GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1. Góc nội tiếp: a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đường tròn đó. là góc nội tiếp chắn cung BmC b) Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. sđ c) Hệ quả: Trong một đường tròn +) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. +) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. +) Góc nội tiếp không quá 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. +) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 2. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: a) Khái niệm: Tia tiếp tuyến Ax và tia AB chứa dây AB của đường tròn (O) tạo nên một góc, gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AB. là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung , góc này chắn cung AmB b) Định lí: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. sđ c) Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Ta có: sđ 3 Góc có đỉnh ở bên trong, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: a) Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn sđ sđ b) Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn sđ sđ 4. Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc ỏ Lưu ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
Trang 1GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1 Góc nội tiếp:
a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và
hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đường tròn đó
BAC là góc nội tiếp chắn cung BmC
b) Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa
số đo của cung bị chắn
2
BAC sđ BmC c) Hệ quả: Trong một đường tròn
+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau +) Góc nội tiếp không quá 90 0 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung +) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
2 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
a) Khái niệm: Tia tiếp tuyến Ax và tia AB chứa dây AB của
đường tròn (O) tạo nên một góc, gọi là góc tạo bởi tia tiếp
tuyến Ax và dây AB
xAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung , góc này chắn
cung AmB
b) Định lí: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
bằng nửa số đo của cung bị chắn
2
xAB sđ AmB c) Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng
nhau
Ta có: BAx 1
ACB
2
sđAmB
3 - Góc có đỉnh ở bên trong, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn:
a) Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
( 2
AKB sđ AnB sđ ) CmD
b) Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
m C
B
A
O
m
x
B
A O
m
K
n
D C
B A O
Trang 2 1
( 2
DAE sđ DnE sđ ) BmC
4 Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0
b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
c) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc ỏ
Lưu ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một
trong các hình : Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân
CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Có ba cách thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Cách 1: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó
a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)
a OH t¹i H
Cách 2:
Để chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với
đường tròn (O) tại điểm A ta chứng minh góc
tạo bởi đường thẳng d với dây AB nào đó bằng
góc nội tiếp chắn cung AB
Cho hình vẽ:
Nếu BAx ACB thì d là tiếp tuyến của đường
tròn
n
m O
C B D
E
A
Trang 3 Cách 3: Sử dụng định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Cho hình vẽ:
Nếu BAx 1 s® AmB
2
thì Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn