2 Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC tại Q và Tính QB/QC... Tìm giá trị nhỏ nhất của:..[r]
(1)Câu 1: (2đ) ĐỀ HUYỆN KINH MÔN NĂM 2015 - 2016 1) Cho x 17 12 17 12 Tính giá trị biểu thức: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724 2) Cho a, b, c là các số thực khác thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = ab a ca Tính giá trị biểu thức: M c bc b Câu 2: (2đ) 1) Giải phương trình: 2 x 12 17 9x x 2) Chứng minh p là số nguyên tố lớn thì p2 – chia hết cho 24 Câu 3: (2đ) 1) Tìm các số nguyên x, y cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – = 2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – dư 17; chia cho x – dư Tìm dư phép chia P(x) cho x2 – 4x + Câu 4: (3đ) Cho ABC M là điểm thuộc cạnh BC Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC, AB Chúng cắt AB, AC thứ tự N và P 1) Gọi O là trung điểm NP Chứng minh A, O, M thẳng hàng 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC Q và Tính QB/QC MB MC 3) Tìm vị trí M để diện tích MNP có giá trị lớn Câu 5: (1đ) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ của: a8 b8 c8 M (a b4 ).(a b ) (b4 c4 ).(b2 c2 ) (c4 a ).(c2 a ) (2) Gợi ý Câu 1: (2đ) 1) Cho x 17 12 17 12 Tính giá trị biểu thức: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724 Từ x 17 12 17 12 lập phương vế, chuyển vế ta được: x3 – 3x – 34 = A = x (x – 3x – 34) – 3x(x – 3x – 34) + 38(x – 3x – 34) + 2016 = 2016 3 3 2) Cho a, b, c là các số thực khác thỏa mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = ab a ca Tính giá trị biểu thức: M c bc b 2 a3 + b3 – c3 + 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) – c3 + 3abc = (a + b – c).(a + 2ab + b + ac + bc + c ) – 3ab(a + b – c) = 2 (a + b – c)(a – ab + ac + bc + b + c ) = 2 (a + b – c)(2a – 2ab + 2ac + 2bc + 2b + 2c ) = 2 (a + b – c)[(a – b) + (a + c) + (b + c) ] = 2 a + b – c = a = b = - c * Với a + b – c = M = 2.12 + 3.(-1)2 + 5.12 = 10 * Với a = b = -c M = 2.(-2)2 + 3.(1/2)2 + 5.(-2)2 = 115/4 Câu 2: (2đ) 1) Giải phương trình: x 12 17 9x x x 12 17 9x x (x 2)(x 2) x 12 (x 2)(x 2) x 5 3 x 12 - = 9(x 2) x2 x2 (x 2) 9 x2 x 12 Ta thấy x - + 9x – 18 (x 2)(x 2) x 12 17 9x x td x 12 (x 2)(x 2) x2 9(x 2) x 12 x 9x 17 (3) Vì x 12 x > nên 9x – 17 > x > 17/9 Khi đó dễ thấy x2 x 12 x2 x2 < nên x – = x = 2) Chứng minh p là số nguyên tố lớn thì p2 – chia hết cho 24 p2 – = (p – 1)(p + 1) Do p nguyên tố lớn nên p không chia hết cho p – p + chia hết cho (p – 1)(p + 1) chia hết cho (1) Do p nguyên tố lớn nên p lẻ p – chẵn, p + chẵn mà p – 1; p + là số chẵn liên tiếp (p – 1)(p + 1) chia hết cho (2) (1); (2) và (3, 8) = p2 – chia hết cho 24 Câu 3: (2đ) 1) Tìm các số nguyên x, y cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – = Đưa (x – y – 2)(2x – 3y) = Vì x, y nguyên nên: x-y-2 -1 17 10 2x – 3y y -1 26 x -7 -7 -1 -9 - 14 2) Cho đa thức P(x) thỏa mãn: Khi chia cho x – dư 17; chia cho x – dư Tìm dư phép chia P(x) cho x2 – 4x + Theo bài P(3) = 17; P(1) = Vì đa thức chia là x2 – 4x + có bậc nên đa thức dư có dạng ax + b P(x) = (x – 1)(x – 3).Q(x) + ax + b P(3) = 17 và P(1) = a + b = và 3a + b = 17 a = 7, b = - Vậy dư là 7x – (4) Câu 4: (3đ) Cho ABC M là điểm thuộc cạnh BC Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC, AB Chúng cắt AB, AC thứ tự N và P 1) Gọi O là trung điểm NP Chứng minh A, O, M thẳng hàng 2) Giả sử đường thẳng NP cắt đường thẳng BC Q và Tính QB/QC MB MC 3) Tìm vị trí M để diện tích MNP có giá trị lớn A 1) dễ 2) BM/BC = BN/BA = MN/AC = 1/3 AP/AC = 1/3 AP/PC = ½ MN/PC = 1/2 QM/QC = MN/PC = 1/2 N QM = MC mà BM = MC/2 MB = QB QB/QC = 1/4 3) BNM ~ BAC; MPC ~ BAC SBMN/SABM = BM /BC Q SMPC/SBAC = CM2/BC2 O B P M (SBNM + SMPC)/SABC = (BM + CM )/BC 2 Dễ SANMP = 2.SMNP SMNP lớn SANMP lớn SBNM + SMPC nhỏ Mà (SBNM + SMPC)/SABC = (BM2 + CM2)/BC2 (SBNM + SMPC)/SABC = 2(BM + CM )/BC (BM + CM) /BC = SBNM + SMPC (SABC)/2 không đổi 2 2 Min(SBNM + SMPC) = (SABC)/2 không đổi BM = MC M là trung điểm BC Vậy … C (5) Câu 5: (1đ) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ của: a8 b8 c8 M (a b4 ).(a b ) (b4 c4 ).(b2 c2 ) (c4 a ).(c2 a ) Có: a8 b8 a b2 ; 4 2 4 2 (a b ).(a b ) (a b ).(a b ) b8 c8 c8 a8 2 = b – c ; = c2 – a2 4 2 4 2 4 2 4 2 (b c ).(b c ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a ) (c a ).(c a ) a8 b8 b8 c8 + (a b ).(a b ) (a b ).(a b ) (b c ).(b2 c ) (b c ).(b c ) + c8 a8 =0 (c a ).(c2 a ) (c a ).(c a ) a8 b8 c8 (a b ).(a b ) (b c4 ).(b2 c ) (c4 a ).(c2 a ) b8 c8 a8 (a b ).(a b2 ) (b c4 ).(b c2 ) (c a ).(c a ) a b8 b c8 c8 a 2M = (a b ).(a b2 ) (b c4 ).(b c ) (c4 a ).(c2 a ) Lại có 2.(a8 + b8 ) (a4 + b4)2; 2(a4 + b4) (a2 + b2)2 ; a2 + b2 2ab a b4 b4 c4 c4 a 4M a b2 b2 c2 c2 a 8M a + b + b + c + c + a 2ab + 2bc + 2ca = 2(ab + bc + ca) = 2 2 8M M 1/4 2 MinM = 1/4 a = b = c = (6)