STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN 12 – BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Họ và tên: ………………… ………………………SBD:………… y= 2x +1 x −1 d : y = ( m + 1) x − (H) m có đồ thị đường thẳng ( với tham số) (H) x1 , x2 m d Tìm tất giá trị để cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ cho biểu thức P = 12 ( x1 + x2 ) + 11x1 x2 đạt giá trị lớn Câu Cho hàm số Lời giải (H) Phương trình hồnh độ giao điểm d là: 2x + = ( m + 1) x − ( 1) x −1 , ĐK: x ≠1 ( 1) ⇔ ( m2 + 1) x − ( m2 + ) x + = ( ) Để đường thẳng biệt khác d (H) cắt ( 2) hai điểm phân biệt phương trình ( m2 + ) − ( m + 1) > ( m + 3) + 12 > ⇔ ⇔ 2 ( m + 1) − ( m + ) + ≠ −3 ≠ Suy ∀m ∈ R d ( ln với có hai nghiệm phân m∈ R ) ( H) cắt hai điểm phân biệt x1 , x2 Khi Ta có: hai nghiệm phân biệt (2) m2 + x1 + x2 = ; x1.x2 = m +1 m +1 , đó: m2 + = 12 = 12 + 59 ≤ 71 ÷+ 11 ÷ P = 12 ( x1 + x2 ) + 11x1.x2 m +1 m +1 m2 + Do Vậy P đạt giá trị lớn 71 m=0 m=0 giá trị cần tìm Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu TỔ 12 – Giải phương trình sau tập hợp số thực: 1) x − x3 + x + x = x − 3x x − log ( x + 1) − = 2) Lời giải 1) Ta có ( ⇔ x2 − 3x x − x + x + x = x − 3x ) t − 3t − 2t = ⇔ t = 0; t = 2; t = −1 , phương trình cho trở thành t≥0 Kết hợp với điều kiện Với Với ) t = x2 − x , t ≥ Đặt ( − x − 3x − x − 3x = t =0 t=2 , ta có hai trường hợp sau: x − x = ⇔ x = 0; x = , ta có x − 3x = ⇔ x − x − = ⇔ x = −1; x = , ta có x = 0, x = 3, x = −1, x = Vậy phương trình cho có nghiệm x>− 2) Điều kiện xác định: y = log ( x + 1) Đặt , Kết hợp với phương trình cho ta có hệ 7 x = y + y 7 = x + y = 6x +1 Trừ vế theo vế hai phương trình hệ, ta có x − y = y − 6x ⇔ x + x = y + y (1) f ( t ) = 7t + 6t Xét hàm số , tập xác định D = − ; +∞÷ f ′ ( t ) = 7t ln + > 0, ∀t ∈ D Ta có f nên hàm số đồng biến D ( 1) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Do Suy x − x −1 = (2) Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – g ( x) = 7x − 6x −1 Xét hàm số khoảng − ; + ∞÷ g ′ ( x ) = x ln − g ′ ( x ) = ⇔ x = log ln Ta có ; g ( x) Bảng biến thiên hàm số : Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình (2) có khơng q hai nghiệm thuộc khoảng g ( ) = 0, g ( 1) = x = 0, x = nên tất nghiệm phương trình (2) − ; + ∞÷ Mà x = 0, x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm Câu Tìm hệ số số hạng chứa C20n + C22n + + C22nn = 512 thức x5 ( 1+ x + x2 ) khai triển n , biết n số tự nhiên thỏa mãn hệ Giải: = ( 1- 1) 2n = C20n - C21n + C22n - - C22nn- + C22nn *) Ta có C20n + C22n + + C22nn = C21n + C23n + + C22nn- Suy ra: 22 n = ( +1) 2n = C20n + C21n + + C22nn Mà = ( C20n + C22n + + C22nn ) +( C21n + C23n + + C22nn- ) = 2 ( C20n + C22n + + C22nn ) = 2.512 = 210 C20n + C22n + + C22nn = 512 (do ) Trang STRONG TEAM TỐN VD-VDC TỔ 12 – Þ 2n = 10 Û n = *) Xét khai triển 5 ( + x + x ) = éë1+ x ( + x) ùû = å C5k x k ( + x) k k =0 5 ỉk ỉk i i ư k i k +i ữ ữ ỗ = C5k x k ỗ C x = C C x ữ ữ ỗ ỗ ỗồ k ữ k ữ çå è ø k =0 è ø k =0 i=0 i=0 i, k ẻ Ơ ,0 Ê i Ê k £ ( *) (với *) Vì số hạng chứa x5 nên k +i = ) ( *) Kết hợp với điều kiện ta trường hợp sau: ìïï i = ìïï i = ìïï i = ;í ;í í ïỵï k = ïỵï k = ïỵï k = C55 C50 + C41.C54 + C32 C53 = 51 *) Hệ số cần tìm là: Câu Cho tam giác b+c = ABC a + AB = c BC = a CA = b A có , , , độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh Chứng minh ∆ABC Lời giải Ta có: a a 2S + ⇒ b + c = + ABC × 2 a a ⇒ b + c = + ( b sin C ) × b+c = sin ( B + C ) + 3.sin B sin C 1 1 3 ⇒ sin B + sin C = sin B cos C + sin C ÷ + sin C cos B + sin B ÷ ÷ ÷ 2 2 2 ⇒ sin B + sin C = π π ⇒ sin B cos C − ÷− 1 + sin C cos B − ÷− 1 = 3 3 π π ⇒ cos B − ÷ = cos C − ÷ = 3 3 Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Vậy tam giác ABC TỔ 12 – h = 18m Câu : Một bóng cao su thả rơi từ độ cao Sau lần chạm đất, bóng lại nảy lên cao độ cao lần rơi trước Giả sử bóng rơi nảy theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài quãng đường bóng di chuyển từ lúc thả đến lúc không nảy Lời giải h1 = Sau lần chạm đất đầu tiên, bóng nảy lên độ cao h Tiếp theo bóng rơi xuống quãng h2 = h1 đường Lần chạm đất thứ hai bóng nảy lên h1 rơi xuống quảng hn = h2 đường Cứ đến lần chạm đất thứ n bóng nảy lên đến độ cao hn −1 hn rơi xuống quãng đường q= h, h1 , h2 , , hn Ta thấy dãy cấp số nhân lùi vô hạn với công bội Tổng quãng đường bóng là: s = ( h + h1 + h2 + + hn ) + ( h1 + h2 + + hn ) = Oxy Câu Trong mặt phẳng ABC , cho đường tròn tâm h h + 1 − q − q = 126m I ( x − 1) tích tam giác A ABC I cách đường thẳng + ( y + 1) = có phương trình nội tiếp đường tròn đường phân giác góc hai điểm BC A điểm , tam giác x − y −1 = có phương trình A Biết có hồnh độ dương Tính diện Lời giải Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – I ( 1; − 1) Ta có Tọa độ giao điểm đường phân giác góc ( x − 1) + ( y + 1) = x = 2, y = ⇔ x − y − = x = −1, y = −2 phương trình A ( 2;1) A′ ( −1; − ) Suy có hai giao điểm Đường thẳng BC , vng góc d ( A ; BC ) = d ( I ; BC ) ⇔ A (Vì A′I nên phương trình +1+ m = A ( I) nghiệm hệ có hồnh độ dương) x + y + m = ( BC ⊥ A′I ) BC có dạng: −1 + m ⇔ m = −3 BC : x + y − = Phương trình Tìm tọa độ điểm Vậy diện tích tam giác B C , ABC − 21 −3 + 21 + 21 −3 − 21 ; ÷ ÷ ÷ ; ÷ 5 là: , 1 84 2 21 S ABC = BC.d ( A ; BC ) = = 2 5 Chú ý: khơng cần tìm tọa độ d ( I ; BC ) = ⇒ S ABC = 21 ⇒ BC = 5 B C , mà ta tính diện tích sau: (sử dụng pitago) 1 21 2 21 BC.d ( A ; BC ) = = 2 5 Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu Cho hình chóp TỔ 12 – S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh M,N a , chiều cao h không đổi Gọi · MAN = 45° BC , CD hai điểm di động hai cạnh cho góc BM = x x a S AMN Tìm theo cho thể tích khối chóp đạt giá trị nhỏ Đặt Lời giải Ta có 1 h VS AMN = h.S AMN = h AM AN sin 45° = AM AN 3 12 · · MAB = α , 0° ≤ α ≤ 45° ⇒ NAD = 45° − α Đặt AM AN = AB AD a2 2a 2 = = cos α cos ( 45° − α ) cos α ( cos α + sin α ) + sin ( 2α + 45° ) Khi VS AMN Khi nhỏ ⇔ AM AN x = a.tan 22,5° = a Vậy ( ) nhỏ ⇔ + sin ( 2α + 45°) −1 thể tích khối chóp a , b, c Câu Cho thức số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện S AMN a≥b≥c>0 ⇔ α = 22,5° lớn đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ biểu 1 b c 5a M= + ÷+ 2 a+b c+b a+c Trang STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 12 – Lời giải Biến đổi 1 1 ÷ M= + ÷+ 1+ a 1+ b ÷ 1+ c c a b 1 + ≥ , ( ∀x, y > 0, xy ≥ 1) + x + y + xy Ta có bất đẳng thức 1 + ≥ + x + y + xy ⇒ Thật ( x− y )( ) xy − ≥ ∀x, y > 0, xy ≥ x= y Dấu xảy M≥ 2 1+ Do t= Đặt a c Vì a c + 1+ ⇔ Dấu xảy a≥b≥c f ( t) = c a nên 5t + t +1 t ≥1⇒ t ≥ t f ′( t ) = ⇒M ≥ ( t + 1) Xét hàm số , ta có: f ( t ) ≥ f ( 1) ∀t ≥ [ 1; +∞ ) Do M = f ( 1) = Vậy t =1 ⇔ a = b = c a b = b c 5t 5t + + = 1+ t 1+ t t +1 > 0, ∀t ∈ [ 1; +∞ ) f ( t) nên hàm số đồng biến Trang