 2  1  D  2;   3  Lời giải Bất phương tr nh đầu tương đương  3m  1 12 x    m  6x  3x    3m   x    m  x   t x  t Do x   t  hi đ ta c  3m  1 t    m  t   0, t    3t  t  m  t  2t  t   m  t  2t  t   *  3t  t 7t  6t  t  2t  t   1;    f '  t    t   1;   Xét hàm số f  t   3t  t  3t  t  L p bảng biến thiên ta dễ dàng m  lim f  t   2 điều ki n cần t m t 1 Câu 40: Tìm m để bất phương tr nh     mx có t p nghi m x A Không t n t i m x x B ln 26 C ln 26 D ln Lời giải t đư ng cong  C  : f  x   x  3x  x hương tr nh tiếp tuyến đư ng cong  C  t i điểm M  0;  là: y  x ln 24  Ta cần chứng minh x  3x  x   x ln 24, x  Xét hàm số g  x   x  3x  x   x ln 24 Ta có g'  x   x.ln  3x.ln  x.ln  ln 24 133 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Chọn ý D | Các toán liên quan tới tham số g ''  x   x  ln   x  ln   x  ln   0, x  2  g '  x  đ ng biến hương tr nh g '  x   có nghi m x  Bảng biến thiên g  x  L p bảng biến thiên g  x   g  x   0, x  Câu 41: Với a tham số thực để bất phương tr nh x  3x  ax  có t p nghi m , đ A a    ;  B a   ;  C a   ;    D a   ;  Lời giải t trư ng hợp a  , bất phương tr nh không nh n giá tr âm x làm nghi m Th t v y, đ x  3x  mà ax   Suy lo i a  CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN t trư ng hợp a  Ta có x  3x  ax   x  3x  ax   t f  x   x  3x  ax  , x  hi đ f '  x   x ln  3x ln  a, x  Ta có f '  x    x ln  3x ln  a t g  x   x ln  3x ln 3, x  1  g '  x   x ln 2  3x ln  0, x  Suy hàm số g  x  đ ng biến L i có lim g  x    lim g  x   x  x  Suy với giá tr a  th phương tr nh   ln có nghi m x o Ta c phương tr nh f '  x   có nghi m x o Mà lim f '  x    lim f '  x   a  nên f '  x   0, x  x o f '  x   0, x  x o x  x  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f  x  đ t giá tr nhỏ t i x o , ta kết hợp với điều ki n đề f  x   0, x  f    nên ta suy x o  x o  giá tr để f x  Suy x o  giá tr để f   xo    f     ln  ln  a  Suy a  ln  ln  ln hư v y a  ln  ln  ln giá tr thỏa mãn yêu cầu toán Tạp chí tư liệu tốn học | 134 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Câu 42: ho phương tr nh  log 22 x  log x   3x  m  ( m tham số thực) Có tất giá tr nguy n ương tham số m để phương tr nh đ cho c hai nghi m phân bi t? A 80 B 81 C 79 D Vô số Đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn 2019 Lời giải t phương tr nh  log 22 x  log x   3x  m    x  x  iều ki n:  x  3  m  x  log m do m   x  log x     log x  log x   1  log x     x  Ta có     x     m   x  log m  3x  m   log m  0  m   hương tr nh   có hai nghi m phân bi t     log m    m  34   m  Do m nguy n ương   m  3; 4; 5;  ; 80 V y có tất  80    79 giá tr m nguy n ương thỏa m n đề Chọn ý C 135 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 2 | Các tốn liên quan tới đồ thị CÁC BÀI TOÁN LIÊN CHƯƠNG Đ QUAN TỚI ĐỒ THỊ thị dạng toán thịnh hành năm với dạng toán sáng tạo biến tấu đa dạng, chương tìm hiểu số toán đồ thị xuất đề thi thử năm vừa số tốn mà chúng tơi sáng tác Mấu chốt toán gần toán tham số, ta phát điểm đặc biệt đồ thị, kết hợp kiến thức mà ta CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN học để giải CÁC BÀI TỐN Câu Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ đây: y 2 O 1 x Số giá trị nguyên tham số m khơng vượt q để phương trình f  x   m2   có hai nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Đặt t  x , t  Phương trình cho trở thành m2  m2    f t  , t  0 8 Quan sát đồ thị cho hàm số y  f  x  ta thấy f t  Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1  m2    7  m   3  m  Tạp chí tư liệu tốn học | 136 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Mà m   m  2; 1; 0; 1; 2 Vậy có tất giá trị nguyên m Chọn ý A Câu Cho hàm số f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ y 1 O x 2 4 Tổng tất giá trị tham số m để bất phương trình 9.6      f  x       m  5m   f x Đúng với x  A 10 f x f x là? C B D Lời giải Đặt t  f  x  Quan sát đồ thị ta thấy f  x   2x   t  2 Bất phương trình cho viết lại sau t 2t 3 3 9.6 t    t  t   m  5m  t , t  2        t     m  5m 2 2 t 3 3 Xét hàm số g  t         t    2 2 t 2t 2t 2t 3 3 3 3 Có g '  t     ln    2t      t    ln  0, t  2 2 2 2 2 Từ suy max g  t   g  2     ; 2  Yêu cầu toán tương đương với m  5m    m  Vì m   m  1; 2; 3; 4 nên tổng tất giá trị tham số m 10 Chọn ý A 137 | Chinh phục Olympic toán TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 3 | Các toán liên quan tới đồ thị Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ y y 17 y x O CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Giá trị nguyên nhỏ tham số m để phương trình sau có nghiệm bao nhiêu? e A f  x   2f  x  7 f  x      ln  f  x     m ? f x     C B D Lời giải Quan sát đồ thị ta thấy  f  x   , đặt t  f  x  , giả thiết trở thành et  2t 7 t   1  ln  t    m t  Xét: g  t   t  2t  7t  5,g '  t   3t  4t   0t   g    g  t   g     g  t   145 1 26 Mặt khác h  t   t  , h '  t     0t  1; 5   h  t   t t  1 Vậy hàm u  t   e t  2t 7 t   ln  t   đồng biến với x   1;  t  Để phương trình đầu có nghiệm e  ln  m  e 145  ln 26 Vậy giá trị nguyên nhỏ m Chọn ý B Tạp chí tư liệu tốn học | 138 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ y Câu Cho f  x  liên tục 2 O x 4 Bất phương trình sau nghiệm với x   1;  : f xm 4  f xm  5f  x    5m A f  1   m   f   B f    m   f  1  C f    m   f  1  D f    m   f  1  Lời giải Từ đồ thị hàm số suy bảng biến thiên x f ' x 1  f  1  f x f 2 Từ bảng biến thiên ta suy f    f  x   f  1  , x   1;   f    m  f  x   m  f  1   m, x   1;  Đặt t  f  x   m  f    m  t  f  1  m, x   1;  Giả thiết tương đương 3t  t  5t   3t  t  5t     t  Xét phương trình 3t  t  5t     t   f    m  Dùng phương pháp xét dấu  1   t     f    m   f  1   f  1   m  139 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 3 | Các toán liên quan tới đồ thị Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ y x O 4 Bất phương trình f  e x   m  3e x  2019  có nghiệm x   0;  A m   1011 B m  3e  2019 C m   1011 D m  f e 3e  2019 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Lời giải Đặt e x  t  t   Ta đưa bất phương trình cho thành bất phương trình ẩn t từ lập luận để có phương trình ẩn t có nghiệm thuộc  1; e  Ta ý hàm số y  f  x  với y  f  t  có tính chất giống nên từ đồ thị hàm số cho ta suy tính chất hàm f  t  Sử dụng phương pháp hàm số để tìm m cho bất phương trình có nghiệm Bất phương trình m  f  x  có nghiệm  a; b  m  f  x  a ;b Cách giải Xét bất phương trình f  e x   m  3e x  2019   *  Đặt e x  t  t   với x   0;   t   e ; e   t   1; e  f t  1 3t  2019 f '  t  3t  2019   3f  t  Ta bất phương trình f  t   m  3t  2019   m  Ta xét hàm g  t   f t t   1; e   g '  x   3t  2019  3t  2019  Thấy đồ thị hàm số y  f  t  có tính chất giống với đồ thị hàm số y  f  x  nên khoảng xét f  t   đồ thị hàm số lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến  1; e  nên f '  t   Từ g '  t   với t   1; e  hay hàm số g  t  đồng biến  1; e  Ta có bảng biến thiên g  t   1; e  Tạp chí tư liệu tốn học | 140 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | t g ' t   g e g t 1011 Từ bảng biến thiên ta thấy để m  f t có nghiệm t   1; e  m   1011 3t  2019 Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục y hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ 2 x O Bất phương trình f  x   2 f x m 5  f x m   27m 27 A f    m  f    nghiệm với x   2;  B f  2    m  f   C f  2    m  f   D f    m  f  2   Lời giải Ta có với x   2;  f '  x   Ta có f    f  x   f  2  , x   2;  ; f    2m  f  x   m  f  2   m Đặt t  f  x   m  f    m  t  f  2   m Ta có f  x   2 f x m 5  f x m   27m 27  f  x m 5  f x  m   27  f  x   m    t  5t  27t   Vế trái có nghiệm t  0; t   f    m  Ta có  t     f  2    m  f    f  2   m  141 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  | Các tốn liên quan tới đồ thị Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình bên dưới: y 1 x O 2 Biết trục hoành tiệm cận ngang đồ thị Tìm tất giá trị thực tham số CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN m để phương trình f  x   4m  2log A  m  2 có hai nghiệm dương phân biệt C  m B  m  D m  Lời giải Ta có f  x   4m  2log  f  x   2m 1 Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt  2m    m  Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x   hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số y  2 f( x) 4x đạt cực tiểu điểm y 1 O x 2 A x  B x  C x  1 D x  Lời giải Xét y   2( f( x) 4x) có y'    f  x   4x  ln   2f '  x    Tạp chí tư liệu tốn học | 142 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Hàm số đạt cực tiểu điểm x o y ' phải đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm Dựa vào đồ thị, ta thấy có điểm x  1 làm f '  x   đổi dấu từ âm sang dương x qua Vậy hàm đạt cực tiểu x  1 Câu Hình vẽ bên đồ thị hai hàm số y  log a x y  f  x  Đồ thị chúng đối xứng với qua đường thẳng y  x  Tính f  log a 2018  y y  x  y  f x a 2018 a C f  log a 2018   1  2018 A f  log a 2018   1  x 1 2018a D f  log a 2018   1  2018a B f  log a 2018   1  Lời giải Gọi  b; c    C  : y  log a x; e; f   C : y  f x  Ta có hệ điều kiện c  f    b  e   b  c   f  e  b   f     b  c  e  f  c  e  1  b  e    c  f    e   log a  f    f   a  e 1  f  1  a  e 1  f  x   1  a  e 1 Vậy f  log a 2018  1  a loga 2018  1  143 | Chinh phục Olympic toán 2018a TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC O y  log a x | Các toán liên quan tới đồ thị Câu 10 Cho hình vẽ đồ thị hàm số y  x a ; y  x b ; y  x c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức T 3a   2b  a  c  a  5c2  4ac ? y xc 2m xb m 0, xa  O CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A 31 B 32 x C 33 D 34 Lời giải Nhận thấy x   , ta có  c  2 b  c log    b log    c  b  log    a  0.5  a log   1  ac  b Đến thay vào biểu thức ta hàm biến đặt ẩn đưa khảo sát hàm biến! Câu 11 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình 2f  x   x  4x  m có nghiệm với x   1;  y O x 3 A m  3 B m  10 C m  2 D m  Lời giải Bất phương trình cho tương đương với 2f  x   x  4x  m Dựa vào đồ thị, ta thấy f  x   3, dấu xảy x   1;3  Tạp chí tư liệu tốn học | 144 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Lại có x  4x   x     4, dấu xảy x  Vậy  2f  x   x  4x    3    4   10  1;3  Do bất phương trình có nghiệm với x   1;  m  10 Câu 12 Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ f x f x Tìm số điểm cực trị hàm số y       y 1 A B C D Lời giải f x f x f x f x Xét hàm số g  x         g '  x   f '  x   .ln  f '  x   .ln 3; x  R f '  x   f '  x    1 f '  x     Ta có g '  x     f  x    f  x  ln   ln fx f  x   log 2 ln  ln     ln  ln   Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  , ta thấy: Phương trình   có ba nghiệm phân biệt (vì hàm số y  f  x  có cực trị) Phương trình   vơ nghiệm đường thẳng y  log ln  1 không cắt đồ thị hàm số ln Vậy phương trình g '  x   có ba nghiệm phân biệt hay hàm số cho có cực trị 145 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC x O | Các toán liên quan tới đồ thị Câu 13 Cho hàm số liên tục đoạn  1;  có đồ thị đường cong hình vẽ y x O 1 4 CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Có tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 16.3f  x    f  x   2f  x    f  x    m  3m  f  x    Nghiệm với giá trị x   1;  ? A 22 C B 31 D Lời giải Từ đồ thị suy 4  f  x   x   2;  Đặt t  f  x  , t   4;  Ta tìm m cho 16.3t   t  2t   t   m  3m  t với t   4;  16.3t   t  2t   t   m  3m  t , t   4;  t 16 2  t   t  2t       m  3m  , t   4;  3 Ta có 16  , t   4;  Dấu xảy t  2t t 2 Mà t  2t   , t   4;  Do  t  2t      , t   4;  3 2 Dấu xảy t  t Suy 16 2   t  2t      , t   4;  t 3 t 16 2 Vậy t   t  2t       m  3m  , t   4;   m  3m   1  m  3 Kết m  1; 0; 1; 2; 3; 4 Tạp chí tư liệu tốn học | 146 CHƯƠNG Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI DÃY SỐ Trong đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 dạng toán mũ – logarit kết hợp với dãy số gây sốt thời gian với toán trường sở đưa vơ phong phú phát biểu nhiều hình thức khác Mặc dù năm vừa dạng tốn khơng phổ biến nữa, nhiên chương ta nhìn lại dạng toán thành trào lưu thời Câu : Cho dãy số  u n  thỏa mãn log u   log u  log u 10  log u 10 u n   2u n với n  Giá trị nhỏ để u n  5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Đề tham khảo kỳ thi THPT Quốc Gia 2018 – Bộ Giáo dục Đào tạo    Câu : Cho biểu thức A  log 2017  log 2016  log 2015  log   log 3  log    Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây? A  log 2017; log 2018   log 2019; log 2020  D  log 2020; log 2021  B C  log 2018; log 2019  Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình năm học 2017 – 2018 Câu : Cho dãy số  u n  thỏa mãn ln u  ln u  ln u  u n   u n en  Tìm u A e B e C e 3 D e 4 THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018 Câu 4: Cho dãy số  u n  thỏa mãn e u18  e u18  e 4u1  e 4u1 u n   u n  với n  Giá trị lớn n để log u n  ln 2018 bằng? A 1419 B 1418 C 1420 D 1417 THPT Kim Liên – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Câu 5: Cho dãy số  a n  thỏa mãn a  5an1 an   , với n  Tìm số 3n  nguyên dương n  nhỏ để a n số nguyên A n  123 B n  41 147 | Chinh phục Olympic toán C n  39 D n  49 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CÁC BÀI TỐN | Các tốn liên quan tới dãy số  4e 2u9  2e u9  4e u1  u9  e u1  e 2u1   Câu 6: Cho dãy số  u n  thỏa mãn  Giá trị nhỏ * u  u  3,  n   n  n 1 số n để u n  ? A 725 B 682 Câu 7: Cho dãy số  un  C 681 D 754 có số hạng u  thỏa mãn đẳng thức sau : log 22  5u   log 22  7u   log 22  log 22 u n   7u n với n  Giá trị nhỏ n để u n  1111111 A 11 B C D 10 Câu 8: Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn  0; 2018  cho ba số CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN a 5x  51 x ; ; 25x  25 x theo thứ tự đó, lập thành cấp số cộng? A 2008 B 2006 C 2018 Câu 9: Cho dãy số  u n  thỏa mãn 2 u1   3u2  D 2007 1  log  u 23  4u   4  u n   2u n với n  Giá trị nhỏ n để S n  u  u   u n  5100 A 230 B 231 C 233 D 234 Câu 10: Cho dãy số  u n  thỏa mãn log  2u  63   log  u n  8n   , n  Đặt S n  u  u   u n Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn A 18 B 17 C 16 * u n S 2n 148  u 2n S n 75 D 19 Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh lần năm học 2017 – 2018 Câu 11: Cho hàm số f  x   e 1 x2   x  2 m Biết f  1 f   f  3 f  2017   e n  m, n   với m n phân số tối giản Tính P  m  n A 2018 B 2018 D 1 C Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ lần năm học 2017 – 2018 Câu 12: Cho cấp số cộng  u n  có tất số hạng dương thỏa mãn đẳng thức u  u   u 2018   u  u   u 1009  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log 23 u  log 32 u  log 32 u 14 A 2 B 3 C D Tạp chí tư liệu tốn học | 148 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Câu 13: Cho cấp số cộng  a n  , cấp số nhân  b n  thỏa mãn a  a  b  b1  ; hàm số f  x   x  3x cho f  a    f  a  f  log b    f  log b  Số nguyên dương n nhỏ lớn cho b n  2018a n A 16 C 17 B 15 D 18 THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc lần năm học 2017 – 2018 Câu 14: Cho cấp số nhân  b n  thỏa mãn b  b1  hàm số f  x   x  3x cho f  log  b2     f  log  b1   Giá trị nhỏ n để b n  5100 A 234 B 229 C 333 D 292 Câu 15: Cho dãy số  u n   1  4u 7  e 6u1 6  log  u  u  u    e    thỏa mãn  u   u  n   , n  *  n   n n  3n   Giá trị lớn số n để u n  A 3472   n   2018 n1 B 3245 C 3665 Câu 16: Cho f  n    n  n    n  N * Đặt u n  D 3453 f  1 f   f  2n  1 f   f   f  2n  Tìm số n nguyên dương nhỏ cho u n thỏa mãn điều kiện log u n  u n  A n  23 C n  21 B n  29 10239 1024 D n  33 THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần năm học 2017 – 2018 Câu 17: Cho dãy số  un  xác định u n  ln  2n    ln  n  n   , n  Tìm số nguyên n lớn cho u n   u n   Biết  a  kí hiệu phần nguyên số a số tự nhiên nhỏ không vượt a A 37 B 36 C 38 D 40 THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần năm học 2017 – 2018 Câu 18: Cho dãy số  u n  có tất số hạng dương thỏa mãn u n   2u n đồng thời u12  u 22   u 2n  u 2n 1  u n 2   , n  Số tự nhiên n nhỏ để u n  5100 là? A 232 B 233 149 | Chinh phục Olympic toán C 234 D 235 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC THPT Phan Châu Trinh – Đăk Lăk lần năm học 2017 – 2018 | Các toán liên quan tới dãy số Câu 19: Cho dãy số  un  thỏa mãn ln  u 12  u 22  10   ln  2u  6u  đồng thời u n 2  un  2u n 1  1, n  Giá trị nhỏ n để u n  5050 A 100 B 99 Câu 20: Cho dãy số  u n  D 102  391  39   1 log  u    log  u    40    4  thỏa mãn  2n u   n  1 u n 1  , n  n 2  n  n  n  1   Giá trị nhỏ n để u n  B 255 * 5100  n  5100  n  n  C 233 D 241 CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN A 235 C 101 Tạp chí tư liệu tốn học | 150 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | HƯỚNG DẪN GIẢI Câu : Cho dãy số  u n  thỏa mãn log u   log u  log u 10  log u 10 u n   2u n với n  Giá trị nhỏ để u n  5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Đề tham khảo kỳ thi THPT Quốc Gia 2018 – Bộ Giáo dục Đào tạo Lời giải Vì u n   2u n nên dễ thấy dãy số  u n  cấp số nhân có cơng bội q  Ta có u 10  u q  9.u Xét log u   log u  log u 10  log u 10  log u  log  9.u    log u  log  9.u     log u  18 log   log u  18 log  Đặt  log u1  18 log  t  t  0 Phương trình trở thành t  t2   t   t2  t      t  2  L  Với t    log u  18 log    log u1  18 log   u1  Trong trường hợp ta có: u n  Mà n  * 17 n 1  5100  n 18  599  n  99 log  18 17 nên giá trị nhỏ trường hợp n  248 Chọn ý B    Câu : Cho biểu thức A  log 2017  log 2016  log 2015  log   log   log    Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây? A  log 2017; log 2018   log 2019; log 2020  D  log 2020; log 2021  B C  log 2018; log 2019  Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình năm học 2017 - 2018   Lời giải  Đặt A n  log 2017  log 2016  log 2015  log   log   log 2  Ta có  log    A    log  A  log   A   log    log  A  log   A   log 10    log 10  A 10  log  10  A   log 11  151 | Chinh phục Olympic toán   A n   n  A n 1  TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  log u  18 log  log u   log u  18 log  log u  | Các toán liên quan tới dãy số   log 12  A 11  log  11  A 10   log 13    log 999  A 997  log  997  A 996   log 1000    log 1000  A 998  log  998  A 997   log 1001    log 1002  A 999  log  999  A 998   log 1003    log 2020  A 2017  log  2017  A 2016   log 2021  Vậy A 2017   log 2020; log 2021  Chọn ý D Câu : Cho dãy số  u n  thỏa mãn ln u  ln u  ln u  u n   u n en  Tìm u C e 3 B e A e D e 4 CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018 Lời giải Từ giả thiết suy dãy số  u n  cấp số nhân với công bội e u n  0n  Ta có u  u e ; u  u e ; u  u e Do ta có: ln u  ln u  ln u   ln  u e   ln  u e   ln  u e     ln u     ln u     ln u      ln u    ln u   16  2  ln u  4  u  e 4 Chọn ý D Câu 4: Cho dãy số  u n  thỏa mãn e u18  e u18  e 4u1  e 4u1 u n   u n  với n  Giá trị lớn n để log u n  ln 2018 bằng? A 1419 B 1418 D 1417 C 1420 THPT Kim Liên – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Ta có u n   u n  với n  nên  u n  cấp số cộng có cơng sai d  e u18  e u18  e 4u1  e 4u1  e u18  e 4u1  e 4u1  e u18   Đặt t  e u18  e 4u1  t   Phương trình   trở thành t  t  t  t   t   t 5 0 t 0  t 0 Với t  ta có e u18  e 4u1  u 18  4u  u  51  4u  u  17 Vậy u n  u   n   d  17   n    3n  14 Khi ta log u n  ln 2018  u n  ln 2018  3n  14  ln 2018  n  3ln 2018  14  1419, 98 Vậy giá trị lớn n 1419 Tạp chí tư liệu tốn học | 152 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Chọn ý A Câu 5: Cho dãy số  a n  thỏa mãn a  5an1 an   , với n  Tìm số 3n  nguyên dương n  nhỏ để a n số nguyên B n  41 A n  123 Từ giả thiết ta có 5an1 an C n  39 D n  49 Lời giải 3n  3n  1   a n 1  a n   a n 1  a n  log 3n  3n  3n  Từ suy 3n  3n  3n   a n 2  log  log 3n  3n  3n  11 3n  3n   log   log  log 5 3n  3n  3n   11 3n  3n     log   log  3n      log 5  3n  3n    a  log Do a n  log  3n   Vì n  nên a n  log  3n    log 5  , đồng thời dễ thấy 5a n  Lần lượt thử giá trị a n  2; 3; 4; ta có a n  giá trị nguyên, lớn 1, nhỏ nhất,  an  dãy tăng Lại có a n  log  3n    n  cho giá trị tương ứng n  41 Vậy n  41 Chọn ý B Câu 6: Cho dãy số  u n  2u u u u u 2u   4e  2e  4e  e  e  thỏa mãn  Giá trị nhỏ *  u n 1  u n  3, n  số n để u n  ? A 725 B 682 C 681 D 754 Lời giải Từ giả thiết ta suy  u n  CSC có cơng sai d   u  u  24 Biến đổi giả thiết tương đương 4e u9  2e u9  4e u1  u9  e u1  e u1   4e u1  48  2e u1  24  4e u1  24  e u1  e u1     2e 24   e u1    2e   2e 24   e u1  153 | Chinh phục Olympic toán 24    e u1    1  13  1  13   u  ln  24   2e    TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC a n  a n 1  log | Các toán liên quan tới dãy số Ta có u n  u   n    2018  n  681  n  682 Chọn ý B Câu 7: Cho dãy số  un  có số hạng u  thỏa mãn đẳng thức sau : log 22  5u   log 22  7u   log 22  log 22 u n   7u n với n  Giá trị nhỏ n để u n  1111111 A 11 B C D 10 Lời giải Vì u n   7u n nên dễ thấy dãy số  u n  cấp số nhân có cơng bội q  Biến đổi giả thiết tương đương log 22  5u   log 22  7u   log 22  log 22   log  log u    log  log u   log 22  log 22 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN 2  log 5.log u  log 22 u  log 7.log u  u   L  log u     u1  35  log  log u  log  log 35u  n 1  1111111  n 1  35.1111111 35  n  log  35.1111111   Mà n  * nên giá trị nhỏ trương hợp Ta có u n  u n 1 u n  1111111  n  10 Chọn ý D Câu 8: Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn  0; 2018  cho ba số a 5x  51 x ; ; 25x  25 x theo thứ tự đó, lập thành cấp số cộng? A 2008 B 2006 C 2018 D 2007 Lời giải Ba số 5x   51 x ; a ; 25x  25 x , theo thứ tự lập thành cấp số cộng a   5x   51 x    25x  25 x   5x   51 x  25x  25 x  12 5x 1  51x Dấu “=” xảy  x x0 x 25  25 Như xét a   0; 2018 ta nhận a   12; 2018  Có 2007 số a thoả đề Chọn ý D Câu 9: Cho dãy số  u n  thỏa mãn 2 u1   3u2  1  log  u 23  4u   4  u n   2u n với Tạp chí tư liệu tốn học | 154 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | n  Giá trị nhỏ n để S n  u  u   u n  5100 A 230 B 231 C 233 D 234 Lời giải Theo giả thiết ta có u n   2u n nên  u n  cấp số nhân với công bội q  Suy u n  u n 1 với n  * , n  Ta lại có : 2 u1    u   2.4 u1   u1 1  1  log  u 23  4u   log  u 23  u   4  4  8 8 Mà 2.4 u1  u1   1    log  u  u   log  u       4      1 Khi S n  u  u   u n  u1 Do đó, S n  100 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC  u1 2.4  u1    u1  Nên phương trình   tương đương  8  1  log u  u    3 3 4    2n 2n   12 2n  2n  100   log   100  n  233 2 Chọn ý D Câu 10: Cho dãy số  u n  thỏa mãn log  2u  63   log  u n  8n   , n  Đặt S n  u  u   u n Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn B 17 A 18 C 16 * u n S 2n 148  u 2n S n 75 D 19 Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh lần năm học 2017 - 2018 Lời giải Ta có n  * , log  2u  63   log  u n  8n    log  2u  63   log  u n  8n   t t 2u  63  2u  63    3t  2.2 t  t  Đặt t  log  2u  63      t t u n  8n   u  32   u n  8n   S n  u  u   u n  4n 2 u n S 2n  8n   16n 148  n  19 Do   u 2n S n  16n   4n 75 Chọn ý A Câu 11: Cho hàm số f  x   e 155 | Chinh phục Olympic toán 1 x2   x  2 m Biết f   f   f   f  2017   e n  m, n   với | Các toán liên quan tới dãy số m phân số tối giản Tính P  m  n n A 2018 D 1 C B 2018 Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ lần năm học 2017 - 2018 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có f x  e 1 x2   x  1 e 1  1      x x   x x  1 e 1  1      2  1  x x1   x x 1  e 1  1    x x1   ex  1 x1  e.e x  x1 Do ta được: f    e.e 1 1  1  ; f    e.e ; f    e.e ;…; f  2016   e.e 2016  f   f   f   f  2017   e 2017 e 1 2018 e 2017  2017 2018 e  2017 ; f  2017   e.e 2017  2018 20182  2018 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN  m  20182  , n  2018 Vậy P  1 Chọn ý D Câu 12: Cho cấp số cộng  u n  có tất số hạng dương thỏa mãn đẳng thức u  u   u 2018   u  u   u 1009  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log 23 u  log 32 u  log 32 u 14 A 2 B 3 C D Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương 2018  2u  2017d   2.1009  2u  1008d  3d  u   d d 3d 5d 9d 3d 9d 27d   u1    un  : ; ; ;  u   P  log 32  log 32  log 32 2 2 2 2 2  27d  u 14  u1  u   u 2018   u  u   u 1009   Chọn ý C Câu 13: Cho cấp số cộng  a n  , cấp số nhân  b n  thỏa mãn a  a  b  b1  ; hàm số f  x   x  3x cho f  a    f  a  f  log b    f  log b  Số nguyên dương n nhỏ lớn cho b n  2018a n Tạp chí tư liệu tốn học | 156 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | A 16 C 17 B 15 D 18 THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Hàm số f  x   x  3x có bảng biến thiên sau: x y'  1      y  f  a    f  a1   f  a2   f  a1  Theo giả thiết   a2  a1  a2  a1  0  a1  a  Từ suy  , f  x    x  Ta xét trường hợp:  a   a   f  a    f  a   2 a2  Nếu  a  a     a  f  a1   f  a1   f  a    Nếu  a   a  điều f a     Do xảy trường hợp a  0; a   Từ suy a n  n   n   Tương b  b1  nên log b  log b  , suy log b2  b2    bn  n 1  n    log a1  b1  Xét hàm số g  x   x  2018x khoảng  0;   , ta có bảng biến thiên: x  g ' x log  2018 ln    g x 157 | Chinh phục Olympic toán 2018   g  log  ln   TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 2 | Các tốn liên quan tới dãy số   2018  g  log ln      2018  log ln  11  g  12   20120  g  13   18042  g  14   11868 g  15   2498   Ta có nên số nguyên dương nhỏ n thỏa g  n    n   15  n  16 Chọn ý A Câu 14: Cho cấp số nhân  b n  thỏa mãn b  b1  hàm số f  x   x  3x cho f  log  b2     f  log  b1   Giá trị nhỏ n để b n  5100 CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN A 234 B 229 C 333 D 292 THPT Phan Châu Trinh – Đăk Lăk lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Xét hàm số f  x   x  3x Có f   x   3x  , f   x    x  1 x y'  1      y  2 Mặt khác, ta có b1  b  Đặt a  log b2  log b1  b  Ta có: a  3a   b  3b    Nếu b   a  b   a  3a  b  3b    vô nghiệm  Nếu  b   2  b  3b   a  3a     a    a     b    b n  n 1  5100  n   100 log  n  234 Suy a   b  Khi  b    Vậy giá trị nhỏ n 234 Chọn ý A Tạp chí tư liệu tốn học | 158 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Câu 15: Cho dãy số  u n   1  4u 7  e 6u1 6  log  u  u  u    e    thỏa mãn  u   u  n   , n  *  n   n n  3n   Giá trị lớn số n để u n  A 3472   n   2018 n1 B 3245 C 3665 D 3453 Lời giải 3  3     un   un    u n 1   2 n1 n2 n2 2 n1 3  v n   v n  CSN với công bội q  2 Biến đổi giả thiết ta có u n 1  Đặt  u n   vn1 n1 n 1 n 1 n 1 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 3 3 3 3  3  Khi    v1     u1    u n      u1   2 n1  2  2 2 2  33 13 Ta có u   u1 , u   u1 , thay vào giả thiết ta 4 log  u 12  2u    e 6u1  e 6u1 6  3 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có e 6u1  e6u1 6   e6 6u1 e6u1 6   1 Mặt khác ta có log  u12  2u1    log 3  u      1 Do VT  VP , đẳng thức xảy u1   u n  Để u n    n  1 2018 n1  13    n1 22 n 1    n   2018 n1 13    n1 22 n 1  n  3453 Chọn ý D Câu 16: Cho f  n    n  n    n  N * Đặt u n  f  1 f   f  2n   f   f   f  2n  Tìm số n nguyên dương nhỏ cho u n thỏa mãn điều kiện log u n  u n  A n  23 C n  21 B n  29 10239 1024 D n  33 THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Từ giả thiết ta có f  n    n  n      n    n    1   Khi ta có u n 1  2   2   32      2n      4n     2 2 2           4n    2n       159 | Chinh phục Olympic toán | Các toán liên quan tới dãy số   2n  1 1  2n  2n  10239 10239   log  2n  2n  1   0 1024 2n  2n  1024 10239 Xét hàm số g  n    log  2n  2n    với n   2n  2n  1024 4n  4n  Ta có g  n      với n   g  n  nghịch biến  2n  2n  1 ln  2n  2n  12 Theo đề ta có log u n  u n   1  2047  10239 Mà g   0   nên  log  2n  2n     2n  2n  1024   1  2047 Do n nguyên dương nhỏ thỏa mãn nên n  23 Chọn ý A CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN n Câu 17: Cho dãy số  u n  xác định u n  ln  2n    ln  n  n   , n  Tìm số nguyên n lớn cho u n   u n   Biết  a  kí hiệu phần nguyên số a số tự nhiên nhỏ không vượt a A 37 C 38 B 36 D 40 THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần năm học 2017 – 2018 Lời giải Ta có u n  ln 2n    0; ln    u n   n2  n   un   un    2n   2 2n   u n   ln     e  n  37.462  3 n n1  n n1 Chọn ý A Câu 18: Cho dãy số  u n  có tất số hạng dương thỏa mãn u n   2u n đồng thời u12  u 22   u 2n  u 2n 1  u n    A 232 B 233 , n  Số tự nhiên n nhỏ để u n  5100 là? C 234 D 235 Lời giải Ta có u n   2u n  u n  n 1 u , đẳng thức với n  nên với n  nên 4  u 12  4u 12  4u   3 4  u 12  2u    u    u  3 u 12  u 22  u   Do u n  n 1  5100  n 1  3.5100  n  log  100 log  233 Tạp chí tư liệu tốn học | 160 Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | Chọn ý C thỏa mãn ln  u 12  u 22  10   ln  2u  6u  đồng thời  un  Câu 19: Cho dãy số u n   u n  2u n 1  1, n  Giá trị nhỏ n để u n  5050 A 100 B 99 C 101 D 102 Lời giải Biến đổi giả thiết ta có u  2 ln  u12  u 22  10   ln  2u  6u    u     u      u  Mặt khác ta có u n   u n  2u n 1   u n   u n 1  u n 1  u n  Khi  v n  n   u n  Vậy để u n  5050  u  u  u  u  n n  n  1   un  n     un  u1   i  i 2  u n  u n 1  n n  n  1  5050  n  100 Chọn ý C  391  39   1 log  u    log  u    40    4  thỏa mãn  2n u   n  1 u n 1  , n  n 2  n n  n      Câu 20: Cho dãy số  u n  Giá trị nhỏ n để u n  A 235 5100  n  5100  n  n  B 255 C 233 Lời giải D 241  Ta có  n  n      n    2n  n    n    n    n    * 2  Biến đổi giả thiết tương đương nu n   n   u n   n 2n  n 2  nu n   n   u n   Đặt  nu n    1  n  1     n  1 u n 1   n  1 n 2   n  1    1  n  1   1     n  1 u n 1    nu n   2 n   n  1  n 1  n  1   1  v n   v n   v n  CSN có cơng bội q  n 1 2 161 | Chinh phục Olympic tốn TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Đặt v n  u n   u n  v n   v n    v n  CSC có cơng sai d  | Các tốn liên quan tới dãy số n 1 n 1 1 1  1 1 1  Từ suy    v1     u1    u n   n 1  u   2 n n n 2 2 2  1 Thay u    u1 vào giả thiết ta 40 39  39  1 1 1 log  u1    log  u1     u1   u n   n   n n n 4 4 Để u n  5100  n   n  100 log  n  233 5100  n  n  CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Chọn ý C Tạp chí tư liệu tốn học | 162 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC HẾT CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC MỌI NGƯỜI CĨ THỂ TÌM ĐỌC CUỐN “TẠI SAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN LẠI KHĨ” CỦA CÙNG TÁC GIẢ CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG VÀ THIẾT KẾ BÌA NGUYỄN MINH TUẤN NHĨM CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Mọi ý kiến thắc mắc, góp ý vui lòng gửi địa sau 0343763310 tuangenk@gmail.com TÀI LIỆU FREE Lovetoan.wordpress.com Đại học FPT Hà Nội ... NHÌN LẠI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO MŨ – LOGARIT TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Ebook tốn NHÌN LẠI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO MŨ - LOGARIT. .. HKI – Chuyên Amsterdam – Hà Nội – 2017 – 2018 Câu 15 Chọn ý A Câu 16 Chọn ý B Tạp chí tư liệu tốn học | 26 Nhìn lại toán vận dụng cao mũ – logarit | Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh – Lần – 2017 – 2018... f  x   a có tối đa n  nghiệm Tạp chí tư liệu tốn học | Nhìn lại tốn vận dụng cao mũ – logarit | III CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT KỸ THUẬT RÚT THẾ - ĐÁNH GIÁ ĐIỀU KIỆN ĐƣA VỀ HÀM BIẾN