TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT THUẬN THÀNH NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN TIME: 150 PHÚT ĐỀ BÀI Câu (3.0 điểm) Cho hàm số a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với b) Tìm m để cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn Câu (3.0 điểm) Cho hai nghiệm phương trình ; hai nghiệm phương trình Biết Tìm a b Câu (6.0 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Câu (3.0 điểm) a) Cho tam giác OAB Đặt Gọi C, D, E điểm cho Hãy biểu thị vectơ theo vectơ Từ chứng minh C, D, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E,H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh Câu (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vng B b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A Câu (2.0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức -Hết - Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Thực lời giải sưu tầm tập thể tổ 16 Strong team Toán VDVDC Câu Cho hàm số y x x m; Pm a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m P 1; 4 b) Tìm m để m cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Linh a) Với m hàm số trở thành TXĐ: D � Đồ thị BBT Đồ thị y x x 3; P1 P1 parabol có đỉnh I 2; 1 P1 cắt trục hoành điểm A 1; , B 3; hệ số a nên bề lõm parabol hướng lên , cắt trục tung điểm C 0;3 nhận đường thẳng x làm trục đối xứng Đồ thị b) Phương trình hồnh độ giao điểm Pm x x m � x 4x m 1 2 Dựa vào đồ thị ta thấy, Câu trục hoành: 1 1 có nghiệm thuộc đoạn 1; 4 1 m �3 hay m �4 x x x x Cho hai nghiệm phương trình x x a ; hai nghiệm x2 x3 x4 x x x3 Tìm a b x 12 x b phương trình Biết Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb:Nguyễn Văn Phu Phương trình x x a có hai nghiệm �� �9 4a � ' 36 b Phương trình x 12 x b có hai nghiệm �� a b (1) 36 (2) �x1 x2 �x x a �1 (I ) � �x3 x4 12 �x x b Với điều kiện trên, theo Viet ta có: �3 �x2 tx1 x2 x3 x4 � t � �x3 tx2 t x1 x1 x2 x3 � �x4 tx3 t x1 Đặt �x1 tx1 �x1 tx1 � �x tx a �x1 tx1 a 1 � � �2 �2 t x1 t x1 12 t ( x1 tx1 ) 12 � � � � t x1 t x1 b t x1 t x1 b � � Thế vào hệ (I) ta được: 3 4 5 6 Thế (3) vào (5) ta t � t �2 x � x2 2; x3 4; x4 Với t thay vào (3) ta Khi a x1 x2 1.2 � � b x3 x4 4.8 32 � (t/m) x 3 � x2 6; x3 12; x4 24 Với t 2 thay vào (3) ta Khi a x1 x2 3.6 18 � � b x3 x4 12.24 288 � (t/m) �a �a 18 � � b 32 � b 288 Vậy � Câu a) Giải phương trình: ( x x 2) x Lời giải Tác giả:Nguyễn Đông ; Fb: Nguyễn Đông Điều kiện phương trình có nghĩa: x �1 x 1 � � x2 x � ( x x 2) x � � �� x2 � x 1 � x 1 � Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm phương trình là: S 1; 2 3 � �x x x y y � x x x 1 y b) Giải hệ phương trình � Lời giải Tác giả: Quốc Vương; Fb: Quốc Vương 3 � 1 �x 3x x y y � x x x 1 y b) Giải hệ phương trình � 1 � x 1 Phương trình 0 x 1 x 1 y y 1� x 1 y y � x y � � � y � 3y2 � x x y y x x, y � � � y x (vì 2� � ) x x x 1 x 1 Thay y x vào phương trình , ta được: � �x �1 �x �2 x � � � � � x 2� y 3 � �� �� 2 � x 1 4x � x 1 2x � �x x 3 � x; y 2;3 Vậy hệ phương trình có nghiệm: uuu r r uuu r r uuur uuu r Câu a Cho tam giác OAB Đặt OA a , OB b Gọi C , D , E điểm cho AC AB , uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur r r OD OB OE OA , Hãy biểu thị vectơ OC , CD , DE theo vectơ a , b Từ chứng minh C , D , E thẳng hàng Lời giải Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin uuur uuu r uuu r r r OC 2OB OA a 2b uuur uuur uuur r r r r 3r CD OD OC b a 2b a b 2 (1) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 uuur uuur uuur r r DE OE OD a b (2) Từ (1) (2) ta Vậy điểm C , D , E thẳng hàng Câu b Cho tam giác ABC vng cân A , có trọng tâm G Gọi E , H trung điểm cạnh AB, BC ; D điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC ED Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hương ; Fb: NT Hương Cách 1: uuu r uuur Vì AB AC � AB AC uuur uuur uuur uuur uuu r EC AC AE AC AB Ta có uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur �1 uuur uuur � uuu ED AD AE AH AB � AB AC � AB AC AB 2 �2 �2 uuur uuur �uuur uuur � uuur uuu r uuu r uuur � uuur uuur � EC.ED �AC AB � AC AB � AC AC AB AB AC AB � � � �2 � Suy AB AC Vậy EC ED Cách 2: Xét hai tam giác EHC EAD có: EH AE AC (1) � EAD � 135� EHC (2) AD AH BC BC CH nên CH AD (3) � � Từ (1), (2), (3) suy EHC EAD Suy HEC AED Mà EH AE � EC ED Cách 3: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 A 0; , B a;0 , C 0; a Chọn hệ trục tọa độ Axy cho: với a uuur � a � uuur � a� �a � �a a � � a a � E � ;0 � ,H � ; � , D� ; � EC � ; a � ED �a ; � � � �, � Khi �2 � �2 � � 2 � Suy uuur uuur a �a� EC.ED a a � � � � Vậy EC ED Câu Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1 B 2; a) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông B Lời giải Tác giả: Cao Hoàng Đức ; Fb: Cao Hoang Duc C x ;0 a) Vì C thuộc trục Ox nên uuuvuuuv � x 12 � x Tam giác ABC vuông B , đó: AB BC C 6;0 Vậy b) Tìm điểm D cho tam giác ABD vuông cân A Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Thiện , Fb: Nguyễn Công Thiện uuu r uuur �AB AD � D x; y AB AD Gọi điểm cần tìm Để tam giác ABD vng cân A thì: � (1) uuu r uuur AB 3;3 , AD x 1; y 1 Ta có: Từ (1) suy ra: � x 1 y 1 � � 2 � � 18 x 1 y 1 � �x �y x � � �y x � � �y 2 � �� � �� x2 � 2 x 1 x 1 18 ��x 4 � �x 4 � � � �� � �y D 2; 2 D 4; Vậy có hai điểm D thỏa điều kiện tốn là: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 Câu Cho x , y số thực dương thỏa mãn x y 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x P 2019 x y 2019 y Lời giải Cách 1: Tác giả: Nguyễn Thị Xuân Trinh ; Fb: Tắc Kè Bông, mạnh Ta có x P 2019 x y 2019 y �1 2019 y 2019 x � 2019� � �x y x y� � � Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x y x y � 1 1 x y 2.2019 4038 1 4 1 � � � y x y 4038 Áp dụng bất đẳng thức a b a b , ta có: x P �2019 Vậy 4038 4038 4038 Dấu “=” xảy �x y 2019 � � x y �1 �x y � Cách 2: Tác giả: Cô Lê Minh Huệ - QTV Strong Team Toán VD – VDC Ta có P x 2019 x y 2019 y x y y x x2 x y y2 y x x y x2 y2 � x y y x x y y x Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số, ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 20192 xy x y x y � 1 1 x y 2.2019 4038 x y 2019 xy � 2 20192 P� 4038 2019 4038 Vậy Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớp 10 THPT Thuận Thành – Bắc Ninh năm 2018-2019 y �x �x y y x � � y 2019 �x � x y � �1 �x y � � Dấu “=” xảy � Câu 6.1 ( đề xuất) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x y z 2019 Tìm giá trị nhỏ P biểu thức y z 2019 y z x z 2019 x z x y 2019 x y Lời giải Tác giả: Trần Thế Mạnh ; Fb: Tắc Kè Bơng, mạnh Ta có P y z 2019 y z x z 2019 x z �1 1 2019 � �x y z � � � � � x y 2019 x y x y z 2019 x 2019 y 2019 z x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x y z � 1 1 1 x y z 3.2019 6057 1 9 1 � � � y z x y z 6057 Áp dụng bất đẳng thức a b c a b c , ta có: x P �2019 Vậy 6057 6057 673 Dấu “=” xảy �x y z 2019 � 1 � x y z �1 �x y z � Vậy Pmin 673 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang