chuyên đề toán thpt dạy GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số TRONG kỳ THI THPTQG

DẠY GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG KỲ THI THPTQG NỘI DUNG 1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 2.CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA 3.HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO CẤP ĐỘ 4.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN VẬN DỤNG CAO GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT 1) Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x ) xác định tập D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y f ( x ) tập D f ( x ) M với x thuộc D tồn x0 D cho f ( x0 )M Kí hiệu : M Max f ( x ) D • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y x thuộc D tồn x0 Kí hiệu: m f ( x ) tập D f ( x ) m với D cho f ( x0 ) m Min f ( x ) 2) Tìm GTLN-GTNN hàm số y f ( x ) miền D: Bước 1: Tính f '( x ) điểm miền D mà f '( x ) Tìm f '( x ) không xác định Bước 2: Lập bảng biến thiên 3) Tìm GTLN,GTNN hàm số y f ( x ) liên tục đoạn a; b : Bước 1: Tính đạo hàm f '( x ) Bước 2: Tìm điểm x1 , x2 , , xn đoạn a; b mà f '( x ) f '( x ) không xác định Bước 3: Tính giá trị f ( a ), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f ( b ) Bước 4: Kết luận f ( x ) m a ;b f ( a ), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b ) max f ( x ) M max f (a), f (x ), f (x ), , f (xn ), f (b) a;b Lưu ý: • Trên khoảng • a; b a;b f ( x ) a;b max f ( x ) khơng tồn Nếu hàm số xác định liên tục đoạn a; b đạt GTLN GTNN đoạn a; b B BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1(NB): Cho hàm số y f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? x y’ y 1 A.Giá trị lớn hàm số B.Hàm số đạt giá trị lớn x C.Giá trị nhỏ hàm số D.Hàm số khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ 2(NB): Hàm số sau khơng có GTLN GTNN đoạn 3;1 A y x C y 2x B y x x2 D y x x Ví dụ 3(TH): GTNN GTLN hàm số f ( x ) 2x 12x 18x 10 đoạn 0; A 10 B C 10 D Hướng dẫn giải: Cách 1: f '(x) 6x f (0 24x 18 , f '(x) 10, f (1) 2, f (3) x 0;4 x 0;4 10, f (4) Vậy GTNN GTLN hàm số đoạn 0; 10 Chọn A Cách 2: (Tư truy hồi) Nếu có a giá trị lớn ( nhỏ ) hàm số f ( x ) miền D điều kiện cần phương trình f ( x ) a có nghiệm thuộc tập D Phương trình f ( x ) 10 2x 12x 18x 10 10 x 0, x 0, Vậy 10 GTNN Phương trình f ( x ) 2x 12x 18x 10 x 4, 0, Vậy không GTLN Suy đáp án A Ví dụ 4(TH): Giá trị x để hàm số f ( x ) x 2x đạt GTLN 2; là: A B C D Hướng dẫn giải: x Cách 1: f '( x ) 4x 2; 4x 0x 12; x f (0) 3, f ( 1) , f ( 2) 11, f ( 2; 1 2) 16 41 Vậy hàm số đạt GTLN x Chọn đáp án B Cách 2: (Tư truy hồi) Dùng máy tính Casio nhập hàm X calc 2X Ta gắn X giá trị mà đáp án cho , chọn đáp án tương ứng với X có GTLN X211 X 12 X 03 X 41 16 Chọn đáp án B với x Ví dụ 5(VD): Giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số f ( x ) x m m x1 đoạn 0;1 ? A m 1; m C m 1; m Hướng dẫn giải: B m 1; m D m 1; m f '( x ) m m2 m x Cách 1: Vậy f ( x ) đồng biến đoạn 0;1 với m Suy f ( x ) f (0) m m 0;1 Do u cầu tốnm Cách 2: (Tư loại trừ) m m 1; m Chọn B ta có f ( x ) x Thay m f '( x ) f ( x ) f (0) x x Vậy loại C,D Thay m ta có f ( x ) x f '( x ) f ( x ) f (0) x x Vậy loại A Chọn B Ví dụ 6(VD): Giá trị x để hàm số A x Hướng dẫn giải: y e 2.3 x 9x B x đạt giá trị nhỏ C.Khơng có x D x Nếu khơng có đáp án C ta làm theo tư truy hồi cách VD2 Nhưng có đáp án C nên phải giải cụ thể x Đặt Do t (t 0) e 2t t2 y e 2t t2 Tính y ' 2t e , ln x y’ ,nên có BBT sau: y Vậy hàm số đạt GTNN t x Chọn D e 2t t2 e ln Ví dụ 7(VD): Xét số thực a , b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu 2 thức P log a a a 3logb b B Pmin 13 b A Pmin 19 C Pmin 14 D Pmin 15 Hướng dẫn giải: Biến đổi P log b a 1 log a b b loga loga b Đặt t loga b ,do a b nên t 3 0;1 , tìm GTNN Xét hàm f ( t ) t f 15 t Chọn D Ví dụ 8(VDC): Một cơng ty muốn thiết kế loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cho thể tích khối hộp tạo thành dm3 diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ Độ dài cạnh đáy hộp muốn thiết kế là: B 2dm A 2dm Hướng dẫn giải: C 4dm D 2dm Gọi độ dài cạnh đáy x , chiều cao h x , h Ta có V x h8 h x Diện tích tồn phần khối hộp là: S f '( x ) 4x 2x 4xh 2x 32 x f(x) 32 x2 , f '( x ) x Lập bảng biến thiên ta có Stp nhỏ x Chọn B Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức Cơsi cho số 2x , 16 16 , x x Ví dụ 9(VDC): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho ba mặt phẳng ( P ) : x2 y z 0, (Q ) : x2 y z , ( R ) : x 2y z Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng ( P ) , (Q ) , ( R) A, B , C AB2 144 Tìm GTNN T AC A T 54 C T 72 3 Đặt T B T 108 D T 96 Hướng dẫn giải: Ta có ( P ) / /(Q ) / /( R) nên AB d P,Q AC d P,R Khi : AB 144 AB2 144.3 Cách 1: T AC AB Đặt AB x , x ta T x2 432 f ( x ) , x x Tính f '( x ) x 864 x 634 2x2 f ( 4) Lập bảng biến thiên ta có: f ( x ) 54 Chọn A x Cách 2: Ta dùng BĐT Côsi sau: T AB 144 AC AB Dấu “=” xảy 72 AC AB2 72.72 54 AC2 72 3 AC AB AC 72 AB 72.3 AB AB 63 Vậy MinT 54 Chọn A Ví z dụ 8(VDC): Cho số phức z có mơđun P Giá trị lớn biểu thức z z là: A.3 10 Hướng dẫn giải: B.2 10 C.6 Gọi z x yi , ( x , y R) , z x y2 D.4 Ta có : x 2y P x y x 2y2 2x x y2 2x 2x 2x Xét hàm số f ( x ) Có f '( x ) 2x 2x Khi Pmax f 2x , x 1;1 x 2x 210 Chọn B Ví dụ 10(VDC): Một hồ hình chữ nhật rộng 50m dài 200m Vận động viên Nguyễn Thị Ánh Viên tập luyện bơi phối hợp với chạy sau: Bơi từ vị trí điểm A thẳng đến điểm M, chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm N bơi từ vị trí điểm N thẳng đích điểm D Hỏi Ánh Viên nên chọn vị trí điểm M cách điểm A mét (kết làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) để đến đích nhanh biết vận tốc bơi 1, m / s vận tốc chạy 4, m / s A 35m B 71m C 53m A D.100m 200m D N C 50m B Hướng dẫn giải: Đặt BM x 0x 200 AM x2 thời gian bơi từ A đến M là: t y (0 y 200) CN 200 x yN D t MN 50 Tổng thời gian từ A D : tAD x2 502 , 502 1, AM Đặt MN M y 4,8 , 200 x y x 50 2 , tND c d a c b d 200x y 1, 200 x y 1, Dùng BĐT: a b 50 2 502 y 4, (*) dấu = ad bc t 200 y AD f '( y ) 1002 y 1, y 200 4, 2 1, y 200 f ( y ) , y 0; 200 10 100 y 200 25 4,8 Dấu = (*) 50 x 50 200 x y x 100 y Khi AM 25 2 25 2 53 Chọn C 50 Chú ý: Nếu đặt AM x BM tính theo nên NC tính theo tính ND phức tạp nhiều C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO CẤP ĐỘ PHẦN NHẬN BIẾT Câu 1: Cho hàm số y f ( x ) xác định liên tục đoạn a; b ,khẳng định sau đúng? A Trên đoạn a; b , hàm số đạt GTLN x b B Trên đoạn a; b , hàm số đạt GTNN x a C Trên đoạn a; b , hàm số có GTLN có GTNN D Nếu f ( x ) m với x a; b ( m số) đoạn a; b hàm số có giá trị nhỏ m Câu 2: Cho hàm số y x f ( x ) liên tục đoạn 1;3 có bảng biến thiên sau: y' y Khẳng định sau đúng? A GTNN hàm số B GTNN hàm số 1;3 bằng 1;3 C GTLN hàm số 1;3 D GTNN hàm số 1;3 Câu 3: Hàm số có bảng biến thiên hình vẽ Khẳng định sau đúng: x y' y 1 A GTLN hàm số B GTNN hàm số C GTNN hàm số D GTLN hàm số Câu 4: Hàm số sau khơng có GTLN GTNN đoạn 2; A y x3 C y x B y x x2 D y x x Câu 5: Trong hàm số sau ,hàm số có GTNN tập xác định A y x3 3x B y x4 3x C y D y 2x x2 3x x x Câu 6: GTLN,GTNN hàm số y sin x cos x là: A GTLN , GTNN B GTLN ,GTNN B GTLN ,GTNN 2 D GTLNbằng , GTNN Câu 10:Tìm GTLN M GTNN m hàm số y 1 A M e, m e B m C M e , không tồn m D M x.e x khoảng 0; , không tồn M e, m Câu 11: Cho hàm số y 2x x2 GTNN hàm số A B C Câu 12: GTNN hàm số y 2x ln A ln B 2x Câu 13: Hàm số y sin x cos x đạt GTLN 0; A 3 B 1; đoạn C D : D ln x bao nhiêu? C D PHẦN VẬN DỤNG Câu1 : Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện y x x y Gọi M , m GTLN,GTNN biểu thức P xy 5x y 27 Tổng M m bằng: A 52 B 59 Câu 2: Tìm tất giá trị m để hàm số ? A m C 58 y B m D 43 x 3x2 C m m có GTNN đoạn 1;1 D m Câu 3:Tìm m để hàm số y mx đạt GTLN đoạn 2; : A m 26 x m B m Câu 4: Tìm tất giá trị m để hàm số y A m B m Câu 5: Giá trị m để hàm số y x m A B D m C m 34 mx x2 C m đạt GTLN x đoạn 2; D m x2 đạt GTLN 3 C D Câu 6: Tìm a để GTNN hàm số f ( x ) 2x a khoảng 0;3 A B x C D là: Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(1;1;1), B (2;1; 1), C(0; 4; 6) Điểm M di động trục hoành Ox Tọa độ M để P đạt GTNN là: MA MB MC A M (1; 2; 2) B M (1;0;0) C M (0;1;0) D M ( 1;0;0) Câu 8: Sau phát dịch bênh chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát bệnh nhân đến ngày thứ x f ( x ) 45x2 x3 với x 1, 2, 3, , 25 Nếu ta coi f hàm số xác định đoạn 0; 25 f '( x ) xem tốc độ truyền bệnh ( người/ngày) thời điểm x Hãy xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn A B 14 C 16 sin x sin x đoạn 0; là: Câu 9: GTNN hàm số y D 15 A B 2 C D 3 Câu 10: Tìm GTLN hàm số y cos 2x cos x ? A B C D Câu 11:GTNN biểu thức P log2 x log x là: A B C D 2 Câu 12: Cho số thực a , b thỏa mãn a 1, b Tìm GTNN biểu thức P 27 A Pmin 36 B Pmin 24 Câu 13: GTLN hàm số f ( x ) x A B 2 2.log ab a log ab b loga ab C Pmin x 2x x2 C D Pmin 48 đoạn 0; là: 32 D Câu 14: GTLN hàm số y x3 3x2 đoạn 2; là: A 16 B C D 20 Câu 15: Cho biểu thức P x x 2 xy y2 với x xy y2 B A y2 Giá trị nhỏ P bằng: C D Câu 16: Cho x xy y2 GTNN P x xy y2 A B C bằng: D Câu 17: Một vật chuyển động theo qui luật s (t ) 6t 2t3 với t (giây ) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc lớn vật bao nhiêu? A m / s B m / s C m / s D m / s PHẦN VẬN DỤNG CAO Câu 1: Cho Cm đồ thị hàm số y x 3mx với m ; tham số thực Gọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị Cm Tìm số giả trị m để đường thẳng d cắt đường tròn tâm I 1;0 bán kính R hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn A B C z i z i C P Câu 2: Xét số phức z thỏa mãn nhỏ nhất,giá trị lớn z i Tính P M m A.P B.P 5 D Gọi m , M giá trị D.P 14 Câu 3: Một công ty vận tải thu vé 50000 đồng khách hàng tháng Hiện tháng cơng ty có 10000 khách hàng Họ dự định tăng giá vé giá vé tăng 10000 đồng số khách hàng giảm 500 người Hỏi công ty nên tăng giá vé để doanh thu hàng tháng lớn A.80000 đồng B 75000 đồng C.100000 đồng D 90000 đồng Câu 4: Trong lĩnh vực thủy lợi , mương gọi dạng “thủy động học” với tiết diện ngang Tn mương có diện tích xác định , độ dài đường biên giới Tn nhỏ Cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động học” Giả sử mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật (như hình vẽ) với diện tích 200 m2 học” Xác định kích thước mương dẫn nước để mương có dạng “thủy động A x 20, y 10 ( m) B x 40 , y C x 25 , y ( m) D x 50, y ( m) ( m) Câu 5: Từ nguyên vật liệu cho trước, công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm3 Bao bì thiết kế hai mơ hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy hình vng hình trụ Hỏi thiết kế theo mơ hình tiết kiệm ngun vật liệu A Hình hộp chữ nhật cạnh bên cạnh đáy B Hình trụ chiều cao bán kính đáy C Hình hộp chữ nhật cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy D Hình trụ đường cao đường kính đáy Câu 6: Một xà lan bơi ngược dịng sơng để vượt qua khoảng cách 30 km Vận tốc dòng nước km / h Nếu vận tốc xà lan nước đứng yên v ( km / h) lượng dầu tiêu hao xà lan t cho công thức E ( v ) c.v t c số , E tính lít.Tìm vận tốc xà lan nước đứng yên để lượng dầu tiêu hao nhỏ A v 18 B v 12 C v 24 D v Câu 7: Khối nón đỉnh O chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm I đáy đáy thiết diện song song với đáy hình nón cho Để thể tích khối nón đỉnh I lớn chiều cao khối nón bao nhiêu? A h B h C 2h D h 3 Câu 8: Khi cắt mặt cầu S (O , R) mặt kính ,ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S (O , R) đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu ,cịn đường trịn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R ,tính bán kỉnh đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O , R) để khối trụ tích lớn A r 3,h 6,h B r 6,h C r 3 D r 3,h Câu 9: Xét hình chóp S.ABC có SA SB SC AB BC a Giá trị lớn thể tích hình chóp S ABC bằng: A a3 B a3 C a3 12 Câu 10: Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C Khoảng cách ngắn từ C đến B 1km Khoảng cách từ B đến A km Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn D 3a3 A 2, km C 3, 25km B 4, 75 km D 3, 75 km Câu 11: Cho nửa đường tròn đường kính AB nửa đường trịn 2R điểm C thay đổi CAB , đặt góc gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A 600 B.450 D 300 C arctan Câu 12: Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 3x y Tìm GTLN xy biểu thức P x y 16 x y2 A MaxP B MaxP 67 C MaxP 12 20 D MaxP D.HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN VẬN DỤNG CAO: Câu 1: Cách giải : Ta có: y ' 3x 3m , m y ' có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị Đường thẳng qua hai điểm cực trị ( d ); m x y điểm cố định M 0;1 R nên M nằm đường trịn Ta có IM I , AB AB d d Lại có ; S IAB R2d d d 2 d d I , AB , d IM , đường thẳng qua Xét hàm số f ( d ) d d ta Max f ( d ) f 2 0; Dấu xảy d d I ; d 2m 2 m2 4m 4m m Chọn A Câu 2: Gọi A 3;1 , B 1;3 M x; y điểm biểu diễn số phức z z i nên z i VìAB Vậy quĩ tích điểm M đoạn AB MA MB AB Viết phương trình đường AB x y Tức M x; y thỏa mãn x y x Khi z i x y 12 5y 3;1 , y 1;3 22 y 26 Xét hàm số f ( y ) y 22 y 26 , y 1;3 ta tìm f ( y ) f ( 11) , max f ( y ) f (1) Vậy z i max 3, z i Chọn B Chú ý: Ta giải theo phương pháp hình học Gọi C(0;1) điểm biểu diễn số phức i ,khi z i Nên z i CM d (C , AB ) , z i max CM CM max max CA, CB Câu 3: Phương pháp: Gọi số tiền giá vé sau tăng lên x đồng Thiết lập biểu thức tính doanh thu hàng tháng theo x Tìm GTLN biểu thức Cách giải: -Vé tăng lên 10000 đồng – Số người giảm 500 người Suy : vé tăng đồng - Số người giảm 10000 500 người Vé tăng x-50000 đồng – Số người giảm 500 x 50000 10000 Khi số khách hàng tháng 10000 x 50000 20 x 50000 250000 x 20 20 Doanh thu hàng tháng : 250000 x x 20 x 250000 x x 250000 x 20 20 Dấu “=” xảy 250000 x x x 125000 Vậy giá vé cần tăng lên 75000 đồng Chú ý: Chỉ cần tìm đến :Doang thu hàng tháng 1125000 20 Chọn B x 250000 x học sinh có 20 thể dùng MTBT kiểm tra xem kết làm doanh thu lớn Câu 4: Cách giải: Mương dẫn nước có tiết diện ngang 200m2 Khi để mương có dạng “ thủy động học” cần nhỏ 400 x Xét hàm số f ( x ) x 400 với x>0 Ta có f '( x ) 400 x 20 Ta có xy 200,x yx 200 x x x x2 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ x=20 Khi y=10 Chọn A Câu 5: Phương pháp : Đối với tốn liên quan đến diện tích khối tròn xoay , cần áp dụng cơng thức tính diện tích khối cách xác đem so sánh Cách giải: Để tiết kiệm ngun liệu diện tích xung quanh bao bì phải nhỏ Trong lời giải đơn vị độ dài tính dm , diện tích tính dm2 -Xét mơ hình hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cạnh a chiều cao h Khi : a h diện tích tồn phần S 2a 4ah Đến h a vào S dùng đạo hàm S’ (a>0) để tìm GTNN S Hoặc dùng BĐT Cơsi cho số 2a , 2a h, 2ah được: S 3 2a 2ah.2ah Dấu “=” xảy a=h -Xét mơ hình hình trụ có đáy hình trịn bán kính r chiều cao h Ta có r h diện tích tồn phần S r 2 rh Cũng giống mơ hình ta làm cách Dùng Cơsi S r 2 rh 3 r rh rh 5, 536 Dấu “=” h=2r Vậy mơ hình hình trụ tơt Hơn ta cịn thấy mơ hình hình hộp hình lập phương tiết kiệm nhất, mơ hình hình trụ hình trụ có chiều cao đường kính đáy tiết kiệm Chọn D Câu 6: Phương pháp: Vận tốc bơi ngược dòng= Vận tốc nước đứng yên – Vận tốc dòng nước Áp dụng công thức : v s t Cách giải: Vận tốc xà lan bơi ngược dòng là: v ( km / h) Thời gian bơi ngược để vượt khoảng cách 30 km là: t S 30 v v n Lượng dầu tiêu hao thời gian là: E ( v ) c.v t c.v 30 c v 3 v 30 v Áp dụng Côsi : v 3 3 v 3.3 E ( v ) c.3 v 3.3 30 810c v Dấu “=” xảy : v v Chọn đáp án D Chú ý : Có thể dùng đạo hàm để tìm GTNN f ( v ) c.v 30 với v v Câu 7: Phương pháp: -Gọi thể tích ,bán kính đáy khối nón đỉnh O : V , r Gọi thể tích ,bán kính đáy, chiều cao khối nón đỉnh I : V1 , r1 , h1 -Khi V -Gọi h h n r r 1 n r1 3r h nr -Khi :V1 1 2 2 n r n.h r h n n V n n V f ( n ) r1 h1 - Để V1 max f ( n ) max Cách giải: -Xét f ( n ) n n n f '( n ) 3n n n 1( loai) f '( n ) 1 n (Đk: 0