Thông tin tài liệu
BÀI 9: ƯỚC CHUNG - ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT Mục tiêu Kiến thức + Hiểu khái niệm ước chung, ước chung lớn nhất, khái niệm số nguyên tố + Nhận biết giao hai tập hợp + Nhận biết quan hệ ước chung ước chung lớn Kĩ + Xác định ước chung ước chung lớn hai hay nhiều số tự nhiên lớn + Biết cách tìm ước chung lớn cách phân tích số thừa số nguyên tố + Tìm tập hợp ước chung số cho thơng qua tìm ước chung lớn chúng + Vận dụng giải dạng tốn tìm ước chung ước chung lớn + Chứng minh hai hay nhiều số nguyên tố I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ước chung Ví dụ Ước chung hai hay nhiều số ước tất Ư 8 1;2; 4;8 số Ö 12 1;2;3; 4;6;12 x ÖC a, b a x b x x ÖC a, b, c a x , b x c x Chú ý: Các số 1; vừa ước 8, vừa ước 12 nên chúng gọi ước chung 12 ÖC 8,12 Ö 8 Ö 12 Giao hai tập hợp tập hợp gồm phần tử chung hai tập hợp Kí hiệu giao hai tập hợp A B A B Ước chung lớn Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số Nhận xét: ƯCLN a, b ÖC a, b Chú ý: Số có ước Do với số tự nhiên a b, ta có: Số lớn tập hợp ước chung 12 Suy ÖCLN 8;12 ÖC 8,12 ước ÖCLN 7;1 1; ÖCLN 15;20;1 ÖCLN a;1 1; ÖCLN a; b;1 Tìm ước chung lớn cách phân tích số thừa số nguyên tố Ví dụ Tìm ƯCLN 8;12 Muốn tìm ước chung lớn hai hay nhiều số 23 ;12 22.3 Trang lớn 1, ta thực ba bước sau: Thừa số nguyên tố chung là: 2, với số mũ nhỏ Bước Phân tích số thừa số nguyên tố Bước Chọn thừa số nguyên tố chung ÖCLN 8;12 22 Bước Lập tích thừa số chọn, thừa số ƯCLN 8;9 nên hai số nguyên tố lấy với số mũ nhỏ Tích ước chung lớn phải tìm ƯCLN 4;8;12 8 4,12 Chú ý: + Nếu số cho khơng có thừa số ngun tố chung ƯCLN chung Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố + Trong số cho, số nhỏ ước số cịn lại ƯCLN chúng số nhỏ Ví dụ Tìm ước chung 12 18 ÖCLN 12;18 Cách tìm ước chung thơng qua tìm ƯCLN Để tìm ước chung số cho, ta tìm Ư 1;2;3;6 ước ƯCLN số ƯC 12;18 Ö 1;2;3;6 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm ước chung Phương pháp giải Tìm ước chung hai số a b: + Bước Ö a Ví dụ: Ö 1;2; 4 Ö b Ö 1;2;3;6 + Bước ÖC a, b Ö a Ö b ÖC 4,6 1;2 Ví dụ mẫu Ví dụ a) Số 15 có ước chung 45 60 khơng? Vì sao? b) Số 24 có ước chung 48 140 khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải a) 15 ước chung 45 60 45 60 chia hết cho 15 Trang b) 24 không ước chung 48 140 140 24 Ví dụ Viết tập hợp: a) Ö 8 ,Ö 12 ,ÖC 8,12 ; b) Ö 24 ,Ö 30 ,ÖC 24,30 ; c) ÖC 9;15;21 ; d) ÖC 4;16; 24 Hướng dẫn giải a) Ta có: Ư 8 1;2; 4;8 ;Ö 12 1;2;3; 4;6;12 Vậy ÖC 8,12 1;2; 4 b) Ta có: Ư 24 1;2;3; 4;6;8;12;24 ; Ö 30 1;2;3;5;6;10;15;30 Vậy ÖC 24,30 1; 2;3;6 c) Ta có: Ö 1;3;9 ; Ö 15 1;3; 5;15 ;Ö 21 1;3; 7; 21 Vậy ÖC 9;15;21 1;3 d) Ta có: Ư 1;2; 4 ;Ư 16 1;2; 4;8;16 ; Ö 24 1;2;3; 4;6;8;12;24 Vậy ÖC 4;16;24 1; 2; 4 Ví dụ Có 48 bút 64 Cô giáo muốn chia số bút số thành số phần thưởng (gồm bút vở) Trong cách chia sau, cách thực được? Hãy điền vào chỗ trống ( ) trường hợp chia Số bút phần Số phần thưởng thưởng …………………… ………………… Thứ hai 12 …………………… ………………… Thứ ba 16 …………………… ………………… Cách chia Số phần thưởng Thứ Hướng dẫn giải Số phần thưởng (gồm bút vở) phải ước chung 48 64 Trong ba số 8; 12; 16 có 16 ước chung 48 64 Vậy cách chia thứ thứ ba thực Cách thứ nhất: Chia 48 bút thành phần thưởng nhau, số bút phần thưởng là: 48 : (chiếc) Chia 64 thành phần thưởng nhau, số phần thưởng là: 64 : (quyển) Tương tự với cách thứ ba, ta có bảng: Trang Số bút phần Số phần thưởng thưởng 8 Thứ hai 12 ……………… ………………… Thứ ba 16 Cách chia Số phần thưởng Thứ Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) Số 12 có ước chung 24 30 khơng? Vì sao? b) Số 14 có ước chung 28; 56 84 khơng? Vì sao? Câu Viết tập hợp sau: a) Ö 30 ,Ö 42 ,ÖC 30, 42 ; b) Ö 27 ,Ö 54 ,ÖC 27,54 ; c) ÖC 12,20,32 ; d) ÖC 14, 28,56 Câu Viết tập hợp sau: a) Ö ,Ö 16 ,ÖC 6,16 ; b) Ö ,Ö 18 , Ö 27 ,ÖC 18,27 ; c) Ö 14 ,Ö 42 ,ÖC 14,42 Câu Có 32 học sinh nam học sinh 40 nữ Người ta muốn chia số học sinh nam nữ vào nhóm Trong cách chia sau, cách thực được? Điền vào chỗ trống ( ) trường hợp chia Cách chia Số nhóm Số nam nhóm Số nữ nhóm Thứ ………………… …………………… Thứ hai ………………… …………………… Thứ ba ………………… …………………… Câu Lớp 6A có 24 học sinh nam 36 học sinh nữ Thầy giáo cần chia lớp thành hàng dọc để tập thể dục, cho số nam số nữ hàng Trong cách xếp sau, cách thực được? Điền vào chỗ trống ( ) trường hợp chia Cách chia Số hàng dọc Số nam hàng Số nữ hàng Thứ ………… ÖC 126,210 1;2;3;6; 7;14;21; 42 Mà 15 x 30 , suy x 21; 42 Vậy x 21 x 42 Câu a) a ÖCLN 320, 480 b) a ÖCLN 360,600 Ta có: 320 26.5 Ta có: 360 23.32.5 Trang 12 480 25.3.5 ÖCLN 320, 480 5.5 160 600 23.3.52 ÖCLN 360,600 23.3.5 120 Câu a ÖC 525;875;280 a 25 Ta có: 525 3.52.7 ; 875 53.7 280 23.5.7 ÖCLN 525;875;280 5.7 35 Suy a ước 35 a 25 Vậy a 35 Câu Số đội nhiều chia ước chung lớn 36 120 Ta có: 36 22.32 ; 120 23.3.5 ÖCLN 36,120 22.3 12 Vậy đội y tế chia thành nhiều 12 tổ Câu Số tổ nhiều chia ước chung lớn 48 54 Ta có: 48 24.3 ; 54 2.33 ÖCLN 48,54 2.3 Vậy chia nhóm niên thành nhiều tổ Câu Gọi a số bút chì màu hộp Ta phải có: 28 a 36 a (với a ) Do a ƯCLN 28,36 a Ta tìm ƯCLN 28,36 , suy ÖC 28,36 1;2; 4 Mà a nên a Vậy hộp có bút Câu Gọi khoảng cách hai liên tiếp x (m) Theo đề bài, ta có: 132 x, 72 x x số lớn Suy x ƯCLN 132,72 Tacó: 132 2.3.11 Trang 13 72 23.32 ÖCLN 132, 72 22.3 12 Vậy khoảng cách lớn hai liên tiếp 12m Chu vi mảnh vườn là: 132 72 408 m Tổng số trồng là: 408 :12 34 (cây) Bài tập nâng cao Câu 10 Gọi khoảng cách hai liên tiếp x (m) Theo đề bài, ta có: 120 x 80 x Để số trồng khoảng cách hai liên tiếp phải lớn Suy x ƯCLN 120,80 Tacó: 120 23.3.5 80 24.5 ÖCLN 120,80 23.5 40 Do đó, khoảng cách lớn hai liên tiếp 40m Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là: 120 80 400 Số phải trồng là: 400 : 40 10 (cây) Cây 11 Vì 130 chia cho a dư 10 nên 120 a a 10 172 chia cho a dư 12 nên 160 a a 12 a ÖCLN 120,160 a 12 Tacó: 120 23.3.5;160 25.5 ÖCLN 120,160 23.5 40 Mà Ö 40 1;2; 4;5;8;10;20;40 a 12 nên a 20 a 40 Vậy số cần tìm 20 40 Câu 12 Vì 156 chia cho a dư 12 nên a 12 a ước 156 12 144 Vì 280 chia cho a dư 10 nên a 10 a ước 280 10 270 Vậy a ước chung 144 270 a 10 Ta tìm a 18 Câu 13 a) Vì ÖCLN a, b 14 nên giả sử a 14a; b 14b ƯCLN a ', b ' a b Trang 14 Ta có: a b 84 14a 14b 84 14 a b 84 a b Do ÖCLN a ', b ' a b nên a 5; b Suy a 70; b 14 Vậy hai số cần tìm 70 14 b) Đáp số: 135 27 81 54 c) Vì ƯCLN a, b nên giả sử a 4a; b 4b ƯCLN a ', b ' a b Ta có: a.b 96 4.a 4.b 96 a.b Do ÖCLN a ', b ' a b nên a 6; b a 3; b Suy a 24; b a 12; b Câu 14 Vì ƯCLN a, b 32 nên giả sử a 32a; b 32b , ƯCLN a ', b ' a b Ta có: a b 128 32a 32b 128 32 a b 128 a b 128 : 32 a b Do ÖCLN a ', b ' a b nên ta a 3; b Suy a 32.3 96; b 32.1 32 Dạng 3: Bài toán tập hợp Phương pháp giải Giao hai tập hợp A B tập hợp gồm Ví dụ A a; b; c; 2 ; B 1; 2; a phần tử chung hai tập Kí hiệu: A B Nhận xét: A B 2; a Ví dụ + A B chúng khơng có phần tử chung + A 1; 2;3 ; B 4;5 + A B A B A A B Trang 15 + A 2; 4 ; B 0; 2; 4;8 A B 2; 4 A Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm giao hai tập hợp A B, biết rằng: A bàn, ghế, bảng, bút ; B bút, thước, vở, bảng A tập hợp số chia hết cho 2, B tập hợp số chia hết cho A tập hợp số chẵn, B tập hợp số lẻ Hướng dẫn giải A B bảng, bút Vì số chia hết cho chia hết B A Do A B B A B (vì tập hợp số chẵn số lẻ khơng có phần tử chung) Ví dụ Viết tập hợp A gồm ước nhỏ 10 30 Viết tập hợp B gồm ước 12 Gọi M giao hai tập hợp A B Liệt kê phần tử tập hợp M Dùng kí hiệu để thể quan hệ tập M với tập hợp A B Hướng dẫn giải Ta có: A x Ư 30 x 10 1;2;3;5;6 B Ö 12 1;2;3;4;6;12 M A B 1; 2;3;6 M A, M B Ví dụ Lớp 6A có 25 học sinh giỏi Tốn, 17 học sinh giỏi Văn 10 học sinh giỏi Tốn Văn Hỏi: Lớp 6A có học sinh giỏi Toán? Bao nhiêu học sinh giỏi Văn? Lớp 6A có tất học sinh? Hướng dẫn giải Lớp 6A có số học sinh giỏi Toán là: 25 10 35 (học sinh) Lớp 6A có số học sinh giỏi Văn là: 17 10 27 (học sinh) Lớp 6A có tất số học sinh là: 25 17 10 52 (học sinh) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Tìm giao hai tập hợp A B, biết rằng: a) A đào, cam, chanh ; B táo, lê, cam Trang 16 b) A tập hợp số chia hết cho 3, B tập hợp số chia hết cho c) A tập hợp số nguyên tố, B tập hợp số hợp số Câu Gọi M tập hợp học sinh giỏi Toán lớp 6A N tập hợp học sinh giỏi Văn lớp 6A Hỏi M N biểu thị tập hợp nào? Câu Viết tập hợp A gồm ước nhỏ 30 50 Viết tập hợp B gồm ước 20 Gọi M giao hai tập hợp A B a) Liệt kê phần tử tập hợp M b) Dùng kí hiệu để thể quan hệ tập M với tập hợp A B Câu Lớp 6A có 20 học sinh giỏi Tiếng Anh, học sinh giỏi Tiếng Pháp 12 học sinh giỏi Tiếng Anh Tiếng Pháp Hỏi: a) Lớp 6A có học sinh giỏi Tiếng Anh? Bao nhiêu học sinh giỏi Tiếng Pháp? b) Lớp 6A có tất học sinh? ĐÁP ÁN Bài tập Câu a) A B cam b) Vì số chia hết cho chia hết B A Do A B B c) A B (vì tập hợp số nguyên tố hợp số khơng có phần tử chung) Câu M N biểu thị tập hợp học sinh giỏi Toán Văn lớp 6A Câu a) Ta có: A x Ư 50 x 30 1;2;5;10;25 B Ö 20 1;2; 4;5;10;20 M A B 1; 2;5;10 b) M A, M B Câu a) Lớp 6A có số học sinh giỏi Tiếng Anh là: 20 12 32 (học sinh) Lớp 6A có số học sinh giỏỉ Tiếng Pháp là: 12 17 (học sinh) b) Lớp 6A có tất số học sinh là: 20 12 37 (học sinh) Dạng 4: Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố Trang 17 Phương pháp giải Chứng minh a b hai số nguyên tố nhau: + Bước Giả sử d ÖC a, b Suy a d b d + Bước Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) để chứng minh d ÖCLN a, b Kết luận, a b hai số nguyên tố Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố Hướng dẫn giải Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n 2n n Gọi d ước chung 2n 2n Ta có: d 2n 1 d 2n 3 Áp dụng tính chất chia hết hiệu: 2n 3 2n 1 d hay 2 d Suy d d Mà 2n 2n hai số lẻ nên ước chung chúng khơng thể Do d Suy ÖCLN 2n 1,2n Vậy 2n 2n hai số nguyên tố Chú ý: Với n 2n 2n nên ta xét hiệu 2n 3 2n 1 Do cần so sánh xem số lớn trước xét hiệu Ví dụ Chứng tỏ n 3n hai số nguyên tố Hướng dẫn giải Gọi d ước chung n 3n Ta có: n 1 d suy n 1 d ; 3n d Áp dụng tính chất chia hết hiệu: 3n 3n d hay 1 d Suy d Do ƯCLN n 1,3n Vậy n 3n hai số nguyên tố Chú ý: Nếu xét hiệu 3n n 1 d 2n 3 d Suy d ước 2n Ta khơng tìm ước 2n , khơng tìm d Vì ta cần khử n cách nhân vào n để cân hệ số n 3n Ví dụ Chứng minh 2n 3n hai số nguyên tố với n * Trang 18 Hướng dẫn giải Gọi d ước chung 2n 3n Khi đó: 2n 1 d suy 2n 1 d ; 3n 1 d suy 3n 1 d Áp dụng tính chất chia hết hiệu ta được: 2n 1 3n 1 d 1 d Suy d Do ƯCLN 2n 1,3n 1 Vậy 2n 3n hai số nguyên tố với n * Chú ý: Vì bội chung nên để cân hệ số n 2n 3n ta cần nhân chúng với Bài tập tự luyện dạng Bài tập nâng cao Câu Chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố Câu Chứng minh với n 2n 4n hai số nguyên tố Câu Chứng minh cặp số sau hai số nguyên tố nhau: a) n 2n b) n 3n Câu Chứng minh n 3n 10 hai số nguyên tố ĐÁP ÁN Câu Hai số tự nhiên liên tiếp có dạng n n n * Gọi d ước chung n n Ta có: n d n 1 d Áp dụng tính chất chia hết hiệu: n 1 n d 1 d Suy d Do ƯCLN n, n 1 Vậy n n hai số nguyên tố Câu Gọi d ước chung 2n 4n Khi đó: 2n 1 d suy 2n 1 d ; 4n 3 d Áp dụng tính chất chia hết hiệu, ta được: 4n 3 2n 1 d 1 d Suy d Do ƯCLN 2n 1,4n 3 Trang 19 Vậy với n 2n 4n hai số nguyên tố Câu a) Gọi ÖC n 5;2n d Ta có: n d suy n 5 d ; 2n d Theo tính chất chia hết hiệu: n 2n d hay 1 d Suy d Vậy n 2n hai số nguyên tố b) Gọi ÖC n 2;3 n d Ta có: n d suy n d ; 3n d Theo tính chất chia hết hiệu, ta có: 3n n d hay 1 d Suy d Vậy n 3n hai số nguyên tố Câu Gọi d ước chung n 3n 10 Ta có: n 3 d 3n 10 d Áp dụng tính chất chia hết hiệu, ta có: 3n 10 3n d 1 d Suy d , suy ÖCLN n 1,3n 10 Vậy n 3n 10 hai số nguyên tố Trang 20 ... dụ a) Số 15 có ước chung 45 60 khơng? Vì sao? b) Số 24 có ước chung 48 140 khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải a) 15 ước chung 45 60 45 60 chia hết cho 15 Trang b) 24 không ước chung 48 140 140 24... cho, số nhỏ ước số cịn lại ƯCLN chúng số nhỏ Ví dụ Tìm ước chung 12 18 ƯCLN 12;18 Cách tìm ước chung thơng qua tìm ƯCLN Để tìm ước chung số cho, ta tìm Ư 1;2;3;6 ước ƯCLN số ƯC 12;18... hai số nguyên tố lấy với số mũ nhỏ Tích ước chung lớn phải tìm ƯCLN 4;8;12 8 4,12 Chú ý: + Nếu số cho khơng có thừa số nguyên tố chung ƯCLN chung Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên
Ngày đăng: 01/10/2021, 12:49
Xem thêm:
