Trao đổi kinh nghiệm khi ôn tập toán lớp 9 Trong quá trình ôn tập Toán cho học sinh lớp 9 tôi thờng xây dựng và thiết kế các chuyên đề về các bài học ,về các dạng toán hay về các cách gi
Trang 1Trao đổi kinh nghiệm khi ôn tập toán lớp 9
Trong quá trình ôn tập Toán cho học sinh lớp 9 tôi thờng xây dựng và thiết kế các chuyên
đề về các bài học ,về các dạng toán hay về các cách giải cho một loại toán nào đó Trong bài viết này xin đợc nêu lên một ví dụ ,đó là chuyên đề về hệ thức Vi-ét- một kiến thức rất cơ bản
và phổ biến trong chơng trình đại số lớp 9
Sau khi học sinh đợc nghiên cứu các nội dung đối với hệ thức Vi- ét trong sách giáo khoa tôi yêu cầu các em tự hệ thống hoá kiến thức cần nhớ và các loại bài tập đã học về nội dung này rồi tổ chức cho các em thảo luận và bổ xung cho nhau cùng với sự định h ớng của thày để đợc
hệ thống các kiến thức và các dạng bài tập sau:
A/ Các kiến thức cơ bản
1 Nội dung hệ thức : Nếu phơng trình bậc hai : ax2 +bx +c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì x1+ x2=
a
b
và x1 x2=
a c
2 Các ứng dụng :
Phơng trình : ax2 +bx +c = 0 có nghiệm là x1=1và x2=
a
c
a+b+c = 0 Phơng trình : ax2 +bx +c = 0 có nghiệm là x1=-1và
x2=-a
c
a-b+c = 0 Nếu có hai số u và v mà u+v =S còn u.v =P thì hai số đó sẽ là nghiệm của phơng trình:
t2-St+P = 0
3 Các hệ quả (dễ dàng các em học sinh chứng minh đợc )
Cho phơng trình bậc hai : ax2 +bx +c = 0 thì
* Phơng trình có ít nhất nghiệm dơng 0 và - b/a 0
* Phơng trình có ít nhất nghiệm âm 0 và - b/a 0
*Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu 0 và c/a> 0
*Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng 0 và c/a>0; - b/a >0
*Phơng trình có hai nghiệm cùng âm 0 và c/a> 0; - b/a <0
*Phơng trình có hai nghiệm khác dấu a.c< 0
B/Các dạng bài tập cơ bảnvận dụng Hệ thức Vi-ét
Dạng 1: Các bài toán về thực hiện phép tính hay chứng minh giá trị của biểu thức thông qua việc biểu diễn dới dạng tổng và tích các nghiệm của một phơng trình
a Các ví dụ
Bài số 1 : Cho phơng trình : x2 +3x-5 = 0 và gọi các nghiệm là x1 và x2
Không giải phơng trình Hãy tính
A = x1 + x22 ; B = 1 1 1 1
2
x ; C = x1 - x2
Giải(tắt) : Ta có a.c= 1.(-5)< 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức Vi - ét ta có : x1+ x2=-3 và x1 x2=-5
Nên có A = x1 + x22 = (x1+ x2)2-2 x1.x2 =(-3)2-2(-5) = 19
B = 1 1 1 1
2
) 1 )(
1 (
1 1
2 1
1 2
x x
x x
=
1
2 2 1 2 1
1 2
x x x x
x x
=
1 ) 3 ( 5
2 3
=
7 1
C2 = x1 + x2 -2 x1.x2=19 -2(-5)=29 Suy ra C = 29
Bài số 2: Cho phơng trình x2 -2(m+1)x +m- 4 = 0
1.Chứng tỏ phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 m
2.Chứng minh biểu thức A =x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
Giải(tắt ):1 Ta có /=m2+m+5=(m+0,5)2+4,75> 0 m
Nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1và x2 m
2.Theo hệ thức Vi - ét ta có x1+ x2=2(m+1) và x1 x2= m- 4
Khi đó A=x1- x1 x2+ x2- x2 x1= x1+ x2-2 x1 x2=2(m+1)-2(m- 4)=10
(Không phụ thuộc vào giá trị của m )
b.Nhận xét : Để giải loại bài toán dạng này ta có thể làm theo các bớc sau :
Bớc 1: Chứng minh phơng trình có nghiệm
Trang 2Bớc 2: áp dụng hệ thức tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm rồi tính
Dạng 2:Giải phơng trình bậc hai
a.Ví dụ : Giải các phơng trình :
1 x2 -( 2+1)x+ 2= 0 2 m2 +( 2+1)m+ 2= 0
Giải(tắt):
1 Ta có a+b+c =1+-( 2+1)+ 2= 0 Suy ra x1=1và x2= 2
2 Ta có a-b+c =1-( 2+1)+ 2= 0 Suy ra m1=-1và m2=- 2
b Nhận xét : Để giải phơng trình bậc hai ta có thể theo các bớc sau:
Bớc 1: Lần lợt nhẩm a+b+cvà a- b+c
Bớc 2: Nếu a+b+c=0 hay a- b+c = 0 thì kết luận nh trên Còn nếu a+b+c và
a-b+c đều khác 0 thì dùng công thức nghiệm
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích hoặc quy đợc về dạng tổng và tích
a.Ví dụ :Hãy tìm x và y biết
1 x+y =2 và x.y =1 4 x- y =-5 và x.y =- 4
2 x2+y2 =25 và x.y =12 5 2x- y =8 và x.y =- 6
3 3x+y=1 và x.y = - 4
Giải(tắt) :
1. x và y là nghiệm của phơng trình t2 -2t+1 = 0 Ta có t =1 2
(x=1- 2và y=1+ 2) ; (x=1+ 2và y=1- 2)
2 x2+y2 =25 và x2.y2 =144 x2 và y2 là nghiệm của phơngtrình :t2 -25t+144 = 0
Ta có t =16và 9 (x=3và y=4) ; (x=-3và y=- 4) ;(x=4và y=3) ; (x=-4và y=- 3)
3 3x+y=1 và 3x.y =- 4.3=-12 3x và y là nghiệm của phơng trình: t2 -t-12 = 0
Ta có t =-3và 4 (x=-1và y=4) ; (x= 4/3và y=- 3)
4 x+(- y) =-5 và x.(-y) =- xy =4 x và -y là nghiệm của phơng trình :t2 +5t+4 = 0
Ta có t =-1;-4 (x=-1và y=4) ; (x=- 4 và y=1)
5.2x+(- y)=8và2x.(-y) =-2xy=-2.(-6)=122x và -y là nghiệm củaphơng trình: t2 -8t+12 = 0
Ta có t=2và 6 (x=1và y=-6) ; (x=3 và y=-2)
b.Nhận xét : Để giải loại bài toán dạng này ta có thể làm theo các bớc sau:
Bớc 1 : Viết các biểu thức đã cho dới dạng xác định đợc tổng và tích (nếu cha có )
Bớc 2 : Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi-ét
Bớc 3 : Giải phơng trình rồi thay vào để kết luận
Dạng 4: Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm
Giải :Ta có: x1+x2=2- 3 +2+ 3=4; x1.x2=(2- 3) (2+ 3) = 4 - ( 3)2 =1
Suy ra: Phơng trình bậc hai nhận các nghiệm :x1=2- 3 ;x2=2+ 3 là x2- 4x+1=0
2.Cho , là các nghiệm của phơng trình x2- 2kx+1= 0.Hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là : 2+ 2và 2.2
Giải : Ta có : + =2k và .=1 (Theo hệ thức Vi- ét )
Suy ra 2+ 2 =(+ )2-2 =(2k)2-2.1= 4k2-2; 2.2=( )2=12=1
Vậy phơng trình phải tìm là t2-(4k2-2)t+1=0
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1 : Tính tổng và tích các nghiệm mà đề bài đã cho
Bớc 2 : Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi-ét
Dạng 5: Cho một phơng trìng bậc hai đã có chứa tham số Hãy tìm giá trị của tham số để phơng trình đó có nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó,mà trong điều kiện đó có chứa biểu thức viết đợc dới dạng tổng tích các nghiệm các nghiệm
a.Ví dụ :
Bài 1:Tìm m để phơng trình sau có tích các nghiệm bằng 6: x2 +(2m+1)x +m2 +5m = 0
Giải: Phơng trình có nghiệm 0 (2m+1)2- 4(m2 +5m) 0 m1/16
Khi đó tích các nghiệm bằng 6 m2 +5m = 6 m=1>1/16 (loại );m =-61/16(thoả mãn) Vậy m=-6 thì phơng trình sau có tích các nghiệm bằng 6
Bài2 :Tìm a để phơng trình sau có tổng bình phơng các nghiệm nhỏ nhất : x2 +ax + a-2 = 0
Trang 3Giải : Ta có : =a2 - 4(a-2) = a2 - 4a+8=(a-2)2 +4 >0 a Suy ra phơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt x1 và x2
Khi đó tổng bình phơng các nghiệm bằng x12 + x22 =(x1+ x2)2-2 x1.x2 =
a2 - 2(a-2)= (a-1)2 +3 3.Vậy tổng bình phơng các nghiệm nhỏ nhất là 3 a = 1
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm (nếu cần)
Bớc 2: áp dụng hệ thức tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm rồi thay giá trị của tổng
và tích các nghiệm và sau đó giải theo yêu cầu củađề bài để xácđịnh giá trị củatham số Bớc 4: Đối chiếu giá trị của tham số vừa tìm đợc với điều kiện của tham số ở bớc 1 để đa ra kết luận
a.Ví dụ
Ta có: Phơng trình có nghiệm dơng / 0 và -b/a0
Do đó phơng trình x2 -2(m+2)x +m2+2m-3 = 0 có ít nhất một nghiệm dơng
-(m+2)2-( m2+2m-3) 0 m
-2 7
Vậy m -2 thì phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm dơng
Bài 2: Tìm k để phơng trình x2 +ax-1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
Đặt t = x-2 x =t +2 Thay vào phơng trình đã cho ta đợc
(t+2)2+a(t+2)-1= 0 t2+(4+a)t+ 2a +3 = 0 (2)
Ta thấy để phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 2 thì phơng trình (2) sẽ phải có nghiệm dơng Mà phơng trình (2) có nghiệm dơng 0 và - b/a 0
(4+a)2- 4( 2a+3) 0 a2+4 0
Vậy a- 4 thì phơng trình x2 +ax-1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
Bài 3: Tìm k để phơng trình x2 +(2k+1)x +k2 =0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1
Đặt t = x-1 x = t +1 Thay vào phơng trình đã cho ta đợc
(t+1)2+(2k+1)(t+1) +k2 = 0 t2+(3+2k)t +k2+ 2k+2 = 0 (2)
Ta thấy phơng trình (2) có hai nghiệm âm 0 và c/a >0;-b/a <0
(3+2k)2- 4(k2+ 2k+2 ) 0 k -1/4
-(3+2k) < 0 k >-3/2 k -1/4
k2+ 2k+2 > 0 (k+1)2+1 > 0
Suy ra phơng trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm k <-1/4
Do đó phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1 k <-1/4
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1: Lập phơng trình mới ẩn là t đợc xác định là t =x- bằng cáchthay x=t+ vào
ph-ơng trình đã cho
Bớc 2: So sánh nghiệm của phơng trình mới với 0 dựa vào các hệ quả của hệ thức Vi- ét Dạng 7:Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số
a.Ví dụ :
Bài 1:Cho phơng trình : x2 - 2(m- 4)x +m-3 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a
Giải : Theo hệ thức Vi - ét ta có : x1+ x2 = 2m-2 x1+ x2 = 2m-2
x1 x2 = m-3 2x1 x2 = 2( m-3)
Trừ hai vế tơng ứng ta đợc x1+ x2-2x1 x2 = 4
Bài 2:Cho phơng trình : (m-1)x2 - 2(m- 4)x +m-3 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 Hãy tìm một
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Trang 4Giải : Theo hệ thức Vi - ét ta có : x1+ x2 =
1
8 2
m
m
= 2-
1
6
m
x1 x2 =
1
3
m
m
=1
-1
2
m x1+ x2 -2 = -
1
6
m
x1 x2 1 =
-1
2
m Chia 2 vế tơng ứng ta đợc
1
2 2 1
2 1
x x
x x
-
1
6
m
:(-1
2
1
2 2 1
2 1
x x
x x
=3
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1: áp dụng hệ thức tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 2: Cộng, trừ,nhân hay chia 2 vế để khử tham số
Sau khi cùng học sinh ôn tập 7 dạng toán cơ bản trên tôi tiếp tục yêu cầu các em tiếp tục luyện tập với các bài tập tơng tự và nâng cao sau :
Bài 1: Cho phơng trình : x2 -(m-1)x- m = 0
1/Giả sử phơng trình có hai nghiệm là x1và x2.Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
t1 =1- x1 và t2=1- x2
2/ Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn x1<1< x2.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong -Tỉnh Nam Định năm 1997) Bài 2: Tìm a để phơng trình:(a-2)x2 - (a- 4)x -2 = 0 có nghiệm nghiệm này gấp đôi nghiệm kia Bài3 :Tìm a để phơng trình sau có tổng bình phơng các nghiệm bằng 9:x2+2ax+a2- a- 1= 0 Bài 4 :Tìm k để phơng trình 3x2 -4x+ 2(k- 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặcbằng 5
Bài 5 : Cho phơng trình : mx2 - 2(m+1)x +m- 4 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a
Bài 6:Tìm k để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 +3(m-1)x2 + m+2 = 0
Bài 7 :Tìm nghiệm còn lại của phơng trình : (m2-5m +3)x2 +(3m-1)x -2 =0,biết nó có một nghiệm bằng 1
Bài 8: Tìm m để phơng trình: x2 - 12x + m = 0 có nghiệm x1 và x2 thoả mãn : x1 = x2
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 -Tỉnh Nam Định năm 1996)
Trên đây là những nét cơ bản của khi ôn tập một chuyên đềcủa Đại số lớp 9 Rất đón mong các bạn trao đổi về chuyên đề trên và các chuyên đề khác trong chơng trình Toán 9 để giúp các em học sinh đạt kết quả cao trong các kì thi cuối cấp
Giáo viên Trờng T.H.C.S hảI vân (suu Tâm)