Một giải pháp nâng cao hiệu quả giải mã của các hệ mật đa trị và nhập nhằng MAS

Bài viết trình bày việc thiết lập những kết quả mới cho phép phát triển một thuật toán giải mã hiệu quả cho các hệ mật MAS. Nhờ đó, thời gian giải mã dữ liệu trong các hệ mật này được giảm xuống mức tối thiểu.

Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XIII Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR), Nha Trang, ngày 8-9/10/2020 DOI: 10.15625/vap.2020.00176 MỘT GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI MÃ CỦA CÁC HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP NHẰNG MAS Long Thị Lệ, Nguyễn Đình Hân Viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội le.lt@sis.hust.edu.vn, han.nguyendinh@hust.edu.vn TÓM TẮT: Hệ mật đa trị nhập nhằng MAS (multi-valued and ambiguous cryptosystem) thiết kế nhằm bảo vệ an toàn liệu mạng cảm biến đám mây Vì vậy, MAS thích hợp hoạt động hiệu máy chủ liệu đám mây, thiết bị di động thiết bị cảm biến nhỏ Tuy nhiên, đặc tính đa trị MAS, giải mã liệu thường cần nhiều thời gian so với mã hóa liệu Trong báo này, thiết lập kết cho phép phát triển thuật toán giải mã hiệu cho hệ mật MAS Nhờ đó, thời gian giải mã liệu hệ mật giảm xuống mức tối thiểu Từ khóa: Bảo mật, mật mã, hệ mật đa trị nhập nhằng, MAS, đồ thị I GIỚI THIỆU Mục tiêu mật mã học tạo hệ mật cho phép truyền tin bí mật mơi trường khơng an tồn Do khơng có hệ mật tồn lâu dài trước công nên nhu cầu phát triển hệ mật phục vụ lĩnh vực đời sống mang tính thời cấp thiết, hướng phù hợp với xu hướng phát triển nhu cầu xã hội Năm 2014, nhóm tác giả Nguyễn Đình Hân, Longzhe Han, Đào Minh Tuấn, Hoh Peter In Minho Jo [1] đề xuất phương pháp cho phép xây dựng hệ mật đa trị nhập nhằng (Multi-valued and ambiguous cryptosystem - MAS) Đặc tính đa trị phép mã hóa với thuộc tính nhập nhằng ngơn ngữ biểu diễn (khơng mã hệ mật thông thường) giúp hệ mật MAS nâng cao đáng kể hiệu bảo vệ an toàn liệu Tuy nhiên, đặc tính đa trị gây trở ngại cho trình giải mã Cụ thể là, giải mã cần phân biệt lựa chọn rõ số nhiều rõ nhận từ mã Vì vậy, trình giải mã liệu thường cần nhiều thời gian so với q trình mã hóa liệu Trong báo này, đề xuất giải pháp nâng cao hiệu giải mã hệ mật MAS Từ đó, giúp giảm thiểu thời gian giải mã liệu hệ mật Để cải thiện hiệu giải mã, sử dụng đồ thị đầy đủ đặc biệt để biểu diễn ngôn ngữ hệ mật MAS Khi thực giải mã, rõ mã biểu diễn tương ứng với đường đồ thị Chúng chứng minh kết khẳng định rõ tương ứng với đường ngắn đồ thị kết phép giải mã Tính hiệu thuật tốn tìm đường ngắn đồ thị biết đến rộng rãi Vì vậy, giải pháp chúng tơi làm giảm đáng kể thời gian giải mã liệu Trước trình bày chi tiết giải pháp, sau nhắc lại số định nghĩa liên quan đồng cấu đa trị, quy tắc mã hóa đa trị; điều kiện cần đủ để đồng cấu đa trị trở thành quy tắc mã hóa đa trị quy tắc mã hóa đa trị hạn chế; kĩ thuật giúp tăng tính bảo mật với thuộc tính nhập nhằng ngơn ngữ Hệ mật đa trị nhập nhằng với thủ tục mã hóa, giải mã trình bày Phần Đóng góp báo gồm phương pháp kết trình bày cụ thể Phần Trước hết, ta nhắc lại số khái niệm sở liên quan đến ngơn ngữ hình thức (chi tiết tham khảo [1]) Cho A bảng chữ Như thường lệ, A* vị nhóm tự từ A Từ rỗng kí hiệu A+ = A*-{ } Độ dài từ w = a1a2 … an với Một phân tích từ w A* X A |w| = n, | | = A≤n = w A* w = u1u2 … un, ui Mỗi tập A* gọi ngôn ngữ Một ngơn ngữ X phân tích X Kí hiệu X* vị nhóm tự sinh X X* = X+ A*: |w| ≤ n} X , i = 1, 2, …, n n ≥ A* gọi mã từ w A* có nhiều { } Kiến thức chung hệ mật tham khảo từ [2] Chi tiết vấn đề liên quan đến ngôn ngữ không nhập nhằng tham khảo từ [3] Định nghĩa 1.1 Một hệ mật năm thành phần ( ) thỏa mãn điều kiện sau: tập hữu hạn từ/văn gốc (từ rõ/từ hiện/bản rõ) tập hữu hạn từ/văn mã (bản mã) tập hữu hạn khóa Với , có phép mã hóa ánh xạ cho ( ( )) Định nghĩa 1.2 Xét ngôn ngữ X phép giải mã tương ứng với A+ số tự nhiên k Khi đó: Mỗi Long Thị Lệ, Nguyễn Đình Hân (i) 255 Tập gọi -không nhập nhằng thỏa mãn điều kiện sau: với k m với x1, x2, …, xk, y1, y2, …, ym X x1x2 … xk = y1 y2 … ym k = m xi = yi với i = 1, 2, …, k Ngược lại, X không thỏa mãn điều kiện X gọi k-nhập nhằng (ii) Nếu tồn số k lớn cho X k-khơng nhập nhằng, k gọi độ không nhập nhằng X Ngược lại, X gọi có độ khơng nhập nhằng ∞ II HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP NHẰNG A Tiếp cận phương pháp thiết lập Trong phần này, ta nhắc lại khái niệm, phương pháp để thiết kế hệ mật có tính chất đa trị nhập nhằng Ta cần khái niệm phép đồng cấu đa trị sử dụng để thiết lập quy tắc mã hóa đa trị Định nghĩa 2.1 Cho A, B bảng chữ có hữu hạn phần tử (i) Một đồng cấu đa trị hàm đơn ánh f: A∗ → B∗ tương ứng chữ a có f(a1 an) = f(a1) f(an), A với tập Xa B∗ A (ii) Một đồng cấu đa trị f gọi quy tắc mã hóa đa trị nếu: w, w′ A∗, w ≠ w′ ta có f(w) ∩ f(w′) = (iii) Một đồng cấu đa trị f gọi quy tắc mã hóa đa trị hạn chế tồn số nguyên k > với w, w’ A k, w w’ ta có: f(w) f(w’) = Nhận xét 2.1 Thủ tục mã hóa nhận từ quy tắc mã hóa đa trị liên kết rõ A∗ với số mã B∗ (và ngược lại) Tuy nhiên f đơn ánh nên đảm bảo mã giải mã cách để thu rõ ban đầu Các kết lý thuyết sau cung cấp điều kiện cần đủ để đồng cấu đa trị f trở thành quy tắc mã hóa đa trị quy tắc mã hóa đa trị hạn chế Mệnh đề 2.1 Cho A, B bảng chữ có hữu hạn phần tử Giả sử đồng cấu đa trị f: A∗ → B∗ tương ứng chữ a A với tập Xa B∗ cho số nguyên k > Khi đó, với f(a1), , f(ap), f(b1), , f(bq) B∗ với ai, bj A, i = 1, …, p , j = 1, …, q ta có: (i) f quy tắc mã hóa đa trị khi: f(a1) f(ap) f(b1) f(bq) suy p = q f(ai) = f(bi) với i = 1, …, p (ii) f quy tắc mã hóa đa trị hạn chế khi: f(a1) f(ap) f(b1) f(bq) với p, q k suy p = q f(ai) = f(bi) với i = 1, …, p Để tăng tính bảo mật với thuộc tính nhập nhằng, ta sử dụng kĩ thuật mô tả hệ sau đây: Hệ 2.1 Cho A = {a1, a2, …, an} số ngun dương k Xét ngơn ngữ X có độ khơng nhập nhằng k, nghĩa X phân hoạch thành n tập X1, X2, …, Xn, Xi Xj = , i j, X1 X2 … Xn = X Giả sử đồng cấu đa trị g: A∗ → X∗ tương ứng chữ a g(w)g(w’), w, w’ A k Khi g quy tắc mã hóa đa trị hạn chế A với tập Xi g(ww’) = Nhận xét 2.2 Hệ 2.1 cung cấp điều kiện đủ để xây dựng hệ mật đa trị nhập nhằng Khi xem xét hệ mật thuộc loại này, ta để ý tính đa trị xác định g tính nhập nhằng xác định X Chú ý thủ tục mã hóa sử dụng g mã hóa từ A* Tuy nhiên, mã, thủ tục giải mã cho kết trường hợp rõ tương ứng có độ dài nhỏ k Điều thuộc tính nhập nhằng X (nghĩa từ có độ dài lớn k có nhiều cách phân tích X) Do g X coi khóa bí mật hệ mật Ví dụ 2.1 Cho A = {u1, u2, u3, u4, u5} xét X = {c, ca1, a1b1, b1a2, a2b2, b2a3, a3b3, b3} có độ nhập nhằng k = Khi đó, phân hoạch X X1 = {c, a1, b1}, X2 = {ca1}, X3 = {b1a2, a2b2}, X4 = {b3}, X5 = {b2a3, a3b3} g định nghĩa là: g(ui) Xi , i = 1, 2, 3, 4, Giả sử rõ ban đầu w = u2u3u5u4 Vì có độ dài > k nên ta chia thành hai từ w1 = u2u3u5 w2 = u4 để đảm bảo độ dài chúng nhỏ k MỘT GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI MÃ CỦA CÁC HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP NHẰNG MAS 256 Với g định nghĩa trên, mã ca1b1a2b2a3 b3, ca1a2b2b2a3 b3, ca1b1a2a3b3 b3, ca1a2b2a3b3 b3 Giải mã mã ca1b1a2b2a3 ta thu ba từ ca1 X2, b1a2 X3, b2a3 u2u3u5 Từ u4 giải mã thành từ b3.Từ ta thu rõ ban đầu w X5 Do ta thu rõ w1 = Các mã khác giải mã theo cách tương tự tất cho rõ ban đầu w Sự nhập nhằng xảy ta giải mã từ có độ dài lớn k Ví dụ, trường hợp mã hóa rõ w = u2u3u5u4 Cho g định nghĩa trên, mã ca1b1a2b2a3b3 Sau đó, giải mã cho hai kết quả: (c)(a1b1)(a2b2)(a3b3) với c X1, a1b1 X2, a2b2 X3, a3b3 X5, (ca1)(b1a2)(b2a3)(b3) với ca1 X2, b1a2 X3, b2a3 X5, b3 X4 Giải mã cho hai rõ tương ứng u1u1u3u5 u2u3u5u4 B Mô tả hệ mật đa trị nhập nhằng Các phương pháp kĩ thuật giới thiệu phần trước cho phép ta thiết lập hệ mật đa trị nhập nhằng để bảo mật liệu (chi tiết tham khảo [1]) Cho A = {u1, u2, u3, u4, …, un} bảng chữ hữu hạn Xét ngơn ngữ X có độ khơng nhập nhằng k, k > cho X phân hoạch thành n tập con: X1, X2, … , Xn, Xi Xj = , i j, X1 X2 … Xn = X Ta kí hiệu XP tập phân hoạch có X Do đó, theo Nhận xét 2.2 ta định nghĩa hệ mật sau: Lược đồ 2.1 Hệ mật đa trị nhập nhằng Cho định nghĩa: = A k, = X* định nghĩa bao gồm tất hàm đơn ánh đa trị g: A → XP = {X1, X2, …, Xn} Với g eg(x) = w dg(w) = {y |w , ta g(x), g(y)} Chú ý 2.1 Với w X*, w g(x) w xem mã x Do số lượng mã rõ lớn Tuy nhiên, cách xây dựng ngôn ngữ X với độ nhập nhằng k với k đủ lớn tùy thuộc vào nhu cầu sử dụng thực tiễn Theo Nhận xét 2.2, với g, ngôn ngữ X phải giữ bí mật Hơn nữa, dù k sử dụng để giải mã, độ trễ giải mã cần xem xét ảnh hưởng đến hiệu suất hệ mật Cho m số nguyên dương cố định cho Sh chuỗi bit bí mật có độ dài m Xét ngôn ngữ không nhập nhằng X {0, 1}* có độ khơng nhập nhằng k thỏa mãn điều kiện: x1, x2, …, xk X, ta có |x1| + |x2| + … + |xk| m Với X A định nghĩa trên, ta định nghĩa eg dg Lược đồ 2.1 Bây ta mơ tả chi tiết hệ mật MAS ứng với A, X, g cho Để tránh nhầm lẫn, ta gọi lược đồ hay sơ đồ ứng dụng bảo mật liệu Lược đồ bao gồm thủ tục mã hóa ENCODE thủ tục giải mã DECODE trình bày C Thủ tục mã hóa ENCODE Thủ tục ENCODE cho phép mã hóa từ u thước cố định A*, u = u1u2 un, ui A với n thành từ mã w với kích Sơ đồ khối biểu diễn thủ tục ENCODE trình bày Hình Trong thủ tục, ta sử dụng vịng lặp để quét từ u từ trái qua phải Sau khối m-bit mã tạo cách sử dụng vòng lặp lồng Thêm vào đó, điều kiện (count k) (|wj| < m) đảm bảo độ dài từ sử dụng để tạo khối wj nhỏ k wj có độ dài khơng q m-bit Tùy thuộc vào tình mã hóa, PAD(wj) gọi để độn thêm bit nhằm đạt khối m-bit Tiếp theo, phép XOR ( ) hai chuỗi bit sử dụng để tạo mặt nạ cho khối m-bit cấu thành đầu Long Thị Lệ, Nguyễn Đình Hân 257 u = u1u2 un; i = 1, j = i ≤ n w = w’1w’2 w’j-1 count = j = j + S |wj| ≤ m count ≤ k and |wj| ≤ m S Đ Đ PAD(wj) j == S Đ PAD(wj) S |wjeg(ui)| ≤ m w’j = wj ⊕ Sh Đ wj = wjeg(ui); count = count + 1; i = i + w’j = wj-1 ⊕ wj Hình Thủ tục ENCODE D Thủ tục giải mã DECODE Thủ tục DECODE cho phép giải mã từ w q khối m-bit thành rõ u chi tiết thủ tục DECODE trình bày Hình A* Sơ đồ khối bước Trong thủ tục DECODE, khóa bí mật m-bit Sh sử dụng để loại bỏ mặt nạ khối đầu vào, sau giải mã khối riêng biệt Thủ tục EXTRACT(wj, tmp) trích xuất từ X từ wj, sau lưu trữ chúng mảng tmp Tiếp theo, rõ tương ứng giải mã từ tmp cách sử dụng hàm dg w = w’1w’2 w’q; i = 1, j = u = u1u2 ui-1 Đ j = j + j ≤ q S wj = wj-1 ⊕ w’j S j == Đ wj = w’j ⊕ Sh EXTRACT(wj,tmp) count ≤ len(tmp) S count = Đ count = count + 1; i = i + Hình Thủ tục DECODE Nhận xét 2.3 Rõ ràng g, X Sh tạo thành khóa bí mật Do đó, sơ đồ ứng dụng trình bày tạo thành hệ mật khóa đối xứng 258 MỘT GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI MÃ CỦA CÁC HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP NHẰNG MAS III GIẢI MÃ TRONG HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP NHẰNG Ở phần này, trước hết ta nhắc lại số định nghĩa liên quan đến đồ thị đồ thị biểu diễn ngôn ngữ (được tham khảo từ [5]) Theo qui ước, đồ thị kí hiệu G = (V, E) V ∅ tập đỉnh E tập cạnh Trong đồ thị có hướng cạnh cặp có thứ tự (u, v) E xuất phát từ u kết thúc v, với u, v Cạnh kết nối đỉnh với nó, kí hiệu (u, u) gọi khun Đồ thị chứa khuyên gọi đa đồ thị V Đường độ dài n từ u đến v, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G dãy đỉnh x0, x1, …, xn Trong đó, u = x0, v = xn, (xi, xi +1) E, i = 0, 1, 2, …, n Kí hiệu đường p p = (x0, x1, …, xn) kí hiệu độ dài đường |p| = n Tiếp theo, ta biểu diễn từ mã đồ thị Xét ngôn ngữ X có độ khơng nhập nhằng k, k > Ta sử dụng đa đồ thị có hướng G = (V, E) để biểu diễn từ X Trong đó, đỉnh tập đỉnh V biểu diễn từ X Các cạnh thuộc E biểu diễn phép kết nối (concatenation) từ X Từ cách xây dựng đồ thị, dễ thấy đường G biểu diễn từ X+; đường có độ dài n biểu diễn từ thuộc Xn+1 Theo thủ tục DECODE, mã giải mã theo khối m-bit Do đó, ta biểu diễn từ w ứng với khối m-bit (sau loại bỏ bit dư thừa) đồ thị định nghĩa X≤k tương Tiếp theo, ta xây dựng đường có biểu diễn từ wj để giải mã Đường ngắn đường đường cần tìm biểu diễn cách phân tích từ wj Mệnh đề 3.1 Có nhiều đường biểu diễn từ w độ dài đường nhỏ k X≤ k nằm khối m-bit đồ thị G = (V, E) Từ ý 2.1 từ cách xây dựng đồ thị biểu diễn từ mã, ta chứng minh Mệnh đề 3.1 Chứng minh Phản chứng, giả sử tồn hai đường khác p q biểu diễn từ w |p| = m < k, |q| = n < k Nghĩa là, ta có w = x0x1 xm w = y0y1 yn m, n < k m n tồn xi yi Do đó, X k-nhập nhằng, điều mâu thuẫn với giả thiết Định lý sau cho phép dùng đồ thị để giải mã Định lý 3.1 Giả sử G = (V, E) đồ thị biểu diễn ngôn ngữ X Khi đó, đường ngắn biểu diễn khối m-bit đồ thị G mô tả trên, tương ứng với phân tích từ X Để chứng minh Định lý 3.1, ta sử dụng Mệnh đề 3.1 Chứng minh Khơng giảm tính tổng qt, giả sử khối m-bit chứa mã có phân tích cần tìm wj = x1x2 xn, xi X, i = 1, 2, , n ( ) Theo giả thiết ta có w X≤k Suy n ≤ k Gọi δ = (x1, x2, , xn) đường ứng với phân tích X đồ thị G Suy |δ| < k Do đường ứng với phân tích từ mã cần tìm có độ dài nhỏ k Kết hợp Mệnh đề 3.1, suy đường cần tìm đường ngắn biểu diễn wj đồ thị G ( ) Gọi p = (y1, y2, , ym) đường ngắn đường có biểu diễn wj G Phản chứng, giả sử từ mã ứng với đường p khơng phải phân tích cần tìm Nghĩa |p| < |δ| |p| = |δ| = n đồng thời tồn i cho xi yi , i {1, 2, , n} Khi đó, xảy trường hợp sau: Nếu |p| ≥ k, p đường ngắn nên có |δ| ≥ k Nghĩa wj = x1x2 xn đường tương ứng với từ mã cần tìm, mâu thuẫn giả thiết Nếu |p| < k ≤ |δ| = n suy wj = x1x2 xn X >k , suy δ X>k, mâu thuẫn giả thiết Nếu |p| ≤ |δ| < k, theo Mệnh đề 3.1 m = |p| = |δ| = n xi = yi, thiết phản chứng i = 1, 2, , n Điều mâu thuẫn với giả Do giả thiết phản chứng sai Mệnh đề chứng minh Ví dụ 3.1 Cho X = {c, ca1, ca1a3b1, a1b1, b1a2, a2b2, b2a3, a3}, biểu diễn phân tích có từ mã w = ca1b1a2b2a3b3 Có hai phân tích có p1 = (c)(a1b1)(a2b2)(a3) (tương ứng với đường nét đứt đồ thị) p2 = (ca1)(b1a2)(b2a3) (tương ứng với đường nét liền) Long Thị Lệ, Nguyễn Đình Hân 259 Phân tích cần tìm p2 = (ca1)(b1a2)(b2a3) ứng với đường ngắn c a1b1 ca1 ca1a3b1 a2b2 b1a2 b2a3 a3 Hình Đồ thị biểu diễn ngơn ngữ X IV KẾT LUẬN Trong báo, đề xuất khái niệm đồ thị biểu diễn ngôn ngữ, phát biểu chứng minh kết cho phép sử dụng đồ thị thuật toán giải mã hệ mật đa trị nhập nhằng MAS Định lý 3.1 khẳng định việc giải mã thực xác hiệu Từ đó, ta ln xây dựng thuật toán giải mã hữu hiệu cho hệ mật MAS dựa kết thiết lập TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyen Dinh Han, Longzhe Han, Dao Minh Tuan, Hoh Peter In, Minho Jo, “A Scheme for Data Confidentiality in Cloud-assisted Wireless Body Area Networks”, Information Sciences, Vol 284, pp 157-166, 2014 [2] J Berstel, D Perrin, C Reutenauer, Codes and Automata, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2010 [3] D.R Stinson and M Paterson, Cryptography: Theory and Practice, CRC Press, Inc., Florida, 2018 [4] Nguyen Dinh Han, Ho Ngoc Vinh, Phan Trung Huy, “An extension of codes by unambiguity of languages”, In Proceeding of the Eighth International Conference on Intelligent Information Hiding and Multimedia Signal Processing, IEEE Computer Society, pp 490-493, 2012 [5] K H Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Seven Edition ed., McGraw-Hill, NewYork, 2012 A NEW METHOD TO ENHANCE THE PERFORMANCE OF MULTI-VALUED AND AMBIGUOUS CRYPTOSYSTEMS Long Thi Le, Nguyen Dinh Han ABSTRACT: In this paper, we establish new results that allow us to develop effective decoding algorithms for multi-valued and ambiguous cryptosystems We demonstrate that, with the application of a special graph, decoding algorithms can improve the performance of those multi-valued and ambiguous cryptosystems  ... bí mật Do đó, sơ đồ ứng dụng trình bày tạo thành hệ mật khóa đối xứng 258 MỘT GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI MÃ CỦA CÁC HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP NHẰNG MAS III GIẢI MÃ TRONG HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP... nhỏ k MỘT GIẢI PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI MÃ CỦA CÁC HỆ MẬT ĐA TRỊ VÀ NHẬP NHẰNG MAS 256 Với g định nghĩa trên, mã ca1b1a2b2a3 b3, ca1a2b2b2a3 b3, ca1b1a2a3b3 b3, ca1a2b2a3b3 b3 Giải mã mã ca1b1a2b2a3... dụng đồ thị thuật toán giải mã hệ mật đa trị nhập nhằng MAS Định lý 3.1 khẳng định việc giải mã thực xác hiệu Từ đó, ta ln xây dựng thuật toán giải mã hữu hiệu cho hệ mật MAS dựa kết thiết lập