Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MƠN: TỐN – NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm: 01 trang Câu (2,0 điểm) cos x sin x cos x sin x cos x )(sin x cos x ) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y b) Giải phương trình: cos 2x (1 Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC a, a, AB c, AC b Biết góc BAC 900 b, c theo thứ tự tạo thành cấp số nhân Tính số đo góc B, C Câu (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương Gọi a 3n 2)n Tìm n cho a3n 1)n (x thành đa thức (x hệ số x 3n khai triển 26n Câu (1,0 điểm) Cho chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối Câu (1,0 điểm) Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 2019 un n 1 Tìm cơng thức số hạng 2019n unn tổng quát tính lim un Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp AD 2a, AB BC CD hai điểm thỏa mãn 3MB S ABCD ABCD hình thang có 600 , SA vng góc với đáy SA a, BAD MS có đáy 0, 4IS 3ID a M I Mặt phẳng (AMI ) cắt SC N a) Chứng minh đường thẳng SD vng góc với mặt phẳng (AMI ) b) Chứng minh ANI 900 ; AMI 900 c) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (AMI ) hình chóp S ABCD Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD , gọi G trọng tâm tam giác BCD,G ' trung điểm AG Một mặt phẳng ( ) qua G ' cắt cạnh AB, AC , AD B ', C ', D ' Tính AB AB ' AC AC ' AD AD ' Câu (1,0 điểm) Cho n số a1, a2, a3, , an (1 a1 a2 a3 [0;1] Chứng minh rằng: an )2 4(a12 a 22 a 32 an ) -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MƠN: TỐN – NĂM HỌC 2018-2019 Đáp án gồm: 05 trang I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điể m (2,0 điểm) a.(1,0 điểm) cos x sin x Gọi y giá trị hàm số y Khi phương trình cos x sin x cos x sin x phải có nghiệm y0 0,5 cos x sin x Ta có phương trình cos x sin x y0 (y0 2)sin x (1 2y0 )cos x 4y (1) cos x sin x Phương trình (1) có nghiệm khi: 0,25 (y0 2)2 (1 2y0 )2 (4y0 3)2 11y02 24y0 yo 11 0,25 Vậy max y 2, y 11 b.(1,0 điểm) (cos2 x sin2 x ) (1 cos x )(sin x cos x ) Phương trình (cos x sin x )(cos x sin x ) (cos x sin x )(sin x cos x cos x sin x sin x cos x (1 1) cos x )(sin x cos x ) 0 0,5 k 0,25 +) Với cos x sin x +) Với sin x cos x tan x sin(x x 4 ) Vậy phương trình có họ nghiệm (1,0 điểm) Ta có: b ac Do tam giác ABC vng ta có x k2 ; x k2 0,25 0,25 a sinA b sin B 2 a sin B Suy 900, B Vậy A c sin C b a sin B; c a cos B 0,25 (1,0 điểm) Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: (x n n 1) (x 2) n k n 2k Số hạng chứa x 2k i 3n k, i n 3n i n i C x2 i n k n 2k 2n iC ni x i ) C x )( ) ( k i (k, i) {(n, n a3n 3);(n C nn 23.C nn 1, n 1)} C nn 1.21.C nn 0,5 1 8C n3 2n n(n 1)(n 2) 26n 2n 26n Theo giả thiết ta có: 8C n 2n 2n 3n 35 n Vậy n thỏa mãn yêu cầu toán (1,0 điểm) Do 28 , nên để tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối nhau, điều kiện tổng 14 -Ta lập số có tổng 14 có chữ số là: (0;1;6;7); (0;2;5;7);(0; 3; 4;7);(0; 3;5;6) Với có số ứng khơng có số có tổng 14 -TH1: Bộ có số đứng trước: Có có chữ số 0, ứng với có: +) Xếp chữ số đầu có 3.3! cách +) Xếp chữ số cuối có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4!=1728 số -TH2: Bộ có số đứng sau: Có có chữ số 0, có +) Xếp khơng có chữ số trước có 4! cách +) Xếp có chữ số sau có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4!=2304 số Vậy có 1728+2304=4032 số thỏa mãn yêu cầu toán (1,0 điểm) 1 unn 11 unn Ta có unn 11 unn n 2019 2019n u22 u11 20191 u 33 u22 Do đó: 20192 unn unn 1 0,25 tương ứng với cặp (k, i ) thỏa mãn: Do hệ số x 3n n i n C x )( ( k 0,5 300 n a cos B 600 B 600, C a sin C 2019n 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 n n 20191 1 Suy ra: u u n Vậy un 2019 20192 n ( ) 2019 2018 1 2019n 1 n ( ) 2019 2018 Ta có a) n un 2019 n ( ) 2019 2018 n n 2020 1.1 1.2020 1 2020 n 0,25 2019 ( Côsi cho n số số 2020) n 2019 ) Vậy lim un Mặt khác lim(1 n (2,0 điểm) 0,75 Đặt AB BC a, AD b, a Ta có: SD b, AS a, b b Suy ra: SD.AI c, AI c Ta có 2a, c b 0, SD.AM a 3, a.b c, AM a , a.c a Do SD 0, b.c 0,25 c AI , SD 0,25 AM Vậy SD (AMI ) b) 0,25 0,5 Ta có: AN a b c, NI a b 28 c 14 AN NI AN NI ANI 900 3 AM a c, MI a b c + 4 28 AM MI AM MI AMI 900 c) Thiết diện tạo mặt phẳng AMI hình chóp S ABCD tứ giác AMNI Ta có 0,25 0,25 0,75 0,25 SAMNI SANI Ta có: AM SANI SAMN a a , AN , NI 2 3a AN NI 28 15a 16 Ta có: AM AN a 42 14 0,25 AM AN AM AN cos MAN sin MAN 14 SAMN Vậy SAMNI 3a AN AM sinMAN 32 2 3a 3a 45a 28 32 224 0,25 (1,0 điểm) Ta có tốn : « Cho tam giác ABC , trung tuyến AM Một đường thẳng d cắt AB, AM , AC B1, M1, C Khi AB AB1 AC AC AM » AM 0,25 Thật : Kẻ BE, CF song song với B1C Ta có BE / /B1M1 nên CF / /C1M1 nên Mặt khác AC AC BME AB AB1 AF AM CMF (g AE AM1 AM ME AM1 AM MF AM c g ) nên ME MF AB AC AM ME AM MF AM AB1 AC AM1 AM1 AM1 Gọi M , N trung điểm CD, BG; M ', N ' giao điểm mặt phẳng Do ( ) với AM , AN Áp dụng toán vào tam giác ACD , ta có: AC AD AM (1) AC ' AD ' AM ' Áp dụng toán vào tam giác ANM , ta có: 0,5 AN AM AG AN AM 2 AN ' AM ' AG ' AN ' AM ' Áp dụng toán vào tam giác ABG, ta có: AB AB ' AB Thay (1), (3) vào (2) ta được: AB ' (1,0 điểm) Xét tam thức f (x ) x (1 a1 a2 a3 AG AG ' AC AC ' an )x AG (2) AG ' AN (3) AN ' AD AG AD ' AG ' (a12 a 22 a 32 f (1) (1 a1 a2 a an ) (a12 a22 a 32 Ta có: a1(a1 1) a2 (a2 1) a (a 1) an (an 1) Mặt khác a1, a2, a3, , an a1(a1 a2 (a2 an (an 1) 1) 0 1) f (1) Suy a1 (1 a1 an ) a2 a2 an ) 0,25 a3 a3 0,25 [0;1] nên: f (1).f (0) Mà f (0) a12 a22 a32 an Do phương trình f (x ) có nghiệm đoạn [0;1] (1 0,25 an )2 an ) 4(a12 4(a a22 a 32 2 a2 a3 0,25 an ) an ) 0,25 ... C 20 19n 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0,5 n n 20 191 1 Suy ra: u u n Vậy un 20 19 20 1 92 n ( ) 20 19 20 18 1 20 19n 1 n ( ) 20 19 20 18 Ta có a) n un 20 19 n ( ) 20 19 20 18 n n 20 20 1.1 1 .20 20 1 20 20... Vậy có 1 728 +23 04=40 32 số thỏa mãn yêu cầu toán (1,0 điểm) 1 unn 11 unn Ta có unn 11 unn n 20 19 20 19n u 22 u11 20 191 u 33 u 22 Do đó: 20 1 92 unn unn 1 0 ,25 tương ứng với cặp (k, i ) thỏa mãn: Do... sin x y0 (y0 2) sin x (1 2y0 )cos x 4y (1) cos x sin x Phương trình (1) có nghiệm khi: 0 ,25 (y0 2) 2 (1 2y0 )2 (4y0 3 )2 11y 02 24y0 yo 11 0 ,25 Vậy max y 2, y 11 b.(1,0 điểm) (cos2 x sin2 x ) (1 cos