Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu sẽ giải bài toán Quả cầu đơn vị trong không gian n chiều Rn được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm (x1,…,xn) sao cho: x1 2 + …. + xn 2 ≤ 1. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết các bước lập luận, phương pháp giải bài toán nêu trên.
Thể tích diện tích hình cầu n chiều - Phải kích thước vũ trụ điểm vô hạn chiều? Quangnx_ltd@yahoo.com Quả cầu đơn vị không gian n chiều Rn định nghĩa tập hợp tất điểm (x1,…,xn) cho: x12 + … + xn2 ≤ Vấn đề đặt cho là: Thể tích hình cầu đơn vị số chiều thay đổi, hay nói cách khác, với số chiều khác giá trị thể tích, diện tích bề mặt hình cầu đơn vị trường hợp tính nào? Vậy liệu thể tích, diện tích bề mặt hình cầu có hội tụ hay phân kỳ số chiều không gian tiến vô cùng? Bằng trực giác, nghĩ số chiều ngày cao có nhiều ngăn cầu dơn vị, điều cho thấy thể tích hình cầu dường tăng lên rất, nhiều; có lẽ thể tích chúng dần tiến vô hạn ?! Nhưng câu trả lời thú vị đáng ngạc nhiên khẳng định trực giác trường hợp khơng xác Bằng cách sử dụng giải tích hàm nhiều biến, cơng thức tổng qt để tính thể tích hình cầu đơn vị (Bán kính R = 1) khơng gian n chiều là: V(n) = πn/2/Γ (n/2+1) (1) Còn cơng thức tính diện tích bề mặt hình cầu đơn vị : S (n-1) = n Rn-1 πn/2 / Γ( n/2 + 1) (2) Γ() hàm Gamma tích phân Euler loại trường hợp tổng quát hàm giai thừa Γ (s+1) = sΓ (s), Γ (1) = 1, Γ (1/2) = π n số tự nhiên ta có: 1/2 , cụ thể với Γ (n+1) = n! (3) Γ (n+1/2) = π1/21.3.5…(2n – 1)/2n (4) Ta có trường hợp: o Khi n chẵn, thể tích hình cầu khơng gian n chiều cho công thức là: V(n) = πn/2 /(n/2)! Theo (3) o Khi n lẻ, n = 2k + 1, thì: Γ(n/2 + 1) = Γ(k + + ½) = π1/2 1.3.5…(2(k+1)-1)/2k+1 , V(n) = 2(n-1)/2 π(n-1)/2 / 1.3.5…n , mà 2(n-1)/2 /1.3.5…n = 2n ((n – 1)/2)! / n! , ta có: V(n) = π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n! Lúc này, với n lẻ đủ lớn n! tiến đến vô nhanh nhiều so với π(n-1)/2 2(n-1) ((n – 1)/2)!, hay trường hợp n chẵn, với k đủ lớn (n/2)! tiến đến vơ nhanh so với πn/2, ví dụ : n = 20 , V(20) = 0.0258 n = 21 , V(21) = 0.0069 n = 200, V(200) = 5.5587* 10-109 , tức thể tích V(n) → n → ∞ Như vậy, không gian với số chiều rất lớn, bạn nhét vật rất, nhỏ vào cầu đơn vị, hay nói khác: “Một hình cầu đơn vị vơ hạn chiều có bán kính R = thể tích điểm” Vậy khơng gian có số chiều N lớn thể tích cầu đơn vị nhỏ thể tích cầu có bán kính khơng gian có số chiều nhỏ Thật thú vị phải không bạn !? Ta thử tính chi tiết, với: V(n) = πn/2/Γ (n/2+1) n lẻ: V(n) = π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n! n chẵn: V(n) = πn/2 /(n/2)! Áp dụng: N = 1: V(1) = N = 2: V(2) = π = 3.1416 N = 3: V(3) = π/3 = 4.1887 N = 4: V(4) = π2 /2 = 4.9348 N = 5: V(5) = 8π2 / 15 = 5.2637 Thể tích hình cầu đơn vị tăng dần lên đến khơng gian chiều (Max), sau từ khơng gian chiều thể tích bắt đầu giảm nhanh theo số chiều N = 6: V(6) = π3 /6 = 5.1677 N = 7: V(7) =16 π3 /105 = 4.7247 N = 8: V(8) = π4 /24 = 4.0587 N = 9: V(9) = 32π4 /945 = 3.2985 N = 10: V(10) = π5 /120 = 2.5501 N = 20: V(20) = π10 /10! = 0.0258 V(200) = π100 /100! = 5.5588*10-109 N = 200: Đối với diện tích mặt cầu đơn vị S (n-1) = n πn/2 / Γ(1 + n/2) n lẻ: S (n-1) = n π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n! n chẵn: S (n-1) = n πn/2 /(n/2)! Áp dụng: N = 1: S(0) = N = 2: S(1) = 2π = 6.28 N = 3: S(2) = 4π = 12.56 N = 4: S(3) = 2π2 = 19.73 N = 5: S(4) = π2 /3 = 26.31 N = 6: S(5) = π3 = 31.00 N = 7: S(6) = 16π3 /15 = 33.07 Diện tích hình cầu đơn vị tăng dần lên đến khơng gian chiều (Max), sau từ khơng gian chiều diện tích bắt đầu giảm nhanh theo số chiều N = 8: S(7) = π4 /3 = 32.46 N = 9: S(8) = 32 π4 /105 = 29.68 N = 10: S(9) = π5 /12 = 25.50 N = 20: S(19) = π10/181440 = 0.51 N = 200: S(199) = 200π100/100! = 1.1117*10-105 Công thức tính thể tích diện tích hình cầu n chiều bán kính R Vn (R) = Rn πn/2 / Γ(1 + n/2) n lẻ: Vn (R) = Rn π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n! n chẵn: Vn (R) = Rn πn/2 /(n/2)! Thể tích hình cầu bán kính R cụ thể khi: N = 1: Đường kính V1 (R) = 2R N = 2: Diện tích hình tròn V2 (R) = πR2 N = 3: Thể tích hình cầu V3 (R) = 4πR3/3 N = 4: Thể tích hình cầu V4 (R) = π2 R4/2 N = 5: Thể tích hình cầu V5 (R) = 8π2 R5/15 N = 6: Thể tích hình cầu V6 (R) = π3 R6/6 N = 7: Thể tích hình cầu V7 (R) = 16π3 R7/105 N = 8: Thể tích hình cầu V8 (R) = π4 R8/24 Sn-1 (R) = n Rn-1 πn/2 / Γ(1 + n/2) n lẻ: Sn-1 (R) = nRn-1 π(n-1)/2 2n ((n – 1)/2)! / n! n chẵn: Sn-1 (R) = nRn-1 πn/2 /(n/2)! Diện tích mặt cầu bán kính R cụ thể khi: N = 1: Hằng S0 (R) = N = 2: Chu vi đường tròn S1 (R) = 2πR N = 3: Diện tích mặt cầu S2 (R) = 4πR2 N = 4: Diện tích mặt cầu S3 (R) = 2π2 R3 N = 5: Diện tích mặt cầu S4 (R) = π2 R4/3 N = 6: Diện tích mặt cầu S5 (R) = π3 R5 N = 7: Diện tích mặt cầu S6 (R) = 16π3 R6/15 N = 8: Diện tích mặt cầu S7 (R) = π4 R7/3 Theo quan điểm vật lý tốn đại giá trị vật lý ví dụ khối lượng proton liên quan đến thể tích hình cầu nhiều chiều Cụ thể, theo tính tốn lý thuyết khối lượng proton π5 khối lượng electron, hay: mp / me = π5= 1836.11 so với thực nghiệm đo được: mp / me = 938.27 / 0.51099 = 1836.18 Hết sức phù hợp! NGUYỄN XUÂN QUANG – 2013 Quangnx_ltd@yahoo.com ... tích hình cầu V8 (R) = π4 R8/24 Sn -1 (R) = n Rn -1 n/ 2 / Γ (1 + n/ 2) n lẻ: Sn -1 (R) = nRn -1 π (n- 1) /2 2n ( (n – 1) /2)! / n! n ch n: Sn -1 (R) = nRn -1 n/ 2 / (n/ 2)! Di n tích mặt cầu b n kính R cụ thể. .. 20: S (19 ) = 10 /18 1440 = 0. 51 N = 200: S (19 9) = 200 10 0 /10 0! = 1. 111 7 *1 0 -1 05 Cơng thức tính thể tích di n tích hình cầu n chiều b n kính R Vn (R) = Rn n/ 2 / Γ (1 + n/ 2) n lẻ: Vn (R) = Rn π (n- 1) /2... 5.5588 *1 0 -1 09 N = 200: Đối với di n tích mặt cầu đ n vị S (n- 1) = n n/ 2 / Γ (1 + n/ 2) n lẻ: S (n- 1) = n π (n- 1) /2 2n ( (n – 1) /2)! / n! n ch n: S (n- 1) = n n/ 2 / (n/ 2)! Áp dụng: N = 1: S(0) = N =