Dãy farey và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH CHÚC THỊ KIM LOAN DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN, 2011 MỞ ĐẦU Số học khoa học số Từ “Số học” (Arithmetic) xuất phát từ tiếng Hy lạp “Aritmos” có nghĩa số Trong số học người ta nghiên cứu tính chất đơn giản số quy tắc tính tốn Số học lĩnh vực cổ xưa toán học lĩnh vực tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn toán học nẩy sinh (xem [4]) Nhiều nhà tốn học vĩ đại lịch sử có câu nói bất hủ vai trị số học toán học khoa học (xem [10, 11]): Gauss: Toán học Vua khoa học, Số học Nữ hồng Tốn học (Mathematics is the Queen of all Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics) Jacobi: Thượng đế số học (God is an arithmetician) Kronecker: Thượng đế sáng tạo số tự nhiên phần cịn lại cơng việc (God created the natural number, and all the rest is the work of man) Nếu trước đây, số học xem ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, ngày nay, nhiều thành tựu số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống, thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Trong số học có số đặc biệt mà người ta thường gọi số vàng tốn học Ngồi tính chất đẹp đẽ diệu kỳ nó, số cịn có ứng dụng bất ngờ sâu sắc toán học lĩnh vực khác Việc tìm hiểu số vàng toán học (chẳng hạn số e số  ) cần thiết có ý nghĩa Chúng ta thử hình dung rằng, tốn học thiếu vắng số e  tình hình toán học phát triển nào? Với lý trên, chúng tơi trình bày nội dung luận văn sở tham khảo tài liệu số học có liên quan cơng bố xuất thời gian gần Trước hết, tập trung giới thiệu tính chất số vơ tỉ lịch sử hình thành tính chất đặc biệt số e  Luận văn trình bày chi tiết chứng minh: Số e số vô tỉ; Số  số vô tỉ; ứng dụng số e  toán học ngành kỹ thuật khác có sử dụng cơng cụ tốn học Ngồi ra, chương cịn giới thiệu định nghĩa số tính chất dãy Farey ứng dụng chúng số học Chương giới thiệu số kết lý thuyết xấp xỉ vô tỉ phân số hữu tỉ, nội dung có nhiều ứng dụng tính tốn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang người thầy giáo quan tâm đặt vấn đề nghiên cứu tận tình dẫn, để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan động viên, cổ vũ có góp ý quý báu giúp tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn Bộ môn Đại số, Khoa Toán Khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Do nhiều nguyên nhân, luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận bảo quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp TÁC GIẢ CHƢƠNG SỐ VÔ TỈ 1.1 Khái niệm tính chất số vơ tỉ Số vơ tỉ số thực không biểu thị dạng a với a b b số nguyên b  (phân số) Chúng ta xuất phát định lý đơn giản số vô tỉ, mà gần biết, định lý có nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn liền với tên tuổi nhà toán học Hy-lạp tiếng: Pithagoras, người phát số vô tỉ Sự kiện đánh phát minh vĩ đại nhân loại, tương đương với tầm cỡ phát minh hình học phi Euclid Nhờ phát minh mà phát độ dài đường chéo hình vng có cạnh đơn vị, khơng thể đo phân số [10] 1.1.1 Định lý Pithagoras số vô tỉ 1.1.2 Định lý Nếu số m luỹ thừa bậc n số nguyên đó, m n số vơ tỉ Chứng minh Giả sử mệnh đề sai, có số a b cho n a m  , (a, b)  b Do a n  mbn (1) (2) Nếu b = a n = m đó, mâu thuẫn với giả thiết định lý, b  Giả sử b lớn 1, tồn nguyên tố p ước b Do đó, từ (2) p ước a n hay p ước a Như p ước a b, điều khơng thể a b nguyên tố Bởi vậy, định lý chứng minh ■ 1.1.3 Định lý Giả sử f ( x)  x n  a1x n1   an đa thức đơn hệ với hệ số ngun Khi đó, nghiệm phương trình f ( x)  số nguyên số vô tỉ Chứng minh Giả sử định lý không Khi đó, tồn phân số hữu tỉ tối giản a với b > nghiệm phương trình f ( x)  b n 1 n a a Ta có:   + a1   + … + an = hay a n + a1 a n1 b + … + an b n = b b hay a n = - ( a1 a n1 b + a2 a n2 b++ an b n1 )b Như b ước a n Vậy ước nguyên tố p b ước a n Do p ước a b Điều trái với giả thiết a phân số tối b giản Bởi định lý ■ n 1.1.4 Hệ Nếu m số ngun số vơ tỉ n Chứng minh Số m nghiệm phương trình xm  m  n Như vậy, theo định lý m số nguyên số vơ tỉ Nhưng nói khơng phải số ngun.Vậy từ ta có m n số vô tỉ ■ 1.2 Số e số  1.2.1 Giới thiệu số e Hằng số toán học e số logarit tự nhiên Nó cịn gọi số Euler, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, số Napier để ghi cơng nhà tốn học Scotland John Napier người phát minh logarit Số e số quan trọng toán học Nó có số định nghĩa tương đương, số chúng đưa Chỉ dẫn tham khảo tới số xuất vào 1618 bảng phụ lục cơng trình logarit John Napier Thế nhưng, cơng trình khơng chứa số e, mà đơn giản danh sách logarit tự nhiên tính tốn từ số e Có thể bảng soạn William Oughtred Chỉ dẫn cho biết số e phát Jacob Bernoulli, tìm giá trị biểu thức: n  1 lim 1   n  n Việc sử dụng ta biết số, biểu diễn chữ b, liên lạc thư từ Gottfried Leibniz Christiaan Huygens 1690 1691 Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ e cho số vào 1727, việc sử dụng e lần ấn Mechanica Euler (1736) Trong năm sau số nhà nghiên cứu sử dụng chữ c, e trở nên phổ biến cuối trở thành tiêu chuẩn Lí xác cho việc sử dụng chữ e chưa biết, chữ từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thơng thường tăng nhanh chóng, nghĩa toán học hàm mũ) Một khả khác Euler sử dụng nguyên âm sau a, chữ mà ông sử dụng cho số khác, ông lại sử dụng nguyên âm chưa rõ (xem [8]) 1.2.2 Một số định nghĩa khác tƣơng đƣơng số e Số e số thực dương mà đạo hàm hàm số mũ số e hàm số d t e  et dt Số e số thực dương mà d log e t  dt t Số e giới hạn: n  1 e  lim 1   x   n Số e tổng chuỗi vô hạn:  1 1 1       0! 1! 2! 3! 4! n=0 n! e= n! giai thừa n Số e số thực dương mà e  t dt  (nghĩa là, số e số mà diện tích hyperbol f(t) = 1/t từ tới e 1) 1.2.3 Biểu diễn số e dƣới dạng liên phân số e   2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, ,1,2n,1,  e2 1 2 1 1  Như vậy, e số vô tỉ biểu diễn liên phân số lại phân phối theo qui luật tuyến tính: 2;1-2-1;1-4-1;1-6-1;1-8-1; 1.2.4 Số chữ số thập phân biết số e Số chữ số thập phân biết số e Thời gian Số chữ số thập phân Tính 1748 18 Leonhard Euler 1853 137 William Shanks 1871 205 William Shanks 1884 346 J Marcus Boorman 1946 808 ? 1949 2.010 John von Neumann (trên ENIAC) 1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench 1981 116.000 Stephen Gary Wozniak (trên Apple II) 1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell 5/1997 18.199.978 Patrick Demichel 8/1997 20.000.000 Birger Seifert 9/1997 50.000.817 Patrick Demichel 2/1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski 10/1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski 21/11/1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon 10/7/2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 16/7/2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon 2/8/2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 16/8/2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 21/8/2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 18/9/2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 27/4/2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 6/5/2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 1.2.5 Giới thiệu Pi Số Pi số tốn học có giá trị chu vi đường trịn chia cho đường kính đường trịn Nó hay viết ký hiệu chữ Hy Lạp π Tên pi chữ peripheria (perijeria) có nghĩa chu vi 10 đường trịn Trong thực tế, để tính tốn, người ta thường dùng giá trị gần 3,14 3,1416 Trong lĩnh vực cần độ xác cao hơn, hàng không vũ trụ, pi dùng không 10 chữ số thập phân 1.2.6 Các cơng thức có dùng số Pi Hình học: Số π có mặt hình học liên quan tới hình trịn hình cầu: Dạng hình Cơng thức Chu vi hình trịn bán kính r đường kính d C   d  2 r Diện tích hình trịn bán kính r S   r2 Diện tích hình ellipse bán trục a b S   ab Thể tích hình cầu bán kính r đường kính d V   r3   d 3 S  4 r Diện tích bề mặt hình cầu bán kính r Thể tích hình trụ trịn chiều cao h bán V   r 2h kính r Diện tích mặt hình trụ trịn cao h bán kính r V   r    2 r  h  2 r   h  Thể tích hình nón cao h bán kính r Thể tích hình nón cụt cao H bán kính lớn R bán kính nhỏ r V   r 2h V   H  R  Rr  r  Ngoài ra, góc đo 180° π rad Giải tích Nhiều cơng thức giải tích chứa π bao gồm biểu thức chuỗi vơ hạn (và tích vơ hạn), tích phân, cỏi gi l cỏc hm c bit Franỗois Viốte, vào năm 1593 chứng minh: 19 Mọi số hạng biểu diễn chứa sin  x khơng ((sin  x ) 0 = Mỗi số hạng chứa cos  x số có dạng: b n  n1 cos  x  n 1 f   (x) ) ; 2r  r  n = b n  n1 ( cos  f   (1) - f  2r 2r  (0)) = b n  n1 ( f   (1) - f   (0)) = số nguyên 2r 2r Do I số nguyên với n Mặt khác, < x < 1, < f(x) < b n n1 < b n  n1 sin  x f(x) < < sin  x < n! n! Ta có: < b  n 0 b > số nguyên dương, nguyên tố nhau, log b a log a b số vô tỉ Chứng minh Giả sử ngược lại log b a  Từ suy ra: a = b s t s với số nguyên dương s t t a t = b s Nhưng điều khơng thể được, 20 số a b khơng có ước ngun tố chung Bởi logb a số vô tỉ Một cách tương tự chứng minh log a b số vô tỉ ■ 21 CHƢƠNG DÃY FAREY 2.1 Dãy Farey Nếu a c ac hai phân số hữu tỉ cho Khi gọi b bd d trung bình a c b d a c hai phân số hữu tỉ Khi đó, trung bình b d 2.1.1 Mệnh đề Cho chúng nằm chúng Chứng minh Nếu Khi a c < bc - ad > b d bc  ad ac a a ac - = > Do < b  d b b(b  d ) b bd Mặt khác bc  ad ac c ac c = > Bởi < b(b  d ) bd d bd d (1) (2) Từ (1) (2) suy mệnh đề Trong trường hợp a c > lý luận tương tự Mệnh đề b d chứng minh ■ 2.1.2 Hệ 1) Nếu a a ak < < < với k nguyên dương b b bk 2) Nếu a a ak > > > với k nguyên dương b b bk Điều suy trực tiếp từ định lý nên ta thay 2.1.3 Mệnh đề Cho k ■ k c a hai phân số cho ad - bc =  Khi đó, b d phân số nằm chúng có mẫu số lớn b + d 22 Chứng minh Cho ad - bc = - s a 1 c s a c vµ Ta cã: -  ; -  b d t b dt bt d t n»m gi÷a Hơn nữa, thu được: Nh-ng s a c < Rút phân số b d t c a bd  d b tbd c a (ad  bc) 1 bd = = Nh- vËy  d b bd bd bd tbd KÐo theo t  b  d Trong trường hợp ad - bc = ta lập luận cách tương tự Mệnh đề chứng minh ■ 2.1.4 Định nghĩa Dãy phân số gọi có tính chất P hai số liên tiếp a c dãy thoả mãn hệ thức ad - bc = - b d 3 ; ; ; có tính chất P, Ví dụ: 1) Dãy  -  = - 1;  -  = - 1;  -  = - 2) Dãy 32 27 49 22 ; ; ; ; có tính chất P, 19 16 29 13  19 -  32 = - 1; 32  16 - 19  27 = - 27  29 - 16  49 = - 1; 49  13 - 29  22 = - 2.1.5 Định lý Giả sử a c hai phân số cho ad - bc = -1 Khi b d đó: (i) a c ac phân số nằm phân số , có mẫu b d bd số khơng vượt q b + d (ii) Dãy (iii) a ac c , , có tính chất P b bd d a ac c , , phân số tối giản tăng theo thứ tự b bd d 23 Chứng minh (i) Từ Mệnh đề 2.1.1, trung bình a ac c nằm b bd d Hơn a(b + d) - b(a + c) = ad - bc = -1 (1) (a + c)d - (b + d)c = ad - bc = - (2) Bởi theo Mệnh đề 2.1.3 phân số nằm giữa a ac và nằm b bd ac c có mẫu số > b + d Do (i) chứng minh suy bd d (ii) Từ phương trình (1) (2) cho ta: Chuỗi (iii) Bởi ad - bc = - nên suy 2.1.1 ta có a ac c ; ; có tính chất P b bd d a c < Bởi theo Mệnh đề b d a a ac c ac c < < , điều có nghĩa ; ; tăng theo b b bd d bd d thứ tự Ta có ad - bc = Do đó, ước số k > chia hết hai số a b, phải chia hết ad - bc = điều khơng thể Vậy, ta suy phân số tối giản Một cách tương tự có a b c phân số tối d giản Hơn a(b + d) - b(a + c) = - Bởi (a + c) (b + d) khơng có ước số chung lớn Vậy ac phân số tối giản ■ bd Bây định nghĩa dãy Farey 2.1.6 Định nghĩa Giả sử n số nguyên dương cho trước Khi đó, dãy Farey cấp n định nghĩa sau: (i) số hạng số hạng cuối dãy 1 24 (ii) Các số hạng trung gian tất phân số tối giản nằm 1 xếp theo thứ tự tăng dần, với mẫu số không vượt n Dãy Farey bậc n ký hiệu f n Mục đích tham khảo phát biểu dãy Farey f1 ; 1 f4 1 ; ; ; ; ; ; 3 f2 1 ; ; f3 1 ; ; ; ; 3 f5 1 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 5 f6 1 1 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 5 f7 1 1 2 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 7 7 7 Bây trình bày vài tính chất quan trọng dãy Farey 2.1.7 Định lý Nếu a c hai số hạng liên tiếp dãy Farey f n b d b+d > n Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.1 ta có: Nếu b + d  n phân số xuất f n cho a ac c < < b bd d ac dạng rút gọn thiết phải bd a c Nhưng điều mâu thuẫn với điều kiện b d a c hai số hạng liên tiếp dãy f n Suy b + d > n ■ b d 2.1.8 Định lý Nếu Chứng minh f1 a c hai số hạng liên tiếp f n ad - bc = - b d ; 1  11  1 Do định lý với n = 1 25 Chúng ta giả sử định lý với n = k Giả sử a c hai số hạng b d liên tiếp f k ad - bc = - Do đó, theo Định lý 2.1.5 tồn a ac c nằm mà mẫu số b bd d phân số tối giản mà cụ thể không vượt b + d Theo Định lý 2.1.7, b + d > k, kéo theo b + d > k + b + d = k + Nếu b + d > k+ hiển nhiên phân số Do ac khơng thuộc dạng f k 1 bd a c hai số hạng liên tiếp dãy f k 1 Vậy định lý n b d = k + Nếu b + d = k + phân số ac số hạng liên tiếp f k 1 rơi vào bd a a c ac c cho ; ; ba số hạng liên tiếp f k 1 b b bd d d Ngoài ra: a(b + d) - b(a + c) = ad - bc = -1 (a + c)d - (b + d)c = ad – bc = - Điều suy định lý với n = k + Vậy hai trường hợp (i) (ii) định lý chứng minh với n = k + Do đó, theo phương pháp quy nạp định lý với tất giá trị n ■ Ví dụ: Tìm số hạng liên tiếp Lời giải Cho 28 f3451 39 h số hạng cần tìm Theo Định lý 2.1.8 có : k 28k - 39h = -1 Đây phương trình Diophantine 28 39 hai nguyên tố ( 28 số hạng dãy Farey) Do đó, phương trình giải 39 có nghiệm tổng quát là: 26 h = - + 28t k = - + 39t Lúc xác định giá trị t, f3451 h 28 số hạng liên tiếp 39 k h 28 liên tiếp 39 k Do theo Định lý 2.1.7 ta có 39 + k > 3451 Mặt khác k < 39t   3451 nên 3412 < k < 3451 Nhưng k = -7 + 39t Bởi 3419 3458 Khi t = 88 thay vào (1) có: h 3459 = 3425 k 2.2 Xấp xỉ vô tỉ Trong suốt mục giả sử (i) Số biểu diển theo chữ a, b, c, …z số nguyên dương (ii)  số vô tỉ với <  < 1, cho  số vô tỉ cho tỉ Nếu   x y bé  x phân số hữu y x x Khi gọi xấp xỉ tới  y y Mục đích mục ứng dụng tính chất dãy Farey vào giới hạn xấp xỉ 2.2.1 Định lý Cho n số nguyên Khi tồn phân số tối giản cho   x y x < ; < y  n (n  1) y y Chứng minh Cho  nằm hai số hạng liên tiếp f n Khi suy ad – bc = - (1) b  n; d  n (2) a c dãy Farey b d 27 a ac c < < b bd d Mặt khác Do có hai khả năng:  nằm Trong trường hợp thứ :  - a ac ac c và b bd bd d a ac c < = từ (1) b bd d b(b  d ) Nhưng b + d  n + (theo Định lý 2.1.7) Bởi  - a < b (n  1)b Trong trường hợp thứ hai chứng minh cách tương tự c - < d (n  1)b Vậy x a c thoả mãn bất đẳng thức:   < ; < y  n b d (n  1) y y Mặt khác a c hai số hạng dãy phân số tối giản b d Bởi định lý thiết lập ■ Ví dụ 1: Cho n = 78,  = hạng liên tiếp Ta có   Do 20 31 f 78 31 48 1 20 31 >   < (78  1)31 (78  1)48 31 48 a 31 c xấp xỉ tới  n = 78 Điều hai thoả b 48 d mãn bất đẳng thức Ví dụ 2: Cho  = tiếp  = 0,6457513…nằm hai số  x < ; (n  1) y y < y  n  n = 48 Khi  nằm hai số hạng liên 20 31 f 48 31 48 Vậy   20 31 < 0,0006… <   < 0,00008 < (78  1)48 48 (78  1)31 31 28 2.2.2 Định lý Cho n số nguyên Khi tồn phân số  x < ; (n  1) y y x cho y < y  n (1) Chứng minh Chúng ta biết với số nguyên h > < h  - [ h  ] < (1) Ta ý đến n + số 0,  - [  ];  - [2  ];…; (n + 1)  - [(n + 1)  ] (2) Tất số hiển nhiên thuộc [0,1], chia thành n + khoảng con, độ dài khoảng n 1      n n 1 , ,  0, ;   ;…;    n 1  n 1 n 1  n 1 n 1 (3) Lúc (2) có vị trí riêng (3) biết số không nằm bên trái tận khoảng (0; ) Khi n 1 (i) Cịn lại (n +1) số tồn số vơ tỉ phân bố số n khoảng    n n 1 , ,   đến    n 1 n 1  n 1 n 1 Trong trường hợp theo nguyên tắc hộp Dirichle có khoảng chứa hai nhiều số (2) (ii) Khoảng thứ chứa nhiều số Trong trường hợp khoảng (3) chứa hai nhiều (2) Cho khoảng chứa q1 - [ q1 ] số q2 - [ q2 ] q1 q2  q1 < q2  n + suy < ( q2 - [ q2 ]) - ( q1 - [ q1 ] ) 1  q2  q1    q2    q1  < n 1 n 1 Hơn lúc rút gọn vào (1) đặt q1 - q2 = y [ q2 ] -[ q1 ] = x Vậy định lý chứng minh ■ 29 Chú ý định lý không cần tối giản 2.2.3 Định lý Giả sử tồn cách vô hạn phân số tối giản  x < y y x Khi y (1) Chứng minh i, Cho n số nguyên dương  nằm hai số hạng liên tiếp a c f k b d a c thoả mãn bất đẳng thức b d Theo Định lý 2.2.1 ta có  x < ; (n  1) y y  Tức y  n x < y y (ii) Lúc ta chứng minh  nằm cách vô hạn cặp khác phân số Farey liên tiếp lớn có tính phức tạp lớn Điều suy tồn cách vô hạn phân số tối giản  x y x < y y (iii) Một phần (ii) chứng minh ta giả sử số phân số thoả mãn (1) hữu hạn Cho phân số: x1 x2 x ; ;…; k y1 y2 yk (2) Khi ta ln ln tìm thấy số nguyên m, cho   với i = 1,2,3…k xi yi > ; m 30 Bởi ta biết m theo Định lý 2.2.1 tồn phân số  Ngoài xm cho ym xm 1   thoả mãn (1) ym  m  1 ym ym x 1 xm khác từ phân số (2) Do   m   ym  m  1 ym m ym Trong   xi yi > ; với i = 1, 2,3…k m Vậy có mâu thuẫn Bởi phân số thoả mãn (1) vô hạn ■ 2.2.4 Định lý Cho  nằm hai số hạng liên tiếp Farey Khi đó:   a c dãy b d a c 1 <   < b d 2b 2d Chứng minh Có hai khả năng:   a a 1   < > b b 2b 2b Xét đến dấu hiệu đẳng thức Từ   a số vô tỉ b Trong trường hợp thứ không cần phải chứng minh Trong trường hợp thứ hai có:   Lúc biết Ngoài c a = d b bd c a c a = ( -  ) + (  - ) d b d b Bởi theo (1) Suy a a =  > b b 2b 1 c >( -)+ d 2b bd 1 c - < - d bd 2b (1) 31 = 1 1 -( + ) 2b 2d bd 2d = 2d d  b 2b d < 2d Định lý chứng minh ■ Ví dụ Cho  = - = 0,414213… rõ ràng  nằm hai số hạng liên tiếp 5 f17 Khi có   < Sự đồng 17 12 2.122 12 dạng  nằm hai số hạng liên tiếp Trong trường hợp   12 f 29 12 29 12 < 2.292 29 32 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành nội dung sau: - Giới thiệu tính chất số vơ tỉ; lịch sử hình thành tính chất đặc biệt số vàng toán học (các số e  ) - Trình bày chi tiết chứng minh: Số e số vô tỉ; Số  số vô tỉ - Chỉ ứng dụng số e  toán học ngành kỹ thuật khác có ứng dụng cơng cụ toán học - Giới thiệu định nghĩa số tính chất dãy Farey ứng dụng dãy Farey số học - Giới thiệu số kết lý thuyết xấp xỉ vô tỉ phân số hữu tỉ, nội dung có nhiều ứng dụng tính tốn thực tiễn Tìm tịi ứng dụng khác số vô tỉ dãy Farey vấn đề tiếp tục tìm hiểu sâu 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, Lập trình Giảng dạy Toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học, Nhà xuất Giáo dục [3] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [6] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội TIẾNG ANH [7] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press [8] J J O'Connor and E F Roberson (2001), The MacTutor History of Mathematics archive: "The number e"; University of St Andrews Scotland (2001) [9] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi [10] M B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer [11] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi ... tính chất dãy Farey ứng dụng dãy Farey số học - Giới thiệu số kết lý thuyết xấp xỉ vô tỉ phân số hữu tỉ, nội dung có nhiều ứng dụng tính tốn thực tiễn Tìm tịi ứng dụng khác số vô tỉ dãy Farey vấn... tiết chứng minh: Số e số vô tỉ; Số  số vô tỉ; ứng dụng số e  toán học ngành kỹ thuật khác có sử dụng cơng cụ tốn học Ngồi ra, chương cịn giới thiệu định nghĩa số tính chất dãy Farey ứng dụng. .. tới  y y Mục đích mục ứng dụng tính chất dãy Farey vào giới hạn xấp xỉ 2.2.1 Định lý Cho n số nguyên Khi tồn phân số tối giản cho   x y x < ; < y  n (n  1) y y Chứng minh Cho  nằm hai số