Hình học Lobasepsky n chiều

Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội Chơng II hình học hyperbolic .1 trắc địa và không gian con hyperbolic I.Trắc địa và không gian con Hyperbolic trong mô hình Hyperboloid. 1.Trắc địa Hyperbolic Định lý 1.1 Cho x 1:; )1,( = n n x n yyITyI . Khi đó đờng trắc địa trên n I bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của n I với không gian con tuyến tính của 1 + n R sinh bởi x và y . Hơn nữa nó đợc cho bởi tham số hoá ytshxtchtR ).().( + . Chứng minh Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của n I sinh bởi x và y , w là đờng trắc địa cực đại của n I bắt đầu tại x với vận tốc y . Xét )( n IO là phép đối xứng qua W, suy ra )( n n IIsom I . Vì id W ;id W == nên )(w là đờng trắc địa bắt đầu tại xx = )( với vận tốc yyd x = )( . Do đó w là bất biến suy ra n IWwWw . Mặt khác dễ thấy ytshxtchtR ).().(: + là một tham số hoá của n IW thoả mãn yx = = )0(,)0( nên là tham số hoá của w. Nhận xét 1.2 Từ định lý trên suy ra mọi đờng trắc địa cực đại trong H n xác định trên toàn bộ R nên theo định lý Hopf-Rinow H n là đa tạp Riemann đầy đủ. Hệ quả 1.3 Tồn tại một và chỉ một đờng trắc địa đi qua hai điểm phân biệt của H n . Chứng minh (Xét mô hình Hyperboloid) Vì qua hai điểm phân biệt của I n tồn tại duy nhất một không gian con tuyến tính hai chiều của R n+1 nên theo định lý 1.1 ta có điều phải chứng minh . Mệnh đề 1.4 Cho 1:, = yySTySx n x n ,khi đó đờng trắc địa trên S n bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của n S với không gian con tuyến tính hai chiều của 1 + n R sinh bởi x và y . Hơn nữa nó đợc cho bởi tham số hoá ytxttR ).sin().cos( + . Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội Chứng minh Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của 1 + n R sinh bởi x và y , w là đờng trắc địa cực đại của n S bắt đầu tại x với vận tốc y . Xét là phép đối xứng tuyến tính trực giao qua W suy ra )( n n SIsom S . Vì id W ;id W == nên )(w là đờng trắc địa bắt đầu tại xx = )( với vận tốc yyd x = )( . Do đó w là bất biến suy ra n SWwWw . Mặt khác dễ thấy ytxttR ).sin().cos(: + là một tham số hoá của n SW thoả mãn yx = = )0(,)0( nên là tham số hoá của w . 2.Không gian con Hyperbolic Định nghĩa 1.5 Tập con N của H n là một không gian con Hyperbolic nếu nó chứa trắc địa đầy (trắc địa cực đại) đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Định lý 1.6 n IN là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là giao của n I với một không gian con tuyến tính của 1 + n R . Chứng minh Giả sử M là một không gian con tuyến tính của 1 + n R . Khi đó qua hai điểm bất kỳ của n IM tồn tại một không gian con tuyến tính hai chiều W của 1 + n R . Hiển nhiên MW suy ra trắc địa đầy qua hai điểm đó là nn IMIW . Suy ra n IM là một không gian con Hyperbolic . Đảo lại, giả sử N là không gian con Hyperbolic của n I . Gọi M là bao tuyến tính của N thì hiển nhiên n IMN = . Nhận xét 1.7 (1) Các điểm và các trắc địa đầy là các không gian con Hyperbolic . (2) Từ định lý 1.6 suy ra không gian con Hyperbolic là đa tạp con của H n , do đó số chiều của không gian con Hyperbolic đợc xác định . (3) Cho M là không gian con Hyperbolic , ,Ma là cung trắc địa qua a và M . Khi đó M gồm duy nhất một điểm. Thực vậy Nếu M chứa 2 điểm phân biệt thì M và do đó Ma Vô lý. II.Trắc địa và không gian con hyperbolic trong mô hình đĩa và mô hình nửa không gian . Chú ý 1.8 1) Không gian con Affin Y của 1 + n R đợc gọi là thẳng đứng nếu nó có dạng n eRY . + trong đó Y là một không gian con Affin của 1 + n R và )1,0, .,0( = n e . Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội 2) Cho M 1 , M 2 là các mặt cầu hoặc các không gian con Affin (hoặc các bộ phận của chúng ) trong 1 + n R , dim M 1 = m 1 , dim M 2 = m 2 . Khi đó 212121 , MTMTWMMxMM xx = ta có { } nmmW += 21 ,0maxdim và phần bù trực giao của W trong T x M 1 và T x M 2 là trực giao với nhau . 3) Khi nói mặt cầu ,ta hiểu số chiều của nó có thể nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của siêu cầu. Định lý 1.9 n DN là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là giao của n D với một không gian con tuyến tính của n R hoặc với một mặt cầu trực giao với n D . Đặc biệt cung trắc địa trong n D đợc cho bởi tham số hoá của đờng kính của n D và phần đờng tròn trực giao với n D nằm trong n D . Chứng minh Xét p là phép chiếu nổi cực )1,0, ,0( từ { } 0: 1 1 > + + n n xRx vào { } 0 ì n R . Ta có n I p là vi phôi đẳng cự của n I lên n D . + Giả sử N là không gian con Hyperbolic của n D chứa 0 . Khi đó )( 1 Np là không gian con Hyperbolic của n I chứa (0, ,0,1) . Theo định lý 1.6 ta có n IMNp = )( 1 với M là một không gian con tuyến tính của 1 + n R , suy ra nn DMpIMpN == )()( . Vì )1,0, ,0( M nên p(M) là không gian con tuyến tính của n R . + Nếu N là không gian con Hyperbolic của n D chứa { } 0\ n Dx thì xét phép nghịch đảo i cực 2 x x hệ số 1 1 2 x . Ta có )( n DIsomi và xi = )0( . Nh vậy i sẽ biến tập các không gian con Hyperbolic của n D chứa 0 thành tập các không gian con Hyperbolic của n D chứa x và ngợc lại . Khi đó )( 1 Ni là không gian con Hyperbolic của n D chứa 0 .Theo trên n DYNi = )( 1 với Y là một không gian con tuyến tính của n R ,suy ra nn DYiDYiN == )()( . Giả sử dimY = m . *) Nếu Yx thì n DYNYYi == )( . *) Nếu Yx , gọi X là không gian con tuyến tính sinh bởi Y và x . Vì Xx nên XXi = )( suy ra XYi )( . Do Y là một siêu phẳng trong X và Yx nên )(Yi là siêu cầu trong X . Suy ra )(Yi là mặt cầu m chiều trong n R . Mặt khác vì i bảo giác và n DY nên n DYi )( . Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội Định lý 1.10 + ,n N là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là giao của + ,n với một không gian con Affin thẳng đứng hoặc với một mặt cầu trực giao với { } 0 1 ì n R . Đặc biệt cung trắc địa trong + ,n đợc cho bởi tham số hoá của nửa đờng thẳng dựng đứng và nửa đờng tròn trực giao với { } 0 1 ì n R nằm trong + ,n . Chứng minh Xét vi phôi đẳng cự + , : nn Di ta có i biến không gian con Hyperbolic của n D thành không gian con Hyperbolic của + ,n . Mặt khác i là phép ngịch đảo qua siêu cầu )2,( n eS nên i biến tập các mặt cầu trực giao với n D và các không gian con Affin qua O thành tập các mặt cầu trực giao với { } 0 1 ì n R và các không gian con Affin thẳng đứng (và ngợc lại ). Do đó không gian con Hyperbolic của + ,n là giao của + ,n với không gian con Affin thẳng đứng hoặc với mặt cầu trực giao với { } 0 1 ì n R . Hình 2 Trắc địa Hyperbolic trong các mô hình đĩa và nửa không gian của không gian Hyperbolic 2 chiều Nhận xét 1.11 Trong + ,n ,không gian con Hyperbolic hai chiều ( mặt phẳng Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội Hyperbolic ) là giao của + ,n với 2-phẳng Affin thẳng đứng hoặc với mặt cầu Euclid 2- chiều có tâm thuộc { } 0 1 ì n R .Từ đó qua 3 điểm phân biệt không nằm trên cùng một trắc địa xác định duy nhất một mặt phẳng Hyperbolic . Hệ quả 1.12 Không gian con Hyperbolic p chiều trong n H vi phôi đẳng cự với )(, npH p . Chứng minh ( Xét mô hình n D ). Vì phép nghịch đảo tâm 2 x x hệ số 1 1 2 x là đẳng cự của n D biến x thành 0 nên ta luôn có thể giả sử không gian con Hyperbolic của n D là chứa 0 . Giả sử không gian con Hyperbolic của n D có số chiều là p, suy ra nó là giao của n D với không gian con tuyến tính p chiều của n R do đó nó là đĩa p chiều . Mặt khác từ định lý 6.1 chơng I suy ra hạn chế của metric của n D trên đĩa p chiều trùng với metric trong n D . Từ đó ta có điều phải chứng minh . .2 Khoảng cách Hyperbolic I.Độ dài cung và khoảng cách trên đa tạp Riemann. 1.Độ dài cung Trên đa tạp Riemann )( M ,M cho cung tham số [ ] Mba ,: )(tt nhẵn từng khúc (lớp C k ). Độ dài cung đợc xác định bởi dtdtL b a b a MM = =)( 2 1 2.Khoảng cách Hàm khoảng cách trên )( M ,M là hàm số { } )(inf),(),( : Lqpdqp RMMd = ì Trong đó là cung nhẵn từng khúc trong M nối p và q. Chú ý Mọi cung trong M nối p và q có độ dài bằng d(p,q) khi và chỉ khi nó là cung trắc địa (và đợc gọi là cung trắc địa cực tiểu) (xem[3]). II.Công thức khoảng cách Hyperbolic Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội 1.Công thức khoảng cách trong n I Định lý 2.1 Nếu n Iy,x thì ( ) )( =)( 1,n I yxachy,xd . Chứng minh Gọi u là vector tiếp xúc đơn vị tại x dọc cung trắc địa định hớng xy . Khi đó xy có tham số hoá u.tshx.tcht )(+)(=)( Ta có 00 000 >)(+)(=)(= tu.tshx.tchy,x vói . Suy ra )(=).(+)(= )()( 0 1 00 1 tchutshx.tchxyx ,n,n Mặt khác ,vì 1 =)( I t nên 0 00 00 tdtdtty,xd tt I ==)( =)( . Do đó ( ) )( =)( 1,n I yxachy,xd . 2.Công thức khoảng cách trong n D . Định lý 2.2 Nếu n Dy,x thì ( ) + = 2 1 22 21 2),( yxyx yx athyxd D Chứng minh *Trờng hợp { } 0\,0 n Dyx Một tham số hoá của cung trắc địa trong n D đi qua 0 và y là : v t thtR ). 2 (: trong đó n R y y v = Ta có v tch t . )2(2 1 )( 2 = suy ra 1)( )(1 2 )( 2 2 2 2 = = t t t D Mặt khác 0)0( = và với yvttht == ).2()( suy ra yathtytth 2)2( == Từ đó yathdtdtt yath Lyd yathyath D D 2)( 0 2 ),0( 2 0 2 0 == = = . Hiển nhiên công thức trên đúng với y=0. *Trờng hợp 0 x Xét phép nghịch đảo 1 1 ,: 22 0, 0 === xx x xii x . ( ) 22 2 2 2 1)( x x xxz xxz xzi + = Suy ra )( n DIsomi và 0)( = xi . Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội Do đó ( ) ( ) )(2)(,0)(),(),( yiathyidyixidyxd DDD === Ta có ( ) 2 22 2 2 22 1)( x x xxy xxy xyi + = ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 x yx xxy x xxy x + + = ( )( ) 22 2 22 1 121 x xxy xyxx + = Vì ( ) 222 2 2 21 yxyxxxxy += nên ( )( ) ( ) ( ) 222 2222 2 21 21121 )( yxyxx yxyxxyxx yi + ++ = ( ) ( ) 22 2 22 22 2121 2 yxyx yx yxyx yyxx + = + + = Vậy ( ) + == 2 1 22 21 2)(2),( yxyx yx athyiathyxd D . 3.Công thức khoảng cách trong + ,n . Định lý 2.3 Nếu ( ) ( ) + , ,,, n sytx thì ( ) 2 1 2 2 2 2 )( )( 2),(),,( ++ + = styx styx athsytxd Chứng minh Xét vi phôi đẳng cự n n n nn e ez ez zDi + + + 2 , 2:: Vì i là phép nghịch đảo qua một siêu cầu nên i là phép biến đổi đối hợp. Khi đó + , ),(),,( n sytx ta có ( ) ( ) ( ) ),(),,(),(),,(),(),,( 11 syitxidsyitxidsytxd DD == Đặt )1,0( )1,( )1,( 2),( 2 + + == tx tx txiX , )1,0( )1,( )1,( 2),( 2 + + == sy sy syiY Khi đó Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội ( ) ( ) + == 2 1 22 21 2),(),(),,( YXYX YX athYXdsytxd D Bằng các phép tính đơn giản ta có 2 2 2 2 2 )1( )1( ++ + = tx tx X , 2 2 2 2 2 )1( )1( ++ + = sy sy Y ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 )1()1( 114 ++++ + = sytx ysxtyx YX ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 )1()1( )(4 ++++ + = sytx styx YX Từ đó suy ra ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 22 )1()1( )(4 21 ++++ ++ =+ sytx styx YXYX ( ) 2 2 2 2 22 2 )( )( 21 styx styx YXYX YX ++ + = + Vậy ta có ( ) 2 1 2 2 2 2 2 )+(+ )(+ =)()( styx styx aths,y,t,xd . Nhận xét 2.4 Trong trờng hợp n=2 ta thấy lại các công thức khoảng cách Poincaré * + = = yxyx yxyx yx yx athyxdDyx D 1 1 ln 1 2),(:, 2 * + = + yxyx yxyx yxdyx ln),(:, ,2 Nh vậy các công thức khoảng cách trong n D và + ,n là sự tổng quát các công thức khoảng cách Poincaré. Định nghĩa 2.5 Cho * 0 , + RrHx n .Mặt cầu Hyperbolic tâm x 0 bán kính r trong n H là tập hợp { } rxxdHxrxS H n H == ),(:),( 00 . Hệ quả 2.6 Mặt cầu Hyperbolic trong n D là một mặt cầu Euclide trong n R khác tâm và bán kính. Cụ thể ),(),( bSraS ED Trong đó * , + RrDa n )2(1 1 )2(:, )2(1 )2(1 2 2 2 2 2 2 rtha a rth rtha rth ab = = Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội Chứng minh ( ) r axax ax athxadraSx DD = + = 2 1 22 21 2),(),( ( ) ( ) ( ) .rtharthaxrthax 0221221 2 2 22 22 =)(+)()( (*) Vì 1)2(0 2 2 << rtha nên nhân (*) với ( ) )2(1 2 2 rtha ta đợc ( ) ( ) ( ) + )2(1)2(12)2(1 2 2 2 2 2 22 rtharthaxrthax ( ) 2 2 2 )2/(1 rtha + ( ) 2 2 2 1)2( arth = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )2(1 1 )2( )2(1 )2(1 = rtha a rth rtha rth ax ),( bSx E trong đó )2(1 1 )2(:, )2(1 )2(1 2 2 2 2 2 2 rtha a rth rtha rth ab = = . Hệ quả 2.7 Mặt cầu Hyperbolic trong + ,n là một mặt cầu Euclide trong n R khác tâm và bán kính. Cụ thể ( ) ),(),,( bSrsaS E = Trong đó *, ,),( + + Rrsa n ).(.)),(.,( rshsrchsab == Chứng minh ( ) ( ) rsatxdrsaStx = ),(),,(),,(),( ( ) ( ) ( ) )2(12)2(1 )( )( 2 2222 2 2 1 2 2 2 2 rthtsrthstaxr stax stax ath +=++= ++ + )(.2 )2(1 )2(1 2 2 2 22 2 rchts rth rth tsstax = + =++ 2 2 ))(.())(.,(),( rshsrchsatx = ),(),( bStx E trong đó ).(.)),(.,( rshsrchsab == .3 lợng giác Hyperbolic I.Định nghĩa 1.Định nghĩa 3.1 Tam giác trắc địa Hyperbolic (gọi tắt là tam giác H-trắc địa) trong n H là tam giác có các cạnh là các cung đoạn trắc địa trong n H . 2.Góc trong của tam giác H-trắc địa Cho tam giác H-trắc địa có các đỉnh x, y, z với các góc trong tơng ứng A,B,C. Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà Nội Gọi và lần lợt là cung trắc địa định hớng từ x đến y và từ x đến z . u, v là các vector tiếp xúc đơn vị của và tại x. Đặt ( ) vuA , = ,tơng tự ta xác định đợc các góc B và C. Từ đó suy ra các góc trong của một tam giác H-trắc địa đều nằm trong khoảng ( ) ,0 . II.Hệ thức lợng giác Hyperbolic trong tam giác H-trắc địa 1.Định lý 3.2 (Định lý hàm số ch dạng 1) Cho tam giác H-trắc địa ABC có các cạnh tơng ứng là a,b,c. Khi đó Ashcshbchcchbcha cos . = Chứng minh (Xét mô hình Hyperboloid). Gọi x, y, z là các đỉnh của tam giác H-trắc địa ABC. u, v là các vector tiếp xúc đơn vị tại x dọc các cung trắc địa định hớng xy, xz. Khi đó cung trắc địa xy có tham số hoá : )(.)(.)( tshutchxt += Vì x = )0( và cyxd I = ),( nên shcuchcxcy )( +== Tơng tự shbvchbxz += Suy ra )1,()1,()1,( . nnn vushcshbchcchbshbvchbxshcuchcxzy +=++= . Vì u, v là các vector đơn vị nên Avuvu n cos),(cos )1,( == . Mặt khác theo định lý 2.1 ta có chazy n = )1,( Từ đó suy ra Ashcshbchcchbcha cos . = . Hệ quả 3.3 ( Định lý Pythagore-Hyperbolic ) Trong tam giác H-trắc địa ABC vuông ở A ta có chcchbcha . = Chứng minh Từ định lý hàm số ch dạng 1 cho 2 = A ta có điều phải chứng minh. *) Từ đó suy ra trong tam giác vuông H-trắc địa ,cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông. Hệ quả 3.4 (Định lý hàm số sh ) Trong tam giác H-trắc địa ABC ta luôn có C shc B shb A sha sinsinsin == [...]... ) ut u= 0 (Vì t f (t , u ) là cung trắc địa n n t f t ' = 0 ) 3) Li n thông Levi-Civita tr n R n , S n , I n là li n thông tuy n tính chính tắc D II.Độ cong tiết di n của không gian Hyperbolic Định lý 4.6 H n có độ cong tiết di n hằng bằng 1 Chứng minh ( Xét mô hình Hyperboloid ) p I n , , T p I n : ( n ,1) = ( n ,1) = 1, ( n ,1) =0 Cung trắc địa của I n bắt đầu tại p với vector tiếp xúc... không gian Hyperbolic Trong mục n y chúng ta sẽ giới thiệu sơ lợc về độ cong tiết di n của một số đa tạp Riemann có độ cong tiết di n hằng,đặc biệt là độ cong của không gian Hyperbolic Hn ( xem [ 3 ] ) i.Độ cong tiết di n của đa tạp Riemann Định nghĩa 4.1 Cho là li n thông Levi-Civita của đa tạp Riemann (M , ) R là trờng tensor cong của Cho p ( M , ), p là 2-phẳng trong T p M (tức không gian vector... Suy ra K ( p ) = ( n ,1) = 0, ( n ,1) =1 R ( X , , ) X X X ( n ,1) ( n ,1) ( n ,1) X = ( n ,1) X X X X ( n ,1) = 1 ( n ,1) (với t 0 ).Vậy I n có độ cong tiết di n hằng bằng 1 Định lý 4.7 Rn có độ cong tiết di n hằng bằng 0 Chứng minh p R n , , T p R n : = = 1, = 0 Cung trắc địa của R n bắt đầu tại p với vector tiếp xúc có tham số hoá (t ) = p + .t Xét bi n ph n của là f (t , u )... điểm ở ngoài một không gian con Hyperbolic có duy nhất đờng trắc địa trực giao với không gian con Hyperbolic đó Định nghĩa 3.7 Cho M và N là hai tập con của Hn Khoảng cách giữa M và d ( M , N ) = inf { d ( a, b) : a M , b N } N đợc xác định bởi Hệ quả 3.8 Cho M là không gian con Hyperbolic có a M , b M là cung trắc địa qua a và b d (a, M ) = d (a, b) M = {b} Khi đó Chứng minh * Giả sử d (a,... Rõ ràng với u : t f (t , u ) là cung trắc địa của R n Do đó X = f u' u= 0 = t là trờng Jacobi dọc thoả m n D D D X ( 0) = , X =0 t t t D D X + R ( X , , ) = 0 n n t t X (0) = 0, Vì của Tp R n sinh bởi X và thì R ( X , , ) = 0 Gọi p là 2-phẳng K ( p ) = 0 (với t 0 ) Vậy R n có độ cong tiết di n hằng bằng 0 Định lý 4.8 Sn có độ cong tiết di n hằng bằng 1 Chứng minh p S n , , T p S n :... Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà N i Định nghĩa 4.4 Cho Riemann (M , ) (nh n) dọc : [a, b] ( M , X : [ a, b] TM , t ) là cung trắc địa tr n đa tạp X (t ) T (t ) M là trờng vector X + R ( X , , ) = 0 t t X đợc gọi là trờng Jacobi dọc n u (Trong đó R là trờng tensor cong của li n thông Levi-Civita, t là đạo hàm thu n bi n dọc ) Chú ý 4.5 1) Với mọi , T( a ) M có một và chỉ một trờng Jacobi... con 2chiều của T p M ) (, ) là một cơ sở của p Khi đó độ cong tiết di n của M tại p với tiết di n p là số K ( p ) = R (, , ) 2 Chú ý 4.2 1) K ( p ) không phụ thuộc vào cơ sở (, ) của p 2) K ( p ) bất bi n qua vi phôi đẳng cự Định nghĩa 4.3 Đa tạp Riemann (M , ) có độ cong tiết di n hằng K n u với mọi 2-phẳng p trong T p M , với mọi p M ta có K ( p ) = K 2.Trờng Jacobi Lê Thanh Bình... 0 Cung trắc địa của S n bắt đầu tại p với vector tiếp xúc có tham số hoá (t ) = cos(t ) p + sin(t ). Xét bi n ph n của là f (t , u ) = cos(t ) p + sin(t ).( cos(u ). + sin(u ). ) Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà N i Rõ ràng với X = f u' u=0 u : t = sin(t ). X (0) = 0, Vì Gọi f (t , u ) là cung trắc địa của S n Do đó là trờng Jacobi dọc thoả m n D D D X ( 0) = , X = sin(t... ). Xét bi n ph n của là Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà N i f (t , u ) = ch(t ) p + sh(t ).( cos(u ). + sin(u ). ) Rõ ràng với X = f u' u= 0 u : t = sh(t ). X (0) = 0, Vì Gọi f (t , u ) là cung trắc địa của I n Do đó là trờng Jacobi dọc thoả m n D D D X ( 0) = , X = sh (t ). = X t t t D D X + R ( X , , ) = 0 n n R( X , , ) = X t t p là 2-phẳng của T p I n sinh bởi X và... A sin B sin C Hệ quả 3.6 Tổng các góc trong tam giác H-trắc địa ABC thoả m n A+ B+C < Chứng minh Giả sử > A B C > 0 Từ cha = cos B cos C + cos A >1 sin B sin C suy ra cos( B + C ) > cos( A) N u B + C thì B + C < A A + B + C < N u B + C > thì cos( B + C ) > cos( A + ) A + < B + C 2A < A Vô lý Lê Thanh Bình - Lớp A - Khoá 48 - Đại học S Phạm Hà N i *) Từ đó suy ra qua một điểm ở ngoài . của n . Định lý 1.6 n IN là một không gian con Hyperbolic n u và chỉ n u N là giao của n I với một không gian con tuy n tính của 1 + n R . Chứng minh Giả. con tuy n tính của 1 + n R , suy ra nn DMpIMpN == )()( . Vì )1,0, ,0( M n n p(M) là không gian con tuy n tính của n R . + N u N là không gian con Hyperbolic