Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d.. Mặt khác tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng d là: T.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu ( điểm): ïìï x4 + y4 = 97 í ïï x y + y3x = 78 a) Giải hệ phương trình: ïî b) Giải phương trình: x 5x x x Câu ( điểm): a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm phương trình: x2 - 2y2 - = b) Cho n là số tự nhiên Chứng minh : 1 1 + + + .+ <2 √2 √ (n+1) √ n Câu ( điểm): Cho dãy số (Un) xác định bởi: ìï U1 = a ïï ï Un + í ïï U n +1 = - ïï U + î n đó -1 <a < a) Chứng minh rằng: - < Un < với b) Chứng minh rằng: < U n +1 + £ "n Î ¥ a +1 và (Un) là dãy số giảm (U n + 1) với "n Î ¥ Câu (4 điểm): Đối với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng d có phương trình: ax + by + = tiếp xúc với đường tròn (C) có phương 2 trình: x + y = Tìm giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d Câu (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Đường cao hình chóp là SA = a M là điểm di động trên SB, đặt BM = x ( ) là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD) a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( ) Tính diện tích thiết diện theo a và x b) Xác định x để thiết diện là hình thang vuông Trong trường hợp đó tính thể tích hai phần S.ABCD chia thiết diện Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm (2) sở giáo dục và đào tạo tuyªn quang k× thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 NĂM HỌC 2010 - 2011 M«n thi: To¸n Hướng dẫn chấm Câu a) Nội dung ìï x + y4 = 97 ï í ïï x y + y3x = 78 Giải hệ phương trình sau: ïî (I) 4 2 2 x + y = (x + y ) - 2x y Ta có: ìï (x2 + y2)2 - 2x2y2 = 97 (1) ï Û í ïï xy(x2 + y2) = 78 (2) ï î (I) Điểm 2 Đặt x + y = u; xy = t Từ PT (2) suy ĐK: u 0; t 0 ïì u2 - 2t2 = 97 Û ïí Û ïï ut = 78 î Þ u2,(- 2t2) là nghiệm ìï u2 + (- 2t2) = 97 ï í 2 ï ïîï u (- 2t ) = - 12168 0,5 phương trình bậc hai: X - 97X - 12168 = Û X = 169 và X = - 72 ìï u2 = 169 Û ïí Û ïï t = 36 îï ìï (x2 + y2)2 = 169 ïí Û ïï ( xy ) = 36 îï ìï x2 + y2 = 13 ïï ïí é xy = ïï ê ïï ê xy = - î ê ë 0,5 x y 13 xy 6 Gíải PT: nghiệm: (x; y) = (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2) 0,5 Hệ (1) có nghiệm: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2) Tóm lại hệ có nghiệm trên 0,5 b) 2 Giải phương trình: x x x x (1) 5 x x x 0 5 x Điều kiện: Đặt √ x2 −5 x+ 5=t ¿(t ≥ 0) Phương trình đã cho trở thành: t 1 t 3t 0 t 2 0,5 (3) x x 1 x x 4 x x 0 x x 0 0,75 x 1 x 4 x 21 0,75 Câu 2.a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm phương trình: x2 - 2y2 - = (1) Ta có: (1) 0,5 Û x - = 2y Û (x - 1)(x + 1) = 2y.y Vì x, y là các số nguyên tố nên có các khả sau sảy ra: y {xx+1=2 − 1= y ⇔ x =3 (thoả mãn) y=2 x 1 y x x 2 y y 2 (loại) b) { 0,75 x +1=2 y (không có nghiệm thoả mãn) x −1=1 x +1=1 vô nghiệm x −1=2 y { { 0,75 Thử lại (3; 2) thoả mãn PT Vậy (3; 2) là nghiệm phương trình Giả sử n là số tự nhiên Chứng minh : 1 1 + + + .+ <2 √2 √ (n+1) √ n Ta có : √ n = √n = √n n+1− n =√ n ( − ) = n (n+1) (n+1) n n n+1 (n+1) √ n n(n+1) 0,5 n ( 1 )( n n 1 n (Vì dễ thấy : + √n √n+1 1 n ) (1 )( n 1 n 1 n 1 ) 2.( n 1 n ) n 1 < 1+1 = ) Vậy : (n+1) n <2( n − n+1 ) √ √ √ (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) với n = 1, 2, 3, … n ta có: 0,75 (4) 1 1 = <2( − ) ( 1+1) √1 √1 √2 1 1 = < 2( − ) √ (2+1) √ √2 √3 1 1 = <2( − ) √ (3+1) √3 √3 √4 0,75 1 <2( − ) (n+1) √ n √ n √ n+1 Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 + + + .+ <2 (12 √2 √ (n+1) √ n (Bởi vì 1<1) √n+1 Câu Cho dãy số (Un) xác định bởi: U1 = a ìïïï ïí a) ï U n +1 = U n + - ïï ïî ¿ < (ĐPMC) √n+1 (1) Un +1 đó - 1< a < Chứng minh rằng: - < Un < (2) với " n Î ¥ và (Un) là dãy số giảm CM quy nạp: - với n = thì U1 = a theo giả thiết - < a < nên (2) đúng với n = - Giả sử (2) đúng với n = k: - < U k < ta CM (2) đúng với n = k + 1: - < U k 1 < 0,5 Từ giả thiết quy nạp - < U k < ta có: < Uk + < 1 uk2 uk2 Mặt khác: Uk + 0< U k2 + 1 <1 0,75 - 1< Do đó suy tức là: - < Uk+1 < (đccm) Vì - < Un < nên Un + và U n U n +1 = Từ (1) suy ra: Vậy Un là dãy giảm b) Un + U n2 + >0 Uk + U k2 + với - 1< "n - < (U n + 1) - = U n 0,75 U n +1 + = (U n + 1) U n2 + "n (3) Từ đẳng thức (1) suy ra: Vì Un là dãy giảm; -1 < Un < với n và U1 = a nên: - < U n £ a < với " n từ đó suy ra: U n ³ a Û U n2 ³ a2 Do đó: U n2 +1 £ a +1 "n và từ (3) ta có: 0,5 (5) U n +1 + £ (U n + 1) a +1 0,75 "n Theo chứng minh trên ta có: < U n +1 + £ (U n + 1) a2 + "n 0,75 Câu Đối với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng d có phương trình: ax + by + = tiếp xúc với đường tròn (C) có 2 phương trình: x + y = Tìm giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d Ta có: (C) có tâm O(0;0) bán kính R = Vì d tiếp xúc với (C) Û 1,0 d(O;d) = R a b =1 1,0 a b 1 a b 1 Mặt khác tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng d là: T Do a 1 a b2 b 1 a2 b2 1 a a 1 1,0 a £ 1Þ T = 1,0 a2 + b2 = Þ Vậy Min T = Câu Hình vẽ: S M K A N D O B a) Ta cã: 0,5 H C SA(ABCD) ()(ABCD) SA // () ()(SAB) = MN // SA ()(SAC) = OK // SA ()(SABCD) = NH qua O ()(SCD) = KH VËy thiÕt diÖn cÇn t×m lµ tø gi¸c MNHK 0,75 (6) Ta cã MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD) 1 Std ShtMKON S KOH ( MN KO ).ON OK OH 2 SA MN = BN = x; KO = ; Tính ON, theo định lý hàm số Côsin ta có: a a OH ON BN BO BN BO.cosOBN x2 2x cos450 2 x ax a2 Suy : (a x) x 2ax a s1 a x 2ax a s1 0,75 a2 (a x) x ax Vậy: Std = b) §Ó thiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng MK// NO// BC N lµ trung ®iÓm AB x a S 0,5 K M A D N O a3 SA dt ( ABCD ) C B Gäi V lµ thÓ tÝch khèi chãp, ta cã : V= 3E MÆt ph¾ng ( ) chia khèi chãp thµnh phÇn V1 , V2 víi : V1 H 0,5 =VK.OECH+VKOE.MNB ; V2 V V1 Ta cã : VK OECH 1 a a a3 OK dt (OECH ) 3 24 VKOE MNB Suy : V1 a 1 a a3 ON dt (MNB) 2 16 a a 5a 24 16 48 0,5 0,5 11a3 V2 V V1 48 0,5 (7) -Hết -Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác mà kết đúng thì cho điểm tối đa (8)