Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THU HẰNG NỬA NHÓM ORTHODOX ĐƠN DIỄN SONG ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2011 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC ……………………………………………………… …….1 LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………… .….2 Chƣơng Kiến thức sở……………………………… ……… … 1.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 1.2 Biểu diễn nửa nhóm bicyclic Chƣơng Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn………………… .14 2.1 Nửa nhóm orthodox nửa nhóm orthodox đơn diễn………… 14 2.2 Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn với phần tử sinh phi nhóm 20 2.3 Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn với phần tử sinh nhóm 34 KẾT LUẬN……………………………………………………… …….…38 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………… ………… .39 LỜI NÓI ĐẦU Lớp nửa nhóm ngược đơn diễn song đơn gồm gồm hai loại: nhóm nửa nhóm bicyclic Mặt khác, nửa nhóm orthodox song đơn sinh hai phần tử ngược có cấu trúc khác Luận văn dựa báo * Bisimple monogenic orthodox semigroups tác giả Simon M Goberstein đăng tạp chí Semigroup Forum năm 2009 để tìm hiểu cấu trúc nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn Ngồi chúng tơi có tham khảo thêm báo Elementary orthodox semigroups hai tác giả C Eberhart W Williams đăng tạp chí vào năm 1984 để tìm hiểu cấu trúc dàn tương đẳng nửa nhóm orthodox tự sinh hai phần tử ngược Luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày khái niệm tính chất biểu diễn nửa nhóm biểu diễn vị nhóm cấu trúc tự tương ứng Sau ứng dụng vào biểu diễn nửa nhóm bicyclic số tính chất lớp nửa nhóm Chương Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn Đây nội dung luận văn Trước hết chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm orthodox nửa nhóm orthodox đơn diễn với cấu trúc chúng Sau chúng tơi trình bày cấu trúc nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn S = a, b hai trường hợp: a (và b) khơng thuộc nhóm S a,b phần tử nhóm S Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả bày tỏ lòng biết ơn Thầy tận tình dẫn chúng tơi học tập tập dượt nghiên cứu khoa học Thầy đặt vấn đề trực tiếp hướng dẫn chúng tơi hồn thành Luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Tổ Đại số Quý Thầy, Quý Cô chuyên nghành Đại số l‎ý thuyết số nhiệt tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp quý báu từ quý thầy, quý cô giáo bạn lớp Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Khi tồn  tồn cấu  : A  S với nửa nhóm từ A Thế S  A ker( ) Khi  gọi biểu diễn đồng cấu S, (u, v)  ker () u = v gọi hệ thức hay đẳng thức S Để tránh hiểu nhầm, ta viết u  v từ u, v A+ Như vậy, biểu diễn S gồm kí hiệu sinh A = {a1, a2,…} hệ thức R = { ui = vi | i  I }, viết S= a1, a2 , | ui  vi (i  I ) hay S = A | R ker() tương đẳng nhỏ A+ chứa hệ thức {(ui,vi )| i  I } Nói riêng (u i ) = (v i ) tất u i = v i R Tập hợp R hệ thức giả thiết có tính đối xứng, nghĩa u = v R v = u thỏa mãn Cần nhớ từ w  A+ phần tử S ánh xạ vào S Chúng ta nói từ w  A+ biểu diễn phần tử (w) S Cùng phần tử S biểu diễn nhiều cách khác (bởi từ khác nhau) Nếu (u) = (v) hai từ u, v biểu diễn phần tử S Giả sử S = A | R biểu diễn Chúng ta S có hệ thức u = v (nghĩa (u) = (v)) tồn dãy u = u , u ,…, u k +1 = v từ cho ui + nhận từ ui cách thay nhân tử ui vi ui =vi R Chính xác hơn, nói từ v dẫn xuất trực tiếp từ u u  1 u’ 2 v  1 u’ 2 với u’ = v’ R Rõ ràng v dẫn xuất từ u u dẫn xuất từ v (vì R đối xứng) (u) = ( 1 )(u’) ( 2 ) = ( 1 ) (v’) ( 2 ), nên u = v hệ thức S Từ v gọi dẫn xuất từ u tồn dãy hữu hạn u  u 1, u2,…, u k  v cho với tất j = 1,2,…,k – 1, uj + , dẫn xuất trực tiếp từ uj Nếu v dẫn xuất từ u, có (u) = (v), (u) = (u1) = (u2) = …= (uk -1) = (uk) = (v), u = v hệ thức S Nó viết thành u  u 1, u2,…, u k  v Trước trình bày số định lí biểu diễn nửa nhóm, ta nhắc lại với quan hệ  nửa nhóm S ln ln tồn tương đẳng  C S nhỏ chứa  (được gọi tương đẳng sinh quan hệ  ) 1.1.2 Định lý Giả sử S = A | R biểu diễn, với R đối xứng Thế RC = { (u, v) | u = v hay v dẫn xuất từ u } Do u = v S v dẫn xuất từ u Chứng minh Ký hiệu  quan hệ xác định u  v u = v v dẫn xuất từ u Rõ ràng i   nên  phản xạ Vì R đối xứng nên  đối xứng tính bắc cầu  hiển nhiên Vậy  quan hệ tương đương Nếu w  A+ v dẫn xuất từ u rõ ràng wv dẫn xuất từ wu vw dẫn xuất từ uw Vậy  quan hệ tương đẳng Giả sử  tương đẳng cho R   Giả thiết v dẫn xuất trực tiếp u: u = w1 u’ w2 , v = w1 v’ w2 u’ = v’ R Vì R   nên (u’,v’)  Vì  tương đẳng nên ( w1 u’ w2 , w1 v’ w2 )   hay (u,v)  Do đó, nhờ tính bắc cầu   , có     tương đẳng nhỏ chứa R, nghĩa RC =  Từ Định lý 1.1.2 trực tiếp suy 1.1.3 Định lý Giả sử A bảng chữ R  A+  A+ quan hệ đối xứng Thế nửa nhóm S = A + / RC có biểu diễn S= A | u  v víi mäi (u, v)  R Hơn nữa, tất nửa nhóm có biểu diễn đẳng cấu với 1.1.4 Ví dụ 1) Xét biểu diễn nửa nhóm sau: S =  a, b | aa  ab, ba  aab, bbb aba Trong biểu diễn có hai phần tử sinh ba hệ thức xác định Chẳng hạn, S có đẳng thức baabbaa = bbaaba, u1 = baabbaa = b.aab.baa = b.ba.baa = u2 u2 = bbabaa = bba.ba.a = bba.aba.a = bbaaab Cũng vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = baa = bab S, aaab = bab S 2) Một biểu diễn nửa nhóm từ khơng cần hệ thức xác định: A+ =  A|   Tất nửa nhóm (và vị nhóm) có biểu diễn Thực vậy, S =  A|ker()  biểu diễn vậy, : A+  S tồn cấu biểu diễn Tuy nhiên, nói chung biểu diễn phức tạp Chúng ta quan tâm nhiều nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa biểu diễn S =  A|R  , A bảng chữ hữu hạn R tập hữu hạn hệ thức (Tiếc khơng phải nửa nhóm có biểu diễn vậy) Ta biết tất vị nhóm có biểu diễn (với tư cách nửa nhóm) Tuy nhiên tiện lợi sử dụng biểu diễn vị nhóm mà biểu diễn có ưu phần tử đơn vị: M =  a1, a2,…| u i = v i , (i  I)  biểu diễn vị nhóm ui ,vi  A*, A = {a1,a2,…} bảng chữ Trong biểu diễn vị nhóm giả thiết có hệ thức dạng u = 1, nghĩa từ u bị xóa từ từ khác hay bổ sung vào vị trí hai chữ 1.1.5 Ví dụ 1) Giả sử M =  a,b | ab = ba  biểu diễn vị nhóm M Thế M A*/ RC A = {a,b} R = {ab = ba} Có tồn cấu : A*  M M sinh phần tử x = (a) y = (b) Vị nhóm M giao hốn, hệ thức ab = ba cho phép thay đổi vị trí a b Nếu phần tử thuộc tập sinh M giao hoán với M giao hốn (hiển nhiên) Do (a) (b) = (ab) = (ba) = (b) (a) hay xy = yx Hơn phần tử z  M có dạng chuẩn: Giả sử z = z1 z2…zn với zi = (ai) (ai = a = b) z = (a1) (a2) … (an) = (a1 a2…an) = (akbm) = (a)k (b)m = xkym với m, k ( m  0, k  0) Do vị nhóm M nhóm giao hốn tự do, vị nhóm giao hốn sinh hai phần tử ảnh tồn cấu M 2) Biểu diễn vị nhóm M =  a,b|aba =  xác định nhóm Thực ra, nhóm đẳng cấu với ( , +) Thật vậy, giả sử M vị nhóm với biểu diễn M A*/RC , A = {a,b} R = {aba = 1}, giả sử  : A*  M toàn cấu tương ứng Thế M sinh phần tử x = (a) y = (b), ab = ba.aba = aba.ba = ba xy = yx Điều kéo theo M vị nhóm giao hốn Do phần tử thuộc z  M có dạng z = (ambn) với m  0, n  Hơn nữa, a.ba = ba.a = nên ba nghịch đảo a Tương tự a2 nghịch đảo b, b = (aa) – Điều có nghĩa phần tử M có dạng z = (a k ) với k  Thế  : M  ( ,+) xác định  (a) = -  (b) = đẳng cấu 1.2 Biểu diễn nửa nhóm bicyclic 1.2.1 Giả sử X tập hợp khác rỗng Khi tập hợp TX = { f: X  X| f ánh xạ} với phép nhân ánh xạ vị nhóm với đơn vị ánh xạ đồng id X Vị nhóm TX gọi vị nhóm phép biến đổi đầy đủ tập X 1.2.2 tập hợp số tự nhiên Xác định hai ánh xạ  :  Giả sử  :  nÕu n   n 1 nÕu n  0  (n)   1 Thế   id  (n)   n  (n)  n 1 (n  0) nÕu n  nÕu n  Nói riêng,   id Giả sử B nửa nhóm T sinh   Ta tìm biểu diễn B Giả sử A={p,q} bảng chữ Xác định đồng cấu  : A*  B ,  ( p)   ,  (q)   ( mở rộng  : A  B cho  ( p)   , *  (q)   ) Vì A={p,q} tập sinh A {  ,  } tập sinh B nên  toàn cấu Theo pq = hệ thức B Giả sử   B phần tử tùy ý B,    n n1   i    i   Vì   id nên giả thiết  i   số đó,  t   tất t thỏa mãn j  t  n Điều chứng tỏ    k m với k , m  từ B = {  k m | k , m  } Theo cách định nghĩa   , ta có nÕu n  k n nÕu n  k k  k m (n)   10 Ta chứng minh phần tử    k m    r s hoàn toàn khác k  r m  s Thật vậy,  (0)   k m (0)   k (0)  k  (0)   r s (0)  r (0)  r với n  max {k ,r} có  (n)   k m (n) =  k (n  m) = n -m- k  (n)   r s (n  s)   r (n  s)  n  s  r Do    trường hợp k  r m  s Điều chứng tỏ p, q | pq  biểu diễn vị nhóm B =  ,  Định nghĩa Vị nhóm B sinh hai phần tử  ,   T cho 1.2.3 nÕu n   (n)  n  1(n  0) gọi vị nhóm bicyclic n 1 nÕu n  0  (n)   1.2.4 Mệnh đề Vị nhóm bicyclic B có biểu diễn vị nhóm B = p, q | pq  1.2.5 Mệnh đề Giả sử e ,a,b phần tử thuộc nửa nhóm S cho ea=ae=a, eb=be=b, ab=e, ba  e Khi phần tử thuộc nhóm a, b S sinh phần tử a, b biểu diễn dạng bman, m n số ngun khơng âm (và a0 = b0 = e), a, b đẳng cấu với vị nhóm bicyclic B Chứng minh Rõ ràng e  a, b e đơn vị a, b Do đẳng thức ab = e, phần tử thuộc B biểu diễn dạng bman Chỉ phải chứng minh tính m n Trước hết, ta chứng minh ba mệnh đề chuẩn bị i) Các phần tử a b có cấp vơ hạn Giả thiết trái lại ah+k = ah h k nguyên dương Nhân bên trái với bh ta ak = e Khi b = eb = akb = ak-1e = ak-1 ba = ak = e, trái giả thiết ba =e Tương tự ta chứng minh b có cấp vơ hạn ii) Nếu ah = bk số nguyên dương khơng âm h k đó, 26 O( n,m ) (b,a) Như tất kết S = O( ,m ) (a,b) nhận cách tự động từ kết tương ứng O( m, ) (b,a) 2.2.10 Mệnh đề Giả sử S = a, b nửa nhóm orthodox đơn diễn cho a  NS ab = a b2 Thế hệ thức khơng tầm thường S (khác với ab = a2b2) tương đương với a n+1 b = an, abm + = bm, an+1 = an, abm + = bm với m, n  * Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.10 o(a) = o(b) =  Giả thiết S thỏa mãn hệ thức không tầm thường w(a,b) = w’(a,b) mà khơng tương đương với ab = a2b2 Theo Bổ đề 2.2.4 giả thiết w(a,b) w’(a,b) từ rút gọn a, b Trường hợp 1: w(a,b) = aibm w’(a,b) = ai’bm’ với i, i’  0,1, m  i m’  i’ Nếu i = i’, bm = bm’ nên m = m’ hệ thức w(a,b) = w’(a,b) tầm thường : mâu thuẫn Do i  i’, khơng tổng qt, giả sử i = i’ = Thế bm = abm’ bm + = bm’ m’ = m +1 Như hệ thức cho abm + = bm Trường hợp 2: w (a,b) thuộc dạng I w’(a,b) thuộc dạng II Khi aibm = an’bj’ với i, j’ = 0,1, m  i n’  Như bm - i + = ban’bj’, mà điều kéo theo b(m - i) + (n’ - j’)+1 = bm - i + 1bn’ - j’ =ban’ bn’ = b Do (m - i ) + (n’ j’) = 0, trái với điều kiện m - i  n’ - j’  Từ trường hợp khơng xảy Trường hợp 3: w(a,b) thuộc dạng I w’(a,b) thuộc dạng III Trong trường hợp này, aibm = ai’bm’an’bj’ i, i’, j’  0,1, m  i, m’  i’ n’  j’ Thế b(ai bm)a = b(ai’bm’an’bj)a, nghĩa là, bm - i + 1a = bm’ - i’ + an’ - j’ + Theo Mệnh đề 2.1.11, m - i = m’ - i’ n’ - j’ = 0: mâu thuẫn với giả thiết n’  j’ Từ điều kiện khơng xảy Trường hợp 4: w(a,b) w’ (a,b) thuộc dạng II Khi anbj = an’bj’ 27 với j, j’  0,1, n  n’  1, an bj a = an’ bj’ a, nghĩa , an -j +1 = an’ -j’ +1, kéo theo n - j = n’ - j’ Vì hệ thức anbj = an’bj’ khơng tầm thường nên i  j’ Không tổng quát, giả sử j = j’ = Thế an = an’b, an +1 = a n nên n’= n+1 Như hệ thức cho an + 1b= an , Trường hợp 5: w(a,b) có dạng I w’(a,b) có dạng III Trong trường hợp này, anbj = ai’bm’an’bj’ với j,i’, j’0,1, n  1, m’  i’ n’  j’ Thế b(anbj) a = b(ai’bm’an’bj’)a, nghĩa ban - j +1 = bm’ - i’ +1 an’ - j’ + Theo Mệnh đề 2.1.11, có n - j = n’ - j’ m’ - i’= 0: Mâu thuẫn với m’  i’ Như trường hợp không xảy Trường hợp 6: w(a,b) w’(a,b) có dạng III Hệ thức cho bm anbj = ai’bm’an’bj’ với i,j,i’, j’  0,1, m  i , n  j, m’  i’ n’  j’ Thế b(ai bm anbj)a = b(ai’bm’an’bj’)a, nghĩa bm - i + an -j +1 = bm’ - i’ + an’ -j’ +1 đó, theo Mệnh đề 2.1.11, m - i = m’ - i’ n - j = n’ - j’ Vì hệ thức cho khơng tầm thường nên đồng thời i = i’ j = j’ 6(a): Giả thiết i = i’ j  j’ Không tổng quát giả sử j = j’ = 1, hệ thức cho trở thành aibman = ai’bm’an’b Từ b(aibman)a = b(ai’bm’an’b)a nên bm- i +1 an +1 = bm’- i’ +1 an’ Theo Mệnh đề 2.1.11, m = m’ n’ = n+1 Từ aibman = aibm’an’b hay aibman = aibman +1b Thế an = ambman = am - iai bman = am - iaibman +1b = an + 1b Vì an = an +1b kéo theo aibman = aibman +1b nên hệ thức cho tương đương với an = an +1b 6(b): Theo tính đối xứng với (a), i  i j  j hệ thức cho trở thành bm = abm +1 6(c) Giả thiết i  i’ j  j’ Không tổng quát giả sử i = i’ = Trước hết giả thiết j = j’ = Vì bman = abm’an’ kéo theo bm +1an +1 = bm’an’ nên theo Mệnh đề 2.1.11, m’ = m+1 n’= n +1; hệ thức cho bman = abm+1an+ 1b Từ bm = bmanbn = abm + 1an+1 bn +1 = abm+1 an = ambman = am +1bm+1 an+1b = an+1b Mặt khác bm = abm+1 an = an+1 b kéo theo 28 bman = abm+1 an+1b Do hệ thức cho tương đương với hai hệ thức, bm = abm+1 an = an+1 b Bây giả thiết j = j’ = bman b = abm’an’ kéo theo bm+1an = bm’an’+1, theo Mệnh đề 2.1.11, m’ = m+1 n = n’+1, hệ thức cho bm an b = abm +1an-1 Thế bm = bmanbn = abm+1an -1bn -1 = abm +1 an -1 = am+1bm+1an -1 = ambm an b = anb bm = abm+1 an -1 = anb kéo theo bm an b = abm+1an -1, nên hệ thức cho tương đương với hai hệ thức bm = abm+1 = an -1 = anb Mệnh đề chứng minh 2.2.11 Chú ý Từ Mệnh đề 2.2.10 suy O( ,m ) (a, b) = < a,b a  b, ab = a2b2 > Theo Hệ 1.2[5], Hình biểu diễn hộp trứng O( ,m) (a, b) … … … … … … … ab4 a4 b ab4 a3 b ab4 a2 b ab4 ab4 a ab4 a2 ab4 a3 … … ab3 a4 b ab3 a3 b ab3 a2 b ab3 ab3 a ab3 a2 ab3 a3 … … ab2 a4 b ab2 a3 b ab2 a2 b ab2 ab2 a ab2 a2 ab2 a3 … … a4 b a3 b a2 b ab a a2 a3 … … ba4 b ba3b ba2 b b ba ba2 ba3 … … b2 a4 b b2 a3 b b2 a2 b b2 b2 a b2 a2 b2 a3 … … b3 a4 b b3 a3 b b3 a2 b b3 b3 a b3 a2 b3 a … … … … … … … Hình 2.2.12 Bổ đề Nửa nhóm O( ,m) (a,b) nửa nhóm orthodox đơn diễn song 29 đơn tổ hợp mà hộp trứng cho Hình Chứng minh Giả sử S = O(  , ) (a,b) Theo Bổ đề 2.2.6, S nửa nhóm tổ hợp song đơn Vì S tổ hợp nên Ra  Lb = {a b} Theo Mệnh đề 2.1.10, a  a b  Ra b  a b  La Rõ ràng a  b trùng với tập hợp tất từ rút gọn theo a, b dạng II, từ định nghĩa O( , ) (a,b) phép chứng minh Mệnh đề 2.2.10 (xem Trường hợp 4) trực tiếp suy an bj = a n’ bj’ n = n’ j = j’ tất anbj , a n’bj’  a  b , từ định nghĩa O( , ) (a,b) phép chứng minh Mệnh đề 2.2.10 suy i,i’  { 0, 1} k, k’  , Thế bk = a i’bk’ i = i’ k = k’, rõ ràng tập hợp tất từ rút gọn theo a, b dạng I trùng với ( b  a b ) \ { ab} Giả thiết b m an bj từ rút gọn dạng I dạng II cho bm an bj  Ra Theo Bổ đề 2.2.6, bm R bm an bj bm  Ra  Lb = {a}, mâu thuẫn Do Ra = a  a b đối xứng, Lb = b  a b , chứng tỏ S \ (Ra  Lb) trùng với tập hợp tất từ rút gọn dạng III Cuối cùng, bm an bj từ rút gọn tùy ‎ý dạng III, Bổ đề 2.2.6 ý ‎trên kéo theo {aibmanbj } = Ra b  La b Suy Hình cho hộp trứng O( , ) (a,b) Bổ đề i n n j chứng minh.‎ 2.2.13 Chú ý Từ Bổ đề 2.2.12 trực tiếp suy với x  i m n j O( ,m ) (a, b) có từ rút gọn a b a b theo a, b cho x = bm an bj , ta nói bm an bj từ rút gọn biểu diễn x (hay bm an bj dạng rút gọn x) Rõ ràng O( ,m) (a, b) hợp rời bốn nửa nhóm bicyclic nửa nhóm xyclic vô hạn 2 2 3 2 2 O( ,m ) (a,b) = B(a b,ab )  B(ab a ,ab a)  B(ba b,b a b)  B(ba ,b a) 30  < a >  < b > Giả sử n  m  * * Theo định nghĩa S = O( n, ) (a,b) có (ab) bm ≠ bm với , an(ab) = an al(ab) ≠ al với  l < n Như : O( n, ) (a,b) = < a,b a  b, ab = a2b2 , an + 1b = an > , từ suy hộp trứng S = O( n, ) (a,b) nhận Hình … … … … … … ab4 an b ab4 an-1 b … ab4 a2 b ab4 ab4 a ab4 a2 ab4 a3 … ab3 an b ab3 an-1 b … ab3 a2 b ab3 ab3 a ab3 a2 ab3 a3 … ab2 an b ab2 an-1 b … ab2 a2 b ab2 ab2 a ab2 a2 ab2 a3 … an b an-1 b … a2 b ab a a2 a3 … ban b ban-1 b … ba2 b b ba ba2 ba3 … b2 an b b2 an-1 b … b2 a2 b b2 b2 a b2 a2 b2a3 … b3 an b b3 an-1 b … b3 a2 b b3 b3 a b3a2 b3a3 … … … … … … … Hình Chú ý S = O( n, ) (a,b) có từ rút gọn aibmanbj với l  n cho x = a ibmanbj Khi ta nói aibmanbj dạng rút gọn x Theo đối ngẫu, m  * , ta nhận hộp trứng O( ,m) (a,b) 31 x  O( ,m) (a,b) biểu diễn thành từ rút gọn a ibkanbj với k  m , b k a n bj gọi dạng rút gọn x Bây giả sử m, n  * Theo định nghĩa O( n,m) (a,b), có a n (a,b) = a n (ab)b m = b m a l (ab) ≠ a l với  l < n (ab) b k ≠ b k với  k < m Do O( n,m) biểu diễn bởi: O( n,m ) (a,b) = < a,b a  b, ab = a2b2, an + 1b = an , abm+1 = bm + > Nói riêng O( n,m) (a,b) ảnh đồng cấu O( n, ) (a,b) Điều cho phép nhận hộp trứng O( n,m) (a,b) từ hộp trứng O( n, ) (a,b); đưa Hình ab m an b ab m-1 an b ab m an -1 b ab m a2 b ab m ab m a ab m -1 a n - 1b ab m-1 an b ab m-1 ab m-1 a ab m a ab m-1 a ab a n b ab a n -1 b ab a b ab ab a ab a ab a n b ab a n -1 b ab a b ab ab a ab a2 an b a n -1 b a2 b ab a a2 ba n b ba n -1 b ba 2b b ba ba b2 an b b a n -1 b b2 a2 b b2 b2 a b2 a2 Hình 32 Rõ ràng x  O (a,b) có từ rút gọn (n,m) a i b k a lb j cho k  m ,l  n x = a ib k a l b j Khi ta nói a i b k a lb j dạng rút gọn x Ta tóm tắt nhận xét Bổ đề sau 2.2.14 Bổ đề Giả sử m, n  * Các nửa nhóm O (a,b) O (a,b) (n,) (n,m) nửa nhóm đơn diễn song đơn tổ hợp mà hộp trứn g chúng cho Hình Hình tương ứng, nửa nhóm O (a,b) (,m) đối ngẫu O (a,b) (m,) 2.2.15 Định nghĩa a/ Nửa nhóm S gọi băng phần tử S phần tử lũy đẳng, nghĩa S = E S b/ Băng E gọi e , f  E có e E e  f E f Năm 1970, T.E Hall chứng tỏ băng E băng nửa nhóm orthodox song đơn E Do đó, với m, n  * tùy ý, băng lũy đẳng nửa nhóm O( , ) (a,b), O( n , ) (a,b), O( ,m ) (a,b) O( n,m ) (a,b) Theo tính đối ngẫu, cần xét băng lũy đẳng nửa nhóm O (a,b) , O (a,b) O (a,b) với m  n Chúng (n,m) (n,m) (n,m) phần (a), (b), (c) tương ứng Hình với đoạn thẳng rõ nét biểu diễn quan hệ bao hàm (phủ) theo thứ tự phận tự nhiên (e  f ef = fe = e), đoạn thẳng mảnh quan hệ O (n,m ) R L băng (Các sơ đồ O (a,b) (n,) (a,b) vẽ Hình ln giả thiết n > m > n > tương ứng Trường hợp n = m = n > hay m > n = biểu diễn dễ dàng) 33 ab ab2a2b ab ab2a2b ab2a R ab2a2b L ba ab3a3b R L ab3a2 L R b2a2 b2a3b L ba abnanb R abn +1an R bn -1an b bn -1an b L bn- 1an -1 L L bnan bn+1an+1 (a) n n -1 R ab a L R abnan -1 L L R ba abnanb L ba2b L R ab2a R L R ba2b L ba2b ab ab2a R abn+2an+1 bn- 1an -1 bnan abn +1an L L abn+2an+1 bn+1an+1 bmam bm+1am+1 (b) (c) Hình Dễ thấy E băng tùy ý Hình e  E eEe đẳng cấu với chuỗi lũy đẳng nửa nhóm bicyclic (nghĩa chuỗi e > e1 > e > …), từ eEe  fEf với e, f  E 2.2.16 Chú ý Chúng ta nửa nhóm orthodox đơn diễn S = a, b cho a,b  NS thỏa mãn ab = a2b2 S trùng với nửa nhóm tổ hợp song đơn O (a,b), O (a,b) , O (a,b) (,) (n,) (,m) hay O (a,b) m, n  (n,m) * mơ tả Bổ đề 2.2.12 2.2.14 Bây chứng minh khơng có nửa nhóm orthodox song 34 đơn khác sinh hai phần tử phi nhóm ngược đạt mô tả tất nửa nhóm orthodox đơn diễn với phần tử sinh phi nhóm Theo Bổ đề 2.7 [4], S nửa nhóm orthodox, a  S b  V(a) { a, b, ab, ba} D– lớp đỉnh a, b (nghĩa a, b \ { a, b, ab, ba} iđêan a, b ) o(a) = o(b) =  Ta đưa mở rộng Bổ đề 2.7[4] 2.2.17 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm orthodox, a  S phần tử phi nhóm b  V(a) Thế {a, b, ab, ba} D – lớp đỉnh a, b (có thể sau hoán vị a b): ab = a2b2 ba  b2 a2, o(a) = o(b) =  , a  a b  Ra b  a b  Lb Chứng minh Kí hiệu A = a, b đặt IA (a) = JA (a) \ J aA (chỉ số A sử dụng cho tập đánh dấu A từ tập tương ứng S ) Giả thiết a2  IA (a) Vì IA (a) iđêan S nên J aA = JA(a)\ IA (a) = { a, b, ab, ba }  DaA  J aA Như J aA = DaA = {a, b, ab, ba} Hơn nữa, A\{a, b, ab, ba} trùng với IA (a) từ iđêan A Do đó{a,b,ab,ba} D - lớp đỉnh a, b Đối với phần lại phép chứng minh, ta giả thiết a2  IA(a) nghĩa (a, a2)  JA Giả thiết a2 không ước bên trái không ước bên phải a Theo giả thiết, a Aa2A Do ta chọn từ u v ngắn cho a = ua2v Vì b = b(ua2 v)b vì, theo Bổ đề 1.3, b2 không ước bên trái không ước bên phải b, chữ a chữ cuối v a Thực vậy, giả thiết a2, phải có u = abu’ v = v’ba, u’ v’ từ rỗng theo a, b Chữ a’ khơng a, ngược lại, u’ = au” đối 35 với từ khác rỗng u” theo a, b từ a = (au”)a2 v với au” ngắn u: mâu thuẫn Tương tự chữ v khơng a Như b chữ u’ v’ chữ cuối v’ nữa, b = bu’a2v’ b b2 vừa ước bên trái vừa ước bên phải b: mâu thuẫn Do a2 ước bên trái ước bên phải a và, Bổ đề 2.1.9, b2 là, tương ứng, ước bên phải ước bên trái b Như hoán vị a b cần thiết, giả thiết a2 ước bên trái a Thế thì, theo Bổ đề 2.1.9, ab = a2b2 ba  b2a2 nên, Bổ đề 2.1.10, o(a) = o(b) =  , a  a b  Ra b  a b  La 2.2.18 Hệ Giả sử S = a, b nửa nhóm orthodox song đơn cho a (và b) phần tử phi nhóm S Thế (có thể, sau hốn vị a b) ta có ab = a2b2 ba  b2a2 Tổ hợp tất kết tiết nhận 2.2.19 Định lí Giả sử S = a, b nửa nhóm orthodox đơn diễn cho a (và từ b) khơng thuộc nhóm S Thế S nửa nhóm song đơn S (hoặc đối ngẫu S) trùng với nửa nhóm sau đây: O (a,b), O (a,b), O (a,b) O (a,b) với (,) (n,) (,m) (n,m) m, n số nguyên dương 2.3 Nửa nhóm orthodox đơn diễn với phần tử sinh nhóm 2.3.1 Nhận xét Giả sử S = a, b nửa nhóm orthodox đơn diễn cho a (và b) phần tử nhóm, nghĩa tồn nhóm Ha Hb S cho a  Ha b  Hb Để tránh lặp lại, giả thiết luôn thỏa mãn phần lại tiết Theo Bổ đề 2.1.9 (i),ab = a2b2 ba = b2a2 đơn vị nhóm Ha Hb tương ứng ab2a ba2b Vì ab = a 2b2 ba = b 2a2 nên phần tử S viết 36 (nói chung khơng nhất) dạng bianbj hay aibnaj i, j  { 0,1} n * Kí hiệu ea = ab 2a eb = ba 2b Thế eaeb = ab  Ra  Lb ebea = ba  La  Rb Từ ES băng chữ nhật với nhiều bốn phần tử: ea ,eb , ab ba Suy S  Ha  ES Nói riêng S nửa nhóm song đơn Do có bốn khả xảy (1) a(ab)  a (ab) b  b Khi lũy đẳng ea, eb , ab ba đôi phân biệt, ES = {ea , ab, ba, eb } băng chữ nhật  (2) a(ab)  a (ab)b = b, tương ứng với điều kiện ea = ba  ab = eb, từ ES = {ea ,eb} nửa nhóm zero phải gồm hai phần tử (3) a(ab) = a (ab)b  b, tương ứng với điều kiện ea = ab  ba = eb nên ES = {ea, eb} nửa nhóm zero trái gồm hai phần tử (4) a(ab) = a (ab)b = b, nghĩa ea = eb = ba = eb ES gồm phần tử Các hộp trứng S trường hợp (1) đến (4) tương ứng phần (a) - (d) Hình Ha Ha H ab H ba H H Ha b (a) b (b) Hb Ha (c) (d) Hình Trường hợp 1: a(ab)  a (ab)b  b Giả thiết o(a) = o(b) =  Vì ab3a nghịch đảo a nhóm Ha (ab3a )n = ab n + a với n  * nên Ha  a, ab3a = {…, ab4a, ab3a, ab2a, a, a2, …}  Z Đối ngẫu Hb  b, ba3b = {…, ba4b, ba3b, ba2b, b, b2, …}  Z Chú ý a2b nghịch đảo ab nhóm Hab (a2b)n = a n + b, (ab2)n = abn +1 với n  * Do 37 Hab  {…, ab3, ab 2, ab, a 2b, a 3b,…} = a 2b, ab2  có Hba  {…, ba3, ba 2, ba, b 2a, b 3a,…} = b2 a, ba Z Do tính đối xứng,  Z Vì phần tử thuộc S có dạng bianbj hay aibnaj với i, j  { 0, 1} n  * đó, nên Ha = a, ab3 a , Hab = a 2b, ab2 , Hba = b2 a, ba Hb = b, ba3 b Bây giờ, giả sử o(a) = o(b) = m  * Thế Ha, Hb , Hab , Hba nhóm xyclic cấp m Đặc biệt hơn: Ha = { ab2a, a,…, a m – 1} = a Hb = { ba2b, b,…, b m – 1} = b Hab = { ab2 , a2 b,…, b m – 1} = a 2b Hba = { ba, b 2a, …, a m – 1} = b2 a Trường hợp 2: a(ab)  a (ab)b = a Như nhận xét trên, ab2a=ba  ab=ba 2b nên ES = { ba, ab} nửa nhóm zero phải gồm hai phần tử S  Ha  ES , nghĩa nhóm phải Chú ý bna = ab n + a n = ba n +1 với n  * Nếu o(a) = o(b) =  Ha = Hba = a, b2 a = {…, b3a, b2a, ba, a, a2,…}  Z, Hb = Hab = b, a 2b = {…, a3b, a2b, ab, b, b2,…}  Z Nếu o(a) = o(b) = m  * Ha = Hba  Zm  Hab = Hb chi tiết Ha= Hba = {ba, a,…, a m – 1} Hab = Hb = {ab, b,…, b m – 1} Trường hợp 3: a(ab) = a (ab)b  b Cấu trúc S nhận từ trường hợp đối ngẫu Trường hợp 4: a(ab) = a (ab)b = b Khi đó, | ES | = nên S nhóm xyclic Tổng hợp kết trên, nhận định lí sau 2.3.2 Định lí Giả sử S = a, b nửa nhóm orthodox đơn diễn cho a (và từ b) thuộc vào nhóm Ha (tương ứng Hb) S (1) Giả sử a(ab)  a (ab)b  b Thế ES = {ab2a, ab, ba, ba2b} 38 băng chữ nhật  S  Ha  ES nửa nhóm song đơn mà hộp trứng cho Hình 5(a)  Nếu o(a) =  Ha = a, ab3a , Hab = a 2b, ab2 , Hba = b2 a, ba Hb = b, ba 3b nhóm xyclic vơ hạn  Nếu o(a) = m với m  * H - lớp S nhóm xyclic hữu hạn cấp m: Ha = { ab2a, a, …, am -1} = a , Hb = { ba2b, b, …, bm -1} = b , Hab = {ab, a2 b,…, am – 1b } = a 2b , Hba = { ba, b2a, …, bm – 1a }= b2 a (2) Giả sử a(ab) ≠ a (ab)b = b Thế ES = {ba, ab} nửa nhóm zero phải gồm hai phần tử S  Ha  ES nhóm phải mà hộp trứng S cho Hình 5(b)  Nếu o(a)=  Ha = a, b2 a Hb = b, a2 b nhóm xyclic vơ hạn  Nếu o(a) = m  * Ha = {ba, a, …, a m –1} = a  Zm Hb = {ab, b,…, bm – 1} = b  Zm (3) Nếu a(ab) = a (ab)b  b cấu trúc S cấu trúc đối ngẫu nửa nhóm mơ tả (2) (4) Nếu a(ab) = b (ab)b = b S nhóm xyclic  Nếu o(a) =  S  Z  Nếu o(a)= m  * S  Zm 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống lại số kiến thức sở về: Biểu diễn nửa nhóm biểu diễn vị nhóm, nửa nhóm bicyclic, nửa nhóm orthodox nửa nhóm orthodox đơn diễn Trình bày cấu trúc lớp nửa nhóm orthodox song đơn sinh hai phần tử, cách sử dụng số đặc trưng chuẩn nửa nhóm orthodox (Mệnh đề 2.1.9, Mệnh đề 2.1.10, Mệnh đề 2.11) Trình bày cấu trúc nửa nhóm orthodox song đơn S sinh hai phần tử ngược a b a (và b) khơng thuộc nhóm tùy ‎nào S (Định l‎ý 2.2.19) Trình bày cấu trúc nửa nhóm orthodox song đơn S sinh hai phần tử ngược a b a b phần tử nhóm S (Định lí 2.3.2) 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Clipphớt G B Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm tập1, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán ( 2008), Lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [4] C A Eberhart and W Willams ( 1978 ), Elementary semigroups, Semigroup Forum, 15, 295 – 309 [5] C A Eberhart and W Willams ( 1984 ), Elementary orthodox semigroups, Semigroup Forum, 29, 351 – 364 [6] S M Goberstein (2009), Bisimple monogenic orthodox semigroups, Semigroup Forum, 78, 310 – 325 [7] S M Goberstein (1992), On orthodox semigroups determined by their bundles of correspondences, Pac J Math.153,71 – 84 [8] T E Hall (1970), On orthodox semigroups and antiuniform bands, J.Algbra 16, 204 - 217 [9] J M Howie (1976), An introduction to semigroup theory, Academic Pres, London ... diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm 1.2 Biểu diễn nửa nhóm bicyclic Chƣơng Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn? ??……………… .14 2.1 Nửa nhóm orthodox nửa nhóm orthodox đơn diễn? ??……… 14 2.2 Nửa. .. minh nửa nhóm sơ cấp nửa nhóm orthodox nửa nhóm orthodox từ suy ra: S nửa nhóm orthodox a  b S a, b nửa nhóm orthodox đơn diễn (xem [4]) Từ sau cụm từ “ Giả sử S = a, b nửa nhóm orthodox đơn diễn. .. diễn nửa nhóm bicyclic số tính chất lớp nửa nhóm Chương Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn Đây nội dung luận văn Trước hết chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm orthodox nửa nhóm orthodox đơn