b, Giải phương trình Câu 4: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm.. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN=2ON.[r]
(1)UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN : TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: 2 a, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y 2013 b, Chứng minh rằng, tổng bình phương p số nguyên liên tiếp ( p là số nguyên tố, p > 3) chia hết cho p Câu 2: a, Trên mặt phẳng, xét lưới các ô vuông 11 Chứng minh không tồn tam giác có đỉnh là các mút lưới 3 b, Cho a; b; c và thỏa mãn điều kiện a c b a c b abc P Tìm giá trị nhỏ biểu thức b c a a ab b bc c ca Câu 3: M x2 a, Rút gọn biểu thức x3 x x 1 x 1 x x2 b, Giải phương trình Câu 4: Từ điểm A ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN=2ON Đường trung trực AM đoạn thẳng CN cắt OA M Tính tỉ số AO Câu 5: y x x 2 y x xy 16 x y 16 0 a, Giải hệ phương trình b, Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh SinA SinB SinC cos A cos B cos C ………………………… Hết ……………………………… (2) UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Câu 1(2đ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẬC THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN : TOÁN Nội dung a, Điểm 0,25 Vì x y lẻ suy x lẻ Đặt x 2m , m Z , thay vào phương trình ta (1) Từ (1) suy y chẵn Đặt y=2n+1, n Z 2m m 1 y 1006 0,25 0,25 0,25 m m 2n 503 Thay vào (1) , ta , suy m(m+1) lẻ ( vô lý) Vậy phương trình không có nghiệm nguyên aZ b, Giả sử p số nguyên liên tiếp là a 1, a 2, a 3, , a p , Đặt A a 1 a a p 2 0,25 A pa p a p A pa p p 1 a 0,25 p p 1 p 1 A p 6a p 1 a p 1 p 1 p 0,25 Do p là số nguyên tố, p>3 suy (p,6)=1 Vậy A chia hết cho p 0,25 2(2đ) B M N C P A a, Giả sử tồn tam giác ABC có các đỉnh là các nút lưới Xét hình chữ nhật bao quanh tam giác ABC ( các đỉnh A,B,C nằm trên cạnh hình chữ nhật) Ta có thể chọn cho đỉnh hình chữ nhật trùng với đỉnh tam giác ABC, hình vẽ Vì các cạnh HCN là số nguyên, suy S AMNP Q , S AMB Q 0,25 , S NCB Q S ACP Q , Suy S ABC S AMNP S AMB S NCB S ACP Q Gọi cạnh tam giác là a thì 2 S Vì a AM MB Z , nên ABC b, Áp dụng BĐT AM-GM, ta có S ABC Q 0,25 (*) 0,25 a2 mâu thuẫn với (*) Suy ĐPCM 0,25 a 3c b3 a c 3b abc 0,25 a 3c b3 a c 3b a b c a b c a b c abc b c a a b c (3) 32 9 2 2 2 2 a b c a b c a b c a b c a b c 2 b c a c a c a b b a b c Vậy GTNN P= và a, ĐKXĐ là x 1 P 3(2đ) 1 x2 Ta có 1 x M -Suy 3 1 x x 1 x2 2x 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 0,25 0,25 x3 x x 12 x 0 16 0,5 0,25 x2 x3 x x x 1 x2 1 x 1 x x x x b, Ta có x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 0,5 4(2đ) B K N M O A C Gọi K là trung điểm BN Ta có OA là trung trực đoạn BC Do M thuộc OA nên MB=MC Do M thuộc trung trực CN nên MC=MN Suy MB=MN Do đó M thuộc trung trực BN, suy MK BN Vì OB BA ( Tính chất tiếp tuyến) MK / / AB AM BK Xét tam giác OBA, theo định lí Ta-Lét ta có AO BO 5(2đ) Biến đổi PT thứ hai ta 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 y x y x 16 x 16 0 y x y x 0 y 5 x y 4 x - Với y=5x+4, thay vào PT đầu ta 5x x y 0 x x x 0 y 4 0,25 (4) -Với y=4-x, thay vào phương trình đầu ta x 0,25 x 4 y 0 x x 0 x 0 y 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là ;0 x, y 0; , 4;0 , b, Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H, K, L tương ứng là trung điểm BC,CA, AB Ta cần chứng minh AB+BC+CA<4(OH+OK+OL) 0,25 0,25 B L A O H K C AB ; Ta có BC OL OK KL ; AC OH OL HL 0,5 Suy AB+BC+CA<4(OH+OK+OL) 0,25 OH OK HK (5)