Động lực học của hai mức trong trường điện từ

Lời cảm ơn! Tôi xin phép đ-ợc bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo khoa Vật lý chuyên ngành Quang học l-ợng tử đà tạo điều kiện truyền thụ kiến thức để hoàn thành khoá học Tôi xin phép đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy giáo TS Võ Thanh C-ơng Thầy đà trực tiếp định h-ớng giúp kiến thức, ph-ơng pháp nghiên cứu nh- đà giúp v-ợt qua khó khăn để hoàn thành luận văn Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn NGƯT PGS TS Đinh Xuân Khoa, PGS.TS Nguyễn Huy Công, TS §inh Phan Kh«i, TS Ngun Huy B»ng, TS Ngun ViƯt H-ng, TS Mai Văn L-u thầy hội đồng bảo vệ đà có nhiều đóng góp dẫn quý báu để giúp hoàn thành luận văn Nhân dịp xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới bạn lớp cao học 17 chuyên ngành Quang học đà giúp đỡ suốt khóa học Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Bùi Quốc Dũng MụC LụC Trang Mở đầu CHƯƠNG I: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC TRạNG tháI CHUYểN TĩNH 1.1 Ma trận mật ®é PhÐp gÇn ®óng sãng quay (RWA) 12 1.2.1 Sóng quay 12 1.2.2 Phép gần sóng quay 13 1.3 Ph-ơng trình Bloch quang học cho nguyên tử hai mức 16 1.3.1 Ph-ơng trình OBE cho nguyên tử hai mức 16 1.3.2 Các lực tác động lên nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ 20 1.4 Tìm nghiệm tổng quát ph-ơng trình Bloch cho nguyên tử trạng thái tĩnh 21 1.5 Nguyên tử hai møc sãng dõng 25 KÕt luËn ch-¬ng I 27 CHƯƠNG II: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC TRạNG thái CHUYểN ĐộNG 28 2.1 Lực t-ơng tác tr-ờng điện từ lên nguyên tử hai mức 28 2.2 Các lực t-ơng tác nguyên tử hai mức với tr-ờng điện từ 32 2.2.1 Lực gradient áp lực phân rà t-ơng tác nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ 2.2.2 Các nguyên lí làm lạnh Kết luận ch-ơng II 32 35 42 CHƯƠNG III: CHUYểN §éNG CđA NGUY£N Tư HAI MøC TRONG BÉY CđA TR¦êNG ĐIệN Từ 43 3.1 Lực t-ơng tác nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ 43 3.2 Hệ số khuếch tán 45 3.3 Các đại l-ợng đặc tr-ng cho bẫy 52 KÕt luËn ch-¬ng III 55 KÕt luËn chung 56 Tài liệu tham khảo 57 Lời Mở ĐầU Kề từ laser đời năm 1960, laser đà phát triển nhanh chóng với mật độ công suất lớn tính định h-ớng cao chùm laser, trở thành công cụ mạnh mẽ việc khảo sát t-ơng đà đ-ợc đề xuất để tiến hành thí nghiệm trao đổi xung l-ợng photon với nguyên tử phân tử Vì sử dụng ánh sáng laser để làm thay đổi chuyển động (tăng tốc giảm tốc) nguyên tử V S Letokhov đà đề nghị bẫy nguyên tử với tr-ờng điện từ vào năm 1968 Sau đó, năm 1970 A Ashkin dẫn xuất lực áp suất ánh sáng nguyên tử cộng h-ởng với chùm ánh sáng Làm lạnh laser h-ớng nghiên cứu có nhiều thành công lớn năm qua đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm Để hiểu sâu sắc chất việc sử dụng laser làm lạnh ta không đề cập đến động lực học nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ (laser) Năm 1975, T W Họnsch A L Schawlow đà đề xuất ánh sáng laser đ-ợc dụng để làm lạnh nguyên tử tự Các thử nghiệm thành công làm lạnh laser đ-ợc thực V I Balykin V S Letokhov Moscow W D Phillips cộng tác viên Gaithersburg năm 1980 Sự phát triển ph-ơng pháp làm lạnh laser nhanh chóng xuất hiện, W D Phillips, S Chu C Cohen-Tannoudji phát triển để làm lạnh khí d-ới nhiệt độ giới hạn Doppler làm lạnh kim loại kiềm xuống nhiệt độ khoảng 100nK cần cho ng-ng tụ Bose -Einstein (BEC) Đầu tiên S.Chu cộng phòng thí nghiệm Bell Laboratories đà bẫy đ-ợc nguyên tử chậm vào tr-ờng quang học Cái bẫy đà đ-ợc lấp đầy nguyên tử bị làm lạnh cấu hình laser ba chiều gọi là: quánh quang học Do ®ã nghiªn cøu ®éng lùc häc cđa nguyªn tư chun động việc làm cần thiết cho ng-ời bắt đầu nghiên cứu vấn đề Đó lí chọn đề tài: Động lực học nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ Trên sở nội dung đề tài đ-ợc trình bày ba ch-ơng theo bố cục sau: CHƯƠNG I: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC TRạNG THáI TĩNH Trong ch-ơng trình bày số khái niệm nh- sau: - Ph-ơng trình Bloch quang học (OBE) đ-ợc xây dựng từ ph-ơng trình dòng Louville -Von Neumann l-ợng tử Với cách trình bày đại l-ợng thời gian sống dọc thời gian sống ngang đ-ợc đ-a vào ph-ơng trình OBE - Víi phÐp biÕn ®ỉi Unitar, phÐp biÕn ®ỉi hƯ sở không gian biểu diễn, đà xây dựng cách có hệ thống định nghĩa ý nghĩa toán học nh- ý nghĩa vật lí sóng quay phép gần sóng quay (RWA) - Đ-a giải pháp tìm nghiệm tổng quát ph-ơng trình OBE cách quy ph-ơng trình OBE dạng ph-ơng trình vi phân phi tuyến Riccati, từ đ-a lời giải cho tr-ờng hợp riêng tr-ờng hợp giao thoa kế Ramsey - Các loại lực để nghiên cứu động học ph-ơng trình Bloch đ-ợc định nghĩa tính toán ch-ơng Đề cập tới nguyên tử hai mức sóng dừng loại lực tr-ờng hợp CHƯƠNG II: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC TRạNG thái CHUYểN ĐộNG Trong ch-ơng giải vấn đề sau: - Với điều kiện ta đ-a khái niệm lực vào lý thuyết l-ợng tử t-ơng tác nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ (TTNTHM&TĐT) - Tr-ờng điện từ không t-ơng tác với nguyên tử trạng thái Trạng thái hai mức nguyên tử không bền vững giá trị moment dipole có thăng giáng l-ợng tử Chúng biện luận điều kiện cần thiết để xem giá trị moment l-ỡng cực không đổi - Điều kiện để toán TTNTHM&TĐT quy toán va chạm hạt photon với nguyên tử hai mức Từ giải thích TTNTHM&TĐT có hai lực lực gradient áp lực phân rà giải thích chất lực - Nh- lực phải phụ thuộc vào vận tốc, toạ độ, thời gian nhiều đại l-ợng khác Tìm c¸c biĨu thøc t-êng minh cđa c¸c lùc - BiƯn luận lực chế làm lạnh xét phụ thuộc lực vào dạng tr-êng bøc x¹, vÝ dơ nh- chïm bøc x¹ cã dạng Gao-xơ chùm xạ tạo thành sóng dừng CHƯƠNG III: CHUYểN ĐộNG CủA NGUYÊN Tử HAI MứC TRONG BẫY CủA TRƯờNG ĐIệN Từ Dựa kết ch-ơng II đà tính biểu thức chi tiết đại l-ợng đặc tr-ng cho bẫy trình làm lạnh nh-: - Hệ số khuếch tán ánh sáng tính chi tiết cho tr-ờng hợp hƯ sè hƯ sè khch t¸n ¸nh s¸ng phơ thc vào thông số bÃo hoà S - Thời gian c- tró bÉy, chiỊu s©u cđa bÉy - TÝnh chi tiết thông số cho dạng sóng laser xạ khác đ-a nhận xét loại dạng sóng laser làm bẫy tốt Luận văn đ-ợc hoàn thành dựa lý thuyết l-ợng tử, quang l-ợng tử số kiến thức toán học nh-: đại số ma trận, ph-ơng trình vi phân phi tuyến Các kiến thức đ-a kiến thức l-ợng tử cần thiết cho nghiên cứu làm lạnh ph-ơng pháp xạ laser lên nguyên tư hai møc Hy väng c¸c kiÕn thøc bổ ích cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu vấn đề ch-ơng I ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC TRạNG THáI TĩNH Trong ch-ơng trình bày số đề nh- ma trận mật độ, ý nghĩa vật lý phép biến đổi toán học phép gần sóng quay, ph-ơng trình Bolch quang học Ph-ơng trình OBE xây dựng nhiều cách khác có nhiều ph-ơng pháp giải khác ví dụ nh- [1, 2, 3] Trong phần chọn ph-ơng pháp xây dựng ph-ơng trình OBE theo ph-ơng trình dòng Louville -Neumann l-ợng tử Với lựa chọn đại l-ợng thời gian sống dọc, thời gian sống ngang đ-ợc đ-a vào OBE cách logic chọn ph-ơng pháp giải ph-ơng trình OBE cách quy ph-ơng trình vi phân phi tuyến Riccati, từ đ-a lời giải cho tr-ờng hợp vật lí: tr-ờng hợp giao thao kế Ramsey Các loại lực để nghiên cứu động học ph-ơng trình Bloch đ-ợc tính toán ch-ơng Phần cuối ch-ơng đề cập tới nguyên tử hai mức sóng dừng loại lực tr-ờng hợp 1.1 Ma trận mật độ Giả sử hàm sóng mô tả trạng thái l-ợng tử Trong x-biểu diễn hàm sóng (đà chuẩn hóa) cã thĨ viÕt d-íi d¹ng: ( x, t )   Cn (t ) n ( x) (1.1) n n (x) hàm riêng toán tử Hamilton: H n(x) =n n(x) Trong E - biĨu diƠn, hàm sóng | > biểu diễn d-ới dạng ket vÐct¬ theo ký hiƯu cđa Dirac:    C1    |    C2   Cn Với véctơ Dirac ta có kí hiệu sau: - Véctơ liên hợp ecmit | > bra véctơ: | (C1* , C2* , , Cn* ) - Tích vô h-ớng hai véctơ (2 chiều): a, b | c, d  ac  bd - Tích tenxơ hai véctơ (2 chiều): ac ad  | a, b  c, d |   bc bd Các hàm sóng toán tử Hamilton không t-ơng tác H0 l-ợng biểu diễn đ-ợc mô tả: |1   ;     0   0   1  |    ;     0   0   0 | n    ;     1      0        , H   0          0  n    H | i   i | i  (i=1,2, ,n) Ví dụ: Ta xét nguyên tử hai mức không t-ơng tác với mức l-ợng -  , lóc ®ã: 2 1  | 1> =   ; 0      0     z |2> =   ; H0=     1  0      Nếu nguyên tử đặt tr-ờng ngoài, lúc Hamilton toàn phần là: V    z  V x , H=     V    z x ma trận Pauli 10 Định nghĩa: Tích tenxơ véctơ | > với véctơ liên hợp ecmit E - biểu diễn = | | đ-ợc gọi ma trận mật độ Trong x-biểu diễn phần tử ma trận mật độ có dạng: mn = CnCm* (1.2) Từ định nghĩa ta có: Phần tử ii xác xuất đo đ-ợc trạng thái | > có giá trị l-ợng i Phần tử im xác xuất quan sát t-ơng tác trạng thái < m| | i > Các phần tư cđa ma trËn mËt ®é cã mét sè tÝnh chÊt sau: TÝnh chÊt 1: Tr =  nn = (xác suất đo trạng thái | > có giá trị n l-ợng 1, 2, n 1) Tính chất 2: mn có giá trị không âm Tính chất 3: Nếu A toán tử mô tả đại l-ợng A giá trị trung bình đại l-ợng A < A > = Tr(A) A ma trận mô tả toán tử l-ợng biểu diễn [16]: A Amn=  *n ( x, y, z) A m ( x, y, z )dV (1.3) ®ã  n ( x, y, z ) (n = 0, 1, 2, …) lµ hàm riêng toán tử Haminton x-biểu diễn Theo ®Þnh nghÜa, ta cã:  A11 A12 A13   C1    A21 A22 A23   C2   * * *,   Cn Cm* A nm < Aˆ >   | A |   (C1 , C2 , C3 )   A A A  C   31 32 33    n ,m      (1.4) Kết hợp (1.2) (1.4), ta đ-ợc kết qu¶ sau: ˆ  ρ A  ( A) = Tr(A) A  nm mn  nn n,m (1.5) n Tính chất 4: Ma trận mật độ thoả mÃn ph-ơng trình chuyển động dòng Louville -Neumann: 44 ee ; ge ; eg ; gg ; W lµ phần tử ma trận mật độ nguyên tử hai mức đà đ-ợc định nghĩa ch-ơng I Để tính hệ số khếch tán ánh sáng tr-ớc tiên ta điểm lại số điểm lực t-ơng tác nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ Haminton toàn phần có dạng: H field H atome  d E ( x) ®ã H field Hamilton tr-ờng điện từ, H atome Hamilton nguyên tử, d moment l-ỡng cực nguyên tử  vµ E ( x)  Eeit  E eit tr-ờng điện từ xạ Lực t-ơng tác nguyên tử hai mức tr-ờng điện từ f đ-ợc tính nh- ch-ơng I: f dP A   (d eg E ( x, t ))  H c dt (3.1) ®ã kÝ hiƯu H.c dạng liên hợp ecmit (Hermitian-conjugate) Ta viết lại công thøc (3.1): f   g  H c , (3.2) ®ã: g  d eg E ( x, t ) (3.3) NÕu ta kÝ hiÖu: g  G  Ta cã thĨ biĨu diƠn g d-íi d¹ng: g  (  i  )g , (3.4) giá trị thực VÝ dơ nh-: g  uei víi u vµ  lµ thùc ta cã    ln u vµ lực f đ-ợc biểu diễn d-ới d¹ng: f   i ( g *     g   * )     g *     g   * Ta có kết nh- công thức (1.29) 45 Tiến hành t-ơng tự nh- ch-ơng I, ta đ-ợc: g , , =  (1  S ) 1+S (3.5) | g |2 ®ã    /  i , độ di tần S đ-ợc định nghĩa (1.34) | |2 Tính t-ơng tự ta đ-ợc: S ( / 2) 1 S f  (3.6) 3.2 HƯ sè khch t¸n Đối với tr-ờng điện từ đơn mode nguyên tử chuyển động với vận tốc không lớn trạng thái giả dừng ta định nghĩa hệ số khuếch tán ánh sáng Dd nh- thăng giáng l-ợng tử lực t-ơng tác [11]: Dd  d ( P.P    P 2 ) dt (3.7) P xung l-ợng nguyên tử Theo l-ợng tử ta có: 2Dd d (  * P.PdV  (  * PdV )2 ) dt   * d d ( P.P)dV  (  * PdV )2 dt dt Theo học cổ điển f dP P  f (t )dt ®ã thêi ®iĨm t  thời dt điểm xét, t (trong tr-ờng hợp nh- yêu cầu t ) đ-ợc tính từ thời điểm nguyên tử đ-ợc bơm lên hai mức lần cuối tr-ớc thời điểm xét Với hai toán tử P f Hecmit từ ta đ-ợc: Dd Re( P f    P   f )  Re  dt[