Một số vấn đề về định lý davenpport

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học Vinh Lê Nh- ph-ơng số vấn đề định lý davenport Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2010 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học Vinh Lê Nh- ph-ơng số vấn đề định lý davenport luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành: đại sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 60 46 05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS.TS Ngun Thµnh Quang Vinh 2010 mục lục Trang Mở đầu Ch-ơng Sự t-ơng tự số nguyên Đa thức 1.1 Sự t-ơng tự số nguyên đa thức 1.2 Định lý Mason mở rộng tr-ờng hợp hàm biến 12 Ch-ơng Một số vấn đề Định lý Davenport 20 2.1 Mở rộng Định lý Mason cho hàm nhiều biến 20 2.2 Mở rộng Định lý Davenport tr-ờng hợp hàm biến 25 2.3 Mở rộng Định lý Davenport cho hàm nhiều biến 31 2.4 Một tr-ờng hợp Giả thuyết Browkin - Brzezinski 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Bên lề sách Số học Diophant (xuất năm 1673), nhà toán học ng-ời Pháp Pièrre de Fermat (1601 - 1665) đà viết nh- sau: Ph-ơng trình x n y n  z n , víi n  3, kh«ng có nghiệm nguyên d-ơng Tôi đà tìm đ-ợc cách chứng minh tuyệt diệu điều khẳng định này, nh-ng lề sách nhỏ nên trình bày đ-ợc Khẳng định đ-ợc gọi Định lý lớn Fermat (The Fermat s big Theorem) hay Định lý sau cïng cña Fermat (The Fermat‟ s last Theorem) Nh- nhiỊu ng-êi chóng ta ®· biÕt r»ng, ci cïng Định lý cuối Fermat , đ-ợc đặt cách 350 năm nhà toán học ng-ời Pháp Pièrre de Fermat, đà đ-ợc chứng minh cách chặt chẽ nhà toán học Andrew Wiles, khẳng định ph-ơng trình x n y n z n , xyz  0, n  3, kh«ng có nghiệm nguyên d-ơng công trình: "Modular Elliptic Curver and Fermat's last Theorem, Annals of Mathematics, 142 (1995), pp 443 - 551" b»ng viƯc chøng minh Gi¶ thut Shimura - Taniyama đ-ờng cong Elliptic Tr-ớc ng-ỡng cửa lời giải toán Fermat, A Wiles đà đ-ợc trang bÞ b»ng kü tht tinh tÕ cđa lý thut Iwasawa (ông đà chứng minh đ-ợc giả thuyết Iwasawa năm 1990) lý thuyÕt sè häc c¸c tr-êng cyclotomic (chia đ-ờng tròn), lý thuyết dạng modula, lý thuyết biểu diƠn nhãm Galois vµ lý thut biĨu diƠn p-adic Cã thể nói rằng, A Wiles đà kết hợp nhuần nhuyễn sáng tạo tất tinh hoa toán học kỷ XX để giải toán Fermat Theo dõi thông tin toán học nhất, ph-ơng diện đó, Bổ đề đ-ợc chứng minh Ngô Bảo Châu suy đ-ợc kết A Wiles Trong luận văn này, hoàn toàn ý định tìm hiểu chứng minh chi tiết Giả thuyết Shimura - Taniyama Andrew Wiles, lẽ công việc lâu dài khó khăn Chứng minh "Định lý cuối Fermat" Andrew Wiles chứng minh khó, vận dụng hầu hết kiến thức nhiều ngành toán học đại Nói nh- Ken Ribet (ng-ời đà hoàn thành chứng minh để tõ Gi¶ thut Shimura - Taniyama cã thĨ suy Định lý cuối Ferrmat), có khoảng phần nghìn nhà toán học hiểu chứng minh Do đó, nghiên cứu số vấn đề số học xung quanh Định lý ci cïng cđa Fermat nh-: Gi¶ thut ABC, Gi¶ thut Hall hay t-ơng tự số học Định lý Davenport Sự phát triển Số học, đặc biệt năm gần đây, chịu ảnh h-ởng lớn t-ơng tự số nguyên đa thức Nói khác đi, có giả thiết ch-a chứng minh đ-ợc số nguyên, ng-ời ta th-ờng chứng minh kiện t-ơng tự cho đa thức Điều th-ờng dễ làm hơn, nguyên nhân chủ yếu đa thức ta có phép tính đạo hàm, khái niệm t-ơng tự ch-a có số nguyên Năm 1983, R.C.Mason đà chứng minh định lý đẹp đa thức Từ Định lý Mason, ta thu đ-ợc Định lý cuối Fermat đa thức tr-ờng đóng đại số với đặc số Cũng từ Định lý Mason, ta suy nhiều hệ thức đa thức Chẳng hạn, hệ Định lý Davenport mà khẳng định số nguyên Giả thuyết Hall ch-a đ-ợc chứng minh Nhận thấy vai trò quan trọng giả thuyết số học phát triển toán học, định lựa chọn đề tài: Một số vấn đề Định lý Davenport Luận văn đ-ợc chia làm hai ch-ơng với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Trong ch-ơng trình bày t-ơng tự số nguyên đa thức Chúng đà giới thiệu chứng minh chi tiết Định lý Davenport, Định lý Mason mở rộng tr-ờng hợp hàm biến Ch-ơng trình bày chứng minh chi tiết số kết nh-: Sự mở rộng Định lý Mason hàm nhiều biến; Sự mở rộng Định lý Davenport tr-ờng hợp hàm biến; Sự mở rộng Định lý Davenport hàm nhiều biến; Một tr-ờng hợp Giả thuyết Browkin-Brezinski Luận văn đ-ợc thực hoàn thành d-ới h-ớng dẫn chu đáo nghiêm túc thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy giáo h-ớng dẫn: PGS.TS Nguyễn Thành Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn T- thầy cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học đà tận tâm dạy bảo chúng em thêi gian häc tËp võa qua, d-íi m¸i tr-êng Đại học Vinh thân yêu Tác giả sơ đồ cấu trúc luận văn Định lý Fermat Định lý Mason mở rộng tr-ờng hợp biến Định lý Fermat đa thức Định lý Mason Định lý Davenport Giả thuyết ABC Mở rộng Định lý Mason hàm nhiều biến Trong đó: Định lý Fermat tiệm cận Mở rộng Định lý Davenport hàm biến hàm nhiều biến Giả thuyết Browkin - Brzezinki kí hiệu kết chứng minh đ-ợc từ kết tr-ớc kí hiệu kết dẫn xuất đ-ợc từ kết tr-ớc CHƯƠNG t-ơng tự số nguyên đa thức 1.1 Sự t-ơng tự số nguyên đa thức Sự phát triển Số học, đặc biệt năm gần đây, chịu ảnh h-ởng lớn từ t-ơng tự số nguyên đa thức Nói cách khác, có giả thuyết ch-a chứng minh đ-ợc số nguyên, ng-ời ta th-ờng cố gắng chứng minh kiện t-ơng tự cho đa thức Điều th-ờng dễ làm hơn, có lẽ nguyên nhân chủ yếu đa thức ta có phép tính đạo hàm, đạo hàm số nguyên triệt tiêu Trong mục này, thông qua Định lý Mason vai trò quan trọng t-ơng tự nói nghiên cứu Số học Tr-ớc hết ta thấy số nguyên tập hợp đa thức có tính chất giống sau đây: * Các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia hoàn toàn nh- cho hai tập hợp * Nếu số nguyên, ta có số nguyên tố, đa thức ta có đa thức bất khả qui * Đối với hai số nguyên, nh- hai đa thức ta định nghĩa -ớc chung lớn Hơn nữa, hai tr-ờng hợp, -ớc chung lớn tìm đ-ợc thuật toán Euclide * Mỗi số nguyên phân tích thành tích thừa số nguyên tố, đa thức phân tích thành tích đa thức bất khả quy * Các số hữu tỷ t-ơng ứng với hàm hữu tỷ Ta để ý đến phân tích thừa số nguyên tố phân tích bất khả qui Nếu giả thiết K tr-ờng đóng đại số, đa thức Q( x) K ( x) phân tích d-ới dạng sau:   Q( x)  p1 p2 pn n Nh- vËy ta cã thÓ thÊy t-ơng tự phân tích bất khả qui phân tích thừa số nguyên tố, nghiệm đa thức t-ơng ứng với -ớc nguyên tố số nguyên Do đó, số nghiệm phân biệt đa thức có vai trò nh- số -ớc số nguyên Từ nhận xét đó, ng-ời ta đến định nghĩa sau: 1.1.1 Định nghĩa Cho a số nguyên, ta định nghĩa a, ký hiệu N0 (a) tích -ớc nguyên tố phân biệt a N (a)   p p/a VÝ dô N0 (720)  N0 (24.32.5)  2.3.5  30; N0 (15)  N0 (3.5)  3.5  15 Ta sÏ thÊy r»ng sù t-¬ng tự với tính chất đa thức gợi ý đ-ờng có nhiều hy vọng đến chứng minh Định lý Fermat Năm 1983, R C Mason đà chứng minh định lý sau đa thức 1.1.2 Định lý Mason (xem [1]) Cho K tr-ờng đóng đại số đặc số Giả sử a(t ), b(t ), c(t ) đa thức không đồng thời số với hệ số K, nguyªn tè cïng cho a(t )  b(t )  c(t ) Khi ®ã nÕu kÝ hiệu n0 ( f ) số nghiệm phân biệt đa thức f, ta có: max{deg a,deg b,deg c} n0 (abc) Định lý Mason cho ta chứng minh đơn giản Định lý Fermat đa thức 1.1.3 Định lý Fermat đa thức Cho K tr-ờng đóng đại số đặc số Khi đó, không tồn đa thøc a, b, c víi hƯ tư K, kh«ng đồng thời số, nguyên tố thỏa mÃn ph-ơng trình a n bn c n , víi n  Chøng minh Giả sử ng-ợc lại tồn đa thức a, b, c thỏa mÃn giả thiết Định lý Khi ®ã, ta cã: a n  b n  c n , n áp dụng Định lý Mason cho hƯ thøc nµy, ta cã: maxdeg a n ,deg bn ,deg c n   n0 (a nbnc n )  Bëi v× n0 (a nbncn )   n0 (abc)   deg(a)  deg(b) deg(c) ta có đồng thời ba bất đẳng thức sau: n deg(a) deg(a) deg(b)  deg(c)  n deg(b)  deg(a)  deg(b)  deg(c)  n deg(c)  deg(a)  deg(b) deg(c) Cộng ba bất đẳng thức lại ta có: n deg(a) deg(b)  deg(c)   3 deg(a)  deg(b)  deg(c)   Hay (n  3)  deg(a)  deg(b)  deg(c)   3 Ta gỈp điều vô lý với n Từ Định lý Mason cã thĨ suy nhiỊu hƯ thøc gi÷a đa thức Chẳng hạn, hệ định lý sau 1.1.4 Định lý Davenport Cho K tr-ờng đóng đại số đặc số Giả sử f, g đa thức tr-ờng K, khác số nguyên tố Khi ta cã: deg ( f  g )  deg f  Chøng minh Vì f , g nguyên tố nên f g Ta dùng Định lý Mason víi a  g , b  f  g , c  f Theo §Þnh lý Mason, ta cã: deg a  n0 (abc)  1, hay 2deg g  n0 ( g ( f  g ) f )  Suy 2deg g  n0 ( g ( f  g ) f ) 30 Giả sử nghiệm (không điểm) f0 f1 f n1 Từ giả thiết này, suy tồn sè v,  v  n  1, cho fv ( ) Từ ph-ơng trình f0 g0  f1g1   f n gn  f n1gn1 , ta cã  f f n 1 W  f g0 , , f n g n    f f v 1 f v 1 f n 1 W  f g0 , , f v 1g v 1 , f v 1g v 1 , , f n 1g v 1  n 1    f j  W  f0 g0 , , fv 1gv 1 , fv 1gv 1 , , fn 1 fn 1  j 0 ®ã W  f0 g0 , , fv1gv1, f v1gv1, , f n1gn1  lµ tổng số hạng f g ( f g )' ( f g )( n) , 0 1 n n i 0, , n  1 \ v,   1 Sư dơng Bỉ ®Ị 2.2.3 ta cã:  f ' (n) ,  g  ( f1 g1 ) ( f n g n )    f j ( ) 0            f j g j  f j ( ) 0 f j ( )   f j p f j  j 0    g  n,  f   g j j    gp  n,  fp j j n 1    f j    0 j  n 1, f j ( ) 0 j j    n,   p g j   j     g  n,  f f j f j ( )    n,  f j g j n,  f j Cịng tõ Bỉ ®Ị 2.2.2 ta cã: W  f g , , f 0 Tõ ®ã v 1 g v 1 , f v 1 gv 1 , , f n 1 g n 1  pf g f 0 n 1 g n 1 W  f0 g0 , , f n g0      f j    0 j  n , f j ( )  0 j n 1, f j ( ) 0   n,  f j  minn,   p fj 31 Theo định nghĩa bậc hàm h÷u tØ ta cã n 1 f f n1 deg   rn ( fi ) W  f g , , f n g n  i 0 (3) TiÕp theo chóng ta chøng minh r»ng deg P   n(n  1) Ta có tổng số hạng sau ( f  g 1 )' ( f n g n )( n ) f  g 1 f n g n Với số hạng ta cã  ( f  g 1 )' ( f n g n )( n )   ( f n g n )( n )   ( f  g 1 )'  deg    deg      deg   f g f g f g f g         n n   n n     n(n  1)  (1    n)   Do ®ã: deg P   n(n  1) (4) Tõ (2), (3), (4) ta cã n 1 n 1 j 0 j 0 deg f n1   rn ( f j )   deg( g j )  n(n 1) T-ơng tự với đa thøc f0 , f1, , f n , ta cã: n 1 n 1 j 0 j 0 max deg( f j g j )   rn ( f j )   deg( g j )  0 j n 1  Ta kÕt thóc chøng minh bỉ đề Chứng minh Định lý: Ta đặt f0 f1l1   f klk , h  gcd( f1, , f k ) n(n  1) 32 Khi đó, tồn đa thức g0 , g1, , gk cho f0  g0hl1 , f1  g1h, , f k  gk h; g0  g1l1  g2l2 h2l2 l1   g klk hklk l1 Ta ®Ỉt: max deg f j j  fl Tõ Bỉ ®Ị 2.2.4 ta suy ra: l 1 j k l l1 l deg g h  k  k 1  rk 1 ( g0 )   rk 1 ( g )    l j  kl1  deg h  j 1  j 1  k  k  k 1  deg g  (k  1) degg j    l j  kl1  deg h  j 1  j 1  k lj j Tõ ®ã: k deg g h  deg g h  (k  1) degg j h  deg hl1  deg hl1  k (k  1) deg h l l l1 j 1 k  ( l j  kl1 ) deg h  j 1 k (k  1) k  k  k 1  deg f   k  1  deg f i    l j  kl1  k  k  1  deg h  j 1  j 1  k  k  k 1 k 1 lj  deg f   deg f j    l j  k (k  1)  kl1  deg h  lj j 1 j    V× vËy k   k  k  1 k 1   l  deg f  deg f       l j  kl1  k (k  1)  deg h   l j  j    j   k Từ giả thiết định lý, ta có l j 1 j  kl1  k (k  1) Điều suy k k l j  k (k  1) k  1   lj deg( f j )  deg   f j   1   1max    j k l  j j j Định lý đ-ợc đ-ợc chứng minh 33 2.3 Mở rộng Định lý Davenport hàm nhiều biến ch-ơng 1, đà Định lý Davenport nh- hệ Định lý Mason Trong mục giới thiệu mở rộng Định lý Davenport hàm nhiều biến 2.3.1 Bổ đề Giả sử đa thức nhiều biến cho p đa thức khác số, bất khả qui Khi p min(p ,  ())  p Chøng minh Theo Bỉ ®Ị 2.1.5, ta cã p    () p Vì p , p   min(p ,  ())  p Giả sử f đa thức thuộc F x1, x2 , , xl  vµ f  p1l1 p2l2 pklk pi đa thức bất khả quy F l1 , , lk số nguyên Với số tự nhiên n ta đặt g p1min( n,l1 ) p2min( n,l2 ) pkmin( n,lk ) vµ ta ký hiƯu Nn ( f )  deg g 2.3.2 Bỉ ®Ị Giả sử f0 , f1, , f n1 n  ®a thøc F  x1, x2 , , xl không điểm chung g0 , , g n1 đa thức F  x1, x2 , , xl  cho f0 g0 , , f n g n ®éc lËp tuyÕn tính F f0 g0 f n1gn1  Khi ®ã n 1 n 1 j 0 j 0 max (deg f j g j )   N n ( f j )  deg( g j )  n 0 j  n 1 34 Chøng minh V× f0 g0 , , f n g n ®éc lËp tuyÕn tÝnh , ®ã tån t¹i Wronskian suy réng W cđa f0 g0 , f1g1, , f n gn không triệt tiêu P Ta đặt W ( g0 f , , g n f n ) g f g f , Q  0 n1 n1 g0 f g n f n W ( g0 f , , g n f n ) Khi ®ã gn1 f n1  PQ (1) Ta cã f f n1 deg g n1 f n1  deg  W ( g0 f , , g n f n ) n 1  deg g j 0 j  deg P (2) Tr-íc hÕt ta chøng minh r»ng f f n1 deg  W ( g0 f , , g n f n ) n 1 N ( f ) j 0 n j Giả sử p -ớc f0 f1 f n1 p đa thức khác số, bất khả qui Từ giả thiết định lý, tồn  ,    n  cho p -ớc f Từ gi¶ thiÕt, f0 g0    f n1gn1  , ta cã  pf  p f1 f n 1 f f 1 f 1 f n 1 W ( f , , f 1 , f 1 , f n 1 ) W ( f0 , , f n ) n 1    fpj  Wp ( f0 , , f 1 , f 1 , fn1 ) j 0 Chó ý r»ng, W  f0 , , fv1, fv1, , f n1 tổng sè h¹ng 0 f 1 f n f , i 0, , n  1 \ v,   1 n Từ Bổ đề 2.1.4, 2.1.5 giả thiết (i ) i n , ta cã p f  f  0 1 n f n   0 j n 1, p / f j  p f j g j   n,  fp g j j  35   0 j n 1, p / f j   0 j n 1, p / f j   0 j  n 1, p / f j    n 1    fp  j 0 j p f j p f j p f j      n,    n,    n,     gp  n,  fp   gp j j p g j p f j j p g j p f j  0 j  n1, p / f j   n,  fp j Tõ Bæ ®Ò 2.1.4 ta cã Wp ( f , , f 1 , f 1 , f n 1 )    p n  n,  fp  j f  j 0  j 0 jn1, p / f j Do ®ã  pf  f1 f n 1 W ( f , , f n )  0 j  n 1, p / f j   n,  fp j Từ định nghĩa bậc phân thức, suy f f n1 deg  W ( g0 f , , g n f n ) TiÕp theo ta chøng minh n 1 N ( f ) j 0 n j (3) deg P n P tổng số hạng cã d¹ng sau   g 0 f 0 1 g 1 f 1  n g n f n g 0 f 0 g 1 f 1 g n f n Ta cã   g 0 f 0 1 g 1 f 1  n g n f n deg   g 0 f 0 g 1 f 1 g n f n       g 0 f 0   1 g 1 f 1  deg   deg    g f  g f  0  1      ( )   (1 )     ( n )   n g n f n      deg    g n f n    36 Ta l¹i cã n   (0 )   (1 )     ( n ) n(n 1) , từ ta ®-ỵc deg P  n (4) Tõ (2), (3), (4), ta cã n 1 n 1 j 0 j 0 deg f n1 g n1   N n ( f j )  deg( g j ) n Hoàn toàn t-ơng tự g0 f0 , g1 f1, , gn f n , ta ®-ỵc n 1 n 1 j 0 j 0 max (deg f j g j )   N n ( f j )  deg( g j )  n j n 2.3.3 Định lý Giả sử F tr-ờng đóng đại số đặc sè vµ f1, , f k (k  2) đa thức phân biệt, khác số F  x1, x2 , , xl  vµ l j (1 j k ) số nguyên d-ơng cho l1 l2 lk có điều kiện sau thỏa mÃn: 1) f1l1 , , f klk không điểm chung, k 2) l j j  kl1  k (k  1) Gi¶ sử thêm f1l1 , , f klk độc lập tuyến tính F , ta có k   k lj  k 1 lj  max deg( f )  deg    1 j k   f j   (k  1) j l j  j   j 1   Trong tr-êng hỵp l  1, k  2, l1  2, l2  3, f1  f , f   g , tõ Định lý 2.3.3 ta thu đ-ợc Định lý Davenport Chứng minh Đặt f0 f1l1 f klk vµ h  gdc( f1 , , f k ) , tồn đa thức g0 , g1, , gk cho f0  g0hl1 , f1  g1h, , f k  gk h; g0  g1l1  g2l2 h2l2 l1   g klk hklk l1 37 Gi¶ sư max deg f j j  deg fl Tõ Bỉ ®Ị 2.3.2 ta cã l 1 j k k k deg gl hl l1  N k 1 ( g0 )   N k 1 (g jj )  ( l j  kl1 )deg h  (k  1) l j 1 j 1 k k j 1 j 1  deg g0  (k  1) deg g j  ( l j  kl1 )deg h  (k  1) Do ®ã k deg g h  deg g h  (k  1) degg j h  deg g  l l l1 j 1  deg hl1  deg hl1  k (k  1)deg h k  ( l j  kl1 )deg h   k  1 j 1 k  deg f   k  1  deg fi j 1  k     l j  kl1  k  k  1  deg h   k  1  j 1  k  k  k 1 lj  deg f   deg f j    l j  k (k  1)  kl1  deg h   k  1 j 1 l j j Từ ta đ-ợc k   k  k  1   l  deg f  deg f       l j  kl1  k (k  1)  deg h  (k  1)   j 1 l j    j 1   Tõ gi¶ thiÕt ta cã deg h  hc k l j 1 j  kl1  k (k  1)  Do ®ã  k  l  kl  k ( k  1)  j  deg h  Tõ ta đ-ợc j k   k lj  k  1   lj  max deg( f )  deg   f j   (k  1)   1 j k j l  j 1 j j Định lý 2.3.3 ®-ỵc chøng minh  38 2.4 Mét tr-êng hỵp cđa Giả thuyết Browkin - Brzezinski Giả sử F tr-ờng đóng đại số, đặc số Với f ( z ) đa thức khác số, hệ sè F vµ n0 ( f ) lµ sè nghiệm khác f Dựa Định lý Mason, Browkin Brzezinski đề xuất giả thuyết sau 2.4.1 Gi¶ thut Gi¶ sư f0 , f1, , f n1 n đa thức F x , không điểm chung cho f0  f1   f n1  Khi ®ã  n1  max (deg fi )  (2n  1)   n0 ( fi )  1 0 i  n1  i 1 Trong mục trình bày định lý sau 2.4.2 Định lý Giả thuyết Browkin - Brzezinski tr-ờng hợp đa thức f0 , f1, , f n 1 tháa m·n gdc( fi , f j , f k )  víi mäi bé sè ph©n biƯt i, j, k 0, , n  1 Tr-íc hÕt chøng minh mét sè bổ đề d-ới 2.4.3 Bổ đề Giả sử đa thức tr-ờng đóng đại số đặc số không F Khi ( k )  th× a  k  a (k ) Chøng minh Gi¶ sư  ( x)  ( x  a ) m f ( x) víi f ( x) g ( x) đa thức g ( x) nguyên tố không nhËn a lµ nghiƯm Ta cã ((mf ( x)  ( x  a) f ( x) g ( x)  ( x  a) f ( x) g ( x))  ( x)  ( x  a) m1 Vì g ( x) ga nên a  m  Do ®ã a  1 a Từ ta thu đ-ợc a k  a (k )  39 2.4.4 Bæ đề Giả thuyết Browkin-Brzezinski đa thøc f0 , f1, , f n 1 cho gdc( fi , f j , f k )  víi mäi bé sè ph©n biƯt i, j, k 0, , n  1 vµ f0 , f1, , f n ®éc lËp tuyÕn tÝnh Chøng minh Do f0 , f1, , f n ®éc lËp tuyÕn tÝnh nên tồn Wronskian W f0 , f1, , f n không triệt tiêu Đặt P W ( f , , f n ) f f n1 , Q f f n W ( f , , f n ) f n1 PQ Khi (1) Đầu tiên chøng minh r»ng deg Q  (2n  1)n0 ( f f n1) Giả sử -ớc cđa f0 f1 f n1 ,tõ gi¶ thiÕt cđa định lý, tồn , n  cho f ( )  Tõ gi¶ thiÕt f0  f1    f n1  , ta cã  f   f1 f n 1 f0 f 1 f 1 f n 1 W ( f0 , , f 1 , f 1 , f n 1 ) W ( f0 , , f n ) n 1    f j  W ( f0 , , f 1 , f 1 , fn1 ) j 0 W ( f0 , , fv1, fv1, , f n1 ) tổng số hạng cã d¹ng  f ( f ) ( f )( n ) , Trong ®ã  0 , n., i n  1v\  , Gi¶1 sử tồn k hàm f j cho f j ( )  , tõ gi¶ thiÕt gdc( fi , f j , f k )  víi mäi bé sè ph©n biƯt i, j, k 0, , n  1 , ta cã k  Từ Bổ đề 2.1.4 2.4.3 ta có   f ( f ) ( f )( n ) n   f  f j ( ) 0  j (n  (n  1)) 40 =  n1 f j 0  j  (2n  1) Theo Bỉ ®Ị 2.4.3 ta cã  W ( f , , f 1, f 1 , f n1 )   n1 f j 0  j  (2n  1) Do ®ã  f f1 f n 1  2n  W ( f0 , , f n ) Theo định nghĩa bậc hàm phân thức ta có deg Q  (2n  1)n0 ( f f n1) (2) TiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng deg P   ThËt vËy P  n(n  1) f 0 f0 f1 f1 f  n fn f ( n ) f1( n ) f f1 fn(n) fn Định thức P tổng số hạng có dạng f f f n ( n ) f 1 f 2 f n , (  1) §èi víi số hạng này, ta có f f 2 f n ( n ) deg     f f f n 2    f   = deg   f 1    f    deg    f 2  f n ( n )      deg    f n = (1)  (2)    (n)   Do ®ã n(n  1)    41 deg P   n(n  1) (3) Tõ (1), (2), (3) ta cã deg f n1  deg P  deg Q  (2n  1) n0 ( f f n1)  n(n  1)  (2n  1)(n0 ( f0 f n1 )  1) (Do n(n  1)  2n  1, n  N ) Hoµn toµn t-ơng tự đa thức f0 , f1, , f n ta đ-ợc n1 max (deg fi )  (2n  1)   n0 ( fi )  1 0 i  n1  i Bây ta chứng minh Định lý 2.4.2 Ta chøng minh quy n¹p theo n Với n , Định lý 2.4.2 trở thành Định lý Mason Giả sử Mệnh đề 2.4.2 với mäi m,  m  n  NÕu f0 , f1, , f n ®éc lËp tuyÕn tính Bổ đề 2.4.4 Nếu f0 , f1, , f n phô thuéc tuyÕn tÝnh , tõ gi¶ thiÕt ta cã  f n1  f0  f1    f n (4) Gi¶ sö fi1 , , fiq , q  n  tập hợp lớn f j , j  0, , n , víi n  vµ gdc( fi , f j , f k )  1víi mäi bé sè ph©n biƯt i, j, k 0, , n Với f j ,  j  n , j  ik , k  1, , q th× hƯ fi1 , , fiq , f j phô thuéc tuyÕn tÝnh, ®ã cã sù biĨu diƠn f j  1 fi1    q fiq , (5) víi k  F , k  1, , q vµ có k Từ (5) áp dụng giả thuyết quy nạp, với k ta đ-ợc q deg fik (2q  1)  n0 ( f j )   n0 ( fik )  1 (6) k 1   Do ®ã 42  n1  deg fik  (2n  1)   n0 ( f k )    k 1  (7) HiĨn nhiªn ta cịng cã  n  deg f j  (2n  1)   n0 ( f k )  1  k 1  VËy định lý đ-ợc chứng minh hệ fi1 , , fiq , f j Tõ (4) vµ (5), ta cã sù biĨu diƠn sau f n1  1 fi1    q fiq , (8) víi  j F Hơn nữa, v f iv xuất đẳng thức (5) phải t-ơng ứng với v Do đánh giá (6) đ-ợc khẳng định f iv Đối với v ta xử lý nh- đà làm (5), (chú ý r»ng q   n  ) vµ thu đ-ợc đánh giá (7) deg fiv deg f n1 Vậy Mệnh đề 2.4.2 m n Định lý ®-ỵc chøng minh  43 KÕt ln Víi mơc ®Ých tìm hiểu Định lý Fermat lớn phát triển Số học, luận văn đà tìm hiểu nội dung sau: Làm rõ t-ơng tự số nguyên đa thức vai trò phát triển Số học; trình bày chứng minh chi tiết Định lý Mason mở rộng cho tr-ờng hợp biến Trình bày chứng minh chi tiết số mở rộng của: * Định lý Mason hàm nhiều biến * Định lý Davenport tr-ờng hợp hàm biến * Định lý Davenport hàm nhiều biến Giới thiệu tr-ờng hợp Giả thuyết Browkin-Brezinski Đề tài đặt cho luận văn mở rộng phát triển theo h-ớng: Tiếp tục tìm tòi số mở rộng t-ơng tự Định lý Mason, Định lý Davenport số giả thuyết số học khác tr-ờng hàm 44 Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Tr-ờng Đại häc Vinh [3] Ngun Thµnh Quang (2005), Lý thut tr-êng lý thuyết Galois, Tr-ờng Đại học Vinh Tiếng Anh [4] P.C.Hu and C.C.Yang (2000), The abc conjecture over function fiels, Proc Japan Cad.Ser A Math Sci 76, 118- 120 [5] P.C.Hu and C.C Yang (2002), A generalized abc- conjecture over funtion fiels, J of Number Theory, 94, 286 - 298 [6] Nguyen Thanh Quang anh Phan Duc Tuan (2007), A generalized abctheorem for functions of several variables, Scientia Magna Vol.3, 56 - 60 [7] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2008), An extension of Davenport‟ s Theorem for function of several variables, International of Algebra, Vol.2, 469- 475 [8] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2008), A generalized abcconjecture over funtion fiels, Journal of Analysis and Application, Vol.6, 60 - 76 [9] K F Roth, Rational approximation to algebraic numbers (1995), Mathematika 2, 1-20 [10] H N Shapiro and G.H Sparer (1994), Extension of a Theorem of Mason, Comm Pure and Appl.Math, 47, 711- 718 ... hệ Định lý Davenport mà khẳng định số nguyên Giả thuyết Hall ch-a đ-ợc chứng minh Nhận thấy vai trò quan trọng giả thuyết số học phát triển toán học, định lựa chọn đề tài: Một số vấn đề Định lý. .. Ch-ơng Sự t-ơng tự số nguyên Đa thức 1.1 Sự t-ơng tự số nguyên đa thức 1.2 Định lý Mason mở rộng tr-ờng hợp hàm biến 12 Ch-ơng Một số vấn đề Định lý Davenport 20 2.1 Mở rộng Định lý Mason cho hàm... rộng tr-ờng hợp biến Định lý Fermat đa thức Định lý Mason Định lý Davenport Giả thuyết ABC Mở rộng Định lý Mason hàm nhiều biến Trong đó: Định lý Fermat tiệm cận Mở rộng Định lý Davenport hàm biến