SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐỀ THI MƠN: TỐN NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số y x2 x 2x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 2mx 3m hàm số y 2 x Tìm m để hai đồ thị cho cắt hai điểm phân biệt A B cho AB Câu (2,0 điểm) Tìm m để phương trình x x m x có nghiệm Câu (2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình x 1 có tập nghiệm mx x m Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x x 1 x x 10 y x y Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x y 2 x xy y 24 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M, N cạnh BC, CA cho BM =a, CN=2a Gọi P điểm nằm cạnh AB cho AM vng góc với PN Tính độ dài PN theo a Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC AB , ABC 1200 phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B d : x y Biết A 3;1 Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC , biết IG IC Chứng minh a bc 2ab (Với AB c, BC a, CA b ) a b Câu 10 (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c S a b2 b2 c2 c2 a2 Tìm giá trị nhỏ Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu.Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Đáp án có 05 trang) NĂM HỌC 2018-2019 I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định hàm số y x2 x 2x x x Hàm số có xác định 1 1 x 0,5 x x x x 1 1 x 1 1 x 0,5 x x x 0 x 0,5 Vậy tập xác định hàm số là: D 0;1 0,5 (2,0 điểm) Cho hàm số y x 2mx 3m hàm số y 2 x Tìm m để hai đồ thị cho cắt hai điểm phân biệt A B cho AB Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x 2mx 3m 2 x x m 1 x 3m (*) Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt m 1 ' m 4 0,5 0,5 Gọi A x1 ; 2 x1 3; B x2 ; 2 x2 3 với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) x1 x2 2 m 1 Theo Vi-et ta có: x1.x2 3 m 1 0,5 2 Ta có: AB x1 x2 x1 x2 20 x1.x2 20 m 1 60 m 1 2 AB 20 m 1 60 m 1 m 1 m 1 0,5 m 0; m 5 So sánh với điều kiện ta m=0 m=-5 (2,0 điểm) Tìm m để phương trình Ta có x x m x có nghiệm x 1 2x2 2x m x x x m 0(*) 0,5 (*) x x m Xét y x x y m x y 0,5 +∞ +∞ -3 0,5 -4 Ta có bảng biến thiên hàm số y x x là: Phương trình cho có nghiệm (*) phải có nghiệm x hay m 4 m x 1 có tập (2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình mx x m 0,5 nghiệm Để bất phương trình có tập nghiệm ta cần có mx x m với x m m m 1 ( m =0 không thỏa mãn) m m 3m 0,5 Với m 1 Khi ta có mx x m với x Bpt x mx x m mx x m (1) Bpt có tập nghiệm (1) Mà m 1 m 41 m 4m 16m 25 41 m 0,5 41 Với m Khi ta có mx x m với x Bpt x mx x m mx x m (2) Bpt có tập nghiệm (2) Mà m m KL: m 41 m 4m 16m 25 41 m 0,5 41 41 41 ; m 2 0,5 (2,0 điểm) Giải phương trình x x 1 x Điều kiện: x 0,5 Đặt t x t t 5 Ta có x thay vào ta phương trình sau: t 10t 25 2 t 5 1 t t 22t 8t 77 16 2 t 2t 7t 2t 11 t 1 2 1 x 1 t2 1 2 t0 t 1 2 t t x 3 t4 1 0,5 0,5 0,5 x 10 y x y (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x y 2 x xy y 24 Đặt a x 10 y ; b x y a, b a b a b Khi hệ trở thành a b ab 24 a b 2ab 144 a b a8 a b 12 b a b a ,b0 a a b 144 a b a 4 b a b 12 b 8 a x 10 y 2 x y 32 Với b x y x y 16 Giải hệ ta x ; y 3 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy điểm M, N 0,5 0,5 0,5 0,5 cạnh BC, CA cho BM =a, CN=2a Gọi P điểm nằm cạnh AB cho AM vng góc với PN Tính độ dài PN theo a A P N 0,5 B C M Đặt AP x AB x Ta có: AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC 3 3 PN PA AN x AB AC AM PN AM PN AB AC x AB AC 3 3 a2 2x 2 x a a AB AC AB AC a cos 600 9 3 2x 2 x a2 2x x a a 0 x 9 9 32 15 9 3 2 Khi PN AB AC PN AB AC 15 3 15 0,5 16 2 a 21 a a 225 45 225 21 PN 15 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC AB , phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B ABC 1200 d : x y Biết 0,5 0,5 A 3;1 Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác B A C M 0,5 Đặt AB a a Ta có: AC AB AC AB ACcos1200 a AB BC AC a 4 a a a BM 4 2 3a 7a Ta có AB BM a AM 4 Suy tam giác ABM vng B Khi phương trình AB: x y 0,5 0,5 B giao AB BM B 2; Ta có: AB d A, BM a BM 6 m 2 2 M trung điểm AC nên C 3; C 3; 0,5 Gọi M m; m BM (2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC , biết IG IC Chứng minh a bc 2ab (Với AB c, BC a, CA b ) a b C N I G A 0,5 B M Ta chứng minh a IA bIB cIC a IC CA b IC CB cIC CI a.CA b.CB abc a 1 b GI CI CG CA CB abc 3 abc 3 0,5 Khi 2a b c CA 2b a c CB aCA bCB ab CA.CB b 2a b c a 2b a c Do ab CA.CB ab ab cos C ab 1 cos C 0,5 Nên ta có: b 2a b c a 2b a c b 3a a b c a 3b a b c 6ab a b a b c (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c 10 S a b2 b2 c2 c2 a2 a b c 2ab ab 0,5 Tìm giá trị nhỏ Ta thấy S a2 1 1 1 2 b c 16 b2 16b 16 c 16c 16 a2 16a 16 1717 a2 16 32 16 b 16 1717 a2 16 32 16 b 1717 16 a2 0,5 16 32 16 b a b c 17 17 16 17 16 17 16 17 17 5 16 c 16 a 16 a b c 16 b 17 17 17 15 217 2a 2b 2c a b c 217 Vậy MinS 0,5 17 Dấu “=” xảy a b c 2 0,5 0,5 ... 2 x1 3; B x2 ; 2 x2 3 với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) x1 x2 2 m 1 Theo Vi-et ta có: x1.x2 3 m 1 0,5 2 Ta có: AB x1 x2 x1 x2 20 x1.x2...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Đáp án có 05 trang) NĂM HỌC 20 18- 20 19 I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày... ta phương trình sau: t 10t 25 2 t 5 1 t t 22 t 8t 77 16 2 t 2t 7t 2t 11 t 1 2 1 x 1 t2 1 2 t0 t 1 2 t t