Chuyên đề Bội chung nhỏ nhất và Ước chung lớn nhất

Chuyên đề Bội số chung nhỏ nhất và Ước số chung lớn nhất I. Bội số chung nhỏ nhất 1. Khái niệm: Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a và b. Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lại số dư. Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0. Ký hiệu: bội số chung nhỏ nhất của 2 số nguyên a, b được ký hiêu: a,b, BCNN(a,b), LCM(a,b) 2. Cách tìm: 2.1: Thông qua UCLN BCNN(a,b)=(|a.b|)(ƯCLN(a,b)) 2.2: Phân tích ra thừa số nguyên tố Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số. Ví dụ:

Hoàng Bích Vi Chuyên đề Bội số chung nhỏ Ước số chung lớn I Bội số chung nhỏ Khái niệm: Bội số chung nhỏ hai số nguyên a b số nguyên dương nhỏ chia hết cho a b Tức chia cho a b mà không để lại số dư Nếu a b 0, không tồn số nguyên dương chia hết cho a b, quy ước LCM(a, b) Ký hiệu: bội số chung nhỏ số nguyên a, b ký hiêu: [a,b], BCNN(a,b), LCM(a,b) Cách tìm: 2.1: Thông qua UCLN 2.2: Phân tích thừa số nguyên tố Định lý số học nói số nguyên dương lớn biểu diễn cách dạng tích số nguyên tố (nếu không kể đến thứ tự thừa số) Như hợp số coi nguyên tố cấu thành hợp số Ví dụ: Ở có hợp số 90 tạo thành nguyên tử 2, hai nguyên tử nguyên tử Kiến thức giúp tìm LCM tập hợp số Ví dụ: Tìm giá trị BCNN(8,9,21) Đầu tiên, ta phân tích số thành dạng tích lũy thừa số nguyên tố Chuyên đề toán học lớp Hoàng Bích Vi Với số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích chúng cho ta giá trị LCM cần tìm bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 7, có bậc cao 23, 32, 50, 71 Do đó, Thuật toán không thực hiệu cách rút từ ước chung lớn nhất, chưa có thuật toán hiệu để phân tích số nguyên hiệu việc minh họa khái niệm Tính chất: Tính chất giao hoán: Tính chất kết hợp: Mối quan hệ với ước chung lớn nhất: Trong trường hợp nguyên tố nhau, thì: Tính lcm nhiều số thông qua cách tính lcm hai số: II Ước số chung lớn Khái niệm: Trong toán học, số nguyên a chia hết cho số nguyên d số d gọi ước số nguyên a, a gọi bội d Số nguyên dương d lớn ước hai số nguyên a, b gọi ước chung lớn (ƯCLN) a b Trong trường hợp hai số nguyên a b chúng ƯCLN số tự nhiên khác không ước chung a b Nếu hai số a b 0, số khác không ƯCLN chúng giá trị tuyệt đối số khác không Ký hiệu: ƯCLN(a, b), hay đơn giản là: (a, b) Chú ý: Hai số gọi nguyên tố ước chung lớn chúng Chẳng hạn, 28 nguyên tố Cách tính: 2.1 Phân tích thừa số nguyên tố Chuyên đề toán học lớp Hoàng Bích Vi chẳng hạn để tìm ƯCLN(18,84), ta phân tích 18 = 2·32 84 = 22·3·7 nhận xét thừa số chung lớn hai số 2·3; ƯCLN(18,84) = Trên thực tế phương pháp dùng cho số nhỏ; việc phân tích số lớn thừa số nguyên tố nhiều thời gian 2.2 Thông qua BCNN Nếu a b số khác không, ước chung lớn a b tính qua (BCNN) a b: III Các dạng tập câu hỏi tự luyện Dạng 1: Tìm UCLN BCNN hai hay nhiều số Bài toán 1: Tìm UCLN BCNN 100, 150; 125 Giải: 100 = 22.52 ;150 = 2.3.52 ;125 = 53 Các thừa số nguyên tố chung là: Các thừa số nguyên tố riêng là: 2;3 UCLN (100;150;125) = 52 = 25 BCNN (100;150;125) = 22.3.53 = 1500 Bài toán 2: Tìm UC, BC 100,150,125 Giải: Để tìm ƯC; BC số ta không cần lập tập hợp ước bội số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm Chuyên đề toán học lớp Hoàng Bích Vi UC (100;150;125) = U (25) = { 1;5;25} BC (100;150;125) = B(1500) = { 0;1500;3000; } Các tập tương tự: Bài 1: Tìm UCLN; BCNN ; UC; BC a) b) c) d) e) f) 124 55 122; 84 126 10; 30; 50 124; 84; 320 12; 24; 48 120; 300; 250 Dạng 2: Giải toán việc tìm UCLN; BCNN Bài toán 3: a)Tìm số tự nhiên n biết n lớn b)Tìm số tự nhiên n biết n nhỏ 125Mx;100Mx;150Mx xM 125; xM 100; xM 150 Giải: a) 125M x;100M x;150M x ⇒ x ∈ UC (125;100;150) Mà x lớn nên x=UCLN(125;100;150)=25 b) xM 125; x M 100; x M 150 ⇒ x ∈ BC (125;100;150) Mà x nhỏ nên x=BCNN(125;100;150)=1500 Bài toán 4: Đội văn nghệ trường có 48 nam 72 nữ Muốn phục vụ nhiều địa điểm , đội dự định chia thành tổ gồm nam nữ Số nam nữ Chuyên đề toán học lớp Hoàng Bích Vi chia Có thể chia nhiều thành tổ? Khi tổ có nam; nữ Giải ∈ Gọi số tổ a (a N*) Vì muốn phục vụ nhiều địa điểm , đội dự định chia thành tổ gồm nam nữ Số nam nữ chia nên a ước chung 48 72 Mà cần tìm số tổ nhiều nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ) Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) 72: 24 = ( nữ) Đáp số: 24 tổ; tổ nam nữ Bài toán Hai bạn An Bách học trường lớp khác An 10 ngày lại trực nhật lần; Bách 12 ngày lại trực nhật lần Lần đầu người trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày bạn lại trực nhật? Lúc bạn trực nhật lần? Giải: ∈ Gọi số ngày mà bạn lại trực nhật a( a N*) Vì An 10 ngày lại trực nhật lần; Bách 12 ngày lại trực nhật lần Lần đầu người trực nhật vào ngày nên a bội chung 10 12 Mà cần tìm số ngày mà bạn lại trực nhật nên a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày ) Lúc An trực nhật 60 : 10 = ( lần) Bách trực nhật 60 : 12 = ( lần) Chuyên đề toán học lớp Hoàng Bích Vi Đáp số: 60 ngày; An trực nhật lần; Bách trực nhật lần Bài tập tương tự Bài 2: Tìm số tự nhiên a lớn biết 480Mx;600Mx Bài 3: Một đội y tế có 24 bác sĩ, 108 y tá Có thể chia đội y tế nhiều thành tổ để bác sĩ y tá chia vào tổ Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho aM 126; aM 198 Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 6,7,9,đều số dư theo thứ tự 2,3,5 Dạng 3: Giải toán việc tìm UC, BC hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán 6: a) Tìm số tự nhiên n biết 125M x;100M x;150M x x UCLN(120;84)=12 nên Chuyên đề toán học lớp x ∈ U (12)vàx > ⇒ x ∈ { 6;12} Hoàng Bích Vi Bài toán 9: Tìm số tự nhiên x nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư Đây dạng toán tìm x thông qua tìm BC Tương tự toán mức độ khó ta chưa xác định biểu thức chứa x BCNN(5;7) Giải: Vì x chia dư nên x − 1M ⇒ x − + 10M ⇒ x + 9M Vì x chia dư nên x − 5M ⇒ x − + 14M ⇒ x + 9M x + ∈ BC (5;7); x > Mà x nhỏ nên x+9=BCNN(5;7)=35 Vây x=26 kết cần tìm Các tập tương tự Bài 6: Ngọc Minh người mua số bút chì Trong hộp có từ hai bút trở lên Và số bút hộp nhau, Tính Ngọc mua 20 bút Minh mua 15 bút Hỏi hộp có bút chì Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết 156 chia cho a dư 12 280 chia a dư 10 Bài 8: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số biết số chia hết cho tất số 3,4,5,6 Bài 9: Số học sinh khối trường khoảng từ 200 đến 400 Khi xếp hàng 12; 15; 18 thừa học sinh Tính sô học sinh khối Bài 10:Tìm số tự nhiên nhỏ 200, biết số chia dư 1, chia dư 1, chia thiếu chia hết cho Chuyên đề toán học lớp Hoàng Bích Vi Dạng 4: Các toán tổng quát việc tìm UCLN BCNN Bài toán 10: Chứng minh với số tự nhiên n số sau nguyên tố nhau: 2n+3 4n+8 Chứng minh : để chứng minh hai số nguyên tố ta chứng minh cho UCLN chúng Đây dạng tập quen thuộc lạ em lớp Các tập dạng nhằm phát triển tư logic cho em Gọi d = UCLN (2n + 3;4n + 8) ⇒ 2(2 n + 3)M d n + 8M d ⇒ 2(2 n + 3)M d ⇒ 4n + 6M d ⇒ (4n + 8) − (4 n + 6)M d ⇒ 2M d ⇒ d ∈ { 1; 2} Vì 2n+3 số lẻ nên d=2 không xảy Vậy d=1 hay với n hai số 2n+3 4n+8 nguyên tố • Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ta lại nhân 2n+3 với để triệt tiêu n Bài toán 11: Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau: 7n+13 2n+4 Giải: Gọi d = UCLN (7 n + 13;2n + 4) ⇒ (7 n + 13)M d Chuyên đề toán học lớp n + 4M d Hoàng Bích Vi ⇒ 2(7 n + 13)M d ⇒ 14n + 26M d 7(2 n + 4)M d ⇒ 14 n + 28M d ⇒ (14 n + 28) − (14n + 26)M d ⇒ 2M d ⇒ d ∈ { 1; 2} Nếu d = ⇒ n + 13M ⇒ 7( n + 1) + 6M ⇒ 7( n + 1)M UCLN (7; 2) = ⇒ n + 1M ⇒ n = 2k − Vậy để 7n+13 2n+4 nguyên tố n ≠ 2k − Các tập tương tự Bài 11: Chứng minh với số tự nhiên n số sau hai số nguyên tố a)7n+10 5n+7 b)n+2 2n+3 Bài 12: Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố a)4n+3 2n+3 b) 7n+13 2n+4 c) 9n+24 3n+4 d) 18n+3 21n+7 Dạng 5: Các toán UCLN BCNN Bài toán 12: a)Tìm hai số tự nhiên có tích 720 có UCLN bẳng b)Tìm hai số tự nhiên có tích 720 có BCNN 120 Chuyên đề toán học lớp Hoàng Bích Vi c) Tìm hai số tự nhiên a b biết UCLN(a,b)=6 BCNN(a,b)=120 Giải: a)Gọi hai số tự nhiên a b ta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n UCLN(m,n)=1 nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy m.n=20 chọn cặp m, n nguyên tố có tích 20 ta m n 5 a 24 30 b 30 24 b)Gọi hai số tự nhiên a b Ta có UCLN(a;b).BCNN(a,b)=ab Do 120.UCLN(a,b)=720 suy UCLN(a;b)=6 Đến giải câu a a)Ta có UCLN(a,b).BCNN(a,b)=a.b suy a.b=720 Bài toán quay trở câu a Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a b biết a)UCLN(a,b)=4; b=8 (b>a) Tìm a b)BCNN(a,b)=770; a=14 Tìm b giải: a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 UCLN(m,2)=1 Vì a[...]... b)BCNN(a,b)=900 và a.b=2700 c)BCNN(a,b)=90 và a.b=900 d) UCLN(a,b)=6 và a+b=30 Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a)UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=180 b)UCLN(a,b)=12 và BCNN(a,b)=72 c)BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b) và a.b=180 Chuyên đề toán học lớp 6 Hoàng Bích Vi d) UCLN(a,b)=15 và BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b) Bài 16*: Tìm hai số tự nhiên a và b biết a)UCLN(a,b)+BCNN(a,b)=19 b)BCNN(a,b)-UCLN(a,b)=5 IV Định hướng hình thành và. .. phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toán - dạng khác về dạng quen thuộc NL giải quyết vấn đề: NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm và giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò Phương pháp dạy học - Nêu và giải quyết vấn đề - Hoạt động nhóm - Luyện tập thực hành Chuyên đề toán học lớp 6 ...Hoàng Bích Vi c) Tìm hai số tự nhiên a và b biết UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=120 Giải: a)Gọi hai số tự nhiên đó là a và b ta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n và UCLN(m,n)=1 nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy ra m.n=20 chọn cặp m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 ta được m n do đó 4 5 5 4 a 24 30 b 30 24 b)Gọi hai số tự nhiên a và b Ta có UCLN(a;b).BCNN(a,b)=ab Do đó 120.UCLN(a,b)=720... quay trở về câu a Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a và b biết a)UCLN(a,b)=4; trong đó b=8 (b>a) Tìm a b)BCNN(a,b)=770; trong đó a=14 Tìm b giải: a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 và UCLN(m,2)=1 Vì a ... số d gọi ước số nguyên a, a gọi bội d Số nguyên dương d lớn ước hai số nguyên a, b gọi ước chung lớn (ƯCLN) a b Trong trường hợp hai số nguyên a b chúng ƯCLN số tự nhiên khác không ước chung a... Tính chất kết hợp: Mối quan hệ với ước chung lớn nhất: Trong trường hợp nguyên tố nhau, thì: Tính lcm nhiều số thông qua cách tính lcm hai số: II Ước số chung lớn Khái niệm: Trong toán học, số... số chung lớn hai số 2·3; ƯCLN(18,84) = Trên thực tế phương pháp dùng cho số nhỏ; việc phân tích số lớn thừa số nguyên tố nhiều thời gian 2.2 Thông qua BCNN Nếu a b số khác không, ước chung lớn