chuyen de goc

CHUN ĐỀ CHỌN LỌC TỐN GĨC Chun đề NỬA MẶT PHẲNG –GÓC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a (h.1) Hai nửa mặt phẳng có chung bờ gọi hai nửa mặt phẳng đối Trên hình 1, nửa mặt phẳng bờ a chứa hai điểm M,N nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm P hai nửa mặt phẳng đối Nhận xét: đường thẳng nằm mặt phẳng bờ chung hai mặt phẳng đối Hai điểm A,B thuộc nửa mặt phẳng bờ a ( A, B ∉ a ) đoạn thẳng AB khơng cắt A Hai điểm A,C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a ( A, C ∉ a ) đoạn thẳng AC cắt A điểm nằm C (h.2) A Hình Tia Ot nằm hai tia Ox Oy tia Ot cắt đoạn thẳng AB điểm M nằm A B ( A ∈ Ox, B ∈ Oy, A B không trùng O)(h.3) • Nếu hai tia Ox Oy đối tia Ot khác Ox,Oy nằm hai tia Ox,Oy(h.4) Góc hình gồm hai tia chung gốc (h.5 h.6) [53] Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối (h.6) Khi hai tia Ox, Oy không đối nhau, điểm M điểm nằm bên góc xOy tia OM nằm hai tia Ox, Oy Ta cịn nói tia OM nằm góc xOy (h.3) B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vẽ đường thẳng a không qua điểm cắt đoạn thẳng AB Chứng tỏ đường thẳng a cắt hai đoạn thẳng AC BC Giải Đường thẳng a bờ chung hai nửa mặt phẳng đối nhau: nửa mặt phẳng chứa điểm A nửa mặt phẳng chứa điểm B Xét tiếp đến điểm C: * Nếu điểm C điểm B nằm nửa mặt phẳng bờ a (h.7) điểm A điểm C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a, đường thẳng a cắt đoạn thẳng AC mà không cắt đoạn thẳng BC * Nếu điểm C điểm A nằm nửa mặt phẳng bờ a (h.8) điểm B điểm C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ a, đường thẳng a cắt đoạn thẳng BC mà không cắt đoạn thẳng AC Vậy đường thẳng a cắt hai đoạn thẳng AC BC Lưu ý: Bài toán gọi định lý Pap (Pap nhà toán học Hi- Lạp kỷ thứ III) Ví dụ Trên nửa đường thẳng lấy ba điểm M , O, N O nằm M N Từ điểm A nằm đường thẳng vẽ tia AM , AN , AO [54] a) Tia AO nằm hai tia ? Tia OA nằm hai tia ? b) Lấy điểm B nằm O A Tia MB cắt tia AN C Giải thích điểm C nằm A N Giải.(h.9) a) Điểm O nằm hai điểm M N nên tia AO nằm hai tia AM AN Hai tia OM, ON đối nên tia OA nằm hai tia OM, ON b) Điểm B nằm O A nên tia MB nằm hai tia MA, MO hay tia MB nằm hai tia MA, MN tia MB cắt đoạn thẳng AN C nằm A N Lưu ý:Quan hệ tia nằm hai tia quan hệ điểm nằm hai điểm có liên quan chặt chẽ với Từ vị trí tia nằm hai tia ta suy vị trí điểm nằm hai điểm ngược lại Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ thêm tia Om, On, Op hình vẽ có tất góc ? kể tên góc đó? Giải.(h.10) và(h.11) Có tất 10 góc :  , nOy ,  ,mOy  , nOp  , xOn  , xOp  , xOy  , mOn  , mOp xOm pOy Lưu ý : gọi n số tia chung gốc, số góc n tia tạo tính theo cơng n(n − 1) thức Ví dụ 4: Cho ba đoạn thẳng cắt Tính số góc tạo thành Giải: * Trường hợp ba đoạn thẳng cắt điểm A (h.12) Số tia chung gốc A 2.3 = (tia) [55] Số góc tạo thành 6.5 = 15 (góc) * Trường hợp ba đoạn thẳng cắt điểm A, B, C (h.13) Ở điểm A,B,C, điểm gốc chung tia Số góc có đỉnh điểm : 4.3 = ( góc) Số góc có đỉnh ba điểm A,B,C là: 6.3 = 18 ( góc) C BÀI TẬP 2.1 Cho bốn điểm A, B, C, D nằm đường thẳng a Biết đoạn thẳng AB không cắt a, đoạn thẳng BC cắt a, đoạn thẳng CD cắt a Hỏi đoạn thẳng AD có cắt a hay khơng ? Vì ? 2.2 Cho điểm nằm đường thẳng a Vẽ đoạn thẳng qua cặp điểm Hỏi nhiều có đoạn thẳng cắt đường thẳng a 2.3 Cho đường thẳng a Lấy điểm O ∈ A điểm M ∉ A vẽ tia OM Chứng tỏ điểm N tia OM thuộc nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M 2.4 Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ xy ta vẽ hai tia Om, On Chứng tỏ có hai tia Ox, Oy nằm hai tia Om On 2.5 Cho hai điểm A,B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ đối xy ( A, B ∉ xy ) nêu cách lấy điểm O ∈ xy cho: a) Tia Ox nằm hai tia OA OB b) Tia Ox không nằm hai tia OA OB 2.6 Cho đoạn thẳng MN = 6cm O trung điểm MN Trên tia ON lấy điểm P cho OP = 2cm Từ điểm A nằm đường thẳng xy vẽ tia AO, AP, AN Hỏi ba tia này, tia nằm hai tia lại? 2.7 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Gọi M, N điểm nằm A B, A C Giải thích hai đoạn thẳng BN CM cắt ? [56] 2.8 Ba đường đường thẳng cắt O tạo thành góc khơng kể góc bẹt ? 2.9 Vẽ n tia chung gốc, chúng tạo 21 góc Tính giá trị n 2.10 Cho n đường thẳng cắt điểm Tính số góc tạo thành 2.11 Cho số tia chung gốc tạo thành số góc Sau vẽ thêm tia chung gốc số góc tăng thêm Tính số tia lúc đầu 2.12 Cho tia chung gốc O, chúng tạo thành số góc Nếu vẽ thêm hai tia chung gốc O số góc tăng thêm bao nhiêu? [57] Chuyên đề CỘNG SỐ ĐO CÁC GĨC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Mỗi góc có số đo Số đo góc bẹt 1800 Số đo góc khơng vượt q 1800 Các loại góc: − Góc vng góc có số đo 900 − Góc nhọn góc nhỏ góc vng − Góc tù góc lớn góc vng nhỏ góc bẹt Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz +  xOy yOz = xOz +  tia Oy nằm hai tia Ngược lại, xOy yOz = xOz Ox, Oz (h.14) Quan hệ hai góc − Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh cịn lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ cạnh chung (h.14) − Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 − Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 − Hai góc kề bù hai góc vừa kề vừa bù (h.15) Nhận xét: − Nếu hai góc kề có hai cạnh ngồi hai tia đối hai góc kề bù − Nếu hai góc kề bù có tổng 1800 hai cạnh hai tia đối Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ  = m (độ ) tia Oy cho xOy Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox,   m= = xOy , xOz n ; m < n tia Oy nằm [58] hai tia Ox, Oz (h.16) B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho góc xOz tia Oy nằm hai tia Ox Oz, tia Ot nằm hai tia Oy Oz Cho biết    35= = xOy , yOt 50 = , tOz 400 Tính số đo góc xOz Giải (h.17) Ta có tia Ot nằm hai tia Oy Oz nên  =  yOt + tOz yOz Do  yOz = 500 + 400 = 900 +  Ta có tia Oy nằm hai tia Ox Oz nên xOy yOz = xOz  = 350 + 900 = 1250 Do xOy Ví dụ Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, ta vẽ tia Oy,Oz Ot cho   = 1000 Tìm cặp góc hình vẽ  40 = xOy = ; xOz 600 xOt Giải (h.18) *Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta có  (600 < 1000 ) nên tia Oz nằm hai tia Ox Ot  < xOt xOz   + zOt = Do xOz xOt  = xOt  − xOz  = 1000 − 600 = 400 Suy zOt   Vậy xOy = zOt =( 400 )  < xOt  (400 < 1000 ) tia Oy nằm hai tia * Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy Ox Ot +  Do xOy yOt = xOt  − xOy  = 1000 − 400 = 600 Suy  yOt = xOt Ví dụ So sánh hai góc A B biết lần góc B bù với góc A hai lần góc B phụ với góc A [59] Giải  + A = Vì lần góc B bù với góc A nên B 1800 (1)  + A = Vì lần góc B phụ với góc A nên B 900 (2)  = 900 ⇒ B  = 300 Từ (1) (2) suy 3B Ta có 5.300 +  A= 1800 suy  A= 1800 − 1500 ⇒ A= 300  Vậy  A=B  =  = Ví dụ Cho ba tia OA, OB, OC cho  AOB = 110°, BOC 130° COA 120° Hỏi tia nằm hai tia lại ? Giải (h.19) B * Giả sử tia OB nằm hai tia OA, OC  =  Khi  AOB + BOC AOC Thay số : 110o + 130° = 120° (vơ lí) Vậy tia OB khơng nằm hai tia OA OC * Giả sử tia OC nằm hai tia OA, OB  =  Khi  AOC + COB AOB 110° 130° O120° A C Thay số : 120° + 130° = 110° (vơ lí) Hình 19 Vậy tia OC khơng nằm hai tia OA OB * Lập luận tương tự, ta tia OA không nằm hai tia OB OC Vậy ba tia OA, OB, OC khơng có tia nằm hai tia cịn lại Lưu ý: Bạn giải cách khác sau :  ≠  * Ta thấy  AOB + BOC AOC (110° + 130° ≠ 120°) nên tia OB không nằm hai tia OA OC  =  * Ta thấy  AOC + COB AOB (vì 120° + 130° ≠ 110°) nên tia OC không nằm hai tia OA OB * Lập luận tương tự ta tia OA không nằm hai tia OB OC C BÀI TẬP 2.13 Cho góc AOB có số đo 70° Vẽ tia OM góc cho  = 20° Tính số đo góc AOM BOM AOM – BOM  =2 2.14 Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ tia Oz cho xOz yOz  Tính hiệu  yOz – xOz 2.15 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Oy, Oz cho  =  = xOy 50°, xOz 80° Vẽ tia Ot tia đối tia Oy  − xOt  = xOy  − zOy  Chứng tỏ zOt [60] 2.16 Cho góc AOB có số đo 130° Vẽ tia OM góc cho  AOM = 40o Vẽ tia = 50° ON nằm hai tia OM OB cho MON  BON  a) So sánh góc MON b) Tìm cặp góc hình vẽ 2.17 Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng bờ xy ta vẽ hai tia Om, On  =° cho xOm yOn = a o Xác định giá trị a tia On nằm hai tia Oy 80 ,  Om Khi tính số đo góc mOn 2.18 Cho biết hai góc A M phụ ; hai góc B M bù Hãy so sánh góc A với góc B 2.19 Trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ tia Om, On, Ot cho  = =  xOm 40°;  yOn =° 50 xOt yOt Tìm hình vẽ : a) Các cặp góc nhau; b) Các cặp góc bù nhau; c) Các cặp góc phụ 2.20 Cho góc xOy = 150° Vẽ tia Om, On nằm hai tia Ox Oy cho  = xOm 90°;  y 0n = 110° Tính số đo góc mOn 2.21 Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA  BOD AOD BOC AOC Trong ba tia OB, OC, OD tia nằm hai tia lại 2.23 Cho góc aOb có số đo 130° Vẽ tia Ox, Oy vào góc cho a x + b y =100° Tính số đo góc xOy 2.24 Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia OC, OD cho tia  =°  = OC nằm hai tia OA, OD ; COD 70  AOC − BOD 10° Tính số đo góc AOC BOD [61] Chuyên đề TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa: Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc (h.20) Tính chất: Nếu tia OM tia phân giác góc AOB  AOB   AOM = = MOB Chú ý: Đường thẳng chứa tia phân giác góc gọi đường phân giác góc Mỗi góc có đường phân giác B M O A Hình 20 B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho góc AOB tia phân giác OC góc Vẽ tia phân giác OM góc = 35° , tính số đo góc AOM BOC Cho biết BOM Giải (h.21) Tia OM tia phân giác góc BOC nên = 2.BOM  = 2.35° = 70° BOC M C B Tia OC tia phân giác góc AOB nên  = 2.70°= 140° AOB= 2.BOC Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có  < BOA  (35° < 140°) BOM O A Hình 21 Nên tia OM nằm hai tia OB OA  +   Do BOM AOM = AOB Suy  AOM= 140° – 35°= 105°  Ví dụ Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Oy, Oz cho xOz = 100°  xOy = 30°; Vẽ tia Ot góc yOz cho  yOt= 20° a) Tia Ot có phải tia phân giác góc yOz khơng ? Vì ? b) Giải thích tia Ot tia phân giác góc xOz? Giải (h.22)   < xOz a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy (30° < 100°) nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz  +   Do xOy yOz = xOz Suy  yOz = 100° – 30° = 70° Tia Ot nằm hai tia Oy Oz nên   yOt + z Ot = yOz z t y 30° O Hình 22 x  = 70° – 20° = 50° Do zOt  >  Vì zOt yOt (50° > 20°) nên tia Ot không tia phân giác góc yOz  < zOx  (50° < 100°) nên tia Ot nằm b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz có zOt hai [62] Chuyên đề TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC 2.25 ( h.65) Ta có tia Ot nằm hai tia Ox; Oy (1) Hình 65   + tOy = Nên xOt xOy Suy  xOy =  + tOy xOy    = xOy  − xOy = xOy hay tOy 2  = tOy  Vậy xOt ( 2) Từ (1) ; ( ) suy Ot tia phân giác góc xOy Lưu ý: Bài toán cho ta dấu hiệu nhận biết tia tia phân giác góc 2.26 ( h.66 ) Hình 66 Hai góc xOz yOz kề bù nên:  = 1800 − 500 = 1300 xOz  Vì tia Om tia phân giác góc xOz  130 nên= xOm = : 650  hai góc kề bù nên:  Hai góc  yOm = 180 − 650 = 1150 yOm xOm 2.27 ( h.67 ) =  Tia OC nằm tia OA OB nên  AOC + BOC AOB Hình 67  = 1200 − 500 = 700 Suy BOC Tia OM tia phân giác góc BOC nên  BOM = 70 = : 350 ( )  < BOA  350 < 1200 nên tia OM nằm Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có BOM =  tia OB OA Do  AOM + BOM AOB Suy  AOM = 1200 − 350 = 850 [120] 2.28 (h.68) = Ta có  AOM + MOC 1800 ( hai góc kề bù )  = 5 Mà MOC AOM  nên = AOM 180 = : 300 Tia OM tia phân giác góc AOB nên  AOB = 30 = 600  = 1800 − 600 = 1200 Hai góc AOB BOC kề bù nên BOC Hình 68 2.29 ( h.69 )  Trước hết tính được:  yOc = xOd = 600 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có  yOc <  yOd ( 600 < 1200 ) nên tia Oc nằm hai tia Oy Od (1) =  Do  yOc + cOd yOd  = 1200 − 600 = 600 Suy dOc  yOc = cOd Vậy  ( 2) Hình 69 Từ (1) ; ( ) suy tia Oc tia phân giác góc  yOd  Giải tương tự ta tia Od tia phân giác góc xOc 2.30 ( h.70 ) Hình 70  = 800 Trước hết ta tính BOM Sau chứng tỏ tia ON nằm  = 400 hai tia OB OM, suy MON  = MON  , dẫn tới tia ON tia phân giác góc BOM Vậy BON 2.31 ( H 71 ) a Trước hết ta tính  AOD = 450 chứng tỏ tia OD nằm hai tia OA OB =   = 1350 − 450 = 900 Do  AOD + BOD AOB Suy BOD [121]  = 1300 − 900 = 450 b Tính BOC Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có  < BOD  ( 450 < 900 ) BOC nên tia OC nằm hai tia OB OD (1)  + COD  = BOD  ⇒ COD  = 900 − 450 = 450 Do đó: BOC   = COD = 450 Vậy BOC Hình 71 ( 2) Từ (1) ; ( ) suy tia OC tia phân giác góc BOD 2.32 (H.72) Nếu tia OM nằm hai tia OA OB =   AOM + BOM AOB Hay  AOB = 950 + 950 = 1900 > 1800 ( vô lý ) Vậy tia OM không nằm hai tia OA OB Do tia OM khơng phải tia phân giác góc  AOB 2.33 ( H.73 ) Hình 72 Hình 73 Trước hết ta tính   = yOa 40 = ; xOb 500 Sau tính được:    25 = xOm = ; yOn 20 = ; xOn 1600 ( )  < xOn  250 < 1600 nên tia Om nằm hai tia Ox Trên nửa mặt phẳng bờ xy có xOm On  − xOm  = 1600 − 250 = 1350  = xOn Do mOn 2.34 (h.74) Tia Om tia phân giác góc xOy =a nên xOm [122] Tia On tia phân giác góc xOz =b nên xOn   < xOn Vì a < b nên xOm Hình 74  < xOn  nên tia Om nằm hai tia Ox Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOm On b0 − a    Do mOn = xOn − xOm = 2.35 (h.75 )  = m0 Ta đặt xOa Vì tia Oa tia phân giác góc xOb  = 2m nên xOb Vì tia Ob tia phân giác góc xOc  4=  2m nên = xOc m0 ; bOc Hình 75  Vì tia Oc tia phân giác góc yOb nên  yOc = bOc = 2m + Hai góc xOc yOc hai góc kề bù nên: xOc yOc = 1800  = 300 Suy ra: 4m0 + 2m0 = 1800 ⇔ 6m0 = 1800 ⇒ m0 = 300 Vậy xOa 2.36 ( h.76 ) Tia ON nằm hai tia OA OB =  nên  AON + NOB AOB Suy ra:  AON = 1000 − 750 = 250 Tia OM tia phân giác góc AOB nên  AOM = 500 Hình 76 ( ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có  AON <  AOM 250 < 500 nên tia ON nằm hai tia OA OM  0 Mặt = khác,  AON = AOM  25 50  nên tia ON tia phân giác góc AOM 2   [123] Chuyên đề ĐƯỜNG TRỊN VÀ TAM GIÁC 2.37 (H.77 ) a Có dây cung; b Có 12 cung trịn; c Có tam giác Hình 77 2.38 ( h 78 ) Vẽ đường tròn ( A;2cm ) đường tròn ( B;3cm ) hai đường trịn cắt M Đó điểm cần vẽ Lưu ý: Ngồi điểm M cịn có điểm M’ thỏa mãn yêu cầu đề Hình 78 2.39 (h.79) Gọi M giao điểm đường trịn ( A;2cm ) với AB Vì AM bán kính đường trịn ( A;2cm ) nên AM = 2cm Điểm M nằm hai điểm A B nên AM + MB = AB ⇒ BM = AB − AM = − = ( cm ) Hình 79 Điểm M cách B 2cm nên M nằm đường tròn ( B;2cm ) Vậy M nằm hai đường tròn Ta có MA = MB = 2cm điểm M nằm hai điểm A B nên M trung điểm AB 2.40 a Số cung tròn tạo thành 78.2 = 156 ( cung ) b Ta gọi số điểm lấy đường tròn n Ta có n ( n − 1) = 78 ⇒ n ( n − 1) = 156 = 13.12 [124] Vì n n-1 hai số tự nhiên liên tiếp nên n = 13 Vậy đường tròn lấy 13 điểm 2.41 Các bước vẽ sau (h.80): - Vẽ đường tròn ( O;2cm ) - Vẽ đường kính AB - Vẽ đường trịn ( A;2cm ) cắt đường tròn (O ) C D - Vẽ đường tròn ( B;2cm ) cắt đường tròn ( O ) E F Hình 80 - Nối đoạn thẳng AE, EF, FA, BC, CD, DB 2.42 Trong hình 32 có tất 12 tam giác gồm: - tam giác đơn là: AOB, AOE, BOD, DOE, ECD - tam giác ‘đôi’ là: ABE, DBE, ABD, AED - tam giác ‘ba’ là: ADC EBC - tam giác ‘năm’ ABC 2.43 (h.81 ) a Có tam giác đỉnh O OAB, OAC, OAD, OBC, OBD, OCD Ta nhận thấy đường thẳng xy có đoạn thẳng kết hợp với đỉnh O ta nhiêu tam giác Hình 81 b Nếu đường thẳng xy có n điểm A1 ; A2 ; .; An số đoạn thẳng có đường thẳng xy n ( n − 1) Do số tam giác đỉnh O có hai đỉnh lại hai số n điểm A1 , A2 , ., An n ( n − 1) ( tam giác ) 2.44 Giả sử bốn điểm A, B, C, D [125] khơng có ba điểm thẳng hàng Khi số tam giác có đỉnh ba số bốn điểm cho Đó tam giác: ABC, ABD, ACD, BCD (h.82) Điều trái với đề ( số tam giác vẽ nhỏ bốn ) Vậy bốn điểm cho có ba điểm thẳng hàng Hình 82 2.45 ( h.83 ) a Có 16 tam giác gồm tam giác “đơn”, tam giác “đôi”, tam giác “ba” tam giác “sáu” b E trung điểm OC, F trung điểm OB Hình 83 2.46 Giả sử điểm cho A, B, C, D, E, F Xét đoạn thẳng có chung điểm đầu A, đoạn thẳng AB, AC, AD, AE AF Có đoạn thẳng mà có hai màu xanh đỏ nên có đoạn thẳng màu Giải sử ba đoạn thẳng AB, AC, AD có màu đỏ (h.84) Hình 84 Hình 85 Hình 86 * Xét ∆BCD, có cạnh tơ đỏ, chẳng hạn cạnh BC (h.85) ∆ABC có cạnh màu đỏ Nếu ∆BCD, khơng có cạnh tơ đỏ ba cạnh xanh (h.86) [126] * Vậy ln ln có tam giác có ba cạnh màu Chuyên đề nâng cao CÁC DẤU HIỆU NHẬN BIẾT MỘT TIA NẰM GIỮA HAI TIA KHÁC 2.47 Xét hai trường hợp: *Trường hợp tia Ot tia Ox nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy (h.87) Hình 87 Hình 88 Khi tia Ot nằm hai tia Oy Ox (  yOt <  yOx 400 < 1000 ) =   = 1000 − 400 = 600 Ta có  yOt + tOx yOx , suy xOt * Trường hợp tia Ot tia Ox thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Oy (h.88) Khi hai góc yOt yOx hai góc kề có tổng là:  yOt +  yOx =400 + 1000 =1400 < 1800 Do tia Oy nằm hai tia Ox Ot ( dấu hiệu 6a )  = xOy + Suy xOt yOt = 1000 + 400 = 1400 2.48 Xét hai trường hợp: * Trường hợp hai tia OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB (h.89) Hình 89 Hình 90  = 1800 − 300 = 1500 Hai góc AOC BOC kề bù nên BOC [127]  < BOC  (1100 < 1500 ) nên tia OD nằm Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB ta có BOD hai tia OB OC  = COB  ⇒ DOC  = 1500 − 1100 = 400  + DOC Do DOB * Trường hợp hai tia OC, OD nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ AB (h.90) Hai góc AOD BOD kề bù nên  AOD = 1800 − 1100 = 700 Hai góc AOC AOD hai góc kề mà  AOC +  AOD = 300 + 700 = 1000 < 1800 nên tia OA nằm hai tia OC, OD ( dấu hiệu 6a ) Do đó: = COD AOC +  AOD = 300 + 700 = 1000 2.49 (h.91) Tia On nằm hai tia Om yOn <  yOm Oy nên  (1) Tia Om nằm hai tia Ox yOm <  yOx Oy nên  ( 2) Từ (1) ; ( ) suy  yOn <  yOm <  yOx Hình 91 Do tia Om nằm hai tia Ox On ( dấu hiệu ), tia On nằm hai tia Ox Oy 2.50 (h.92) Hai góc xOn yOn kề bù nên  = 1800 −  xOn yOn = 1800 − a Hai góc xOm xOn hai góc kề mà có tổng:  + xOn  =a + (1800 − a ) =1800 xOm nên tia Ox nằm hai tia Om On ( dấu hiệu 6a ) Hình 92  = mOn  ⇒ mOn  = 1800  + xOn Do xOm Vậy hai tia Om, On đối 2.51 (h.93) (  < xOy  500 < 1100 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOM ) [128] Nên tia OM nằm hai tia Ox, Oy  = 1100 − 500 = 600 Do MOy Hai góc Moy Noy hai góc kề mà  + NOy  =600 + 1200 =1800 MOy tia Oy nằm hai tia OM ON ( dấu hiệu 6a )  + NOy  = MON  ⇒ MON  = 1800 Do MOy Hình 93 Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng 2.52 a Giả sử tia Ot nằm hai tia Ox, Oy  + tOy  = xOy  ⇒ 800 + tOy  = 600 ( vơ lý ) Ta có xOt Vậy tia Ot không nằm hai tia Ox, Oy b hai góc xOy xOt có chung cạnh Ox nên ta xét hai trường hợp: * Trường hợp hai tia Oy, Ot nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox (h.94) ( )  < xOt  600 < 800 nên tia Oy nằm hai tia Ox Ot Vì xOy Hình 94 Hình 95 * Trường hợp hai tia Oy Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Ox (h.95)  + xOt  = 600 + 800 = 1400 < 1800 Hai góc xOy xOt hai góc kề mà: xOy Nên tia Ox nằm hai tia Oy Ot ( dấu hiệu 6a ) + 2.53 a Ta có  AOB + BOC AOC = 3600 =1200.3 Suy ba góc [129] có góc lớn 1200 trái lại, tổng ba góc nhỏ 1200.3 = 3600 ( vô lý ) b (h.96) ( ) Ta có  AOC =3600 − 1300 + 1000 =1300 Hình 96 Hai góc kề AOB AOC có tổng  AOB +  AOC = 1300 + 1300 = 2600 > 1800 nên tia đối tia OA tức tia OM nằm hai tia OB OC ( dấu hiệu 6b ) (1)  = 1800 − 1300 = 500 Hai góc MOB AOB kề bù nên MOB  = 1800 − 1300 = 500 Hai góc MOC AOC kề bù nên MOC   = MOC Vậy MOB (2) Từ (1) ; ( ) suy tia OM tia phân giác góc BOC 2.54 * Trường hợp hai tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox (h.97) ( )  < xOz  900 < 1300 nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz Ta có xOy Do  yOz = 1300 − 900 = 400 Hình 97 Hình 98 * Trường hợp hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox (h.98)  + xOz  =900 + 1300 =2200 > 1800 nên tia đối Hai góc kề xOy xOz có tổng xOy tia Ox ( gọi tia OM ) nằm hai tia Oy, Oz (dấu hiệu 6b)   90 Ta tính = MOy = ; MOz 500 [130] Suy  yOz = 900 + 500 = 1400 2.55 * Trường hợp hai tia OA, OB thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia OM (h.99) 