Chuyên đề Bội số chung nhỏ nhất và Ước số chung lớn nhất I. Bội số chung nhỏ nhất 1. Khái niệm: Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b. Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lại số dư. Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0. Ký hiệu: bội số chung nhỏ nhất của 2 số nguyên a, b được ký hiêu: a,b, BCNN(a,b), LCM(a,b) 2. Cách tìm: 2.1: Thông qua UCLN BCNN(a,b)=(|a.b|)(ƯCLN(a,b)) 2.2: Phân tích ra thừa số nguyên tố Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số. Ví dụ:
Trang 1Chuyên đề Bội số chung nhỏ nhất và Ước số chung lớn nhất
I Bội số chung nhỏ nhất
1 Khái niệm :
Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ
nhất chia hết cho cả a và b Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lại
số dư Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a
và b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0.
Ký hiệu: bội số chung nhỏ nhất của 2 số nguyên a, b được ký hiêu: [a,b],
BCNN(a,b), LCM(a,b)
2 Cách tìm:
2.1: Thông qua UCLN
BCNN (a , b)=¿a b∨ ¿
Ư CLN (a , b)¿
2.2: Phân tích ra thừa số nguyên tố
Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứ
tự của các thừa số) Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số
Ví dụ:
Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5.
Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm LCM của một tập hợp các số
Ví dụ: Tìm giá trị của BCNN(8,9,21)
Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố
Trang 2Với mỗi số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị LCM cần tìm bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 23, 32, 50, và
71 Do đó,
Thuật toán không thực sự hiệu quả bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưa
có thuật toán hiệu quả để phân tích số nguyên nhưng nó hiệu quả trong việc minh họa khái niệm
3 Tính chất:
Tính chất giao hoán:
Tính chất kết hợp:
Mối quan hệ với ước chung lớn nhất:
Trong trường hợp và nguyên tố cùng nhau, thì:
Tính lcm của nhiều số thông qua cách tính lcm của hai số:
II Ước số chung lớn nhất
1 Khái niệm:
Trong toán học, nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên d thì số d được gọi
là ước của số nguyên a, a được gọi là bội của d Số nguyên dương d lớn nhất
là ước của cả hai số nguyên a, b được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN)
của a và b Trong trường hợp cả hai số nguyên a và b đều bằng 0 thì chúng
không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của
a và b Nếu chỉ một trong hai số a hoặc b bằng 0, số kia khác không thì
ƯCLN của chúng bằng giá trị tuyệt đối của số khác không
Ký hiệu: ƯCLN(a, b), hay đơn giản hơn là: (a, b)
Chú ý: Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của
Trang 32.1 Phân tích ra thừa số nguyên tố
chẳng hạn để tìm ƯCLN(18,84), ta phân tích 18 = 2·32 và 84 = 22·3·7
và nhận xét rằng các thừa số chung lớn nhất của hai số này là 2·3; do đó ƯCLN(18,84) = 6
Trên thực tế phương pháp này chỉ dùng cho các số nhỏ; việc phân tích các số lớn ra thừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian
2.2 Thông qua BCNN
Nếu a và b là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của a và b có thể tính qua (BCNN) của a và b:
III Các dạng bài tập và câu hỏi tự luyện
1 Dạng 1: Tìm UCLN và BCNN của hai hay nhiều số
Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của 100, 150; 125
Giải: 100 2 5 ;150 2.3.5 ;125 5 2 2 2 3
Các thừa số nguyên tố chung là: 5
Các thừa số nguyên tố riêng là: 2;3
2
(100;150;125) 5 25
(100;150;125) 2 3.5 1500
UCLN
BCNN
Bài toán 2: Tìm UC, BC của 100,150,125
Giải: Để tìm ƯC; BC của các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội của các số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm
Trang 4
(100;150;125) (25) 1;5;25
(100;150;125) (1500) 0;1500;3000;
Các bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm UCLN; BCNN ; UC; BC của
a) 124 và 55
b) 122; 84 và 126
c) 10; 30; 50
d) 124; 84; 320
e) 12; 24; 48
f) 120; 300; 250
2 Dạng 2: Giải các bài toán bằng việc tìm UCLN; BCNN
Bài toán 3:
a)Tìm số tự nhiên n biết n lớn nhất và 125 ;100 ;150x x x
b)Tìm số tự nhiên n biết n nhỏ nhất và 125; 100; 150x x x
Giải: a)
Mà x lớn nhất nên x=UCLN(125;100;150)=25
Mà x nhỏ nhất nên x=BCNN(125;100;150)=1500
Bài toán 4: Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ Muốn phục vụ tại
nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ Số nam và nữ
Trang 5được chia đều Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ
Giải
Gọi số tổ là a (aN*) Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ Số nam và nữ được chia đều nên a là ước chung của 48 và 72
Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ)
Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = 3 ( nữ)
Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ
Bài toán 5
Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần Lần đầu cả 2 người cùng trực nhật vào 1 ngày Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật? Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần?
Giải:
Gọi số ngày mà ít nhất 2 bạn lại cùng trực nhật là a( aN*) Vì An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần Lần đầu cả 2 người cùng trực nhật vào 1 ngày nên a là bội chung của 10 và 12
Mà cần tìm số ngày ít nhất mà 2 bạn lại cùng trực nhật nên
a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày )
Lúc đó An đã trực nhật được 60 : 10 = 6 ( lần)
Bách đã trực nhật được 60 : 12 = 5 ( lần)
Trang 6Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật được 6 lần; Bách đã trực nhật được 5 lần.
Bài tập tương tự
Bài 2: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 480 ;600x x
Bài 3: Một đội y tế có 24 bác sĩ, 108 y tá Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành
mấy tổ để các bác sĩ cũng như y tá được chia đều vào mỗi tổ
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho 126; 198a a
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 6,7,9,đều được số dư theo thứ tự là
2,3,5
3 Dạng 3: Giải các bài toán bằng việc tìm UC, BC của hai hay nhiều
số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán 6: a) Tìm số tự nhiên n biết 125x;100x;150 và x<10x b)Tìm số tự nhiên n biết x125;x100;x150; x 3000
UCLN(125;100;150)=25 nên x U (25)1;5;25
Mà x<10 nên x 1;5
b) x125;x100;x150 xBC(125;100;150)
BCNN(125;100;150)=1500 nên x B (1500)0;1500;3000;
Mà x<3000 nên x 0;1500
Trang 7Bài toán 7: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng
41 thì vừa đủ Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000 người
Giải:
Gọi số người của đơn vị là a( người) ( a N; a 1000) Khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15 người
Do đó : (a – 15) BC (20; 25; 30)
BCNN ( 20; 25; 30) = 300
=> ( a – 15) B ( 300) = { 0; 300; 600; 900; 1200; }
=> a {15 ; 315; 615; 915; 1215; }
Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a 41; a 1000 nên a = 615
KL: Số người của đơn vị là 615 người
Bài toán 8: Tìm số tự nhiên n biết 125 khi chia cho x được số dư là 5; 85 khi chia
cho x được số dư là 1
Giải: Vì 125 chia cho x dư 5 nên 120 Mx
85 chia cho x dư 1 nên 84 Mx
Do đó x UC (120;84);x 5
UCLN(120;84)=12 nên x U (12) àv x 5 x6;12
Bài toán 9: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.
Trang 8Đây là dạng bài toán tìm x thông qua tìm BC Tương tự như đối với bài toán 7 nhưng ở mức độ khó hơn vì ta chưa xác định được ngay biểu thức chứa x nào là BCNN(5;7)
x BC x
Mà x nhỏ nhất nên x+9=BCNN(5;7)=35
Vây x=26 là kết quả cần tìm
Các bài tập tương tự
Bài 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì Trong mỗi hộp đều có từ hai
bút trở lên Và số bút ở mỗi hộp đều nhau, Tính ra Ngọc mua 20 bút và Minh mua
15 bút Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu bút chì
Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia a dư 10.
Bài 8: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết số đó chia hết cho tất cả các số
3,4,5,6
Bài 9: Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400 Khi xếp
hàng 12; 15; 18 đều thừa 5 học sinh Tính sô học sinh khối 6
Bài 10:Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết số đó chia 2 dư 1, chia 3 dư 1, chia 5
thiếu 1 và chia hết cho 7
Trang 94 Dạng 4: Các bài toán tổng quát bằng việc tìm UCLN và BCNN Bài toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau nguyên tố cùng
nhau: 2n+3 và 4n+8
Chứng minh : để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau ta chứng minh cho UCLN của chúng bằng 1 Đây là dạng bài tập quen thuộc nhưng còn mới lạ đối với các em lớp 6 Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư duy logic cho các em
Gọi d UCLN n (2 3;4n8)
Vì 2n+3 là số lẻ nên d=2 không xảy ra
Vậy d=1 hay với mọi n thì hai số 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau
Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh vì sao ta lại nhân 2n+3 với 2 là để triệt tiêu n
Bài toán 11: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n+13 và 2n+4
Giải: Gọi d UCLN n (7 13;2n4)
Trang 10Nếu
Vậy để 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau thì n2k 1
Các bài tập tương tự
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố
a)7n+10 và 5n+7
b)n+2 và 2n+3
Bài 12: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau
a)4n+3 và 2n+3
b) 7n+13 và 2n+4
c) 9n+24 và 3n+4
d) 18n+3 và 21n+7
5 Dạng 5: Các bài toán về UCLN và BCNN
Bài toán 12:
a)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có UCLN bẳng 6
b)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có BCNN bằng 120
c) Tìm hai số tự nhiên a và b biết UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=120
Giải:
a)Gọi hai số tự nhiên đó là a và b
Trang 11ta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n và UCLN(m,n)=1
nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy ra m.n=20
chọn cặp m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 ta được
do đó
b)Gọi hai số tự nhiên a và b
Ta có UCLN(a;b).BCNN(a,b)=ab
Do đó 120.UCLN(a,b)=720 suy ra UCLN(a;b)=6
Đến đây giải như câu a
a)Ta có UCLN(a,b).BCNN(a,b)=a.b suy ra a.b=720 Bài toán quay trở về câu a
Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a)UCLN(a,b)=4; trong đó b=8 (b>a) Tìm a
b)BCNN(a,b)=770; trong đó a=14 Tìm b
giải:
a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 và UCLN(m,2)=1
Vì a<b nên m<2 Mà UCLN(m,2)=1 suy ra m=1 suy ra a=4 là giá trị cần tìm b)Ta có BCNN(a,14)=770 nên 770=a.m; 770=14.55 và UCLN(m,55)=1
Ta có 770=14.55=a.m
Trang 12
14.55
m
Do đó a 55;110;380;770
Bài tập tương tự
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=12, a>b, a=72
b)BCNN(a,b)=120,a=12 Tìm b
c)BCNN(a,b)=300, a=15 Tìm b
d)BCNN(a,b)=210; a=17 Tìm b
Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6; a.b=720
b)BCNN(a,b)=900 và a.b=2700
c)BCNN(a,b)=90 và a.b=900
d) UCLN(a,b)=6 và a+b=30
Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=180
b)UCLN(a,b)=12 và BCNN(a,b)=72
c)BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b) và a.b=180
d) UCLN(a,b)=15 và BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b)
Trang 13b)BCNN(a,b)-UCLN(a,b)=5
IV Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh
- NL tính toán: Phân tích được một số ra thừa số nguyên tố, từ đó tính được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số thông qua phân tích ra thừa
số nguyên tố
- NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toán dạng khác về dạng quen thuộc
- NL giải quyết vấn đề:
- NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm
và giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò
V Phương pháp dạy học
- Nêu và giải quyết vấn đề
- Hoạt động nhóm
- Luyện tập thực hành