STRONG TEAM TOÁN VD-VDC SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC TỔ 12 – KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Họ và tên: ………………… ………………………SBD:………… Câu (2,5 điểm) 2 (C ) (C ) a Cho hàm số y = x - 3mx + 4m - có đồ thị m Tìm m để đồ thị hàm số m có hai điểm C ( 1; 4) cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4, với 2x - y= x +1 có đồ thị ( C ) hai điểm M ( - 3; 0) , N ( - 1; - 1) Tìm đồ thị hàm b Cho hàm số số ( C ) hai điểm A, B cho chúng đối xứng qua đường thẳng MN Lời giải Câu 1.a (1,25 điểm) 2 (C ) (C ) Cho hàm số y = x - 3mx + 4m - có đồ thị m Tìm m để đồ thị hàm số m có hai C ( 1; 4) điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4, với TXĐ: D = � = 3x - 6mx Đạo hàm y � � x =0 �� � x = 2m y� = � x - 6mx = � Đồ thị có hai điểm cực trị y� = có hai nghiệm phân biệt, m �0 A( 0; 4m - 2) B ( 2m; - 4m3 + 4m - 2) Tọa độ hai điểm cực trị ; uuu r AB = ( 2m; - 4m3 ) � AB = 4m +16m = m + 4m4 Ta có 2 Phương trình đường thẳng AB là: 2m x - y - 4m + = Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB là: d ( C , AB ) = - 2m + 4m4 S = d ( C , AB ) AB = 6m - 2m3 Suy ra, diện tích tam giác ABC là: � m = �1 �� � 6m - 2m = m = �2 � Từ giả thiết suy ra: Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – Câu 1.b (1,25 điểm) 2x - x +1 có đồ thị ( C ) hai điểm M ( - 3;0) , N ( - 1; - 1) Tìm đồ thị hàm số ( C ) Cho hàm số hai điểm A, B cho chúng đối xứng qua đường thẳng MN y= Lời giải Phương trình đường thẳng MN là: x + y + = Phương trình đường thẳng AB là: y = x + m 2x - = 2x + m x + A B Khi hai điểm , có hồnh độ thỏa mãn : Điều kiện: x �- Phương trình tương đương với: x + mx + m + = ( 1) ( C ) hai điểm phân biệt phương trình ( 1) có hai nghiệm Đường thẳng AB cắt đồ thị phân biệt khác -1 � m > +4 � D >0 � � � �� � � m � � � �x1 + x2 � � ; x1 + x2 + m� � � � � � Trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ � , với x1 , x2 nghiệm phương trình ( 1) Mà x1 + x2 =- � m m� � m I� - ; � � � 2� � nên � Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng MN điểm I thuộc đường thẳng MN , - Suy m m + +3 = � m =- ( thỏa mãn) A ( 0; - 4) A( 2;0) A( 2;0) B ( 0; - 4) , , Câu ( 2.0 điểm ) 4cos x sin x cos x cos x 2sin x a) Giải phương trình: b) Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn Lời giải 2 a) Phương trình tương đương với: 4cos x 4cos x sin x cos x cos x 2sin x � 2sin x(2cos x 1) cos x cos x 4cos x � 2sin x cos x cos x cos x 3cos x sin x Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – � 2cos x sin x cos x � cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2cos x cos x sin x � cos x sin x �� 2cos x cos x sin x � +) cos x sin x � tan x � x k k �� 5 � x k 2 � �� k �� � 5 � � 5 k 2 2cos x cos x sin x � cos x cos �x � x � � � 18 +) Vậy phương trình có nghiệm: x 5 5 k 2 k x k , x k �� 18 3 , b) Trong thẻ cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4, thẻ lại ghi số khơng chia hết cho �x �9; x �� Cx Giả sử rút x thẻ với , số cách chọn x thẻ từ thẻ hộp Do số phần tử không gian mẫu là: n C9x Gọi A biến cố: “ Trong số x thẻ rút ra, có thẻ ghi số chia hết cho ” Suy A biến cố: “ Lấy x thẻ thẻ chia hết cho ” Số cách chọn tương ứng với biến cố A n A C7x C7x C7x P A x � P A x C9 C9 Ta có C7x 5 P A � x � x x C9 72 � x 17 x 60 � x 12 Do Kết hợp điều kiện: �x �9; x ��� x �9 Vậy giá trị nhỏ x Số thẻ phải rút Câu (1.0 điểm): Giải hệ phương trình � 3x x x x y 1 � �2 �x y x y y2 y x, y �� Lời giải � x x x x y 1 � �2 �x y x y Hệ cho trở thành � y y 1 2 Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC � x x x x y 1 � x x x y 1 y 1 Xét f t t t t 1 f� t 2t t Do t | t |�t f t Suy TỔ 12 – y y x2 y x y y 1 1 * t �� t2 t2 1 t 2t t t t2 1 t2 1 t t2 1 0 hàm số đồng biến � Do từ phương trình (*) ta có: x y vào phương trình (2) ta được: y 1 y y 1 y � y � 3y y � � � y 2 � +) Với y 2 Suy x 1 +) Với y x Suy �5 � 1; 2 ; � ; � x; y �3 � Vậy hệ phương trình có nghiệm là: Câu (1.5 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD A1B1C1D1 có cạnh AB AD , AA1 � 60� BAD Gọi M , N trung điểm A1 D1 , A1 B1 BDMN a Chứng minh AC1 vng góc với mặt phẳng b Tính thể tích khối chóp A.BDMN Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – Lời giải BDMN a Chứng minh AC1 vng góc với mặt phẳng Ta có: �BD AC � BD ACC1 A � BD AC1 � �BD AA1 (1) uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r �uuur uuu r� AC1.BN AB BC CC1 �BB1 BA � � � uuuruuur uuuruuur uuuu r uuur uuuruuu r uuuruuu r uuuu r uuu r ABBB1 BC BB1 CC1 BB1 ABBA BC BA CC1 BA 2 r uuu r uuur uuur uuu AB BA AD BB1 2 2.2.cos 60� 2 0 � AC1 BN (2) Từ (1) (2) suy ra: AC1 BDMN b Tính thể tích khối chóp A.BDMN Gọi AA1 �DM �BN I � A1 , M , N trung điểm AI , DI , BI VI AMN IM IN � VA BDMN VI ABD VI ABD IB.ID 4 1 3 � VA BDMN IA.SABD 3.22 dvtt 4 Vậy Câu VA BDMN AB 3, BC 6, mặt (1.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có phẳng SAB ABCD vng góc với đáy, mặt phẳng SBC SCD tạo với mặt phẳng góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD Tính thể tích khối chóp S ABCD cosin góc hai đường thẳng SA BD Lời giải Hạ SH AB H �AB � SH ABCD Kẻ HK CD K �CD � Ta có: BC SAB � tứ giác HBCK hình chữ nhật Góc mặt phẳng SBC ABCD � là: SBH Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Theo giả thiết: TỔ 12 – � SKH � � SHB SHK g c g � HK HB BC SBH Do A trung điểm HB � BD / / AK � BD / / SAK SA � SAK Ta thấy Y ABDK hình bình hành mà Suy d BD, SA d BD, SAK d D, SAK d H , SAK h 1 1 1 1 � 2 2 HS HA HK HS 36 Do tam diện H SAK vuông H nên: h 1 VS ABCD SH S ABCD 6.3.6 36 (dvtt) � SH Suy 3 BD � BD, SA AK , SA Gọi góc hai đường thẳng SA Ta có: SK 2, SA AK Trong tam giác SAK có: AS AK SK 45 45 72 � cos SAK AS AK 2.3 5.3 5 � arccos SAK Vậy Oxy Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J 2;1 Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC có phương trình: x y 10 D 2; 4 giao điểm thứ hai AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm B thuộc đường thẳng có phương trình x y Lời giải AJ qua J 2;1 D 2; 4 nên AJ có phương trình : x Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ : Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – �x �x �� � A 2;6 � x y 10 �y � Gọi E giao điểm thứ hai BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC � � � � Ta có DB DC � DB DC EA EC � sd EC � sd DC � sd EA � sd DB � DJB � � DBJ DBJ 2 cân D DB DC DJ hay D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC D 2; 4 Suy B, C nằm đường tròn tâm bán kính JD có phương trình x 2 y 25 Khi tọa độ B hệ nghiệm: 2 � � x y 25 � �x 3 ��x � �B 3; 4 � � � � B 2; 9 �y 4 �y 9 � �x y B 3; 4 Do B có hồnh độ âm nên BC qua B 3; 4 vng góc AH nên có phương trình: x y 2 � � x y 25 � C 5;0 � x 2y 5 � C Khi nghiệm hệ: Vậy Câu A 2; , B 3; 4 , C 5; Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 121 2 a b c 14 ab bc ca Lời giải a b c a b c ab bc ca � ab bc ca Ta có A Do 2 121 2 a b c a b2 c2 a2 b2 c2 2 Đặt t a b c Vì a, b, c a b c nên a , b , c 2 Suy t a b c a b c Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – 2 2 a b c a b c ab bc ca �3 a b c Mặt khác � � t �� ;1� t a b2 c2 � � � Vậy Suy Xét hàm số f ' t f t 121 � � ; t �� ;1� t 7(1 t ) � � 121 t 1 t 7 t f ' t � 72t 98t 49 � t 18 (loại) Lập BBT hàm số f t � �7 � 324 � f t �f � � ; t �� ;1� 18 � � � � Dựa vào BBT suy Vậy A 324 1 a ;b ;c đạt Trang