TÀI LIỆU BÔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHẦN IS I< |e = = - e # dam FY NS » Pe Pe Pe pwn PS 15
SO’ GD& DT NGHE AN TRƯỜNG THPT DANG THUC HUA
MOT SO BAI TOAN CHON LOC BOI DUONG
HOC SINH GIOI MON TOAN
VIET BO’: PHAM KIM CHUNG - THANG 12 NAM 2010
MUC LUC Trang PHƯƠNG TRINH - BPT - HPT - CAC BAI TOAN LIEN QUAN DEN DAO HAM PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ GIỚI HẠN cỦA Ủ㇠$ỗ— ÌE=—F UV E 1£ C—YI T] ' Il sLrudenE: HÌNH HỌC KHƠNG GIÁN'”
ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễn đàn :
www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,
Đề thi HSG Quốc Gia, Dé thi HSG các Tỉnh - Thành Phố trong nước, Dé thi Olympic 30-4 Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến ) Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ
Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải )
Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải )
Giải TỐN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) Sáng tạo Bất đẳng thứ c ( Phạm Kim Hùng )
Bất đẳng thức - Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận )
Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 340 bài toán hình học không gian ( LE Sharygin )
Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) và một số tài liệu tham khảo khác
Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website
Trang 2
Phần I: PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HPT - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ð ẾN ĐẠOHÀM 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y =-2x+2+mvx? -4x+5 có cực đại ÐĐS : m < -2
Cho ham sé: f(x)= [east 1,x#0 Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu x=0 tại x=0 Tìm cực trị của hàm số : y =f(x)=\|x|(x—-3) DS:x=0; x=1 Xác định các giá trị của tham số m để các phương trì nh sau có nghệm thực : a) (4m-3)/x+3+(3m-4)V1-x+m-1=0 DS: 2<ms<2 SY a7 b) ¥x?+1-V/x =m DS: 0<m<1 c) m(v1 +x? —V1—x? +2)=2N1-x' +Ai+x? -\1—x? x°+yÌ=2
Xác định số nghiệm của hệ phương trình : ĐS:2 log, xlog, y=1 yo x? +1 e = Giải hệ phương trình : y '+1 ĐS:(xy)=(7;7) 3log,(x + 2y + 6)=2log,(x+y+2)+1 x+Vx’ —2x+2=3''4+1 yt+vy? -2y+2=3"'4+1 (1 + A2x-y )m — 221 +1 Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình :
yÌ + 4x + In( (y’ +2x) +1=0
elie Jad ST) n ugent Giải phương trình : (x- 3) 1 Giải bất phương trình : Jx+2x- 1)- ax+6<4- _Íx+6)(2x- 1)+3Vx+2 DS: s<x<7 Giải bất phương trình : 98-2x+T—-2x<6 2x—1
Giải phương trình : 3x(2+V9x! +3)+(4x+2)(Vi+x+x’ +1)=0
Giai phwong trinh: x’ — 4x’? —5x+6=7x’? +9x-—4 2/xy -y+X+y=5 Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm : yy y ĐS: me| 135 | V5-x+./l-y=m 1 Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : vx+vx-1 Im x+ (dx+vx=1) =——: thứ- 1) + 4/x(x—-1 |-1 ýXx+1l+Avy+1= Tìm m để hệ có nghiệm: * y Xx\jy+1+yx+1+vx+1+jy+1=m Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a# 0) đạt cực đại tại x,;x, CMR: f L0) BÉ (| ,»VX#X,,X, f'(x) “2 f'(x)
Cho ham sé: f(x)=cos’ 2x + 2(sinx+cosx)’ —3sin2x+m Tim m sao cho f’(x)<36, Vm
Trong các nghiệm(x;y) của BPT : Ì0B ; 2 (x+y) >1 Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN
(Dé thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009) Giải phương trình: 20097 (vx? +1- x] =1 DS:x=0
Trang 44 Phần I: PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HPT - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ð ẾN ĐẠOHÀM
38 ( Đề thi HSG Tinh Quang Ninh nam 2010 ) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có nghiệm : x? +3x? —1< m(vx —Vx-1)
3
HD: Nhân liên hợp đưa về dạng : (x+xx-1) (xÏ +3x” -1)<m 39 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010) Giải phương trình : xỶ +3x” +4x+2=(3x+2)N3x+ 1 3 HD: PT ©(x+1ÿ +(x+1)=(N3x +1) +X3x+1 Xét hàm số: f(t)=tẺ +t,t>0 40 ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010) Giải phương trình : 24/2x -1=27x* —27x’ +13x-2 HD : PT (2x- 1)+ 22x — 1 =(3x- 1} +2(3x-— 1)— f(2x- 1) = f(3x - 1) (4x? +1)x+(y —3)\/5—2y =0 4x” +y° +2N\3—4x =7 HD : Từ pt(1) cho ta: [(2xŸ +1].2x =|5- 2y y + 1 |/5- 2y = f(2x) = f(./5—2y) 5 — 4x? 41 ( Đề thi Khối A - năm 2010 ) Giải hệ phương trình : Ham sé: f(t)=(t? +1).t > f'(t)=3t? +1>0— 2x =,/5-2y => 4x? =5—2y y= 22 >= 4x +2/3-4x =7 , voi 0<x<Š ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có Thế vào (2) ta có : 4x” { nghiệm duy nhất: x => Vx+,Jy =4 Vx+7+/y+7 <a
( T †m.38ếhệ tónghiậm (5;y) tti6amnẤi điÐý Miệề x> 9
HD: Đứng trước bài toán cha tham số;cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo sát :
4—Jx=Jy>05x<16 Dat t=Vx,t €[3;4] và khảo sát tìm Min ĐS: a>4+2x/2 y* — 4x + 2xy-2x+4 =5
2*+x'=y`+2
42 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008) Cho hệ: (a là tham số)
43 Giải hệ phương trình : |
44 Xác định m để bất phương trình sau nghi ệm đúng với mọi x: (e™ —e+ 1} —2e"™ len —(e—1)sinx— 1| <1 45 ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) Giải PT : log ig (x’ -2x-11)= log, pg —2x—12)
46 Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: (4m -3)Nx+ 3+ (3m - 4)V1 —-x+m-1=0
2 y2x2 _ X +1
47 (Olympic 30-4 lan thi VIII ) Giải hệ phương trình sau: y +1
3log,(x+2y + 6)=2log,(x+y+2)+1 48 Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :
Trang 5r
®” Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biét x,;x,;x, x,
Phần I: PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HPT - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ð ẾN ĐẠOHÀM Ajtanx—1 tanx —1 _2x? —V1+x’ Tính giới hạn: N, =lim Tinh giéi han: N, = =lim=—_*-** x90 2sinˆx—1 x>? lIn(1+x“) 3/2 _ 3] sin 2x sinx Tính giới hạn: N, ÀX †XiI NI‡X x Tính giới hạn : N, =lim ° ° an x0 sinx 3/ — -z2 _ 3| 2 Tính giới hạn: N, =l lean Tinh giéi han: N, =lim SN} x0 sin10x x9 In(l+x) Í ¬sin2x _ 3/ sin3x 4* _ v4
Tính giới hạn: N„ = limY$——XS —~ Tính giới hạn: N, = jim *
xo0 sin4x x00 3/y _ 3/9 3x 92x Tính giới hạn : =lim——————— ¿ j -cos4x x>0 /1+sinx —A/1—sinx Chứng minh các đẳng thức sau : 4) PG), P"Ge) | Pe) Pí(x) P4) P'(x,) b) i + 1 + + 1 =0 P'(x,) P4) ” P'(x,) Tính các tổng sau : a) T,(x)=cosx+ 2co0s2x+ + ncosnx b) T.(x)= tanŠ+.ˆ tan Š + +.T tạn 2 2 2 2 2 2 c) CMR: 2.1.CC +3.2.C2 + + n(n — 1)C? = n{n - 1).2”Z d) S (x)=sinx+4sin2x + 9sin3x + +n’sinnx 2x+1 2x+3 " rAd Geyer f — DMT oF 2x+[n-l) (x+nỶ _ 49 Các bài toán liên quan đến cực trị của-hàm số: a) b) c) d) 8) a" +b" 2 Chứng minh rằng với a >3,n>2 ( neN,n chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm : (n+1)x”'?—-3(n+2)x"°+a" =0 Cho œcR:a+b>0 Chứng minh rằng : aso < ` w „ ` N a N A Xx Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị: y =(m+ 9) 1+ 2 n Cho n>3,neN (nlé).CMR: Vx#0, tacé: KG | n! Tìm cực trị của hàm số : y=Ax?+x+1+4x?—x+1 y =f(x)=-—2x+axx? +1 có cực tiểu msSinx—cosx— 1 Tìm a để hàm số : Tìm m để hàm số: y= đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng ln =| mcosx 50 Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : a) nửa khoảng b) duy nhất
Cho các số thực a,b,c,d,e Chứng minh rằng nếu phương trình : ax + (b + c)x +d+e=0 cé nghiém thuc thudc
[1;+œ) thì phương tình : ax” +bxỶ +cx” +dx+e=0 có nghiệm
Cho phương tình : P(x)=x” —5xf + 15x” —x” +3x —7 =0 Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực
Trang 66 Phần II: PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC 1 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : a) Iim 2 =1 xo0 X
b) f(x+y)=f(x)+f(y)+2x’ +3xy+2y’, Vx,yeR
2 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn điều kiện sau : f(x-f(y))= f(x+ y”*)+f(f(y)+y”*)+ 1, Vx,yeR
3 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn điều kiện sau : f(x + cos(2009y)) = f(x) +2009cos(f(y)), Vx,yeR 4 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
c) f(x)>e””*
d) f(x+y)> f(x)f(y), Vx,yeR
5 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn điều kiện sau : f(x+ y)= f(x)e”?,vx,yeR Tim ham sé: f:R ->R thoả mãn điều kiện sau : F(x.f(x+y)) = f(y.f(x))+ x’ ( Dé thi HSG Tinh Hai Phòng năm 2010 ) Tim ham f:R—R théa man:
f? (x) + 2yf(x)+ f(y) = f(y + f(x)), V,x,ycR
(T1C—C\C.F¬ YTT!\C_ CYI T}†
WaGentcts
Trang 7Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Cho a,b,ceR:a? +b +c? =3 Chứng minh rằng : a*b+bˆc+c?a<3
Cho các số thực không âm a,b,c Chứng minh rằng :
a?b? (a-b} +b*c? (b-c} +ca? (c-a) >(a -bŸ (b-c) (c-a} 2 2 2 2 Cho các số thực a,b,c Chứng minh rằng : abe 01 _3° x„iở +b+c) boc a 4“ (2a+b) Cho các số thực khô ng âm a,b,c thoả mãn : a+b+c+36abc =2 Tìm Max của: P= a”bfc” 3 Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z CMR: —— g tuỳ ý xy iy hề: (os V2 Ộ ; (atb+c} Cho a,b,c >0 Tim GTNN cua: P =——_r— abfc Cho các số thực dương xy,z thõa mãn: x” +y“ +z” =1 2 2 2 CMR: 2x —(y —-Zz) + 2y —-(z—Xx) + 2z—(x-y) yZ ZX xy
Cho các số thực dương a,b,c CMR : bc + ca + ab < arb+rc a+3b+2c b+3c+2a c+3a+2b 6 Cho các số thực dương a,b,c CMR: 1 + 1 + 1 < 1
a'+bl+abc b+cl+abc cổ+ai+abc abc
Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 1 + 1 + 1 =1.CMR: ab+bc+ca<3
a’+2 b*+2 +2
Cho các số thực dương tho tian diéirkiéh-—ai +b Hc Pa Se T1
hafabagilos x teachers nt stud 2- -b 2- Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý CMR: \ ` , y “fe : 32 X+y y+zZ z+X 2 nc: 2 2 2 2 Cho các số thực dương a,b,c CMR : 4 LP C va hrcj MA ca a+b+c
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1.CMR: — 1 + 1 1 a(b+c) b (cta) c(a+b) Cho 3 số thực xy,z thỏa mãn : xyz=1 và (x-1)(y-1)(z—1)#0 CMR:
— ] ( ( - jes
x—1 1 z—1
(3a-b+cƒ (3b-ct+a) (3c-a+bŸ Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ CMR: —— sto tos 5 >?
2a°+(b+c)° 2b’+(ct+a)° 2c+(a+b} 2 >3 “2 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: a? +bỶ +c? =1 CMR: 1 1 1 9 + + <— 1-ab 1l-bc 1-ca 2 Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a? +bỶ +c? =9 CMR : 2(a+b+c)<10+abc ¬ a bỉ c 1 Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 CMR : >t >t 5 2— (l1-a)’ (1-b)’ (1-c)’ 4
(Chon DTHSG QG Nghé An nam 2010 ) Cho cac sé thực dương a,b,c thỏa mãn :
Trang 88 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Lời giải :
Từ giả thiết :
9(a* +b +c?)—25(a? + bˆ +c?)+ 48 =0 >2B(a + bŸ +c?)=48+9(af + b” +c“)> 48+ 3(a” + bÝ + c?} —=3(a? +bŸ +c?}? —25(a? +b? +c?) +48 <0 >3<a’? +b’? +c? < 16
Ta lại có :
a’ b? ca bí c > (a? +b’? +c’)
= + + = + + >
b+2c c+2a a+2b a*(b+2c) b*(c+2a) c’*(a+2b) (a*b+b’c+c’a)+2(a’c+b’a+c’b)
ae 2 24 — 2 We c2AT22h2 ¡ h2c2 „ 222 Ja? 27 |(a*+b* +c’) Lại có : a“b+bfc+c a =a{(ab) + b(bc)+ c(ca)<-j(a +b +c]a“b +bfc +ca“]<va“ˆ +b“+c — 2 Tuong tr: (a’c+b’a+c’b)< Va’ +b’ + re aoe 3 2 2 2 Từ đó ta có : F> j= >1 Dau bang xay ra khi va chi khi : a=b=c=1 ĐÁP ÁN đjA SỞ GD&ĐÐT NGHỆ AN Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có 2 a , (b+2c)a’ >2 _a’ (b+2c)a’ 2a” bic 9 b+2c 9 3- 2 2 2 2 2 Twong ty b „ (c+Za}b „2b C , (ar2byc’ „4C ca 9 3 a+2b 9 3 a’ b? c? Suy ra: = + + b+2c c+2a a+2b > 2 (92 +b*+c? bere) [a (b+2c)+b’? veo SI E ' Lại áp dụng AM - GM, tạ Có : al+a1+c? ch cha VỆ lực 345? 3 3 Tw (*) va (**) suy ra: nts a’c+b‘at+c’b< =a tà bạc mm
F> (a! +b? +c’) -sía +b+c)(a’ +b’ +c’) >-(a” +bỶ +) -g(a' +b? +c’) 3(a’ +b? +c? )
Dat t=, l3(a” +b?+ c?) , từ giả thiết ta có:
25(a” +b? +c’ ) — 48 = s(a' +b‘ +c*) > 3(a’ +b? +c" )
=>3(a’ +b* +c? ý -25(a? +b* +c? )+48 <0 >3<a’+b*+c’< 16,
Do đó F>Tt—-—t'=f(t) với te[3;4] (***)
Mà mịn f(t) =f(3)= 1 (****) Từ (***) và (*'*®) suy ra F> 1 tel 3;4
Vậy minF=1) xảy ra khi a=b=c=1
21 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng : 11 1 ii 1 36
x y 7 _—= +y?z +z2y?
Lời giải :
BĐT đã cho tương đương với : (9+x’y’ +yˆZ cá [tiệxŸ) >36
Trang 99 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2 2 2 27(xy + yz+Zx Do dé: 111 _| yt+yz+2x) (xy y y 27 (xy+yz+zx) 9 xy +yz+zx X y Z XYZ Lại có: 9+x°y”+y”z? +z?x” =6+ (x*y? + 1)+ (yz?+1)+(Zˆx”+1)> 2|3+ (xy +yz+ 2x) | Nén: 2 2 27 (VT) >4|3+(xy +yz+zx) | eo 108| 2 16 +97 yz 0) | xy t+yz+zx xy t+yz+zx > l0 6: 2} 09 ty 20] =1296 => VT 236 xy +yz+zx ĐÁP ÁN ŒỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương (xy + yz + Zx)(9 + x¢y2 + z2y2 +x2z2) > 3 6xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy +yz+zx> 3 3x °yˆ?z? (1)
Và 9+ x2y2 + z2y2 +x2z2 > 12 14lx*y1z* hay 9 + x2y2 + z2y2 +x2z2 > 12 ‡Íxyz (2) Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra:
(xy + yz + zx)(9 + x¢y2 + z2y2 +x2z2) > 36xyz (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1
22 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x+y+1=3xy Tìm giá trị 3x 3y 1 1 lớn nhất của: M= + —_—_—-_— y(x+1) x(y+1) xỉ y?
Lời giải : tas ¬ YT) Co cory;
Ta có : 3xy 2x+ÿ#122Vxy +1— |xý31SSxÿy>1) 7°” Ta có :
M= 3x + 3y 1 1 1 + 1 _ Bxy(x+y)-(x+y) + 2xy _ 3xy (3xy —1)—(1—3xy} +2xy
yˆ(3x-1) x”'(3y-1) xŸổ y’ y(3x-1) x”(3y-1) x’y*| Oxy —3(x+y)+1 | 4x?y? 23 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c CMR: ae b° c.a bc _¬ ta x†alF-sỀ-†-†— b Cc a boca 3 3 Jog tafe +1 23— HD: b b b < a bỉ c 3< b củ a?
24 ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010) Cho x, y, z >0 thỏa mãn : x” +y” +z” =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=6(y +z—x)+27xyz
2 „2 _
HD: P<6|J2(y' +z°)—x|+27x.* = =6{ a(t x?) —x]+27%- > (Pus = 10)
25 (Dé thi HSG Tinh Hai Phong nam 2010) Cho a,b,c>0:a’°+b’ +c’ =1 Chimgminh rang:
a +2b" +3ct >
HD: Có thế dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ
Trang 1010 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 27 28 29 30 31 32, 33, 34 Lời giải: Đặt x” =a;y” =b;z” =c—>abc =1 Bất đẳng thức đã cho trở thành : (a+b} (W+c} (c’ +a’)? 3 3 + 3 3 + 3 3 a +b b’ +c c ta Ap dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có :
(a” +bˆ} =(a° +a*b’ + a*b? + a*b’)+(b° +a’b* +a°b* + a’b* )> 44/a°b® (a° +b’) é thi inh Dong Nai nam Cho a,b,c > 0 Ching minh rang:
Đề thi HSG Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) Cho a,b,c > 0 Ch?ng minh rằng 1 + 1 + 1 > 3(a+b+c) a+b bte c+a 2(a?+b’+c’) 212 HD: BĐT © [(a?+b?)+(b+c)+(e+a?)|Ƒ 1 „1, 1 | 3(a+br€ 2 a+b b+c c+a|l_- 2 2 va chiy: a? +b? > tb)" ( Dé thi HSG Tinh Phi Tho nam 2010 ).Cho x,y,z>0:x+y+z=9 Chirng minh rang: 3 3 3 3 3 3 x+y y †Z ZX ` xy+9 yz+9 7zx+9 ( Đề thi chon DT Ninh Binh nam 2010 ) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bang 4 Chứng minh rằng : a” + bể +” + 2abc < HD: Bài này thì chọn phần tử lớn nhất mà đạo hàm a bc (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) Choab,c>0.CMR: —+—+—2a+btce bc ca ab 4 2 2 21+ 4
HD: vt=y 2-28 +b* +c") > (atb+c) >a+b+c
abc 3abc 27abc
( Đề thi chọn HSG QG 'ñũnh nh Ùịmh-¬iäm 2030) Ì chủ sz=ứxm4 bản Ì 2Jxy +Vxz =1 Tim gid tri nhd methematics 4 teachers n' students nhất của: s97, 4, 3ý X y Z ah: rs nw a" a 1 2 3 ( Đề thi chọn HSG Thái Nguyên năm 2010 ) Cho các so thuc x,y,z théa man diéu kién : ——-+———+——-= 1 1+x 2+y 3+2
Tìm giá trị nhỏ nhất của : P= xyz
( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) Cho a,b,c >0:a” +b“ +c? =3 Chứng minh bất đẳng thức : 1 + 1 + 1 <1
4-xab 4-vbce 4-Yca
Trang 1111 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải 2 : 2 2 2 Dat: ¥ a; =b; * =c=>abe= 1 Lic dé: =.- 1 X Z 4 bc a 3{ab+bc+ca) (a+b+c) 35 Bài toán tương tự: Cho x,y,z>0:xyz<1 Chứng minh rằng : *,V,%, 3 54 yo Zz x xt+ytz Loi gidi: Dat : tat, Ì —c=>abc>1 X y Z 2 2 2 2
BĐT đã cho trở thành: 2-42.40, 3abc_ ,[Atbtcj, c ab ab+bc+ca at+bt+c (a+b+cỶ 2 với;a+b+c>3Vabc =3
36 ( Đề thi chon đổi tuyển ĐH Vĩnh năm 2010 ) Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] va a+b+c=1.Tim gia 1 1 1 trị lớn nhất và nhỏ nhất của: P= stats a^+1 b+1 c+l1 s+ + >1+—_*+ , Vary 20;x+y <1 x +1 y'tl (x+y} +1 37 ( Đề thi chọn HSG QGtỉnh Lâm Đồng) Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng : a’ 2 ayy, a? —ab+b? + Vb? —be+c? + Ve? —ca +a’ ca Lời giải : HD: Dùng pp tiếp tuy ến và Bất đẳng thức : 2 2 2 2 2 2 C1:(THTT) Ta có: 3 +bl+ LG: +|L4a >2(a+b+c)=Ä_-+ + >a+b+c b C a bc a 2 2 „2 2 2 2 Do đó : 2vr-i| 5+5 + ]>}||[Š en-a|x| => [EB nave C a C2: Tacó: 3 va” -ab+b >a+b+c(Mincopxki) | Ter IT AS Ma: vT=> = : ~ab+ br — ch 8awa L 'a-Eb+c | nt: 38 (Dé thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh - Đồng Nai năm 2010) Cho a,b,c>0:abc =1 Chứng minh rằng : ab? +bc? +ca?>a+b+c HD: BĐT c4+P+_C>a+b+c Chú ý là : 3P - a2c> 3a a?c= b c a b c b
Lời giải 2: Ta có : ab? +ab? +bc? >33J(a?b?c?)b =3b
39 (Chon ĐT HSG QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) Cho a,b,c >0 Chứng minh bất đẳng thức :
Trang 1212 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐÁP ÁN ŒJA SỞ GD&ĐT : Dat x= va,y = vb,z = Vesx,y,z c (0;+ œ) Khi đó: P=— xt3yz yˆ+3Zx 2z°+3xy + —+—~ — Ta có 3P= 3y + 32x + Sxy x’ +3yz y’+3zx z’ +3xy 2 2 2 -2-( ~—+—Y + ]-a-e x’ +3yz y’+3zx 7Z2+3xy áp dụng bđt BCS ta được V 3 V4 3 Jzˆ°+3 Pa“ zˆ +3xy <q.z +y * +2? +3xy + 3yz+3zx) (x+y+z} Nay ©Q> Mặt khắc xy + yz+zx< (x+y+z} +XV +ÿZ+ZX (x+y+z} Suy ra Q>Š, do đó 3P<^=P<Š 4 4 4 xX » 2 ` ? A / 2 XN 2 » 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng T
41 ( Đề dự bị HSG Tỉnh Ee anil a’ +b? +c’ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= bế NT atb Lời giải 1: Giả sử: a>b>c +> — Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có : b+c c+a a+b 2 2 2 p=—* + b + > 2 (a? +b? +c?) “1 _= 1 b+c c+a a+b 3 b+c c+a a+bj 3\b+c c+a a+b > 3 > 3 _2(a+b+f) 2V3(a”+b°+c?) Lời giải 2: Áp dụng BĐT Swcharz: _ a + b* + c* > (a? +b? +c’°f a*(b+c) b*(cta) c’(a+b) b(a?+c?)+a(b°+c?)+c{a? +bỶ) V2avb? +c? Nbi +c - i +2(b? +c” Ï v2 KP 3 Lại có : a(bÍ+e”)=———————=———— 3 3 3
42 ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005) Cho a,b,c>0 CMR: a zt b zt = ->3 (a+b) (b+cy (ct+a)y 8
Loi gidi: » fy —z ;—> xyz =1 Bất đẳng thttc da cho tré thanh: 1 zt 1 zt 1 ->3
Trang 1313 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1 1 1 Bo dé : + > Vx,y>0 (1+x} (1+y) iy | ) Bổ đề này được CM bằng cách biến đối tương đương đưa về BĐT hiển nhiên: xy(x—y)” +(1—xy)°>0 2 Do dé: VT> 1 + 1 Z 1 _2(z+1)+1_ z+z+1 L+xy (1+2Ƒ z+1 (1+2 (1+2 Z2+22+1 2 Giả sử : z= Max{x,y,z}— 1= xyz<zỶ >z>1 Xét hàm sé: fay tt f'(z)= Z 1 >0,Vz>1 ˆ“+2z+1 (z+1) Suy ra: f(z)>f(1)= Ba | uo 43 ( Đề thi HSG Tinh Ha Tinh nam 2008).Cho x,y,z>0:x+y+z=1 Tim gia tri nhé nhat cua: Pu Ay 1+x 1+y 1+z lời giải 1: —*>-x)ei=x[t~Vt=xf)>0eV1=x +X x? 1+V1-x’ Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P>2 Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ : [+ IV cay 1X Y ya y<t va MaxP = 1 +—2- 1+x \Ylt+y 1+x+y 5 V3 44 ( Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Ha Tinh nam 2008 ) Cho x,y,z>0:x+y+z=1 Ching minh bất đẳng thức : TH TY oof 24042) y+z z+x x+y y zx Giải: BĐT <>2| %~+% 4% |43<2) 44%42)o3<_% + 9 ,_¥% ytz z+x x+y y zx 2 yly+z) z(z+x) x(x+y) Ta lại có: VP=—““—+ si ye Hen) VR 92T TZ)z+ v2 +zx) _ WW+Z) Zz+X) 3X(+y) xyAW+2), xyz+x) xyxry] 2y2x+y+2) (xy+yz+zxỶ yp>Š 3 2 >0 (luôn đúng ) Ma: xyz(x+y+z)=(xy)(yz)+(xz)(zy)+(zx)(xy)< 45 ( Đề thi HSG Tinh Quang Binh - 2010 ).Cho a,b,c>0:a+ b+c=3 Chtrng minh rang : avb?+1+bvVc? +1+cVa? +1 <5
46 Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC Tìm GTNN của : P | 2a tị 2b + 2c 2b+2c-a 2a+2c—b 2b+2a-c
2a NI J6a
2b+2c-a _ 4(3a)(2b+2c—a) P(a+b+©)
47 Cho a,b,c>0:a+b+c=1.TimGTLN, GTNN cia: P=Va?+a+14+ Vb? +b4+14¢ Ve +c+1 HD Tìm GTNN: Áp dụng BĐT Mincopxki ta có : 2 2 2 P6 sen sp (set (at) 1$] 2 [orrsesd) + (28) Tìm GTLN :
Bổ đề: CM bất đẳng thức: A1+a+a? +A1+b+b2 <1+1+(a+b)+(a+b}
Bình phương 2 vế ta có: 2J(1+a+a?)(1+b+bẺ) <ab+xJ1+a+b+(a+bŸ ©2j1+a+b+(a+b} +(1-a—b)>0
48 ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Hải Dương năm 2008) Cho a,b,c>0:a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a’ b? c? 3 + 3 + 3 a+2b` bt+r2c c+2a HD: AM-GM ngược dấu HD : thức : P= 2 3 3
Tacé: — s=a— 2ab sa— 2ab =a— “ba? >a—“b(a+a+1)=a—^b— “ab
a+2b a+2b 33/ab° 3 9 9 9
Trang 14
14 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59, 60 61 62 63 64 65 66 67 2 a+b+c Do đó : P> (5+ b+e)—~2(A+ b+e)~2 (äb+be+ ca)> 5= T9 TS 3 yy 1 ( Dé chon DT truwong chuyén Bén Tre) Cho x,y,z>0 TimGTLN cta: M= 3 Giải: Đặt x+y+z=t>0, ta có: Am 3 Lúc đó: M>_——— “— t+1 (t+3) Xét hàm số : f(ty- 1 - 27 t+1 (t+3)” 4 4 4 2 2 2 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng : 3a +1 | 3b +t 3c 1a thức b+c cta a+b 2 HD: Ta có : Sar steal ta 1A 134 a'2 =4a” = =D ee
Cho a,b,c>0 Chứng minh ring: 142414 M > : + : + :
a b c arb+c a+b a+c brc HD:
s bực cVa axb 343
Cho a,b,c>0:a+b+c=1 Chứng minh rằng : + + >
a(V3c + Jab) bị 3a + bc] c(/3b + Vac)
Cho a,b,c>0.CMR: ——@_, _P g 3a°+2b°+c° 3b°+2c°+a° 3c°+2a°+b° C psi(2+242] 6la b c
Cho a,b,c>0:ab+bc+ca=3 CMR: a + b + > abc
2a°+be 2b’+ca 2c’ +ab 3 Cho a,b,c>0 CMR: edsreaetea co tac me | agi S5 n* student: A1l+a '—= “Mạc 1 1 1 27 + + > b(a+b) c(c+b) a(a+c) (a+b+cỶ brc c+a ,atb, Cho a,b,c>0.CMR: >Ja+vb+Jc4+3 xã vb về
bva avc evb >1
4b\c— cla dab — be 4cxla — avb 7 3 > 6 a+b+c ab+bc+ca 2 2 2 Cho x,y,z>0.CMR: Rey X,Y 24{2+452] Xx Cho a,b,c>0:abc=27 CMR: Cho a,b,c>0.CMR: Cho a,b,ce(1;2) CMR: Cho a,b,c>0:abc=1.CMR: 1+ xyz+yÌ xyz+ 2Ì xyzt+x® 2 y z 2 2 2
Cho a,b,c>0:t+ + =1 CMR: A_ b 6 „a+b+c a bec a+bc b+ac c+ba 4
Trang 1515 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 68 69 70 71 72 73 ( Đề thi HSG Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x’ +y? +z? =3 Tim gia tri lớn nhất của biểu thức: F= 43x” + 7y + By +5z + V7z+3x” (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006) Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa: a+b+c= 3 Chứng minh: 2 2 2 a b „_£ +3 b’ 1 c’+1 a’+1 2 Cho a,b,c > 0 Chứng mi nh rằng: | +f + {2 a+b Vb+c Veta a c F nan 1 1 2
HD: Dat x=,/—;y= be —=>xyz=1.Apdung Bo dé: + < xy <1
Vb” Íc” Va ý poses 1+x’ 1+y’ Tay ) Chứng minh các Bất đẳng thức :
a) log,,,a° +log,,, b’ +log,,,,c’ >3 (a,b,c> 2)
b) 2 log,¢ | log.a | log,
Trang 1616 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ
PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
x, =1
Chứng minh dãy số có giới han và tính giới han đó
x„„ =7—log; (x? +11) 5 yee OBO _ 1 Cho day sé: HD: Xét hàm số: f(x)=7-— log,(x” + 11),x (0;5), ta có : f'(x)=——* _ <0, vx e (055) (x“ +11)In3 Do đó: 0<f(5)<f(x)<f(0)<5.Mà x, =f(x,), do đó bằng quy nạp ta CM được rằng : 0<x, <5,Vn x # ' —2 Lại xét hàm số : g(x)=7 —log,(x” + 11)—x, xe(0;5) Ta có : g'(x)= — 1<0,Vxe(0;5) (x* +11)In3
Suy ra phương tình f(x)=x có nghiệm duy nhất x= 4
Theo định lý Lagrage 3c c(x,;4) sao cho : |f(x,)— f(4) (x, 54) | |“ 4 <4 -4
n-1
2c 1
(Vì |f'(c) ) Do đó : |x La ïI x; —4|—>0
Feel (c ah ite nd “Tima A X111n3 x.-4
2 Cho phươngtình: x”"“ =x+1 với nnguyên dương Chứng minh phương trình đã cho có duy nhất một nghi ệm es zs Aa 7 aA z ` ` thực với mỗi n nguyên dương cho trước Gọi nghiém do la x, Tim limx, x>1 Giải : Từ phương trình: x?”” =x+1«<>x(x”"—1)=1—x(x” ~)>0=axx~1)>02| 0 x< Đặt f(x)=x” -x-1
+) Nếu x<0: Hàmy= f (x) liên tục trên R và f(0)= -1; lim f(x)=—œ, suy ra phương trình không có
nghiệm trên khoảng (0;—œ)
+) Nếu x >1rttsfc—fn aml —E=rr= lim f(x)= +00 , suy ra phương trình
có nghiệm x -e(1;+œ):duy nhất Xét hiệu :
Fiat (%,)—f,(X,) = (x2? —x, =1)— (xen xi =1)=x"(x, -1)>0,Vx, >1 > £,.,(x,)> 6.)
Hay: f._.(x,)>f,(x,)=0=f.,, (x ) >, >X,,,: (Do ham f(x) tang)
Vậy dãy {x,} là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn Giả sử : limx, =a(a > 1) n+1 Ta sẽ chứng mỉnh a=1 Thật vậy, giả sử a> 1 u,=1 3 (Dé thi HSG Tinh Quảng Bình nam 2010 ) Cho day sé {u,}: u Đặt: S =-L+ 2+, Una = n 2010 U; U; Una Tim : limS, Lời giải : 2 — — Ta có : Us —Uu, — u, Us u, — u, — tu u, — u, => k -2010| 1 Jo 2010 uy 2010 u, Uy, 2010.u, Us u, kel Từ hệ thức (*) cho k= 1,2 ,n ta có : 5 = zoro( 1-4] n+1 uF 10 >u, = Day {un} tang
Laico: u,,, =u, + n
Trang 1818 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ +) X, -3 +)Với n>3tacó: [x,+2x,+ +(n-1)x,, |+nx, =n(n’ -1)x, + nx, =n’x, [x, + 2x, + +(n-2)x,, ]+(n-1)x,_, =(n-1)[(n-1)* -1]x,, +(n-1)x,, =(n-1)x,,, Từ đó suy ra: n'y, «nx, +(a—tPx,, 22 = O29 -(? y(2 }® X n—n n n+1 n1 Từ (*) cho n= 3,4 ta có : x„_ X, X.; x; |(n-1Ÿ(n-2Y (2Ÿ|[ n n-13] 12) _— 4 X Xai XS; Xc n J\n-1) \3J |[n+l n 4| n{n+l) * (nt) 4(n+1}Í _ n(n+1)_ Do đó: limU, =lim x, >0 9 ( Đề thi HSG Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010) Cho dãy {x,}: —X „(X2 +3) n>” Chứng minh dãy có giới hạn và X —— 1 tìm giới hạn đó Lời giải:
Bằng quy nạp ta chứng minh được x, >0,Vn>0
+) TH1:Nếu x„ =1, quy nạp ta được x_ =1,Vn >0 Hiển nhiên limx, =1 +) TH1:Nếu x, >1, x(x’ +3) xˆ'(x- 1ƒ xo + (3x? +1}ˆ Xéthàm số: f(x)= trên khoảng (1;+œ) ta có : f'(x)= (3x? +1) >0,Vx e(1;+œ) > f{x) >f(1)= 1 Do đó : x, =f(x, ) > 1, quy nạp ta có : x >1,Vn
one MORSE eT, 0 age corm) un VỚI X >1
18k địa t xi 4 3x erfche r = tudents
Từ đó ta có : x, >x, > >x, >x,.„ >1 Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn
a(a’ +3) 1 “> a=
Lại cO: x, <x, &
Trang 1919 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ 12 13 14 15 16 17 18 19 20 =1 1 ( Dé thi chon DT HSG QG KonTum nam 2010 ) Cho dãy số thực {a, } xác định như sau : â =a.+- (n>1} a n Chứng minh rằng: lim An =42 n+ Vn Xx 3+——— 2 -1 Tim lim x, X—+00 x
( Dé thi HSG Tinh Hải Dương năm 2006) Cho dãy số thực x, =2006;x n+1 =
( Đề thi HSG Tỉnh Phi Tho nam 2008 ) Cho day sé {x_} théa man: X, =1 n 1 .Dat y, =>) — Tìm limy, Xa = JX (X, +1)(x, +2)(x, +3)+1 ,vn >0 =1 X; +2 2 1 1 1 HD: x_ n+1 =./x(x +1)(x +2)(x +3 +1 =,/(x? +3x +1) =x?+3x +1> A4 al n JC n 1 n ) ( n n ) n n x, +2 = x, +1 — xX t1 Sau đó chứng minh dãy tăng và không bi chặn trên =a>l Cho dãy (x,): m8 Tim: lim | 1 4—2_4,,,4—* "* (2010x,, =x, +2009x_, nol xX -1 x,-1 X„ —Í x? + 2009x 2010 2010’ HD: Xét hàm số: f(x)= x>1 Ta có :f(x) >0, Vx>1 > f(x)> f(1) =1 Bang quy nap ching minh 2 được rằng: x, >1,Vn Xéthiệu: x_,—x =_— t— — _ x, (, 1) " mt “22010 2010 2010 Gia sw Slimx, =a(a >1)=2010a =a? +2009a > a =0;a = 1 ( Không thỏa mãn ) Vậy limx, =+œ >0,x, >1>x,,, >x n Lại có : 2010x,., =x? +2009x, > 2010(x,, -x,)=x,(x, -1)>—2 = 2010-12 — = 2010] LÔ |
FTI\CCIE eye Coker Plan - xX, 1 x71
mathematics 4 ¥eabhers n’ student x2 x23 x23
( Bài tương tự ) Cho dãy số: (x,): x24 Tim giéi han lim) —+_—®—+ +—
Xo = 24 +x,neN * XX; Xo
( Dé thi HSG Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) Đặt f(n)=(n” +n+ 1} +1 với n là số nguyên dương Xét dãy số
(x, ):x, = 1)4(3)445)-1U6n - 1) Tính giới hạn của dãy số: u_ =n”.x f(2).f(4).f(6) f(2n) " " f(k-1)_(k-1°+1 HD: Chúý: fŒ)_ (K+1Ƒ#+1 a, =2008 Cho dãy số (a, ) xác định bởi : 4œ ; Tinh lim n’a, >a, =n’a,,n>1 n+ i=1 n n n-1
Trang 2020 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ Xx”+4x+x 2x+4 1 Xéthàm số: f(x)=————————, tacó : f'{x)=————+~>0,Vx>0 4Nx? +4x Lại có : x, =f(x,)>0,(do x, >0) bằng quy nạp ta chứng minh được x, >0,Vn VXn-1 + 4x, TX Vit + 4x, Xn 4X, =—————a—X 4, = 2 ' 2 x2, +4x,, +X,4 Suy raday {x,} tangva x, >0,Vn Gia sir t6n tai gidi han htruhan a=limx, (a>0).Suyra: Va’ +4at
a= SOR aaa" +4a >a=0 (Vô lý)
Vậy dãy {x, } tăng và không H chặn trên nên: limx =+œ n+ Xéthiệu: x —x_ 1 >0,(do x, >0,Vn) Lại có : 2 AlX?j,+4x +X x (x —x 1 1 1 Xụ = = = = = (2x, 7X4 Ỷ =X + 4x, => x, (x, —X,4) =X 4 => af > vd — v2 = — ~ a 2 XX, XX, &, X,, X, , “1 1 1 1 1 1 1+x 1 Do đó : y,=3 == “=|†| —-—— |†~+ —— |= =-——= lim y, =6 i=l X, Xị Xị X, Xi Xụ Xi Xu n+ X, =2009 21 Xét dãy số thực (x,),neN xác định bởi : Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn x, =4/6x,_, —6sin(x, ,), Vn21 và tìm giới hạn đó 3 HD: Sử dụng bất đẳng thức : X~”— <sinx <x, Vx>0 ~1_ 6-C9%)_ _0 vx»g x>0 Tacó : f'(x E—F¬ Vv Ex — 6ST ] Do đó : f(x)>0,Vx>0::Mà x¿=f(x;) >0(do-x,:30) = x) =f(x.:/)>0,Vn ee Lia > 6x, , —X) ; —6sin[x Xét hiệu : xX, —X L1 =3 6x4 —6sin(x,_, ) —Xi4 = n-1 = n-1 ( " <0 Ä[6x„, -6sin(x,,) ƒ —x„ ¡Ä6x, ¡ —6sin(x, ;) + X? „ 3 (Sử dụng Bất đẳng thức : x _ sinx> 6x—xỶ —-6sinx < 0,Vx >0} Xét hàm số: f(x)= W6x—6sinx ỨT1CC]
Do đó dãy {x,} giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử : limx, =a(a>0), ta có pt:
a =ÄŸ'6a—6sina ©a” =6a—6sina Xét hàm số : g{(t)=t” +6sint—6t , ta có :
ø'{t)= 3t +6cost—6, g"{(t)= 6t—6sint> 0,Vt >0 —>g'{t)> g(0)= 0— g(t)>g(0)=0 Do đó pt có nghiệm duy nhất a=0 x 22 Cho day (xn) duoc x4c dinh béi: x1 =5; Xnv1= x2 -2 Vn=1,2, Tim lim—*— N40 XK XyenX = 43 x 1 ` Tìm lim — _ 2 nom X
Xia = VOX, +11x, +3; n>1,neN n
Trang 2121 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ
24 Cho dãy số (u, ) xác định bởi công thức u, = 2008 u,„= u: -4013u, +20077; n>1,neN a) Chứng minh: u, > n+ 2007; Vn>1,neN b) Dãy số (xn) được xác định như sau: 1 1 = + + +————— " u -2006 u-2006 u„ - 2006 Tìm limx, ? ;n>1,neN U, =1 25 ( Đề thi HSG Tỉnh Trà Vinh-2009)Cho dãy số ( U, ) xác định bởi: Tìm limU, U,.„ =log; Uj +1+—,Vn>1 n-+0 xX, =1 26 Cho dãy số (x,): 2 (x,In2-1)+ 1 Chứng minh dãy (xa) có giới han và tìm giới hạn đó X =———— " 2” In2—1
HD: Chứng minh dãy gi ảm và bị chặn dưới
27 Cho phươngtình: x"+x"” + +x—1=0 Chứng tổ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy nhất dương x và tìm limx, x->+œ u, =1 qi Tim limu u, =C? ⁄n.4" " 29 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho phươ ng tình:
28 Cho dãy số {u, } xác định bởi |
-x+n=0 (1) Chứng minh rằng: với mỗi n 2008”
e N” phương tình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là x n Xét dãy (xn), tìm lim (xn+1 - Xn)
Đáp án : say le : cae Or ae nn.ăĂ
I[I ICB_IC—C.Fr TY Y Ị Coord Cc
Voi n € N*, xét f (x) = ———-xin; xeR MHiEEChincser 20 8 rN eens f/(x) = - In2008 1<0 VxeR 2008” => f(x) nghịch biến trên R (1) f(n)= 1 —>0 Ta có: ¿008 1 f(n+1)= ——-1<0 2008"" => f(x) =0 cd nghiém xn e(n;n+1) (2) Tir (1) va(2) => dpcm Ta CÓ: Xn-n = 1 >0 => x"n>n, 2008" =>0<x"-n< : 2008” Mặt khác: lim — =0 => lim(x; -n) =0 n
Khi đó lim (Xn-1 - Xn) =lim{[Xn+1- (n+ 1)] - (kn-n) + 1}=1
Trang 2424 Phần V: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
= Cho hình chóp tam giácđều có thể tích là 1 Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chó p
2 Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc gữa AB và CD bằng œ Khoảng cách giữa AB và CD bằng d Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a,b,d và œ
3 Trong các tí diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuô ng góc với nhau và thể tích bằng 36 Hãy xác định tứ diện sao
cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất
4 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M, N di động trên các cạnh AD và BB1 sao cho Mô = = Gọi I, J lần
1
lượt là trung điểm các cạnh AB, C1D¡ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng JJ
5 Gọi O là tâm của một hình tứ diện đều Từ một điểm M bất kì trên một mặt của tứ diện, ta hạ các đường vuông góc
tới ba mặt còn lại Giả sử K, L và N là chân các đường vuông góc nói trên Chứng minh rằng đườ ng thẳng OM đi qua trọ ng tâm tam giác KLN
6 Cho hình chóp S.ABC Từ điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ các đường thẳng lần lượ t song song với các cạnh SA, SB, SC tươngứng cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) tại các điểm D,E,F
a) Chứng minhrằng: OD DE DF -
SA SB SC
b) Tìm vị trí của điểm O trong tam giác ABC để thể tích của hinh chép ODEF dat gia tri lon nhat
7 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D: Hãy xác định M thuộc đường chéo AC1 và điểm N thuộc đường chéo B1D: của mặt phẳng A1B1C1D1 sao cho MN song song với A1D
8 Cac điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, SB của tứ diện đều S.ABC Trên các AS và CN ta chọn các
điểm P, Q sao cho PQ // BM Tính độ dài PQ biết rằng cạnh của tứ diện bằng 1
9 Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu ÔDC=90° thì các mặt phang (OBD) va (OAD)
vuông góc với nhau
10 Trong hình chóp tam giácđều S.ABC (đỉnh S) độ dài các cạnh đáy bằng 6 Độ dài đường cao SH = 415 Qua B vẽ mặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng này cắt SH tại O Các điểm P, Q tương ứng thuộc các cạnh AS va BC sao
cho PQ tiếp xúc với mặt £aủ tằn-o bằn-kiifrBẩhg SẲ, Hay tính-đếdài}É đhầt của đo ạn PQ
11 Cho hình lập phương ABCD ‘AiBiC1D1 cảnh bằng a Duong thing (d) dic qua D 1 và tâm O của mat phang BCC1B1 Doan thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng (d) ; M thuộc mặt phẳng (BCC1B1) ; N thuộc mat day (ABCD)
Tính giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN
12 Cho tứ diện ABPM thoả mãn các điều kiện: AM L BP; MAB= ABP =90°; 2AM.BP = AB? Ching minh ring mat
cầu đường kính AB tiếp xúc với PM
13 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010) Cho điểm O cố định và một số thực a không đổi Một hình chóp
S.ABC thay đổi thỏa mãn: OA =OB=0OC =a;SA LOA;SB.L OB;SC LOC ; ASB=90°: BSC =60°:CSA =120° Chứng minh rằng : a AABC vuông b Khoảng cách SO không thay đổi Giải : a) Đặt :SO = x
Ta có : Các tam giác OAS, OBS, OCS vuông nên : SA=SB=SC=Ajx” -a”
Do dé: AB’ =SA’ +SB’ =2(x’ —a’) ; AC’ =SA’ +SC’ —2SASC.cos120° =3(x’ —a’) ;
BC’ =SB’ +SC’ —2SB.SC.cos60° =(x’ —a’) = AC’ = AB’ +BC’ hay tam giác ABC vuông gì B b) Goi M là trung điểm AC, do các tam gi ác SAC, OAC là các tam gidc can nén :
R SM 1 AC
= AC 1 (SOM)=> AC LOS OM 1 AC
Tương tự, gọi NÑ là trung điểm AB, ta CM được: AB L SO
suy ra: SO L(ABC)
Do đó mọi điểm nằm trên đường thẳng SO đều
c cách đều A, B, C Suy ra SO đi qua tâm đường
tron ngoai tiép M của tam giác ABC
Trong cac tam giac vu6ng ABC va SBO tacé B
oO
Trang 2525 Phần V: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1 1 1 BM AB? BC thức : => 1 1 1 + BM’ OB’ BS 1L 1_ 1 "~ ` - —¬ 2 => AB? BC? OB? BS? 2(x’-a*) x’-a’® a’ x’-a
14 ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010) Cho hình chó p S.ABCD cóđáy ABCD là hì nh chữ nhat, AB =a;
BC =a2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=b Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BMN)
b) Goi (P) 14 mat phang di qua B, M va cat mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM
Tinh theo a, b khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) s Lời giải : A ® Đặt AS=š;AB=ÿ;AD=Z—>ÿ =ÿ2=53=0;|#|=b;|ÿ|=a;|Z|=av2 1_ Ta có: AC=AD+ AB=ÿ+Z và BN=AN- AB==Z Z-ÿ _ 2 Do đó : ACBN=2z' —y =x2) -a? =0—>AC.LBN Lại do : MÑ= 5Ä =MN LAC Hay: AC L(BMN)= AC LBM @_ Giả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyến (d) 1 BM Ma do (d) va AC đồng phẳng =—>(d)/ /(AC) Gọi O=(AC)¬(BD) Trong mặt phẳn g (SDB) : 5 H—_ ^V Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cat SA, SC ân lượt tại H, K Mặt phẳng (MHBK} là mặt phẳng (P) cần dựng Lại vì : I là ng tâm tam giác SDC và HK//AC nên : SH S5K_ 5l _ 24) SC SA ~ $0 3 Theo công thức tính tỷ số thể tích ta có : Vewsx _SM SB SK _1 Wạu„ _ SM SH SB _1 V na SD "SB SA 3” Vncp SD SC SB 3 2 V, abV2
= Vocus = Ÿ: vn + Von = 3 SBA = “3 =——— (2)
Talaic6: Sms = Samay + Sar ~ MIHK + BIHK = 2BMIIK (3)
Mà: HK=2Ac~ Jat (anlay - 2434 ; BMi~ AM - AB =2 (ÄŠ+ AD)~ AB= 2+ Z)—ÿ YXb +6a” BMY =l 1; 3 = (BM) =—(x’ +z?)+y’ =—b’ +—a* > BM = ——_—_ (4 (BM)' = 7 (x! +2')+y? <b! + 6a" (4 2 2 Từ (3), (4) suy ra: Sonn = ¬ Đón S- a — (5)
Từ (2), (5) suy ra: d(S,(P))=Š = 18a'bj2 _ 242ab
i Ga./3(b? +6a”) /3(b” + 6a”)
15 ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Phước năm 2010 ) Cho hinh lap phyong ABCD.A’B’C’D’ cé canh bang a Trên AB lấy điểm M, trên CC lấy điểm N, trên DˆA' lấy điểm P sao cho: AM=CN =D'P=x(0<x<a)
Trang 2626 Phần V: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
16 ( Đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2008 ) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB=BC=CD=D A=a,
AC =x; BD = y Giả sử a không đổi, xác định tứ diện có thế tích lớn nhất
17 ( Đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2009 ) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC Các đường thẳng qua M son g song với DA, DB, DC theo thứ tự cắt các mặt phẳng (DBC), (DCA),
(DAB) trơngứng tại A1 ; B1 ; C1
MÃ, „_ MB, _MC, DA DB DC
b) Tinh gia tri lớn nhất của khối tứ diện MA,B,C, khi M thay đối
18 ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Cho tứ điện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi œ;B;y lần
lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng OBC, OAC, OAB với mặt phẳng (ABC)
a) Chứng minh rằng: tan” œ + tan” B + tan” y+ 2 = tan” œ.tan” B.tan” y
b) Giả sử OC=OA+OB Chứng minh rằng: OCA+OCB+ ACB=90°
19 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008) Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và mặt phẳng (CAB)
=1
vuông góc với mặt phẳng (D AB) Chứng minh rằng: CotBCD.CotBDC = — A
Lời giải: Đặt: BGD=o; BDC=B Ta có : BAC =BDC =B AABC = ADCB > ABC = BCD = œ uf BAD = BCD = a ACBD = AADB=> B ABD = CDB =f b Gọi H là hình chiếu của Clén AB Dat HC=x 5 ACBA =ADAB (CBA).L (BDA) => CH 1 DH [Tle aS, Trong tam giac vuéng BHC: sing pee BC= sina “sina” Cc tang =H -* 5 BH= x BH BH tana Trong tam giac vuéng AHC: sinB=+<=Ac=-f€ ~_*_ ~pp A sinB sinB AH AH tanB x’ x? X
Trong tam giác BCD : CD” =BC” + BD” — 2BC.BD.cos(x —Œ -B) = +2 + 2 + xa cos(œ +B) (1)
sin‘a sin§ sinơœ sinB Lại có : HD” = AH” + AD” -2AH.AD.cosœ x? x? x xX = HD? = 2 + sua 2 —2 : cosoœ (2) tanB sinœ tanB sinơœ Mà tam giác CHD vuông nên : CH2) x/ x? x x x? xỉ x x CD’ =CH’ +HD* => + +2 cos(œ+B)=x”+———+————-2———.——c0sq tanỀ sinœ tanB sinœ
sinœ sin?B sinơ sinB
Trang 2727 Phần V: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Đặt AD= BC =a,AC = BD=b,AB =CD =c,BẠC = A,ABC =B,ACB =C
Ta có AABC nhọn và AABC = ADCB = ACDA = ABAD
Suy ra BCD = ABC = B;ABD = BDC =CAB= A,(1)
Ha CM 1 AB, vi (CAB) 1 (DAB) nén CM (DAB) =>CM | MD=>CM’ +DM’ =CD’,(2)
áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta được MD” =BM? +BD” —2BM.BD.cosMBD,(3)
Từ (1), (2), (3) ta được CM” +BMỸ + BD’ —2BM.BD.cos A =CD’
BC’ + BD’ — 2BM.BD.cos A =CD’ © a’ + b’ —2abcos A.cosB = c’
© cosC=cosA.cosB © sinA.sinB = 2cosA.cosB © cot A.cot B = ¬
20 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hì nh bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC Chirng minh rang mat phang (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau “ˆ M là một điểm trong tam giác ABC Các đường J B
21 ( Đề thi HSG Tinh Nghé An nam 2009) Cho tam gidc ABC,
thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) lần lượt tại A’, B’, C’
Tìm M sao cho MA'.MB'.MC' đạt giá trị lớn nhất Lời giải 1: Đặt V uc = V; Vvupp = Vụ; Vưapc = Vr;Vụnc = Vụ => Va + V3 + Vo =V và: Ạ DA =a; BD=b; DC =c; MA'=x;MB'=y;MC'=z Line V, ' / \ a Ta c6: “= A(C,(ADB)) _MC =” ; tương tự : Y _ x Va _¥ => XV 2% =1 / 3 Vẻ d(M,(ADB)) CD c V a V b a bc \ NÓ , ` “Sy „ âm ` Ấp dụng bất đẳng thức AM-GM : 1=Ã*+ + “>3;|Š'“ — xyz< abe Dấu “=” xảy ra ' L \ \ s 4 EB vả nh CN Te a c abc 27 wae % N ` xê Se Xx y Zz 1 \ ele ` 6, ee SS Thee o-=-=-=—- AN “HIỆP wi oe g xà ! , kề E2 Sc a c a b Cc 3
NỈ s—e-stil \- i ome oa a gga Do đó : MA'.MB'.MC' đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là trọ ng
` \ ' TC ` đề Tâm tam giác ABC a
% Vị
+
B
Lời giải 2: Dat: DA=a;BD=b; DC=c; MA'=x;MB'=y;MC'=z
Taco: AM=^© 1 BA~*DA ; BM= EM BB-Ÿ PB ;
DA a DB b
DAP ÁN SO’ GD&DT:
Trang 2828 Phần V: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trong mặt phẳng (ABC) : AMnBC={A1); BMn AC ={B1}, CMn AB={C1} Trong (DAA1): Kẻ đường thẳng quaM song song với AD cắt DA+ tại A' Xét tam giác DAA1 có MA' //AD nên —— MA’ _ MA, _ Sawa D —AA, SAanc ' MB, 5S ' MC, S Tương tự ta có MP BL _ Pamac MC _ 1 _ “AMAB DB BB, SAAnc DC CC, SAAsc MA' MB MC Suy ra DA + DB + DC =1 (doSy5 +Swac + Sma =Sazc ) MA' MB' MC' MA' MB' MC' Ta có ——+——+—>3:|————.—— DA DB DC DA DB DC
Suy ra MA’.MB’.MC’ s = DA.DB.DC (không đổi)
Vậy giá trị lớn nhất MA'.MB”.MC là = DA.DB.DC, đạt được khi MA' MB' MC' 1_ MA, MB, MC, 1 => DA DB DC 3 AA, BB, CC Hay M la trong tam tam giac ABC 3 1
22 (Tap chi THTT : T10/278 ; T10/288 ) Cho tứ diện S.ABC với SA=a; SB =b ; SC=c Một mặt phẳng (œ) thay đổi
đi qua trọng tâm của tứ diện cắt các cạnh SA, SB, SC tại các điểm SA, SB, SC tại các điểm D, E, F tương ứng a) Tim TC HEEECHSVPT-bcascerT) n'*1s đ@ n b) Với đk: SẺ BE c= = 1, 'ầm giá trị lớn nhất của : SDSE SESF “SpsD
Loi gidi: Dat: SD=x;SE=y;SF=z
G là trọng tâm tứ diện nên : SG = +(5A+5B+5C) == — _1 4 sD 4 4| “SD 4| x ` san 4.BồC NI ra nó Do D,E,F, G đông phẳng nên: —+—+—=4 Từ đó ta có : xX y 7 2 (ave vee eS d)a(2e2e 8) =165—+5+5>——° _ (1) xX yy Zz X y Z x y Zz a+b+c _a +b+c 4a 2 2 2 Dấu bằng xẩy ra & ya thee Ab a’ +b’ +c" Z = Ac
23 (Dé thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009) Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM Tính độ dài
PQ và thể tích khối AMNP Lời giải :
l3 cac TA gAể can ga ẤP
Giasw: AB=x;AC=y;AD=zZ và: ap 7 mAQ= n.AC +(1- n)AD , == 22 ae l
Trang 2929 Phần V: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN AC=y;AM =—(&+2);AP =m3;AQ=nAN +(1-n)eAD=2.9 +(1—n)z A Suy ra: CM = AM - AC =—(-29 +2) PQ=AQ—AP =—mk +79 +(1—n)Z k —m = — 2 — _— 2 = Do CM // PQnén: PQ=kCM>< —=-k =k=- 1-n=Ê 2 — 1 —, 1 2 1 V3 Vay: PQ=—(2¥ -xX-Z) >|PQ/’=—(2¥ —x-Z) ==> PQ=— ay! PQ= (29 -X—-Z) >| PQP'= 5 (29 Z) =F > PQ=— ĐÁP ÁN ŒÚA SỞ GD&ĐT : Trong mặt phẳng (ACM) kẻ NI // CM (I e AM) Trong mặt phẳng (BCD) kẻ BK // CM (K e CD) Trong (ABD) DI cắt AB tại P
Trong (AKD) DN cắt AK tại Q
PQ là giao tuyến của (DNI]) và (ABK),
do NI // CM, BK // CM nén PQ // CM J E
oe °
mo TT -
1T TỊ” =T
Ma Chemla lcs &§ Leatners nm osCUGEI :
Gọi E là trung điểm PB, ME là đường trung bình tam giác BPD nên ME // PD hay ME// PI
Mặt khác từ cách dựng ta có I là trung điểm AM nên P là trung điểm AE Vay AP = PE= EB AP 1 SUY ra ——=_— AB 3 MC là đường trung bình tam giác DBK nên BK = 2CM = 43 Suy ra PQ_AP_1 =PQ = BK AB 3 Vine _ AM AN AP _ Vimce AM AC AB Vamos == Vascp (Do M 1a trung diém BD) * tn 2 ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 nên V Ancp = a (dvtt) 1 v2 "Am 2 Suy ra VAMcbB = 1 V2 _ Na Vay Vamnp = i V acs = v2 (đvtt) 212 24 6 144
24 ( Đề dự bị khối D - 2008) Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho
BC = 4BM; AC = 3AP; BD =2BN Mat phang (MNP) cat AD tai Q Tinh ty sé = và tỷ số thể tích hai phần của khối
Trang 3030 Phần V: HÌNH HỌC BC 25 26 27 28 29 30 = = (ACA) = 4(1—A8) = B= “b+ 2é (1) —— AN =2(B+4) (2) AC =3AP > AP =i (3) Do Œ,D,I và M, N, I thẳng hàng nên : t mAC +(1—m)AD _.=mc+(1-m)d= n| 6+ 2z |+—n)| 25+ 2a Al=nAM +(1-n)AN 4 4 2 2 n m=— _ mm _ 4 n=-2 | 2Al=3AD-AC ID_1 1-n 7 — 2DI=CD IC 3 =>, 1-m= > 1 => ;Al= ~2AM +3AN => _.> 2 m=—-— 2 — 1- 35 NI=2MN — == |IN 2 3n 1-n Al=-—c+—d IM 3 —-+—— =0 4 2 2° 2 Giả sử: AQ=kAD Do P, Q, I thẳng hàng nên : p_1-p 3 ¬ -1,,33),) 3° 2 3)” 3 5055 sab oN 280-201 AQ =pAP+(1—p)AI— kd =+(1—p)| —+>=d 3 2 2 3(1—p) => 3 => 5AQ =3AP + 2Al > 3PQ = 2Q1 k 2 k== 5 Ql 3 Suy ra: ~=— ee OL 5 V V, Ta lại có: —9Ð „19 IN ID _3 2 1_ 2 _, Nemcon _ 13 (4) IPIMIC 533 15 V 15 IPMC IPMC
ma: Waso _ A a Ha NA &-SM)
mx d(P,(MIC)) Sang PG: MGCLsinC; 2:3)3:°3 on" student: 133 13_ —> V, PQDNMC _ +3 13 V, Tw (4) va (5) suyra; —2OMMC _„ =
(4) (5) suy V ABCD 154 20 V ABMPQN 7
( Đề thi HSG Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa mặt bên và đáy là œ Vẽ
đường cao SH của hình chóp, gọi E là điểm thuộc SH và có khoảng cách tới hai mặt phẳng (ABCD) và (SCD) bằng
nhau Mặt phẳng (P) đi qua E, €, D cắt SA, SB tại M,N a) Thiết diện là hình gì ?
b) Gọi thể tích các khối tứ diện S.NMCD và ABCDNM lần lượt là V1, V¿ Tìm œ để 3V; =5V1
( Đề thi chon DT HSG QG tỉnh Quảng Bình năm 2010) Cho tứ diện ABCD Gọi trung điểm của AB, CD lần lượt là K, L Chứng minh rằng bất kỳ mặt phẳng nào đi qua KL đều chia khối tứ diện này thành 2 phần có thể tích bằng
nhau
( Đề thi HSG Thành Phố Cần Thơ năm 2008 ) Trong khô ng gian cho hình chóp S.ABC, trọng tâm ABC là G
Trung điểm của SG là I Mặt phẳng (œ) đi quaI cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P ( Không trùng với S) Xác
định vị trí của mặt phẳng (œ) để thế tích khối chóp S.PMN là nhỏ nhất
( Đề thi HSG Tỉnh Hải Dương năm 2008 ) Cho hình lập phương ABCD.A,B,C,D, cạnh bằng 1 Lấy các điểm M,
N,P,Q,R,S lần lượt thuộc các cạnh AD, AB, BB1, B1C1, C1D1, DD1 Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường gấp khúc khép kín MNPQRSM
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi G làtrọng tâm của tam giác SAC M là một
điểm thay đổi trong miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên của hì nh chó p S.ABCD tại điểm N MG MG NG NG NG MG a) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho Q đạt giá trị nhỏ nhất b) Tìm giá trị lớn nhất của Q
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC Lấy điểm S không thuộc (P) Nối SA, SB, SC I là một điểm bất kỳ trong
Trang 3131 Phần V: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
31 ( Đề thi HSG Tỉnh Đồng Tháp năm 2009 ).Cho hình chóp S ABCD cđáy ABCD là ửa lục giác đều nội tiếp
đường tròn đường kính AD = 2a SA vuông góc với mp' ( ABCD ) và SA =a x6
a) Tính khoảng cách từ A vaB dén mp’ (SCD )
b) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp'( œ ) song song với mp'( SAD) và cách
av3 1
32 Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, 0C = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Tính diện tích tam giác
ABC theo a, b,c.Gọi œ,B,y là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng ( ABC) Chứng minh rằng: mp'(SAD) một khoảng bằng
sin” œ + sin” B +sin” y= 1
33 Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và nhận AB làm đoạn vuô ng góc chung Các điểm M, N lần lượt chuyển
động trên Ax, By sao cho AM+BN = MN Gọi O là trung điểm AB, H là hình chiếu của O xuống MN a) Chứng minh rằng H nằm trên một đường trò n cố định
35 Khi M khác A, N khác B
36 Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' có các cạnh bằng a Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuôc cạnh D’C’ sao cho AM+D’N=a
a) Chứng minh đường thẳng MN luôn di qua 1 điểm cố định khi M thay đối
b) Tính thể tích của khối chó p B'.A'MCN theo a Xác định vị trí của M để khoảng cách từ B tới (A'MCN) đạt giá trị lớn nhất Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a
37 Cho hình tứ diện OABC
a) Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình tứ diện OABC vàx_ ¡; x¿; xa; x4; lần lượt là khoảng cách
từ M đến bốn mặt (ABC), (OBC), (OAC) và (OAB) Gọi h1; ha; ha; h¿ lần lượt là chiều cao của các hình chóp tam giác
O.ABCG; A.OBC; B.OAC và C.OAB
Ae 522 + là một hằng số Chứng minh tổng
1 2 h, 4
b) Các tỉa OA, OB, OC đôi một hợp với nhau m M ột góc 600 OA = a Góc BAC bang 90°
Đặt OB+0C = m (m É0Ïa Vy: hứng hinh Ý 2} Tính'fertcrkhỏl tả dÌện OABC theo m và a
45 Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB,'CDlớn hơn 1 và độ dài các cạnh cònlại nhỏ hơn hoặc bằng 1 Gọi H là
hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD); F, K lần lượt là hì nh chiếu của A, B trên đường thẳng CD
2
a) Chứngminh: AF < \ 1- =
b) Tính độ dài các cạnh của tứ diện ABCD khi tích P = AH.BK.CD đạt giá trị lớn nhất
46 a) Cho hình chóp S.ABC cóđáy AABC vuông tại A, biết AB =a, AC= a3; Đường cao hình chóp là SA = a3 ;Mlà
điểm trên đoạn BC sao cho BM = SBC: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BS
b) Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau Hai điểm C, D thay đổi lần lượt ở trên Ax và By sao cho:
t= = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) chứa CD và song song với AB luôn luôn đi qua một diém cé dinh I trong mặt phẳng (Q ) chứa Ax và (Q) song song By
47 ( Đề thi HSG Tỉnh Trà Vinh năm 2009 ).Cho hình chóp tam giácđều S.ABC có cạnh đáy AB=a, cạnh bên SA=b Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB và SC Một mặt phẳng ( œ ) thay đổi quay xung quanh MN cắt các cạnh SA và BC
theo thứ tự ở P và Q không trùng với S
1) Chứng minh rằng AP_b
BQ a
2) Xác định tỉ số S sao cho diện tích MPNQ nhỏ nhất
48 Cho tứ diện ABCD có bán kính đường tròn ngoại tiếp các mặt đều bằng nhau Chứng minh rằng các cạnh đối diện của tứ diện đều bằng nhau
Trang 3232 Phần V: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
50 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC và chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam
giác BCD Chứng minh rằng : (BC+CD+DB)” < 6(AB + ADỶ + AC?)
51 ( Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2004 ) Cho tứ diện ABCD DA=a, DB=b, DC=c đôi một vuông góc với nhau.Một điểm
M tuỳ ý thuộc khối tứ diện
a) Goi cdc géc tạo bởi tia DM với DA, DB, DClà œ,B.,y CMR: sin?œ+sin”B + sin” y=2
b) Goi S,,S,,5,,S, lần lượtlà diện tích các mặt đối diện với đỉnh A, B, €, D của khối tư diện Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: Q=MA.S, +MBS, +MCS, +MDS,
52 ( Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2005 ) Hình chóp S.ABC có các anh bên đôi một vuông góc và SA =a, SB=b, SC=c Gọi A', B, C là các điểm di độ ng lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC nhưng luôn thỏa mãn SA.SA' =SB.SB'=SC.SC Gọi H là trực tâm của tam giác A'BC và I là giao đi ếm của SH với mặt phẳng (ABC)
a) Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) song song với một mặt phẳng cố định và H thuộc một đường thẳng cố định
b) Tinh IA2+IB2+IC2 theo a, b, c
53 ( Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2006 ).Cho tứ diện déu ABCD cé canh bang 1 Cac dién M, N lần lượt chuy ến động
trên các doan AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với m at phẳng (ABC) Đặt AM=x, AN=y
a) Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một đường phẳng cố định và : x + y = 3xy
b)_ Xác định vị trí của M, N để diện tích toàn phần tứ diện ADMN đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tính các giá trị đó 54 ( Đề thi HSG TP Hà Nội năm 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có SA làđường cao và đáy là hình chữ nhật ABCD,
biết SA = a, AB = b, AD = c
a) Trong mặtphẳng (SBD), vé qua trong tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt cạnh SB tai M và cắt
cạnh SD tại N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp S.ABCD gi K, Xác định vị trí của M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Tính các giá trị đó theo a, b, c b)_ Trong mặt phẳng (ABD), trên tia At là phân giác trong của góc BAD ta chọn một điểm E sao cho góc BED
\J2(P +c’) +⁄2(b+c)
bang 459, Cmr: AE= 5
55 Cho hình chó pp S.ABCD,đáy là hình bình hành tâm O Hai mặt bên SAB và SCD vuông góc tại A và €C cùng hợp với đáy góc œ Biết ABC = o Chiyng minh SBC va SAD cling hop véi day ABCD mét géc B thỏa mãn hệ thức :
cotB =cota.cosg fFTMXK.1Ee=.P¬ VY PT) GC Geel To?
Trang 3333 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
PHẦN VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên ra đề : Phạm Kim Chung
BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 ( Lần thứ 1) Thời gian làm bài : 180 phút 2 1 OO) 2 42x
Câu 1 Giải phương trình : In(x+1)
Câu 2 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2x?=y+ M 2 2y?=x+ X Câu 3 Cho a,b,c>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : _ 4a + b+3c — 8C a+b+2c 2a+b+c a+b+3c
Câu 4 Cho dãy số (x„),neN* , được xác định như sau: x, ~~ va Xa =——*——,vneN*.Đặt
3 7 2(2n+1)x +1
Y, =X, TX, + TX, 1m danh — 4 =r) Cc corm
mathematics 4 teachers n" students
Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có SA là đư ờng cao và đáy là hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, AB =b,
AD = c Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt cạnh SB
tai M va cat canh SD tai N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hình chóp S.ABCD tại K Xác định vị trí
của M trên cạnh SB sao cho thể tích của hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Tính các
giá trị đó theo a, b, c
Câu 6 Cho hình lập phương ABCD.A,B,C,D, có độ dài bằng 1 Lấy điểm EeAA, sao cho AB= Lấy
Trang 3434 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 2(x+1) _ Câu 1 Giải phương trình : In(x+1) x’ +2x (1) Loi gidi: Diéukién: x>-1 Lúc đó : PT <= 2(x+1)In(x+1)=x’ +2x © 2(x4+1)In(x+1)-x’ -2x=0 Xétham s6: f(x)=2(x+1)In(x+1)—x’ —2x,x>-1 Ta có: f'(x)=2In(x+1)-2x ; £"(x)=—“_-2 = — , x+1 x+1 f"(xJ=- = -<0, Vx>~1 Lại có: f"(0)=0,f'"(0)<0 nên hàm số g{(x)=f'(x) đạt cực đại tại x=0 Do dé: f'(x)<f'(0)=0,Vx>-1
Vay ham sé f(x) = 2(x + 1)In(x +1)-x’-2x nghich bién trén khoang (-1; + 00) Nhận thấy x=0 là một nghiệm của
Trang 3535 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất khi và chỉ khi : m” >0 Vậy với mọi
meR hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Câu 3 Cho a,b,c >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức : _ 4a + b+3c 8c a+tb+2c 2a+b+c a+b+3c Lời giải : X=a+b+2c a=y+z-2x Đặt: y=2a+b+c=>4b=5x-y-3z(x,y,z >0) Z=a+b+3c c=Z-xX Lúc đó : 4(y +z—2x — — pa 4 X ),2x-y _ ữ 1-5): (2 +)-172 2/8 +232 y Z x y X 7 -17 =12/2-17 4+3/2, 2 2y =2x ]y „107/2 2z= 2l - 2 c=(V2-1}t Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : tít cR,t> 0) fT1C—E—.F¬TYT| 3 Cory) Câu 4 Cho dãy số (x ,)neN* được xác định như sạu : Th —_ ` ==— ———,VneN* Đặt aie ‘2(2n'+1)x, +1 y, =X, +X, + +x, - Tim limy, n+œ Lời giải : x 1 1 1 vy =<2
TỪ: Xi = TT c1 eet Dt Dat: v, =— tacd: 19
Ont TÔ Xu 5 “a Vi =2(2n+1)+Vv,
Dé dang tìm được công thức tổng quát của dãy : v,_, _ (n+ 1)(2n +3) + we +3)
Do dé: x = — 1.1 Vi entl 2n+3 2n+1 2{n+1)+1 1 SUY ra: 1 1 1 1 1 1 1 Y, =X +X, tu tX, =X, + — + — + +|————- =1+ 2+1 2.2+1 2.2+1 2.3+1 2(n-1)+1 2n+1 2n+1 Do dé: limy, = im{ 1- n->œ© n+ 2n+1 1 =1
Cau 5 Cho hinh chó p S.ABCD có SA làđường cao va day 14 hinh chiy nhat ABCD biét SA = a, AB = b, AD = c
Trong mặt phẳng (SBD) vẽ qua trọng tâm G của tam giác SBD một đường thẳng cắt cạnh SB tại M và cắt cạnh
SD tại N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC của hì nh chóp S.ABCD tại K Xác định vị trí của M trên cạnh SB sao cho
Trang 3636 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN Đặt : 5M = X, SN š<x<b2<y<L) SB sp {|2 '2 V, V, Theo công thức tính tỷ số thể tích ta có : “sac _ 3À SN SK _Y, Xem _ SA SK SM x V, SADC SA SD SC 2 V SACB 1 1 ` „
Vsanc = Vsacp = 5 Vsanc = Gabe Vat Vouk + Vsaxm = Vsanxm + N€n taco :
Vsank + Vai _ 2V saNKM _X1y —>V _ abc(x+y) (*) SANKM Vsanc Vsacn_ Vane 2 12 Ta lại có : sn = N sp = ysp; SM= SB -xSB; 56-250 SD SB 3 Vi O là trung điểm của BD nên : 2S0 =SD+SB—SG =-SN+-SM 3y 3x Mà :M, N, G thẳng hàng nên từ (1) ta cú : ơ + cyô<1 3y 3x 3y-1\2 abe y | b ; ` y— abc VY
Thay vao (*) suy ra: V, = =
Trang 3737 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
Lúc đó : O là trung đểm ACnên O 1,2,1, gÍo;0;^ l;F|-;1;0 ;B,(0;1;1) 222 3) \4 »By Mặt phẳng (O EF) đi qua O và nhận véctơ | 0E,0F | = (3-3-3 làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình : 1( 1) 5 1\ 3(_ 1 a —| x-— |-—| y — |-—| z-— |=0 hay: 8x-5y-9z+3=0 s{ | ay | 1 | “ ¥ i" i F 5-943 1 Vay : a(B,,(OEF)) =o ”1 ; Cy V8'°+5°+9% +170 a F— [| a = ‘ z wD Ee, Pg nt Te: bự i i ” AW „-#~~~==—~“ \ ha he OR he „ sỉ oe \ F D =— Œ Câu 7 Tìm hàm số f:(0;+œ) —> (0;+eo) thoả mãn: xf(xf(y)) =f(f(y)), Vx,y e(0;+œ) Lời giải :
Cho y = 1, suy ra : xf(xf(1))=f(f(1)) Đặt f(1)=a, ta có: xf(ax)= f(a) (1)
Từ (1 cho x=1,suy ra: ÍTJ=G]Ø@zlF 7V FT T\.C-CDYr T1
2 2 nema t -s 4 teachers n’" stude WaGentcts
Trang 3838 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
SO’ GD& DT NGHE AN TRUONG THPT DANG THUCHU’A
Giáo viên ra d@ : Pham Kim Chung (DS>) - Nguyén Thi Théa (HH)
BAI KIEM TRA CHẤT LƯỢNG DOI TUYEN THAM GIA KY THI HSG TINH
NAM HOC 2010 - 2011
( Lần thứ 2)
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 Giải phương trình: /3x+3-/5-2x —x? +3x? +10x-26=0
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm log, X—.jlog, y+ 1 =2m-3
log; y —,/log;x+1 =2m-3
Câu 3 Cho a, b,c dương thoả mãn ab+bc+ca =abc Chứng minh rằng
b c a 1 1 1
Thư net tư,
Câu 4 Cho hàm số f(x)=xf +ax” +bx?+cx+d Ta kí hiệu đạo hàm bậc n (n nguyên dương ) của
f(x) là f“)(x) Chứng minh rằng nếu f(x) > 0, vxeR thì:
F(x) = £(x) + £ (x) + £@ +f#)(x)+f)(x)>0,VxeR
Câu 5 Cho tứ diện ABCD cóDA vuông góc với mặt phẳng(ABC), tam giác DAB can va day ABC la
tam giác vuông tại B Sea fe ap econo ) và (DBC) Chứng minh
V1+cosỐ œ: rằng: tanơ tanB=———————
cosa
Cau 6 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Với M là một điểm thuộc cạnh AB chọn điểm
N thuộc cạnh D'C' sao cho AM+D'N =a Tinh thể tích khối chóp B'.A'MCN theo a và xác định vị trí
Trang 3939 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HƯỚNG DÂN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu 1 Giải phương trình: /3x+3—/5—2x —x” +3x? +10x— 26 =0 a Lời giải : ĐK: -1<x<— PT <> (V3x+3-3)—-(/5—2x -1)—(x—2)(x” -x-12)=0 c 3(x—2) 2(x — 2) X3x+3+3 "Ng- 2x+l 3 —2 —(x’ —x-12) |= ol | ete te Gene ) Xéthàm số : f(x)=_—x” +x+ 12, xe|~ š| t9 -(x-2)(x”-x—12)=0 Ta có : f'{x)=—-2x+1,f'(x)= Derx=—, Suy ra: Minf(x) = Min|f 1); {5} '(2]|-(š]>0 2) \2 2 K1 Do đó : 3 (x? —-x-12)>0, vee] 12 JBxa343 ES 2x+1_ 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 2 log: x— AjJlog; y +1 =2m—3 log?y —4jlog;x+1 =2m-—3
Lời giải : ĐK: x,y >0 rT => V/V" CC _YF T1
=qJIog: +1 Biệt nhện Ta eet
Dat: “ Bs% 2>4v24) Lúc đó hệ PT trở thành ¬ : “v= 2m~ 2 a
=-jlog?y+1 v-u=2m-2 (2)
Lay (1)-(2), ta có : (u-v)(u+v+1)=0—>u=v (Do u+v+1> 0 Vu,v>1)
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
Lúc đó bài toán ti thành tìm m để phương trình: uˆ-u=2m-2 có nghiệm u>1
Xéthàm số: f(u)=uˆ-u+2,tacó: f'{u)=2u-1>0,Vu>1 Và limf(u)=+s u>+00 Do đó, PT trên có nghỆm u>1 khivachikhi 2m=f(u)>f(1)=2>m21 Câu 3 Cho a, b,c dương thoả mãn ab+bc +ca = abc Chứng minh ring: B43 2e S444] a Lời giải : Ta có : ab+bc+ca =abc= ++ ++ Ÿ=1 Đặt: +, a bc a x? 2 z? cần chứng mi nh trở thành : ~ +245 33(x’+y’ +2’) y Zz xX =y,t=z =X+y+z=1l (x,y,z>0) Bất đẳng thức Cc o |r 4 4 Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có : VỊ=X ,Ý „5 „ty CƯ, xy yu zx x’yt+y’zt+z'x 24 2 4 7? (x+y+z)(x’+y’ +z CĐV ĐI Vu xyt+y'z+zx x?y+y”z+zx (x+y! +2’)
Ta sẽ chứng minh : 23 (do x+y+z=1)
©xÌ+xy? + +yz”+zx” +z >2(xˆy+yˆz+z7x) (9)
Theo bất đẳng thức AM -GM ta có : xỶ +xy?>2Ajx'y? =2x y; y`+yz2>2vy°z?; z2 +zx”>2A|z*x? Cộng các BĐT trên ta chứng minh được (*) Vậy : VT >3(x’ +y’ +z’) dpcm
Trang 40
40 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
Câu 4 Cho hàm số f(x)= x? +axỶ” +bx” +cx+d Ta kí hiệu đạo hàm bậc n ( n nguyên dương ) của f(x) là f") (x) Chứng minh rang néu f(x) >0, VxeR thi: F(x)=f(x)+ f(x)+f£@ + £©(x)4+ f(x) >0,VxeR
Lời giải : Ta có : F(x) là hàm tậc 4 và : lim F(x)= +œ, hơn nữa phương trình bac 3 : F’(x)=0 luéncé nghém Do dé
hàm số y = F(x) luôn có GTNN là giá trị cực tiểu của hàm số Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=x,
Luc dé: F'(x,)=0 suyra: O=F'(x,)=f*(x,)+f?(x,)+f?(x,)+f*(x, )=F(x,)-f(x,) => F(x,)=f(x,)>0 (Do f(x)>0, VxeR ) Từ đó ta có : F(x)>F(x,)>0, VxeR Câu 5 Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC),tam giác DAB cân và đáy ABC là tam giác vuông tại _— 2 Bcó BAC=œ Gọi B là góc tạo bởi hai mặt phẳng (DAC) và (DBC) Chứng minh rằng : tanœ.tanB _1†c0s 0, cosa
Lời giải : Đặt DA = x Gọi K là hình chiếu của A lên DB, từ K kẻ KH vuông góc với DC tại H Ta có :
h LBC => BC 1 (DAB)> BC L DB Suy ra: AB 1 BC BC 1 AK AK DC 1 KH | AK = DC L(AHK)=> AH LDC È AK 1(DBC)= | Do đó : AHK =B — tanB =1 (1) A‘ =F V,E } CC—YTT† tự B AB X Trong tam giác ABC: tanœ anhe2 SN œ=.Xtanơœ ; cosœ=——> AC= ; cosa B Trong tam giác ADB : sot tax? (2): BD= VAD? + AB? =/2x Trong tam giac ADC: 2 2 2 += Tự —- ˆ X - => DH? = AD? - AH? = x? -* > pp = 2282 _ AH? AD? AC? x? x 1+cos’a 1+cos’o V1 +c0s’0 xtanơ ).xcosœ Xét hai tam giác vuông: DHK ~ DBC—> DH _ DB => HK = BC.DH -[ ) (3) HK BC BD 1+cos’a.V/2x 2 2 Từ (1, (2), (8) tacó: => tanp AK _xv2 V2xV1+coS°a _ vn tạng — V1 +€95ˆ0 (ao m) HK 2 x’.tana.cosa cosa
Câu 6 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Với M là một điểm thuộc cạnh AB chọn điểm N thuộc cạnh D'C'
sao cho AM+D'N =a Tính thể tích khối chóp B'.A'MCN theo a và xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'MCN) đạt giá trị lớn nhất
Lời giải : ] Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với :
A=o Hy A'=0(0;0;0); B'(a,0,0); D'(0;a;0);A(0;0;—a)
/\` Serr Đặt AM=x(0<x<a)=D'N=a—x Lúc đó ta có :
week 1 AM= A'Ä + AM = M(x;0;-a) ;