chuyen de boi chung va boi chung nho nhat

BÀI 10 BỘI CHUNG - BỘI CHUNG NHỎ NHÁT Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm bội chung, bội chung nhỏ hai hay nhiều số + Nhận biết mối quan hệ ước chung lớn bội chung nhỏ  Kĩ + Biết cách tìm bội chung hai hay nhiều số cách phân tích số thừa số nguyên tố + Biết tìm bội chung thơng qua tìm bội chung nhỏ + Tìm bội chung nhỏ hai số biết ước chung lớn chúng + Thực hành vận dụng giải số dạng toán liên quan đến bội chung bội chung nhỏ I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Bội chung Ví dụ B    0; 4;8;12;16; 20; 24;  ; Bội chung hai hay nhiều số bội tất B    0; 6;12;18; 24;  số x  BC  a, b  x  a x  b x  BC  a, b, c  x  a , x  b x  c Các số 0; 12 24 vừa bội 4, vừa bội nên chúng gọi bội chung Bội chung nhỏ Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác tập hợp bội chung số Nhận xét: + Tất bội chung bội bội chung Ví dụ Tìm BCNN  4;6;10  nhỏ BCNN  a, b   B  a, b  Ta có:  22 ;6  2.3;10  2.5 Thừa số chung: (số mũ lớn 2) + Mọi số tự nhiên bội Do đó, với Thừa số riêng: 5; (số mũ lớn 1) số tự nhiên a b (khác 0), ta có:  BCNN  4; 6;10   22.3.5  60 BCNN  a;1  a ; BCNN  a; b;1  BCNN  a; b  Tìm bội chung nhỏ cách phân tích số thừa số nguyên tố Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn 1, ta thực ba bước sau: Bước Phân tích số thừa số nguyên tố Bước Chọn thừa số nguyên tố chung riêng Bước Lập tích thừa số chọn, thừa số Trang lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm Chú ý: + Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số + Trong số cho, số lớn bội số cịn lại BCNN số cho Ví dụ Tìm A   x   x  4, x  6, x 10, x  100 số lớn Ta có x  BC  4;6;10  x  100 Cách tìm bội chung thơng qua tìm BCNN Để tìm bội chung số cho, ta tìm BCNN  4;6;10   60 bội BCNN số Lần lượt nhân 60 với 0; 1; ta A  0;60;120 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm bội chung bội chung nhỏ số cho trước Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm BCNN của: Trang a) 1; 12 27; b) 18; 24 30; c) 5; 11; d) 12, 16 48 Hướng dẫn gỉải a) Ta có: 12  22.3 27  33 Thừa số chung: (với số mũ lớn 3) Thừa số riêng: (với số mũ lớn 2)  BCNN 1,12, 27   BCNN 12, 27   33.22  108 Chú ý: a) Mọi số tự nhiên bội 1, nên BCNN  a, b,1  BCNN  a, b  b) Ta có: 18  2.32 ; 24  23.3 ; 30  2.3.5 Thừa số chung: (với số mũ lớn 3) Thừa số riêng: (với số mũ lớn 2) (với số mũ lớn 1)  BCNN 18, 24,30   23.32.5  360 c) Ta có: 11 haỉ số nguyên tố  32  BCNN  5,9,11  5.32.11  495 d) Dễ thấy 4812 4816 nên  BCNN 12,16, 48   48 Chú ý: c) 5; 11 đôi nguyên tố nên BCNN  5, 9,11  5.9.11 d) Dựa vào nhận xét: Nếu a  b a  c BCNN  a, b, c   a Ví dụ Tìm bội chung nhỏ 600 40 180 Hướng dẫn giải Cách Tìm bội chung 40 180 cách lấy 180 nhân với 0; 1; 2; 3; số chia hết cho 40, ta được: BC  40,180   0;360;720;  Vậy bội chung nhỏ 600 40 180 360 Cách 2.Ta có: 40  23.5 ; 180  22.32.5 Thừa số chung: (với số mũ lớn 3) (với số mũ lớn ) Thừa số riêng: (với số mũ lớn 2) Trang  BCNN  40,180   23.32.5  360 Lấy 360 nhân với 0; 1; 2; ta được:  x  BC  40,180  x  600  0;360 Ví dụ Học sinh lớp 6A xếp hàng 2, hàng 4, hàng 5, hàng vừa đủ hàng Biết số học sinh lớp khoảng từ 35 đến 50 Tính số học sinh lớp 6A Hướng dẫn giải Gọi số học sinh lớp 6A x (học sinh) Điều kiện: 35  x  50 Vì học sinh lớp 6A xếp hàng 2, hàng 4, hàng 5, hàng vừa đủ hàng nên x  BC  2, 4, 5,8  Ta thấy BCNN  2, 4,5,8   BCNN  5,8   5.8  40 Vì 35  x  50 nên x  40 Vậy lớp 6A có 40 học sinh Chú ý: Coi số học sinh lớp 6A x Theo đề bài: x  2, x  4, x  5, x 8 35  x  50 Ta đưa tốn tìm  x  BC  2, 4,5,8  35  x  50 Ví dụ Có số kẹo chia vào đĩa, đĩa, đĩa, đĩa thừa Biết số kẹo khoảng từ 100 đến 150 Tính số kẹo Hướng dẫn giải Gọi số kẹo x (cái) Điều kiện: 100  x  150 Theo đề bài, ta thấy  x  1  BC  2,3, 4,5  Ta có: BCNN  2,3, 4,5   BCNN  3, 4,5   3.4.5  60 (vì 3, 4, đôi nguyên tố nhau) Lấy 60 nhân với 0; 1; 2; 3; ta  x  1  0; 60;120;180;  Suy x  1;61;121;181;  Vì 100  x  150 nên x  121 Vậy số kẹo cho 121 Nhận xét: Nếu x chia cho m; n; p có số dư r  x  r   BC  m, n, p  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu a) Các số 16, 24, 30, 32 có bội chung hay khơng? b) Điền kí hiệu   vào ô trống: Trang 72 BC 12,18  ; 100 BC 12,18  ; 40 BC  2,3,5  ; 30 BC  2,3,5  Câu Tìm BCNN a) 16 20; b) 4, 10 14; c) 26; 39 260; d) 34; 40 48 Câu Tìm BCNN số sau, cách nhân số lớn với 0; 1; 2; 3; số chia hết cho số lại a) 6; 12; b) 20; 30 50 Câu Tìm số tự nhiên a nhỏ khác 0, biết rằng: a) a14 a 21 ; b) a 32 a 40 Câu Tìm bội chung nhỏ 500 45 60 Câu Một số sách xếp thành bó cuốn, 10 cuốn, 14 20 vừa đủ Biết số sách khoảng từ 250 đến 400 Tính số sách Câu Tìm bội chung có ba chữ số 72; 90 120 Câu Tìm số tự nhiên x , biết x 14, x  21, x  36 200  x  600 Câu Hai bạn Nam Nga thường đến thư viện đọc sách Nam ngày đến thư viện lần, Nga ngày đến thư viện lần Lần đầu hai bạn đến thư viện vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại đến thư viện? Câu 10 Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số mà chia hết cho tất số 4; 5; Câu 11 Hai bạn An Bách học trường hai lớp khác An 10 ngày lại trực nhật lần; Bách 12 ngày lại trực nhật lần Lần đầu hai người trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật? Lúc bạn trực nhật lần? Câu 12 Đội A đội B phải trồng số Biết người đội A phải trồng cây, người đội B phải trồng số đội phải trồng khoảng từ 100 đến 200 Tìm số đội phải trồng Bài tập nâng cao Câu 13 Một đơn vị đội xếp hàng 20 người; 25 người 30 người dư 15; xếp hàng 41 người vừa đủ Tính số người đơn vị biết số người chưa đến 1000 người Câu 14 Số học sinh khối trường khoảng từ 200 đến 400 Khi xếp hàng 12 người; 15 người 18 người thừa học sinh Tính số học sinh khối Câu 15 Một đội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng thiếu người, xếp hàng vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số đội viên đội thiếu niên Câu 16 Tìm số tự nhiên bé mà chia cho 2; 15 dư Câu 17 Tìm năm số tự nhiên cho chia cho 5; 11 dư ĐÁP ÁN Bài tập Câu a) 16, 30 32 không bội chung (vì 16  6;30  8;32  ) 24 bội chung (vì 24 chia hết cho 8) Trang b) 72  BC 12,18 ; 40  BC  2, 3,5 100  BC 12,18  ; 30  BC  2, 3, 5 Câu a) Ta có: 16  24 ; 20  22.5 Thừa số chung: (với số mũ lớn 4) Thừa số riêng: (với số mũ lớn 1)  BCNN 16, 20   4.5  80 b)Ta có:  22 ; 10  2.5 ; 14  2.7 Thừa số chung: (với số mũ lớn 2) Thừa số riêng: (với số mũ lớn 1)  BCNN  4,10,14   22.5.7  140 c) Ta có: 26  2.13 ; 39  3.13 ; 260  22.5.13 Thừa số chung: 13 (với số mũ lớn 1) Thừa số riêng: 2; (với số mũ lớn 2; 1; 1)  BCNN  26,39, 260   22.3.5.13  780 d) Ta có: 34  2.17 ; 40  23.5 ; 48  24.3 Thừa số chung: (với số mũ lớn 4) Thừa số riêng: 3; 17 (với số mũ lớn 1)  BCNN  34, 40, 48   4.3.5.17  4080 Câu a) BCNN  6,8,12   24 b) BCNN  20,30,50   300 Câu a) a  BCNN 14, 21 Ta có: 14  2.7 21  3.7  BCNN 14, 21  2.3.7  42 Vậy số tự nhiên cần tìm 42 b) a  BCNN  32, 40  Trang Ta có: 32  25 40  23.5  BCNN  32, 40   25.5  160 Vậy số cần tìm 160 Câu Ta có: 45  32.5 60  2.3.5  BCNN  45, 60   22.32.5  180 Vậy bội chung nhỏ 500 45 60 là: 0; 180; 360 Câu Số sách cho bội chung 8, 10, 14, 20 thuộc khoảng từ 250 đến 400 Ta có:  23 ; 10  2.5 ; 14  2.7 ; 20  22.5  BCNN  8,10,14, 20   23.5.7  280 Bội chung thuộc khoảng từ 250 đến 400 8, 10, 14 20 280 Vậy số sách cho 280 Câu Ta có: 72  23.32 ; 90  2.32.5 ; 120  23.3.5  BCNN  72,90,120   23.32.5  360 Các bội chung có ba chữ số 72; 90 120 là: 360 720 Câu x  BC 14, 21,36  Ta có: 14  2.7 ; 21  3.7 ; 36  2.32  BCNN 14, 21,36   22.32.7  252 Các bội chung 14, 21 36 khoảng từ 200 đến 600 252 504 Vậy x  252 x  504 Câu Ta có: BCNN  6,8   24 Vậy sau 24 ngày hai bạn lại đến thư viện Câu 10 Ta có:  2 ;  2.3 , suy BCNN  4,5,6,   22.3.5.7  420 Lần lượt lấy 420 nhân với 0; 1; 2; 3; ta số lớn có ba chữ số chia hết cho 4; 5; 840 Câu 11 Trang Ta có: BCNN 10,12   60 Vậy sau 60 ngày hai bạn lại trực nhật Lúc An trực nhật số lần là: 60 :10  (lần) Lúc Bách trực nhật số lần là: 60 :12  (lần) Câu 12 Gọi số đội phải trồng x (cây)  x    Theo đề bài, ta có: x  BC  8,9  100  x  200 Ta có: BCNN  8,9   8.9  72 (vì hai số nguyên tố nhau) Lấy 72 nhân với 0; 1; 2; 3; ta x  144 giá trị cần tìm Vậy đội phải trồng 144 Bài tập nâng cao Câu 13 Gọi số người đơn vị x (người)  x    Theo đề bài, ta có:  x  15  BC  20; 25;30  ; x 41 x  1000 Ta có: 20  22.5 ; 25  52 ; 30  2.3.5  BCNN  20, 25,30   22.3.52  300 Vì x  1000 nên x  15  985 , suy  x  15   0;300; 600;900 Do x  15;315; 615;915 Lại có x 41 nên x  615 Vậy đơn vị có 615 người Câu 14 Gọi số học sinh khối x (học sinh)  x    Theo đề ta có:  x    BC 12,15,18  200  x  400 Ta có: 12  22.3 15  3.5 18  2.32  BCNN 12,15,18   22.32.5  180 Vì 200  x  400 nên 195  x   395 Lấy 180 nhân với 0; 1; 2; 3; ta x   360 hay x  365 giá trị cần tìm Vậy khối trường có 365 học sinh Câu 15 Gọi số đội viên x (người)  x    Trang Suy  x  1  BC  2,3, 4,5,  x  300 Ta có: BCNN  2,3, 4,5,   BCNN  4,5,   60  BC  2,3, 4,5,   0;60;120;180; 240;300;    x  1  0;60;120;180; 240;300;   x  59;119;179; 239; 299 Mà x nên x  119 Vậy đội thiếu niên có 119 người Câu 16 Gọi số cần tìm x  x   Ta có:  x  1  BCNN  2,8,15  BCNN  8,15   8.15  120 Suy x  121 Vậy sổ cần tìm 121 Câu 17 Gọi x  x   số tự nhiên chia cho 5; cho cho 11 dư Suy  x    BC  5,7,11 Ta có: BCNN  5,7,11  5.7.11  385 Năm bội chung 5; 11 là: 0; 385; 770; 1155; 1540 Vậy năm số tự nhiên thỏa mãn đề là: 4; 389; 774; 1159; 1544 Dạng 2: Quan hệ ước chung lớn bội chung nhỏ Phương pháp giải Tích hai số tích ƯCLN BCNN Ví dụ 6.4  24 ÖCLN  6,4  BCNN  6,   2.12  24 chúng: a.b  ÖCLN  a, b  BCNN  a, b  (*)  ÖCLN  6,4  BCNN  6,   4.6 Ví dụ mẫu Ví dụ Dựa vào cơng thức (*) tìm: a) BCNN 16; 20  ; b) BCNN  24;30  Hướng dẫn giải a) Ta có: ƯCLN 16,20   Suy BCNN 16,20   16.20: ÖCLN 16,20   80 b) Ta có: ƯCLN  24,30   Suy BCNN  24,30   24.30: ÖCLN  24,30   120 Trang Ví dụ Tìm hai số tự nhiên a b  a  b  thỏa mãn: a) BCNN  a, b   336 ÖCLN  a, b   12 b) BCNN  a, b   90 ÖCLN  a, b   Hướng dẫn giải a) Vì ƯCLN  a, b   12 nên giả sử a  12.a; b  12.b , ƯCLN  a, b   a  b Ta có: a.b  BCNN  a, b  ÖCLN  a, b   336.12 12.a  12.b  336.12 a.b  28 Do ÖCLN  a, b   a  b nên ta có bảng: a 28 b a 336 84 b 12 48 Suy Vậy hai số cần tìm 336 12 84 48 Chú ý: Áp dụng công thức (*): a.b  336.12 Đưa tốn tìm hai số biết tích chúng 336.12 ƯCLN  a, b   12 (Dạng – Bài Ước chung – Ước chung lớn nhất) b) Vì ƯCLN  a, b   nên giả sử a  3.a; b  3.b , ƯCLN  a, b   a  b Ta có: a.b  BCNN  a, b  ƯCLN  a, b   90.3  270  3.a   3.b   270 a.b  30 Do ÖCLN  a, b   a  b nên ta có bảng: a 30 15 10 b a 90 45 30 18 b 15 Suy Vậy hai số cần tìm  a, b    90,3 ;  45,  ;  30,  ; 18,15  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang 10 Câu Dùng công thức (*) để tính: a) BCNN  65, 21 ; b) BCNN  68,132  Câu Không cần phân tích thừa số ngun tố tìm BCNN 15,125  biết ƯCLN 15,125  Câu Khơng cần phân tích thừa số ngun tố tìm ÖCLN 120,200  biết BCNN 120, 200   600 Bài tập nâng cao Câu Tìm hai số tự nhiên nguyên tố có bội chung nhỏ 18 Câu Tìm hai số tự nhiên a, b  a  b  thỏa mãn: a) BCNN  a, b   60 ÖCLN  a, b   b) a.b  891 BCNN  a, b   297 ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: 65  5.13 ; 21  3.7  ÖCLN  65,21   BCNN  65,21  65.21  1365 b) Ta có: 68  22.17 ; 132  22.3.11  ÖCLN  68,132   22   BCNN  68,132    68.132  :  2244 Câu BCNN 15,125  15.125 : ÖCLN 15,125   375 Câu ÖCLN 120,200   120.200  : BCNN 120,200   40 Bài tập nâng cao Câu Gọi hai số cần tìm a b Ta có: ƯCLN  a, b   BCNN  a, b   18 Suy a.b  ÖCLN  a, b  BCNN  a, b   18 Vì ƯCLN  a, b   a.b  18 nên ta có bảng a 18 b 18 Vậy hai số cần tìm 18 và Câu Trang 11 a) Vì ƯCLN  a, b   nên giả sử a  5.a; b  5.b , ƯCLN  a, b   a  b Ta có: a.b  BCNN  a, b  ÖCLN  a, b   60.5  300  5.a  5.b  300 a.b  12 Do ÖCLN  a, b   a  b nên ta có bảng: a 12 b a 60 20 b 15 Suy Vậy hai số cần tìm 60 20 15 b) ÖCLN  a, b   891 : BCNN  a, b   Giả sử a  3.a; b  3.b , ƯCLN  a, b   a  b Ta có: a.b  891  3.a   3.b   891 a.b  99 Do ÖCLN  a, b   a  b nên ta có bảng: a 99 11 b a 297 33 b 27 Suy Vậy hai số cần tìm 297 33 27 Trang 12 ... 1: Tìm bội chung bội chung nhỏ số cho trước Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm BCNN của: Trang a) 1; 12 27; b) 18; 24 30; c) 5; 11; d) 12, 16 48 Hướng dẫn gỉải a) Ta có: 12  22.3 27  33 Thừa số chung: (với... Ví dụ Tìm bội chung nhỏ 600 40 180 Hướng dẫn giải Cách Tìm bội chung 40 180 cách lấy 180 nhân với 0; 1; 2; 3; số chia hết cho 40, ta được: BC  40,180   0;360;720;  Vậy bội chung nhỏ 600... 5,7,11  5.7.11  385 Năm bội chung 5; 11 là: 0; 385; 770; 1155; 1540 Vậy năm số tự nhiên thỏa mãn đề là: 4; 389; 774; 1159; 1544 Dạng 2: Quan hệ ước chung lớn bội chung nhỏ Phương pháp giải Tích