Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.[r]
(1)Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy là số phương
Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 +
n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
=
1 10 −n
10n +
1 10 −n
+ = 9 10 10 10
4 2n − n + n − +
= 10 10
4 2n + n +
= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 10 n
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n-1 chữ số
⇒ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 10 n
∈
Z hay số có dạng 44…488…89 số phương Bài 5: Chứng minh số sau số phương:A = 11…1 + 44…4 +
2n chữ số n chữ số
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 +
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số
C = 44…4 + 22…2 + 88…8 +
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số Kết quả: A =
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 10n
; B =
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 10n
; C =
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 10 n
Bài 6: Chứng minh số sau số phương:
a A = 22499…9100…09
n-2 chữ số n chữ số
b B = 11…155…56
2
2
(2)n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 +
= 225.102n – 90.10n + = ( 15.10n – )
⇒ A số phương
b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 +
n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số =
9 10 −n
10n +
1 10 −n
+ =
9
9 10 10
102n − n + n − +
=
9
4 10 102n + n +
=
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
3 10n
số phương ( điều phải chứng minh) Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 2007 chữ số Chứng minh ab+1 số tự nhiên
Cách 1: Ta có a = 11…1 =
1 102008 −
; b = 100…05 = 100…0 + = 102008 + 2008 chữ số 2007 chữ số 2008 chữ số
⇒ ab+1 =
9
) 10 )( 10
( 2008− 2008 +
+ =
9
9 10 ) 10
( 2008 + 2008 − + =
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
3 102008
ab+1 = ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞
3 102008
=
2 102008 + Ta thấy 102008 + = 100…02 M nên
3 102008 +
∈
N hay ab+1 số tự nhiên 2007 chữ sốCách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6
2007 chữ số 2008 chữ số 2008 chữ số
2
2
(3)⇒ ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2