Tìm vị trí của M trên cạnh AB để độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ nhất.. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Đề chính thức Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 13 tháng năm 2016 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Số báo danh Năm học 2015 - 2016 Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P= ( xx +1+3 x + 61x−2−3xx −1): 12−xx 2 a Rút gọn biểu thức P b Tìm x Z để P có giá trị nguyên c Tìm x để P Câu 2: (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 +b 3+ c − abc Giải phương trình: x −11 x 3+ x +11 x − x2 −3=0 Giải bất phương trình: x − x 2+ x x ( 1− x ) − > −4 3 Câu 3: (4,0 điểm) 2 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn x xy y x 40 0 Với số tự nhiên n, đặt an = 3n2 + 6n + 13 a Chứng minh hai số ai, aj không chia hết cho và có số dư khác chia cho thì + aj chia hết cho b Tìm tất các số tự nhiên n lẻ cho an là số chính phương Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm BE, CD, BC, DE a Tứ giác MINK là hình gì? Vì sao? b Chứng minh IK vuông góc với tia phân giác At góc A Cho tam giác ABC Từ điểm M trên cạnh AB vẽ hai đường thẳng song song với hai cạnh AC, BC, chúng cắt BC, AC D và E Tìm vị trí M trên cạnh AB để độ dài đoạn DE đạt giá trị nhỏ Câu 5: (1,0 điểm) Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi, thỏa mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P= z4 1+ z ( x + y ) Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm (2) Câu 1: (4,0 điểm) a) ĐKXĐ: x 0, x 1 x 1 x P ( x 1) x x 3x x x Ta có 2x 2 x 2 3x 3x x x 2x P x Vậy: P 2 Z x b) Ta có x Ư(2)= 1; 2 2; 0;3; 1 Từ đó suy x 2;3 Kết hợp với ĐKXĐ x 2x 2x x 1 1 0 0 x x x c) Mà x – < x + nên x – < và x + x và x Kết hợp với ĐKXĐ x và x 0 P 1 Câu 3: (4,0 điểm) 2 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn x xy y x 40 0 2 Ta có: x xy y x 40 0 2 x 1 x y 41 x 1 25 x 5 Z 2 x y 16 x y 4 Vì x,y , x là số nguyên lẻ và 41 5 nên x; y 3;1 ; 3; ; 2; ; 2; Từ đó suy các cặp cần tìm là (3)