Một số tính chất của môđun lọc

1 Bộ giáo dục đào tạo TRNG I HC VINH NGUYỄN XN TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN LỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Vinh - 2010 Mục lục Trang Mục lục ……………………………………… Mở đầu …………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành mơđun địa phương hố………………………… 1.2 Phổ, giá, độ cao chiều Krull môđun…………… 1.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun………… 1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic… 1.5 Hệ tham số hệ tham số thu gọn…………… 1.6 Dãy quy………………………… 10 1.7 Môđun đối đồng điều địa phương…………… 11 1.8 Môđun Cohen-Macaulay………………… 11 1.9 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng…… 12 Chương Môđun lọc 2.1 Định nghĩa môđun lọc………………… .……… 13 2.2 Một số tính chất đặc trưng mơđun lọc……… 15 2.3 Điều kiện để môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 20 2.4 Tính chất mơđun lọc khơng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng 23 Kết luận…………… ………… .… 27 Tài liệu tham khảo…… 28 Mở đầu Cho  R, m vành giao hoán, địa phương, Noether M R  môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d Năm 1978, N T Cường, P Schenzel N V Trung [5] lần đưa khái niệm dãy quy lọc mơđun sau: Một dãy phần tử  x1 , , xr  iđêan cực đại m gọi dãy quy lọc M (hay cịn gọi f  dãy M ) xi  p, p Ass  M /  x1 , , xi 1  M  \ m , với i  1, , r Khái niệm mở rộng trực tiếp khái niệm dãy quy mà ta biết từ lâu Dãy quy lọc ngày có nhiều ứng dụng chứng tỏ cơng cụ hữu ích Đại số giao hoán Trong luận văn này, dựa vào tài liệu tham khảo nghiên cứu lớp mơđun thoả mãn tính chất: Mọi hệ tham số dãy quy lọc Lớp mơđun gọi mơđun lọc hay cịn gọi f  mơđun Môđun Cohen-Macaulay lớp môđun quan trọng Đại số giao hốn M gọi mơđun Cohen-Macaulay hệ tham số M dãy quy Nếu M mơđun Cohen-Macaulay M mơđun lọc Thậm chí M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng M môđun lọc Như lớp môđun lọc chứa thực lớp môđun CohenMacaulay suy rộng Tuy nhiên lớp mơđun lọc có nhiều tính chất tốt gần với môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo mà chủ yếu tài liệu [8] [10] để trình bày tính chất mơđun lọc Ngồi phần Mở đầu; Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hốn có sử dụng luận văn Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Mơđun lọc Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa, số tính chất đặc trưng mơđun lọc, đồng thời xét mối quan hệ lớp môđun lọc lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Luận văn hồn thành vào tháng 11 năm 2010 trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, giáo khoa Tốn khoa Sau đại học giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học khoá 16 - Đại số Lý thuyết số - Thanh Hoá giúp đỡ động viên tác giả suốt q trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành mơđun địa phương hố 1.1.1 Vành thương Cho S tập nhân đóng vành R Trên tích Đề R x S ta xét quan hệ hai ngôi:  r , s   r , s   t  S : t  rs  sr   , , , , Khi  quan hệ tương đương R x S Với (r,s)  R x S, ký hiệu r/s lớp tương đương chứa (r,s) S-1R tập thương R x S theo quan hệ tương đương : S-1R = {r/s | r R, s S} Trên S-1R trang bị hai phép toán phép cộng phép nhân, S-1R trở thành vành gọi vành thương R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan vành R có dạng S-1I = {a/s | a I, s S}, I iđêan R Ta có S-1I = S-1R  I  S   Do S-1I iđêan thực S-1R I  S   Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ p tập nhân đóng vành R Vành S-1R trường hợp vành địa phương, 1 ký hiệu Rp , với iđêan cực đại pRp  S p  a / s a  p, s  R \ p nên gọi vành địa phương hoá vành R iđêan nguyên tố p 1.1.2 Mơđun thương Cho S tập nhân đóng vành R Khi ta có vành thương S-1R Trên tích Đề M x S ta xét quan hệ hai ngôi:  m, s   m , s   t  S : t  ms  sm   Khi  quan hệ tương đương , , , , M x S Do M x S chia thành lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương M x S theo quan hệ tương đương  S-1M ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) m / s Như S-1 M = { m / s | m M, s S} Trên S-1M trang bị phép cộng phép nhân với vô hướng: m / s  m '/ s '   s ' m  sm '  / ss ', m / s; m '/ s '  S 1M r / t.m / s  rm / ts, r / t  S 1R, m / s  S 1M Khi S 1 M có cấu trúc S 1 R môđun gọi mơđun thương M theo tập nhân đóng S S 1 M xem R-môđun với phép nhân vô hướng sau: r.x / s  rx / s , với r  R, x / s  S 1 M Cho p iđêan nguyên tố vành R S  R \ p Khi mơđun S 1 M gọi mơđun địa phương hố M iđêan nguyên tố p , ký hiệu Mp Như Mp xem Rp -môđun R-môđun 1.2 Phổ, giá, độ cao chiều Krull môđun 1.2.1 Phổ vành Ký hiệu Spec R tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi Spec R gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V (I )  p SpecR p  I  1.2.2 Độ cao iđêan Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p Spec R , cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , ký hiệu ht  p Nghĩa là: ht  p = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R, độ cao iđêan I định nghĩa: ht  I   inf ht  p p Spec R, p  I  1.2.3 Chiều Krull mô đun Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R , ký hiệu dim R Cho M R  mơđun Khi dim  R / Ann R M  gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dim M Chú ý dim M  dim M   1.2.4 Giá môđun Tập Supp M  p SpecR Mp  Spec R gọi giá môđun M Với x  M ta ký hiệu AnnR x  a  R ax  0 ; AnnR M  a  R aM  0  a  R ax  0, x  M Ta có AnnR x AnnR M (hoặc Ann x Ann M không để ý đến vành R) iđêan M Ann M gọi linh hoá tử môđun M Hơn M R-môđun hữu hạn sinh Supp M  V (Ann R M )  p SpecR p  Ann R M Supp M gọi catenary với cặp iđêan p, q SuppR M mà p  q ln tồn dãy ngun tố bão hồ xuất phát từ q kết thúc p tất dãy nguyên tố bão hoà có chung độ dài Supp M gọi đẳng chiều dim R / p= dimR M với iđêan cực tiểu pSuppR ( M ) 1.2.5 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương: (i) SuppR M catenary; (ii) ht  p/ q  dim R / q  dim R / p với cặp p  q SuppR M ; (iii) dim R / q= dim R / p  với cặp p  q SuppR M mà ht  p/ q  1; (iv) dim R / q= dim R / p  với cặp p  q SuppR M \ m mà ht  p/ q  1.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R  môđun ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tương đương sau thoả mãn: (i) Tồn phần tử x  M cho Ann  x  = p ; (ii) M chứa môđun đẳng cấu với R / p Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass R M Ass M không để ý đến vành R Như AssM  p SpecR p= Ann x, víi x  M 1.3.2 Mệnh đề Ass M  Supp M phần tử tối tiểu Supp M thuộc Ass M 1.3.3 Mệnh đề Nếu M R  mơđun Noether Ass M tập hợp hữu hạn Ký hiệu Assh R M  p Ass R M dimR R / p= dimR M  Khi ta có định nghĩa 1.3.4 Định nghĩa (i) M gọi không trộn lẫn (unmixed) Ass R M  Assh R M (ii) M gọi không trộn lẫn yếu (weak-unmixed) M / Hm0 ( M ) không trộn lẫn Nói cách khác AssR ( M ) \  m  Assh R ( M ) 1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic Cho  R, m vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  mt với t = 0, 1,2 Khi vành đầy đủ theo tơpơ m  adic R ký hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t > 0, tồn số tự t nhiên n0 để rn  rm  m với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn   sn  dãy  rn  sn  dãy không Khi quan hệ  tập dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy  rn   sn  , tức  rn   rn  sn  r , n  sn,   rn sn   r s  Vì , , n n r  , n  sn  s  , n R trang bị hai phép tốn hai ngơi + đồng thời với hai phép toàn này, R lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành R  R r  r , 10  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi t M R -môđun với phép nhân vô hướng sau: cho a   a1 , a2 ,   R , x   x1 , x2 ,   M Ta có ax   a1 x1 , a2 x2 ,   M 1.5 Hệ tham số hệ tham số thu gọn 1.5.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m ; M R  mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d  (i) Một hệ gồm d phần tử x :  x1 , , xd  m gọi hệ tham số M l  M /  x1 , , xd  M    (ii) Iđêan sinh hệ tham số gọi iđêan tham số (iii) Nếu x :  x1 , , xd  hệ tham số mơđun M hệ phần tử x1 , , xi gọi phần hệ tham số với i = 1,…,d-1 Sau số tính chất hệ tham số cần dùng luận văn 1.5.2 Mệnh đề (i) Mọi hoán vị hệ tham số môđun M hệ tham số M (ii) Nếu x :  x1 , , xd  hệ tham số môđun M n :  n1 , , nd  gồm d số nguyên dương x  n  :  x1n , , xd n d  hệ tham số môđun M (iii) Nếu x :  x1 , , xd  hệ tham số môđun M dim M /  x1, , xi  M  d  i, i  1, , d 15 (ii) Giả sử  x1 , , xr  dãy quy lọc M Khi với n  n ln tồn phần tử y  m cho  x1 , , xr , y  dãy quy lọc M (iii) Nếu  x , , x  r dãy quy lọc M dim M /  x1 , ., xr  M  supdim M  r;0 Chứng minh: (i) hiển nhiên n (ii) Nếu H m  M   M ta chọn tuỳ ý phần tử y  m 0 0 Nếu H m  M   M H m  M / H m  M    Suy depth M / H m  M   n Do tồn phần tử y  m M / H m  M   quy, từ (i) suy điều cần phải chứng minh (iii) Trường hợp r = hiển nhiên dim M /  x1 , , xr  M  sup{dim M  r; 0} = d Với r > Nếu dim M =0 dim M /  x1 , , xr  M  sup{dim M  r;0} =0 Nếu dim M  x1 phần tử quy M / H m  M  Khi Ass M / H m0  M   Ass M \ m , điều x1 không thuộc tất iđêan nguyên tố tối tiểu M Đặt M ' : M / x1M dim M '  dim M 1 dễ dàng quy nạp kết sau: dim M /  x1 , , xr  M  dim M '/  x1 , , xr  M   sup{dim M ' (r  1); 0}=sup{dim M  r; 0} 2.1.4 Mệnh đề Cho M R  môđun Noether,  x1 , , xr  phần hệ tham số M tồn  y1 , , yr  dãy quy lọc M cho  x1 , , xr  R   y1 , , yr  R 16 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Với r = hiển nhiên Giả sử r   x1 , , xr 1  R   y1 , yr 1  R , với  y , , y  r 1 dãy quy lọc M Bây chọn yr   x1 , , xr  R \ m x1 , , xr  R cho yr  p với p Ass R  M / ( y1 , ., yr 1 )M  \ m Suy  x1 , , xr  R   y1 , , yr  R □ 2.1.5 Định nghĩa Một R  môđun hữu hạn sinh M có chiều dương gọi mơđun lọc hay cịn gọi f  mơđun hệ tham số M dãy quy lọc M Vành địa phương R gọi vành lọc hay gọi f-vành R mơđun lọc 2.2 Một số tính chất đặc trưng môđun lọc Ta biết x :  x1 , , xd  hệ tham số M x hệ tham số M / H m  M  Vì từ Mệnh đề 2.1.3 ta có hệ sau 2.2.1 Hệ M môđun lọc M / H m  M  môđun lọc 2.2.2 Định lý Cho M R  môđun Noether với chiều dim M  d  Các điều kiện sau tương đương: (i) M môđun lọc; (ii) Mỗi phần hệ tham số  x1 , , xr  không trộn lẫn đến thành phần m- nguyên sơ, nghĩa là, p Ass  M /  x1 , , xr  M  \ m ta có dim R / p= d  r ; (iii) Với p Supp M \ m ta có dimR M  dim R / p  depth Rp M p ; 17 (iv) Với p Supp M \ m ta có dimR M  dim R / p  dimRp M p dimRp M p =depth Rp M p ; (v) Supp M catenary, đẳng chiều M p môđun Cohen-Macaulay với p Supp M \ m Chứng minh (i)  (ii) Ký hiệu  x1 , , xr  R  x , giả sử tồn phần hệ tham số  x , , x  r cho có phần tử p Ass R M / xM với  dim R / p  d  r Khi chọn y  p cho x1 , , xr , y phần hệ tham số Theo giả thiết (i) ta có xM : M y / xM  xM : M m / xM Ass M / xM  Supp R / yR  Ass M / xM  m  m Điều mâu thuẫn p Ass M / xM  Supp R / yR Vậy p Ass R M /  x1 , , xr  M \ m có dim R / p= d  r (ii)  (iii) Lấy p Supp R M \ m Ta chọn số tự nhiên r lớn cho có dãy phần tử x1 , , xr p phần hệ tham số M Bởi tính lớn r nên có p Ass R M /  x1 , , xr  M Từ điều kiện khơng trộn lẫn ta có i=1,…,r, nghĩa  x1 , , xi 1  M p : M p xi   x1 , , xi 1  M p với r  depth Rp M p = dimRp M p Theo (ii) ta có dim M  dim R / p+ r Suy dim R / p= dim M  r , kết luận điều cần chứng minh (iii)  (ii) Giả sử (ii) không Khi ta có  x1 , , xr  phần hệ tham số với r nhỏ cho điều giả sử sai tức tồn p AssM /  x1 , , xr  M \ m mà dimR / p  d  r Đặt  x1 , , xr  R  x 18 p Ass R M / xM với  dim R / p  dim M  r Do r  dim Rp M p Từ tính nhỏ r có x1 x , , r dãy quy M p với 1 chiều dài cực đại Do depth Rp M p  r Suy dim R / p= r Vậy ta có (ii) (ii)  (i) hiển nhiên Nhận xét 2.1.2 Dễ thấy Mệnh đề (iv) (v) tương đương với (iii) □ Vậy Định lý chứng minh Hệ sau định lý cho ta ví dụ mơđun lọc 2.2.3 Hệ Mọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng môđun lọc Chứng minh Nếu M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng theo Mệnh đề 1.9.3, M thoả mãn điều kiện (ii) Định lý 2.2.2 Do từ Định lý 2.2.2 □ suy M môđun lọc 2.2.4 Bổ đề Cho M R  môđun Noether x  m Giả sử hai điều kiện sau thoả mãn: (i) x  q với q AssR M \ m ; (ii) Cho p phần tử tối tiểu AssR R / q' xR  với q'  AssR M \ m Khi p AssR M / xM Chứng minh Cho N : Hq'  : M q' M  M Từ Supp N / xN  Supp N V  xR   V q'  V  xR   V q'  xR  p tối tiểu V q'  xR  kéo theo p AssR N / xN Từ : M / N x  suy phép nhúng N  M cảm sinh đồng cấu: N / xN  M / xM Do pAssR M / xM , suy điều phải chứng minh □ 19 2.2.5 Định lý Cho M R  môđun Noether với dim M  d  , điều kiện sau tương đương: (i) M môđun lọc; (ii) Mỗi hệ tham số M thu gọn, nghĩa với hệ tham số  x , , x  d ta có xi  p với p AssR M /  x1 , , xi1  M mà dim R / p  d  i với i  1, , d ; (iii) Mỗi phần hệ tham số M có d-2 phần tử không trộn lẫn đến thành phần m  nguyên sơ Chứng minh (i)  (ii) suy từ (ii) Định lý 2.2.2 (ii)  (iii) hiển nhiên Do ta cần chứng minh (iii)  (i) Khơng tính tổng qt ta giả sử d  Theo Mệnh đề 2.1.4, cần chứng minh phần hệ tham số  x1 , , xr  M không trộn lẫn đến m  nguyên sơ Phát biểu trường hợp r  d  2, r  d  1, giả sử  r  d  ,  x , , x  r phần hệ tham số mơđun M / x1M có chiều d  Điều kiện (iii) với M / x1M , chứng minh quy nạp  x1 , , xr  M không trộn lẫn thành phần m  nguyên sơ Để hoàn thành bước quy nạp ta phải điều khẳng định r  Giả sử iđêan nguyên tố p AssR M với  dim R / p  d Sau ta chọn phần tử tham số x M cho x q với q Ass R M \ m Tiếp theo ta chọn q'  Ass R R /  p  xR  với dim R / q'  dim R /  p  xR   dim R / p  Theo Bổ đề 2.2.4 ta có q'  Ass M / xM với  dim R / q'  d  Điều kiện giả thiết 20 quy nạp cho M / xM Hơn tồn phần tử p AssR M với dim R / p  , ta chọn phần tử tham số x M p Ta có pRp  AssR Mp depth R Mp  Cho n p p điều dẫn đến depth R Mp / p n x n Mp  p AssR M / x M , điều kiện giả thiết quy nạp cho M / x M Vậy phép chứng minh quy nạp hoàn thành n □ 2.2.6 Mệnh đề Các phát biểu sau (i) Nếu M môđun lọc vành R M mơđun lọc vành R (ii) Nếu R vành thương vành Cohen-Macaulay M môđun lọc R M môđun lọc vành R Chứng minh (i) Giả sử  x1 , , xr  phần hệ tham số M Khi phần hệ tham số M Từ  x , , x r 1 M : M  xr  M   x1 , , xr 1  M : M xr ta suy (i) chứng minh  (ii) Giả sử   Spec R \ m iđêan nguyên tố, đặt p:   R Vì R vành thương vành Cohen-Macaulay nên vành k  p  R đồng cấu tắc Rp  R vành Cohen-Macaulay Từ dim R M   dim Rp M p  dim k  p  R , depth R M   depth Rp M p +depth k  p  R , Ta suy dimR M   depth R M   dim Rp M p  depth Rp M p 21  Từ giả thiết ta có Supp R M \ m Cohen-Macaulay Vì R vành catenary nên theo Định lý 2.2.2 ta cần chứng minh Supp R M đẳng chiều Giả sử   Supp R M tối tiểu Vì Ass R M  pAss R M Ass R R / p.R ta có   Ass R R / p.R với p    R tối tiểu Supp M Vì R vành thương vành Cohen-Macaulay nên ta có dim R /   dim R/p.R với   Ass R R/p.R Do dim R/p  dim M suy tính đẳng chiều Supp R M □ chứng minh 2.3 Điều kiện để môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.3.1 Định lý Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương, M R-môđun Noether với dim M  d  Khi M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng M môđun lọc Chứng minh Nếu M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng M môđun lọc (theo Hệ 2.2.3) Nếu M môđun lọc ta cần chứng minh M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Giả sử B vành địa phương Gorenstein với iđêan cực đại c mà bao đầy đủ m- adic R R vành thương B Do R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay, giả thiết Mệnh đề không thay đổi ta thay M   i i M  M  R R R R Ta có Hc  M   H m M   i H m M  H mi  M   R R Điều dẫn đến     l  H  M   l  H  M   l  H lB Hci M B i m R i m R i m  M  Do khơng tính tổng quát ta giả thiết R vành địa phương Gorenstein Đặt n : dim R , lấy p Supp M với dim R / p  Giả sử có 22 j số nguyên j cho n  d  j  n p Supp Ext R  M , R  , p Supp Ext iR  M , R  , i  j Từ tính chất vành địa phương ta có    HpnRpdim R / pi  Mp   Hom Rp Ext iRp  Mp, Rp  , I  Hom Rp Ext iR  M, R p , I  0 víi i  j, = 0 víi i  j, I bao nội xạ trường thặng dư Rp / p.Rp Rp Do n  dim R / p  j  depth M p  dim M p  d  dim R / p Vì M môđun lọc, theo Định lý 2.2.2, (i)  (v) ta có M p Coheni Macaulay Vì j = n – d; nói cách khác Supp Ext R  M , R   m với i i > n – d, điều có nghĩa Ext R  M , R  có độ dài hữu hạn với i  nd Do tính đối ngẫu địa phương ta có H mi  M   HomR  Ext nRi  M , R  , E  (trong E bao nội xạ trường i thặng dư R / m ) nên l  H m  M     , M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng □ Từ định lý ta có hệ sau 2.3.2 Hệ Các điều kiện sau tương đương (i) M R  môđun Cohen-Macaulay suy rộng; (ii) M môđun lọc R ; (iii) M R  môđun Cohen-Macaulay suy rộng Chứng minh Vì vành đầy dủ vành thương vành quy, mà vành quy vành Cohen-Macaulay Do (i)(ii) hệ hiển nhiên Định lý 2.3.1 (i)(iii) tính chất mơđun Cohen-Macaulay suy rộng □ 23 2.3.3 Hệ Nếu R vành đầy đủ theo tôpô m  adic (tức R  R ) M môđun lọc M môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.3.4 Định lý Cho M R  mơđun hữu hạn sinh có chiều dương Khi diều kiện sau tương đương: (i) M R  môđun Cohen-Macaulay suy rộng (ii) M môđun lọc R đẳng thức sau thoả mãn dim R / pR = dim R /   depth R R / pR ,   với   Supp ( M ) \ m , p:   R  R Chứng minh (i)  (ii) Do Hệ 2.2.3 nên ta cần chứng minh nửa sau  (ii) Lấy   Supp ( M ) \ m  R đặt p:   R Vì M Cohen- Macaulay suy rộng nên theo Hệ 2.3.2 ta có M R  mơđun lọc Theo Định lý 2.2.2 ta có dimR M  dim R / p  depth Rp M p dimR M  dim R /   depth R M  Vì đồng cấu Rp  R hồn tồn phẳng nên ta có:  depth R M   depth Rp M p  depth R R / pR   Từ kiện ta dim R / pR  dim R / p  dim R M  depth Rp M p  dim R M  depth R M   depth R R / pR    dim R /   depth R R / pR  (ii)  (i) Do Hệ 2.3.2 nên ta cần M R  môđun lọc  Lấy   Supp ( M ) \ m đặt p:   R , p  m Từ đồng cấu  R Rp  R hồn tồn phẳng ta có 24 depth R M   depth Rp M p  depth R R / pR   Vì M mơđun lọc nên theo Định lý 2.2.2 ta có dimR M  dim R / p  depth Rp M p Hơn nữa, giả thiết (ii) ta có dim R / pR  dim R /   depth R R / pR Kết hợp công thức ta có  dim R M  dim R M  dim R / p+ depth Rp M p  dim R / pR +depth R M  - depth R R / pR    dim R /   depth R M   Vì theo Định lý 2.2.2 ta có M R  mơđun lọc Vậy định lý chứng □ minh 2.4 Tính chất môđun lọc môđun CohenMacaulay suy rộng Trong tiết trước ta thấy môđun Cohen-Macaulay suy rộng môđun lọc Tuy nhiên điều ngược lại đúng, nghĩa tồn môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hoán Trong tiết tìm hiểu tính chất môđun môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Các kết tham khảo từ báo [4] Nguyễn Tự Cường Trước hết ta có khái niệm sau 2.4.1 Định nghĩa (i) Một phần hệ tham số  x1 , , x j  M gọi pdãy tồn số tự nhiên n0 cho x n1 , , xin1  M : xin  i1   x1n , , xin1  M : xin , với n1 , , n j  n0 i=1,…,j (ở ta đặt x0=0) i 1 i 25 (ii) Dãy x1 , x2 , , x j gọi p-dãy không điều kiện, ký hiệu gọn u.pdãy, p-dãy với hốn vị thứ tự dãy Khái niệm p-dãy p-dãy không điều kiện Nguyễn Tự Cường đưa với mục đích nghiên cứu tính đa thức hàm độ dài l  M /( x1n , , xdn )M  theo biến n1 , , nd d 2.4.2 Vấn đề mở R Y Sharp Cho x   x1 , , xd  hệ tham số M n   n1 , , nd  d số nguyên dương Khi xem l  M /( x1n , , xdn )M  hàm theo biến n1 , , nd Hàm nhận giá trị d tập số nguyên không âm Năm 1985, Sharp đưa câu hỏi mở sau [7]: Khi hàm độ dài l  M /( x1n , , xdn )M  đa thức theo n với n d 0? Chú ý e  x1n , , xdn ; M   n1 , , nd e  x; M  Vậy vấn đề Sharp d phát biểu lại sau: Khi hàm số I M (n; x )  l  M /( x1n , , xdn )M   n1, , nd e  x; M  đa thức theo n với n d 0? Dùng khái niệm p-dãy không điều kiện Nguyễn Tự Cường [4] đưa câu trả lời trọn vẹn cho vấn đề mở R Y Sharp sau 2.4.3 Mệnh đề Hàm số l  M /( x1n , , xdn )M  đa thức theo n với n d hệ tham số x   x1 , , xd  u.p-dãy Khái niệm u.p-dãy lúc đầu đưa với mục đích giải vấn đề Sharp Về sau, khái niệm ứng dụng nhiều vào lĩnh vực khác Đại số giao hoán Đặc biệt nghiên cứu môđun thương suy rộng Sharp, u.p-dãy sử dụng công cụ hữu hiệu để tính độ dài thương suy rộng Sau thấy u.p-dãy dùng để đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng 26 2.4.4 Bổ đề Một R-môđun M Cohen-Macaulay suy rộng tồn hệ tham số u.p-dãy dãy quy lọc Chứng minh Điều kiện cần bổ đề hiển nhiên Ta cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử x   x1 , , xd  dãy quy lọc Khi áp dụng cơng thức Auslander-Buchsbaum, với ý e  xi1 , , xd ;  x1 , , xi1  M : xi /  x1 , , xi1  M   , x dãy quy lọc, ta nhận  lM  n, x   l  x1n , , xdn1  M : xdn /  x1n , , xdn1  M n d 1 d d 1  đa thức với Vậy ta suy đa thức khơng phụ thuộc vào nd Hốn vị thứ tự dãy x   x1 , , xd  ta tiếp tục suy lM  n, x  không phụ thuộc vào n   n1 , , nd  n Như lM  n, x  hàm n , điều □ chứng tỏ M môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.4.5 Định lý Cho M môđun lọc giả sử M không môđun CohenMacaulay suy rộng Khi hệ tham số M u.p-dãy Chứng minh Giả sử hệ tham số x   x1 , , xd  M u.p-dãy Theo giả thiết x dãy quy lọc Vậy theo Định lý 2.4.4 M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Điều trái với giả thiết nên x u.pdãy □ 2.4.6 Chú ý Tồn môđun môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Như biết, mơđun lọc có tính chất tốt như: Nếu M mơđun lọc M p Cohen-Macaulay với iđêan nguyên tố p  m Hơn nữa, R vành thương vành CohenMacaulay R-mơđun lọc mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Mặc dù có tính chất tốt Định lý 2.4.5 cho ta thấy 27 môđun lọc khơng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng không tồn hệ tham số u.p-dãy 28 Kết luận Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo [8] [10] tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày lại kết môđun lọc Cụ thể chúng tơi hồn thành việc sau Trình bày định nghĩa mơđun lọc Trình bày số tính chất đặc trưng mơđun lọc Xét mối quan hệ môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Phượng (2009), Về dãy quy lọc, luận văn thạc sỹ Toán học, trường Đại học Vinh [2] Ngơ Sỹ Thuỷ (2005), Một số tính chất môđun giả Cohen Macaulay môđun giả Cohen Macaulay suy rộng, luận văn thạc sỹ Toán học, trường Đại học Vinh [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, Nhà xuất đại học sư phạm Tiếng Anh [4] Nguyen Tu Cuong (1990), On the length of the powers of systems of parameters in local ring, Nagoya Math J Vol 120, 77-88 [5] Nguyen Tu Cuong, P Schenzel and Ngo Viet Trung (1978), Verallgemeinerte Cohen-Macaulay module, Math Nachr 85, pp.57-75 [6] P Schenzel (2004), On the dimension and Cohen-Macaulay filtered modules, J Algebra, 751-770 [7] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Length of certaineneralized fractions, J Pure Appl Algebra, 38, 323-336 [8] J Stückrad and W Vogel (1986), Buchsbaum rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, Newyork [9] Ngo Viet Trung (1986), Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules, Nagoya Math J.Vol.102 [10] K Yamagishi (1992), Recent aspect of the theory of Buchsbaum modules preprint (unpublished) ... mơđun lọc hay cịn gọi f  mơđun hệ tham số M dãy quy lọc M Vành địa phương R gọi vành lọc hay gọi f-vành R mơđun lọc 2.2 Một số tính chất đặc trưng môđun lọc Ta biết x :  x1 , , xd  hệ tham số. .. môđun lọc? ??……………… .……… 13 2.2 Một số tính chất đặc trưng mơđun lọc? ??…… 15 2.3 Điều kiện để môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 20 2.4 Tính chất mơđun lọc khơng mơđun Cohen-Macaulay suy... mơđun lọc Vậy định lý chứng □ minh 2.4 Tính chất môđun lọc môđun CohenMacaulay suy rộng Trong tiết trước ta thấy môđun Cohen-Macaulay suy rộng môđun lọc Tuy nhiên điều ngược lại đúng, nghĩa tồn môđun