Hình học cầu n chiều

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH TÙNG HÌNH HỌC CẦU N – CHIỀU Chun ngành: HÌNH HỌC – TƠPƠ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY BÌNH VINH, 2011 MỤC LỤC Trang Mở đầu…………………………………………………………………… Chƣơng KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU………………………… §1 Khơng gian cầu n chiều……………………………………… §2 Phép đẳng cự cầu……………………………………………… 10 §3 Trắc địa cầu…………………………………………………… 14 §4 Độ dài cung mặt cầu……………………………………… 23 §5 Thể tích cầu…………………………………………………… 27 Chƣơng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU………… 31 §1 Tam giác cầu………………………………………………… 31 §2 Một số tính chất tam giác cầu…………………………… 34 §3 Các trường hợp hai tam giác cầu… ………… 37 Kết luận………………………………………………………………… 40 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 41 LỜI NĨI ĐẦU Hình học phi Ơclit được bắt đầu công trình nghiên cứu Lobachevsky (được Lobachevsky gọi hình học trừu tượng) phát triển Bolyai, Gauss, Riemann…Trong hình học hình học cầu xem phát triển song song hình học hyperbolic Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất chung, hình học cầu n chiều Với mục đích đó, chúng tơi xây dựng khái niệm không gian cầu n chiều với metric nội Từ đó, chúng tơi nghiên cứu tính chất hình học mặt cầu, đồng thời trình bày cách chi tiết có hệ thống kiến thức phép biến đổi mặt cầu, đường trắc địa mặt cầu số yếu tố hình học mặt cầu n chiều Luận văn đề cập đến yếu tố hình học cầu tam giác cầu mặt cầu chiều Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chƣơng 1: KHƠNG GIAN CẦU n – CHIỀU Trong chương xây dựng khơng gian cầu n - chiều, trình bày tính chất tơpơ mặt cầu n - chiều mục §1 Khơng gian cầu n chiều Trình bày phép đẳng cự khơng gian Ơclit, từ xây dựng phép đẳng cự mặt cầu xem xét mối quan hệ chúng mục §2 Phép đẳng cự cầu Ở mục §3 Trắc địa cầu, chúng tơi đưa khái niệm cung trắc địa, đường trắc địa không gian Ơclit không gian cầu, khẳng định đường trắc địa mặt cầu đường tròn lớn Chúng tơi trình bày yếu tố độ dài cung mặt cầu theo metric cầu thể tích cầu hai mục §4 Độ dài cung mặt cầu §5 Thể tích cầu Chƣơng 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU Chương gồm mục sau: §1 Tam giác cầu Trong mục xây dựng cách chi tiết khái niệm tam giác cầu §2 Một số tính chất tam giác cầu Trình bày tính chất góc, cạnh tam giác cầu, định lí sin, định lí cosin tam giác cầu Ở mục xét diện tích tam giác cầu §3 Các trường hợp hai tam giác cầu Trong mục chúng tơi đưa khái niệm hai hình thơng qua phép đẳng cự Từ xét trường hợp hai tam giác cầu S n Luận văn hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 Tác giả chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS Nguyễn Duy Bình, người đặt đề tài hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Sau đại học, thầy khoa Tốn, đặc biệt thầy tổ mơn Hình học – Tơpơ trường Đại học Vinh, thầy Phịng Quản lí khoa học trường Đại học Hải Phịng, gia đình, đồng nghiệp bạn học viên K17 chuyên ngành Hình học – Tơpơ nhiệt tình giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Hải Phịng, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chƣơng KHÔNG GIAN CẦU n - CHIỀU §1 KHƠNG GIAN CẦU n – CHIỀU Khoảng cách không gian Ơclit ¡ n+ xác định d E  x, y   x  y , với " x, y Î ¡ Mặt cầu tâm I, bán kính r không gian Ơclit ¡ { S (I, r ) = x Ỵ ¡ n+ n+ n+ định nghĩa } : d E (I, x ) = r Bằng phép đồng dạng ta dễ dàng chuyển mặt cầu S  I,r  mặt cầu đơn vị { Sn = x Ỵ ¡ n+ } : x = Do đó, để nghiên cứu tính chất liên quan đến khoảng cách mặt cầu tổng quát S  I,r  ta cần nghiên cứu mặt cầu Sn Khoảng cách Ơclit Sn cho công thức: d E  x, y   x  y , với x, y  Sn Khoảng cách thoả mãn mục tiêu cần thiết khơng có sẵn Sn, định nghĩa từ phần tử cấu trúc không gian véctơ ¡ n+ Ta xác định khoảng cách nội Sn, trước tiên ta xem xét lại tích có hướng ¡ 1.1 Tích có hƣớng hai véc tơ 1.1.1 Định nghĩa Cho x = (x1; x2; x3) y = (y1; y2; y3) véctơ ¡ Tích có hướng x y véc tơ, kí hiệu x  y xác định bởi: x xy   y2 x3 y3 ; x3 x1 y3 y1 ; x1 y1 x2   y2  Khi tính tốn trực tiếp ta có định lí sau 1.1.2 Định lí Cho x, y, z véctơ ¡ Khi ta có: (1) x  y = – y  x, (2) x1 x (x  y).z = y1 y z1 x3 y3 , z2 z3 (3) (x  y)  z = (x z)y – (y z)x, (4) (x  y) (z  w) = x.z x.w y.z y.w Cho x, y, z véctơ ¡ Số thực (x  y).z gọi tích hỗn tạp x, y, z Từ Định lí 1.1.2 (2) ta có (x  y).z = (y  z ).x = (z  x) y Nên giá trị tích hỗn tạp ba véc tơ x, y, z không đổi véc tơ hốn vị cách tuần hồn Do đó, ta có (xy).x = (xx).y = (xy).y = (yy).x = Hơn nữa, từ Định lí 1.1.2 (4), x  0, y  ta có (x  y).(x  y) = x.x x.y 2 2  x y   x y cos  x, y     x y sin   x, y   x.y y.y Vì vậy, ta có hệ 1.1.3 Hệ Với x, y thuộc ¡ , ta có: a) x  y vng góc với x y b) Nếu x  0, y  |x  y| = |x|.|y|.sin(x,y), (x, y) góc Ơclit x y 1.2 Metric cầu Cho x, y hai véc tơ Sn   x, y  góc Ơclit x y Đặt dS  x, y     x, y  (rad) Ta dễ thấy  dS  x, y    dS  x, y     x   y Với x, y thuộc Sn, x = – y ta nói x y xuyên tâm đối 1.2.1 Chứng minh Định lí Hàm dS metric Sn Ta có dS hàm khơng âm, khơng suy biến đối xứng với x, y thuộc Sn Thật vậy: + dS  x, y     x, y   0, x, y  Sn ,  x, y  Sn + dS  x, y      x  y,  x, y hướng + dS  x, y     x, y     y, x   dS  y, x  Hơn dS thoả mãn bất đẳng thức tam giác, tức là: dS  x,z   d  x, y   d  y,z  , x, y,z Sn Thật vậy, với ba véc tơ x, y, z tạo nên không gian ¡ n+ có số chiều lớn nên ta giả sử x, y, z nằm không gian ¡ n+ sinh e1, e2, e3 Nói cách khác ta giả sử n = Do ta xét trường hợp sau:    x, y     Nếu  hiển nhiên   x, y     y,z     x,z     y,z    Nếu   x, y     y,z    cos    x, y     y,z    cos   x, y cos   y,z   sin  x, y sin  y,z  = (x y)(y z) – |x  y|.|y  z|  (x y)(y z) – (x  y).(y  z) = (x y)(y z) – ((x y)(y z) – (x z)(y y))  x.z  cos  x,z  Suy   x, y     y,z     x,z  Vì vậy: dS  x,z   d  x, y   d  y,z  □ 1.2.2 Định nghĩa Cho x, y hai véc tơ Sn   x, y  góc Ơclit x y Metric dS xác định dS  x, y     x, y  , gọi metric cầu 1.2.3 Mệnh đề Với x, y Ỵ Sn ta có d E  x, y  d  x, y   sin S 2 Chứng minh Với x, y Ỵ Sn ta có x.y = x y cosq(x, y)= cosq(x, y) 2 Lại có (d E (x, y)) = x - y = x + y - 2xy = - 2xy Do (d E (x, y)) = 2(1- xy)= 2(1 - cosq(x, y))= 4sin Mà £ q(x, y) q(x, y) p q(x, y) £ Þ sin ³ 2 Vậy d E  x, y    x, y  d  x, y   sin  sin S □ 2 1.3 Không gian cầu 1.3.1 Định nghĩa Không gian metric Sn với mêtric cầu dS gọi không gian cầu n chiều Sn ,dS  , ta kí hiệu Sn 1.3.2 Định nghĩa Đường trịn lớn Sn giao Sn không gian hai chiều ¡ n+ Do Mệnh đề 1.2.3, ta có tơpơ Sn xác định mêtric dS trùng với tôpô Sn xác định metric dE 1.3.3 Mệnh đề Sn không gian tơpơ compact Chứng minh Ta có Sn không gian không gian tô pô ¡ Với M thuộc ¡ n+ n+ \ Sn , O tâm mặt cầu Sn, gọi N giao điểm đường thẳng OM mặt cầu Sn Đặt   d  M , N > Gi ổ eử ữ= B ỗỗM, ữ ỗố ữ ữ ứ ớùù ỡX ẻ Ă ùợù n+ : d (M, X ) < ïï eü   ý Dễ thấy B  M , l m cha M v 2 ùỵ  ï   B M ,   ¡ 2  n+ \ Sn Do ¡ n+ \ Sn tập mở hay Sn tập đóng ¡ Hơn nữa, dễ thấy Sn bị chặn ¡ ¡ n+ n+ n+ Do Sn compact không gian Vậy Sn không gian tôpô compact □ 1.3.4 Mệnh đề Sn không gian liên thơng tuyến tính Chứng minh Với hai điểm tùy ý p, q  Sn ta ln có đường trịn lớn Sn chứa p q Do Sn khơng gian liên thơng tuyến tính 1.3.5 Định nghĩa đa tạp khả vi Cho M không gian Hausdoff a Nếu U mở M, U* tập mở ¡ n+  : U  U * đồng phơi  U, gọi đồ M b Với p  U   p   R n , nên   p    x1; x ; ; x n  Khi  x1; x ; ; x n  gọi tọa độ p  U,  U, gọi hệ tọa độ địa phương c Hai đồ  U1 ,1   U2 ,2  M với U1  U2   , gọi phù hợp ánh xạ 2 1 vi phôi Khi U1  U2   ta quy ước  U1 ,1   U2 ,2  phù hợp  d Họ đồ A = U i , i iI  M thỏa mãn:   Ui  M, iI   Ui ,i   U j , j  phù hợp với i khác j, gọi Atlat M Một atlat không bị chứa thực atlat gọi atlat tối đại Nếu A atlat tối đại M A gọi cấu trúc khả vi M e Một khơng gian Hausdoff M có cấu trúc khả vi gọi đa tạp khả vi 10 1.3.6 Mệnh đề Sn đa tạp khả vi Chứng minh Trong khơng gian ¡ n+ mặt cầu Sn có phương trình: x12  x 22   x 2n  x 2n 1  Ta có Sn không gian Hausdoff Ta xét họ Ui i1 xác định sau: 2n  Ui   x1, x , , x n 1   Sn : x i  0,i  1,2, ,n  Uin 1   x1 , x , , x n 1   Sn : x i  0,i  1,2, ,n  Ta chứng minh Ui i1 Atlat Sn 2n  Xét ánh xạ i :   1;1  Ui  (x1 , x , , x i , , x n 1 )  Sn : x i  0 xác định n j1  i (x1 , x , , x i1, x i1, , x n 1 )  x1, x , ,  x12   x i21  x i21   x n2 1 , , x n 1  Khi dễ thấy i song ánh i hàm liên tục n Lại có: i1 : Ui    1;1 với j1   i x1 , x , ,  x12   x i21  x i21   x n2 1 , , x n 1  (x1 , x , , x i 1, x i 1, , x n 1 ) hàm liên tục Vậy i ánh xạ đồng phôi, hay  Ui ,i  đồ Sn Mặt khác ta có Ui phù hợp với Uj với i, j = 1, 2, …, n+1 Vậy Ui , i i1 Atlat Sn, từ xác định Atlat tối đại (cấu 2n  trúc khả vi) nên Sn đa tạp khả vi □ 28 Do  cầu trường Sn  cầu trường đo ¡ n+ *) Giả sử P   tập hợp   ,    sup   (s), (t)  : t  s   lE  ,P  Khi ta có lS  ,P     / 12 Từ đó, ta thu được:  S  E   / 12 Vì  : a,b  Sn hàm liên tục Sn nên   ,      Do  S   E Mà  E   S Vậy  S   E §5 THỂ TÍCH CẦU Cho x(x1, x2, …, xn+1) véc tơ ¡ n+ cho xn, xn+1 khác Toạ độ cầu  , 1, 2 , , n  x xác định sau: (1)   x  x12  x 22   x n2 1 , (2) i    ei , xiei  x i1ei1   x n 1en 1  với i < n, (3) n góc cực từ en đến x n en  x n 1en 1 Toạ độ cầu x thoả mãn hệ phương trình: x1  .cos1 , x  .sin 1cos2 , (1.5.1) x n  .sin 1 sin n1cosn , x n 1  .sin 1 sin n 1 sin n Tính tốn trực tiếp ta thu được: (1) x x  ,  x (1.5.2) 29 (2) x   sin 1 sin i1 , i (1.5.3) (3) x x x x trực giao , , , ,  1 2 n (1.5.4) Hơn nữa, véc tơ (1.5.4) tạo thành hệ toạ độ định hướng dương, định thức Jacobi phép biến đổi toạ độ cầu  , 1, 2 , , n   x1, x , , x n1  n sin n 1 1 sin n 2 2 sin n 1  Phép tham số hoá toạ độ cầu ánh xạ: g : 0,  n 1 x 0,2  Sn xác định g  1, 2 , , n    x1, x , , x n 1  , xi biểu thị qua 1, 2 , , n theo phương trình (1.5.1) với   Ánh xạ g toàn ánh đơn ánh tập mở  0;   n 1 x  0;2 Tập X Sn gọi đo Sn g 1  X  đo Rn Đặc biệt, tập Borel Sn đo Sn Cho X tập đo Sn Chia nhỏ khối hộp 0,  n 1 x 0,2 thành khối lưới hộp Khối lưới hộp 12 n giao với g 1  X  tương ứng tạo thành miền Sn Miền xấp xỉ khối lưới hộp sinh véc tơ g g g 1, 2 , , n (thuộc không gian tiếp xúc Sn) Thể 1 2 n tích tính g g g 1 2 n  sin n 1 1 sin n 2 2 sin n 12 n 1 2 n Khi độ nhỏ phép chia tiến tới 0, tổng thể tích X khối hộp xấp xỉ tới thể tích X Do thể tích cầu X xác định bởi: Vol  X    1 g (X) sin n 1 1 sin n 2 2 sin n 1d1d2 dn (1.5.5) 30 5.1 Mệnh đề Thể tích cầu độ đo bất biến đẳng cự Sn, tức thể tích X Sn khơng thay đổi ta tác động lên phép đẳng cự Chứng minh Giả sử X tập đo Sn  phép biến đổi trực giao ¡ n+ Khi   X  tập đo Sn thể tích   X  đo với tham số  g Sn Vì  biến khối hộp sinh véc tơ g g g 1, 2 , , n 1 2 n thành khối hộp sinh véc tơ (g) (g) (g) 1, 2 , , n Do theo cách xây dựng thể tích ta 1 2 n có Vol  (X)   Vol  X  5.2 Định lí Yếu tố thể tích cầu nửa cầu xn+1 > 0, với hệ toạ độ Ơclit x1, …, xn dx1dx dx n 1    x12  x 22   x n2  (1.5.6) Chứng minh Sẽ thuận lợi ta chứng minh yếu tố thể tích cầu nửa cầu x1 > , với hệ toạ độ x2, …, xn+1, dx 2dx dx n 1 1    x 22  x 32   x 2n 1  Sau dùng phép biến đổi toạ độ đơn giản ta thu (1.5.6) n 2   Xét phép biến đổi g :  0,  x  0,   x  0,2   R n ,  2 xác định g  1, , n    x , , x n 1  , xi, i  1,n biểu thị 1, 2 , , n theo (1.5.1) với   31 Theo (1.5.4) vec tơ g g g trực giao Do định thức , , , 1 2 n Jacobi phép biến đổi g Jg  1, , n   g g  cos1 sin n 1 1 sin n 2 2 sin n 1 1 n Bằng cách biến đổi qua g ta có  g 1 X   sin n 1 1 sin n 2 2 sin n 1d1d2 dn  dx dx n 1    1  x 22  x 32   x 2n 1    p X  với p : Sn ® ¡ dx dx n 1 x1 gg 1 X   phép chiếu, p  x1, x , , x n 1    x , , x n 1  n+ 5.3 Ví dụ Cho B  x, r  đĩa cầu S2 với tâm điểm x bán kính r Khi chu vi, diện tích B  x, r  2 sin r 2 1  cos r  Chứng minh Theo Định lí 4.2.1 độ dài cung cầu cung độ dài Ơclit cung nên chu vi đĩa cầu chu vi đường tròn Ơclit, biên B  x, r  , có bán kính sin r Do chu vi đĩa cầu x B  x, r  là: 2 sin r sin r Áp dụng (1.5.5) ta có diện tích B  x, r  là: S B x , r   1  g ( B x , r  ) r 2 sin 1d 1d 2 O    sin 1d 1d 2   2 cos 1  2 1  cos r  0 r r 32 Chƣơng 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU §1 TAM GIÁC CẦU Giả sử x, y, z ba điểm không cộng tuyến cầu S2, khơng có hai điểm ba điểm x, y, z xuyên tâm đối Gọi S(x, y) đường tròn lớn S2 chứa x y, gọi H(x, y, z) nửa cầu đóng S2 với biên S(x, y) nhận z làm điểm Tam giác cầu với đỉnh x, y, z định nghĩa T  x, y,z   H  x, y,z  H y,z, x  H z, x, y Từ ta giả sử đỉnh tam giác cầu T  x, y,z  kí hiệu theo thứ tự dương hình vẽ y  a c  x z  b Gọi [x, y] cung nhỏ S(x, y) nối x tới y Các cạnh tam giác cầu T  x, y,z  định nghĩa [x, y], [y, z], [z, x] Đặt a    y,z  , b    z, x  , c    x, y  a, b, c độ dài cạnh [x, y], [y, z], [z, x] Gọi f :[0,a]  S2 , g :[0,b]  S2 , h :[0,c]  S2 tương ứng cung trắc địa từ y đến z, từ z đến x từ x đến y Góc  cạnh [z, x] [x, y] định nghĩa góc – g’(b) h’(0) Tương tự góc  cạnh [x, y] [y, z] định nghĩa góc – h’(c) f’(0), góc  cạnh [y, z] [z, x] định nghĩa góc – f’(a) g’(0) Các góc , ,  gọi góc tam giác cầu T  x, y,z  Các cạnh [x, y], [y, z], [z, x] tương ứng gọi cạnh đối diện với góc , ,  33 Nhận xét: Cho tam giác cầu T  x, y,z  Khi đó: a)  a  2,  b  2,  c  2 b)    ,    ,     §2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CẦU 2.1 Bổ đề Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  , thì:   z  x, x  y     ,   x  y, y  z     ,   y  z,z  x      Chứng minh Xem [7] 2.2 Định lí Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z      Chứng minh Gọi , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  Khi  x  y,z  y .z  x    x. z  y   y   y z  y   x .z  x   x.(z  y)  y.(z  x)     y.(z  x)   Do véc tơ x  y,z  y,z  x độc lập tuyến tính Vì véc tơ đơn vị chúng không cộng tuyến cầu Suy   x  y,z  x     x  y,z  y     z  y,z  x  Hay                2.3 Định lí Nếu a, b, c cạnh tam giác cầu T  x, y,z  a  b  c  2 34 Chứng minh Cho tam giác cầu T(x, y, z) Ta có tổng độ đai dài cạnh a, b, c a  b  c    y,z     z, x     x, y  tổng số đo góc tam diện đỉnh O tâm mặt cầu với cạnh Ox, Oy, Oz Do a  b  c  2 2.4 Định lí sin tam giác cầu 2.4.1 Định lí (định lí sin) Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện, thì: sin a sin b sin c   sin  sin  sin  Chứng minh Ta có  z  x    x  y    z. x  y  .x   x. x  y  .z   z. x  y   x   z  x    x  y    z. x  y   x   z  x   x  y  sin    z  x  ,  x  y     z. x  y   x  sin   z, x  sin   x, y  sin  x  z, x  y    z. x, y  sin bsin csin    z. x  y   Tương tự từ  x  y    y  z    x. y  z   y   y. y  z   x   x. y  z   y  sin csin a sin    x. y  z     z. x  y   Và từ  y  z    z  x    y. z  x   z   z. z  x   y   y. z  x   z  sin a sin bsin    y. z  x     z. x  y   Do sin bsincsin   sincsinasin   sinasin bsin  Vậy 2.5 sin a sin b sin c   sin  sin  sin  Định lí cosin tam giác cầu 2.5.1 Định lí (định lí cosin thứ nhất) Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện, thì: 35 cos   cosc  cosa.cos b sin a.sin b Chứng minh Ta có  y  z . x  z    y.x  z.z    y.z  z.x   y  z x  z cos  y  z, x  z    y.x  z.z    y.z  z.x   sin   y,z  sin   x,z  cos  cos  y, x   cos  y,z  cos  z, x   sinasin bcos  cosc  cosa cosb  cos   cosc  cosa.cos b sin a.sin b 2.5.2 Hệ Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện, cosc  sinasin bcos  cosa cosb Cho T  x, y,z  tam giác cầu Theo cách chứng minh Định lí 2.2 véc tơ x  y, y  z, z  x độc lập tuyến tính véc tơ đơn vị tương ứng chúng không cộng tuyến cầu Tam giác cầu  yz z x x y  T'  T , ,  y  z z  x xy   gọi tam giác cực tam giác cầu T  x, y,z  Gọi a’, b’, c’ độ dài cạnh T’  ',  ',  ' góc đối diện tương ứng Theo Bổ đề 2.1, ta có: a '    , b'    , c'     Khi T(x, y, z) tam giác cực T’, ta có:  '    a,  '    b,  '    c Áp dụng định lí cosin thứ cho tam giác cực, ta có cos    c     cosc  cos       cos     .cos      sin     .sin       cos   cos .cos  sin .sin  36  cosc  cos   cos .cos  sin .sin  Do ta có định lí 2.5.3 Định lí (định lí cosin thứ hai) Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện, thì: cosc  cos   cos .cos  sin .sin  2.5.4 Hệ Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện, thì: cos   sin .sin  cosc  cos .cos  2.6 Diện tích tam giác cầu Hình trăng S2 định nghĩa giao hai nửa cầu phân biệt không đối diện S2 Mỗi hình trăng S2 sai khác phép đẳng cự với hình trăng L    định nghĩa hệ toạ độ cực  ,   , với     ,  góc tạo hai cạnh L    hai đỉnh  L  Theo cơng thức (1.5.5) ta có Area  L( )    sin  d d  2 0 Vì L   /  phần tư mặt cầu, diện tích mặt cầu S2 4 2.6.1 Định lí Nếu , ,  góc tam giác cầu T  x, y,z  Area(T)           37 Chứng minh Ba đường tròn lớn mở rộng cạnh T chia nhỏ S2 thành miền tam giác mà cặp đối xứng tâm Hai số miền T –T, sáu miền lại đặt tên là: A, –A, B, –B, C, –C –A  C –B  T B  A –C Cứ hai số cạnh T tạo thành hình trăng với góc ,   Hình trăng với góc  hợp thành T A Do ta có: Area  T   Area  A   2 Tương tự, ta có Area  T   Area  B  2 , Area  T   Area  C  2 Do 3Area  T   Area  A   Area  B  Area  C   2  2  2 Mà Area  T   Area  A   Area  B  Area  C   2 Vì Area  T            §3 CÁC TRƢỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC CẦU 3.1 Định nghĩa hai hình 3.1.1 Định nghĩa Hai hình gọi chúng ảnh qua phép đẳng cự 38 3.1.2 Bổ đề Cho hai đơn hình S(A0, A1,…, An ) S'  A'0 , A1' , , A'n  không gian En với đỉnh tương ứng A0, A1,…, An A'0 , A1' , , A'n thoả mãn d  Ai ,A j   d  Ai' ,A'j  , i,j = 0, n Khi có phép đẳng cự f : E n  E n cho f  Ai   f  Ai'  , i  0,n Chứng minh Xem [5] 3.2 Các trƣờng hợp hai tam giác cầu 3.2.1 Mệnh đề (Trường hợp cạnh-cạnh-cạnh) Cho tam giác cầu T1(x1, y1, z1) có cạnh a1, b1, c1, góc đối diện tương ứng 1, 1,  tam giác cầu T2(x2, y2, z2) có cạnh a2, b2, c2, góc đối diện tương ứng  , 2 ,  Khi tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) a1  a2 , b1  b2 , c1  c2 Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) có a1  a2 , b1  b2 , c1  c2 Khi d E  y1, z1   d E  y2 , z2  , d E  z1, x1   d E  z2 , x2  , d E  x1, y1   d E  x2 , y2  Do theo Bổ đề 3.2 ta có phép đẳng cự F : E  E , thoả mãn F(O) = O, F(x1) = x2, F(y1) = y2, F(z1) = z2 Do F biến cạnh [x1, y1], [y1, z1], [z1, x1] thành cạnh [x2, y2], [y2, z2], [z2, x2] Vậy tồn phép đẳng cự f  F S : S  S biến tam giác T1(x1, y1, z1) thành tam giác T2(x2, y2, z2), hay tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) 3.2.2 Mệnh đề (Trường hợp góc – góc - góc) Cho tam giác cầu T1(x1, y1, z1) có cạnh a1, b1, c1, góc đối diện tương ứng 1, 1,  tam giác cầu T2(x2, y2, z2) có cạnh a2, b2, c2, 39 góc đối diện tương ứng  , 2 ,  Khi tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) 1   , 1  2 ,    Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) có 1   , 1  2 ,    Khi áp dụng định lí cosin thứ hai ta suy a1  a2 , b1  b2 , c1  c2 Áp dụng Mệnh đề 3.3 ta có đpcm Lưu ý: Trường hợp khơng xảy hình học Ơclit 3.2.3 Mệnh đề (Trường hợp cạnh - góc - cạnh) Cho tam giác cầu T1(x1, y1, z1) có cạnh a1, b1, c1, góc đối diện tương ứng 1, 1,  tam giác cầu T2(x2, y2, z2) có cạnh a2, b2, c2, góc đối diện tương ứng  , 2 ,  Khi tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) a1  a2 ,    , b1  b2 Chứng minh: Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) có a1  a2 ,    , b1  b2 Áp dụng Hệ 2.3.2 ta có cosc1  sin a1 sin b1cos1  cosa1 cosb1 , cosc2  sin a sin b2cos  cosa cosb2 Do cosc1 = cosc2 => c1 = c2 Từ áp dụng Mệnh đề 3.3 ta có đpcm 3.2.4 Mệnh đề (Trường hợp góc - cạnh - góc) Cho tam giác cầu T1(x1, y1, z1) có cạnh a1, b1, c1, góc đối diện tương ứng 1, 1,  tam giác cầu T2(x2, y2, z2) có cạnh a2, b2, c2, góc đối diện tương ứng  , 2 ,  Khi tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) 1   , c1  c2 , 1  2 Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên 40 Điều kiện đủ: Giả sử tam giác T1(x1, y1, z1) tam giác T2(x2, y2, z2) có 1   , c1  c2 , 1  2 Áp dụng Hệ 2.3.4 ta có cos 1  sin 1.sin 1 cosc1  cos 1.cos 1 , cos   sin 2.sin 2 cosc  cos 2.cos 2 Do cos 1  cos      Từ áp dụng Mệnh đề 3.4 ta có đpcm 41 KẾT LUẬN Trong luận văn đạt kết sau: 1) Trình bày cách hệ thống khái niệm tính chất khơng gian cầu n chiều là: Khái niệm metric cầu (Định nghĩa 1.2.2), không gian cầu n chiều (Định nghĩa 1.3.1), khẳng định Sn đa tạp khả vi (Mệnh đề 1.3.6) định hướng (Mệnh đề 1.3.9) 2) Trình bày khái niệm phép biến đổi trực giao, phép đẳng cự không gian Ơclit Rn+1, từ đưa khái niệm phép đẳng cự cầu (Định nghĩa 2.3.1), đồng thời đưa mối liên hệ phép đẳng cự cầu phép biến đổi trực giao (Định lí 2.3.2) 3) Trình bày hệ thống khái niệm cung trắc địa, đường trắc địa (Định nghĩa 3.1.2, Định nghĩa 3.1.10) số định lí cung trắc địa Khẳng định đường tròn lớn đường trắc địa Sn (Hệ 3.2.5) Sn khơng gian trắc địa hồn tồn đầy đủ (Mệnh đề 3.2.6) 4) Trình bày khái niệm tính chất độ dài cung mặt cầu, thể tích cầu có số ví dụ cụ thể (Ví dụ 5.3) 5) Đưa khái niệm chi tiết tam giác cầu trên mặt cầu S Xét tính chất góc (Định lí 2.2), cạnh (Định lí 2.3), nghiên cứu định lí sin (Định lí 2.4.1) cosin (Định lí 2.5.1 2.5.3) tam giác cầu xét trường hợp hai tam giác cầu Các kết luận văn trình bày rải rác tài liệu tham khảo Tác giả tập hợp vấn đề theo hệ thống phù hợp với chủ đề chọn; chứng minh chi tiết số tính chất, định lí, hệ mà tài liệu tham khảo đưa mà bỏ qua chứng minh, chứng minh vắn tắt nêu dạng tập 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Thu Nga, Hình học vi phân mặt cầu E3, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Vinh 2007 [2] Nguyễn Hữu Quang, Mở đầu Hình học Riemann, Vinh 2005 [3] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB ĐHSP, 2008 [4] Nguyễn Cảnh Tồn, Hình học cao cấp (dịch), NXB Giáo dục, 1962 [5] Hà Trầm, Bài tập Hình học Afin Hình học Ơclit, NXB Đại học sư phạm, 2008 [6] Hoàng Tụy, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, Mở đầu số lý thuyết đại tôpô đại số, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1979 [7] John G Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, 2006 ... gọi hình học trừu tượng) phát tri? ?n Bolyai, Gauss, Riemann…Trong hình học hình học cầu xem phát tri? ?n song song hình học hyperbolic Mục đích lu? ?n v? ?n nghi? ?n cứu tính chất chung, hình học cầu n chiều. .. mặt cầu số yếu tố hình học mặt cầu n chiều Lu? ?n v? ?n đề cập đ? ?n yếu tố hình học cầu tam giác cầu mặt cầu chiều N? ??i dung lu? ?n v? ?n trình bày hai chương: Chƣơng 1: KHÔNG GIAN CẦU n – CHIỀU Trong chương... khoa T? ?n, đặc biệt thầy tổ m? ?n Hình học – Tơpơ trường Đại học Vinh, thầy Phịng Qu? ?n lí khoa học trường Đại học Hải Phịng, gia đình, đồng nghiệp b? ?n học vi? ?n K17 chuy? ?n ngành Hình học – Tơpơ nhiệt