HSG Toan 9 PT vo ti

Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từng dạng từ đó phát triển năng lực tư duy nhằm đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh, tôi mạnh dạn viết ch[r]

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN LẬP THẠCH TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở CẤP THCS Người thực hiện: Trần Mạnh Hùng Đơn vị công tác: GV THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Đối tượng bồi dưỡng: HSG lớp Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 16 Lập Thạch, tháng 10 năm 2015 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Một vấn đề đại số khối THCS là việc nắm các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giải phương trình đó với đối tượng là học sinh đại trà, ngoài mở rộng các phương trình đó dạng khó hơn, phức tạp đối tượng học sinh khá - giỏi Thực trạng số lượng bài phương trình vô tỉ SGK ít và là bài đơn giản thường đưa phương trình trị tuyệt đối bình phương đưa phương trình bậc ẩn, song thực tế theo dõi các kì thi học sinh giỏi lớp 9, các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên năm tôi nhận thấy chủ đề phương trình vô tỉ thường xuyên xuất với số lượng bài tương đối nhiều và thường là bài khó, không đơn giản giải phương pháp thông thường Với phương trình vô tỉ, tùy đặc điểm cụ thể có thể có nhiều cách giải khác Có số phương trình vô tỉ giải phương pháp nâng lên lũy thừa để làm thức thường dẫn đến phường trình bậc cao, mà phương trình bậc cao đó việc tìm nghiệm nhiều không đơn giản chút nào Với mong muốn tháo gỡ số khó khăn quá trình dạy và hoc phương trình vô tỉ, từ đó nâng cao chất lượng, hiệu giáo dục Sau đây tôi xin mạnh dạn trình bày suy nghĩ gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo, đã áp dụng phương trình vô tỉ qua đề tài ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' kính mong quý thầy cô cùng các bạn đóng góp ý kiến cho tôi để đề tài áp dụng rộng rãi II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: - Nhằm trang bị cho học sinh số kiến thức giải phương trình vô tỉ từ đó phát triển lực tư duy, nâng cao chất lượng môn toán, giúp các em tiếp thu bài cách chủ động, sáng tạo và là công cụ giải bài tập có liên quan đến phương trình vô tỉ - Tạo hứng thú học tập cho học sinh làm bài tập SGK, sách tham khảo giúp học sinh giải số bài tập - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm thường gặp giải phương trình vô tỉ quá trình dạy và học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống các phương pháp và áp dụng thành thạo các phương pháp đó vào giải bài tập - Thông qua việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán và học tốt các bài tập phương trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng và hiệu giáo dục III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phát triển lực tư toán học học sinh thông qua các bài toán giải phương trình vô tỉ học sinh THCS Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Đề tài này áp dụng học sinh THCS chủ yếu là Đội tuyển HSG khối luyện thi HSG cấp tỉnh và thi vào THPT chuyên IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN HÀNH: Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo thu thập tài liệu + Phân tích, tổng kết kinh nghiệm + Kiểm tra kết chất lượng học sinh + Đưa bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng thực + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm + Ngoài tôi còn sử dụng số phương pháp khác Phương pháp tiến hành: Thông qua các dạng phương trình vô tỉ đưa phương pháp giải, hướng khắc phục sai lầm thường gặp và đưa các dạng bài tập tự giải PHẦN II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ LÝ LUẬN: Như chúng ta biết Toán học là môn khoa học công cụ, nó giữ vai trò chủ đạo các nhà trường các ngành khoa học khác Toán học kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá đã sâu tìm hiểu, khai thác thì thấy mê say, ham muốn khám phá và thấy Toán học thú vị, lãng mạn không kém môn khoa học khác Các bậc phụ huynh, các thầy cô giáo, các hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi môn Toán, nhiên để đạt điều đó thật chẳng dễ dàng gì Hiện nay, các nhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, ngoài việc dạy kiến thức cho HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em chú trọng Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài và ngày say mê môn Toán, thân người giáo viên phải tự mình tìm phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán các em, từ đó tìm học sinh có khiếu môn này, để có thể bồi dưỡng các em trở thành học sinh giỏi, có ích cho xã hội Phương trình là mảng kiến thức quan trọng chương trình Toán phổ thông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh khá giỏi nhiều còn lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt là phương trình vôi tỉ Phương trình vô tỉ là dạng phương trình không mẫu mực, để giải phương trình vô tỉ đòi hỏi người học phải có tảng kiến thức vững vàng, tư sáng tạo, biết phân tích, tổng hợp nhiều loại kiến thức đã học từ đó tìm hướng giải cho dạng bài cụ thể, đặc biệt là cần nắm các dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải dạng đó Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Phương trình vô tỉ là dạng phương trình hay và khó, việc giải phương trình vô tỉ đánh giá lực giải toán và lực tư toán học người học nên phương trình vô tỉ luôn xuất các đề thi học sinh giỏi trên các tạp chí toán học Vì vậy, việc trang bị cho học sinh, đặc biệt là đội tuyển HSG kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giải chúng là quan trọng nên tôi xin trình bày đề tài: ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' Trong đề tài, tôi đưa số dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải, phù hợp với trình độ học sinh THCS Trang bị cho học sinh số dạng toán và phương pháp giải phương trình vô tỉ áp dụng để làm bài tập Rút số chú ý làm phương pháp Chọn lọc số bài tập hay, phù hợp cho phương pháp giải, cách biến đổi Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phương trình vô tỉ Tôi hy vọng đề tài này giúp ích cho học sinh trường THCS, đặc biệt là đội tuyển HSG việc học và giải phương trình vô tỉ Qua đó các em có phương pháp giải đúng, tránh tình trạng định hướng giải bài toán sai còn lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh học tập tích cực hơn, đạt kết cao các kì thi học sinh giỏi các cấp, thi vào THPT chuyên II- CƠ SỞ THỰC TIỄN: Trong chương trình Toán THCS, các bài toán phương trình vô tỉ đề cập đến không nhiều, nó lại có nhiều dạng và có vai trò quan trọng tất các kì thi Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống số kiến thức khác như: phương trình bậc ẩn, phương trình tích, ĐK số loại biểu thức Nó nâng cao khả vận dụng, phát triển khả tư cho HS, ngoài nó còn là kiến thức sử dụng thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên dạng bài tập khó Trên thực tế, với kinh nghiệm thân nhiều năm giảng dạy Toán và ôn thi vào lớp 10 THPT tôi thấy HS thường không giải mắc số khuyết điểm sau giải phương trình vô tỉ như: - Thiếu sai ĐK phương trình (chủ yếu là ĐK thức) - Chỉ giải dạng phương trình đơn giản SGK - Khi bình phương hai vế phương trình để làm CBH thường các em không tìm ĐK để hai vế dương - Ở dạng phức tạp thì các em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ giải hạn chế, các em thường không có sở kiến thức để phát triển phương pháp giải - Có ít tài liệu đề cập sâu dạng phương trình này - Không đồng nhận thức lớp nên việc phát triển kiến thức phương trình vô tỉ các tiết dạy là khó Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 35 học sinh tôi thấy kết tiếp thu giải phương trình vô tỉ sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 18 51.4 12 34.3 11.4 2.9 Một nguyên nhân dẫn tới khó khăn trên HS đó là các em chưa phân biệt các dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải nó, việc tìm tòi, khám phá phương trình vô tỉ gặp nhiều khó khăn vì các tài liệu phương trình vô tỉ chưa nhiều Để giúp các em HS nắm đúng, nắm dạng và phương pháp giải dạng từ đó phát triển lực tư nhằm đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh, tôi mạnh dạn viết chuyên đề ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' áp dụng cho đội tuyển HSG khối với hy vọng phần nào tháo gỡ khó khăn cho các em HS gặp dạng phương trình này và là tài liệu nhỏ để tham khảo các bạn đồng nghiệp III- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI: A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN: Phương pháp nâng lên luỹ thừa: a) Dạng 1: f ( x) c (1) (c là số Đây là dạng đơn giản PT vô tỉ Sơ đồ cách giải: - Nếu c < phương trình (1) vô nghiệm - Nếu c = thì (1)  f(x) = Giải phương trình này ta tìm nghiệm (1) - Nếu c > thì (1)  f(x) = c2 Giải PT này ta tìm nghiệm (1) Ví dụ 1: Giải phương trình: x  x  0 Gợi ý: Ta có:  x  x  x  0  x  x  0    x  (t/m) Vậy tập nghiệm phương trình là S   3;  2 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  3x  5 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Gợi ý: Ta có: Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  3 x x  x  5  x  x  25  x  3x  24 0    3 x  105 105 (t/m)   105  105  S  ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình là: b) Dạng 2: f ( x)  g ( x) Sơ đồ cách giải:  g (x) 0 f ( x )  g ( x)   f(x)  g (x) Ví dụ 1: Giải phương trình : x   x  Gợi ý: ĐK: x - 0  x 3 (1) Ta có: (1)  x+3 = (x-3)2  x2 -7x + 6=  (x-1)(x-6) =  Vậy phương trình có nghiệm x =6 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  13  x 1  x 6  (1) Gợi ý: Ta có: (1)  x  13  x (2)  x  0  x 1   ĐK : 13  x 0   x 13   x 13 2 Bình phương hai vế (2) ta : (2)  x  (13  x)  x  27 x  170 0  x  10 0  x 10  x  17 0   ( x  10 )( x  17 ) 0     x 17 Chỉ có x 10 thỏa mãn đk Vậy nghiệm phương trình là x 10 c) Dạng 3: f ( x)  g( x) Sơ đồ cách giải:  f ( x ) 0  f ( x)  g ( x)   g ( x) 0  f ( x ) g ( x)  Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x    x  2 x  0    x   x   4 x  0  x   x 5 2 x  4 x     x 5   Gợi ý: Ta có: Vậy nghiệm phương trình là: x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x    x Gợi ý: Ta có: (1) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc   x    x      x  x  0   x    x     x  x    x  1  x 0   x 1   x 1   x  x  1  x  x  x  0  x        x  S   1;  5  x   x   Vậy tập nghiệm phương trình là: 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: x  x   x  x  Gợi ý: Ta có:  x  x  0  x  x   x  x   2 x  x  0  x 2  x  x  2 x  x   x  x  0     x 4 Vậy tập nghiệm phương trình là: S  2; 4 d) Dạng : f ( x)  g( x) c (1) (c là số) - Nếu c < thì phương trình (1) vô nghiệm - Nếu c = Ta có: (1)  f (x) 0 f ( x)  g( x) 0   g(x) 0   - Nếu c>0 Ta có: (1)  f (x) 0  f ( x )  g( x) c  g(x) 0   f (x)  g(x)  f (x).g(x) c  f (x) 0   g(x) 0   2 f (x).g(x) c  f (x)  g(x) * Chú ý: Nếu ta có: f (x)  g (x) c  f ( x)  g( x) c  f (x) 0 g(x) 0  c  f (x)  g(x) 0  4 f (x).g(x)  c  f (x)  g(x)     (x)giải 0 sau:  f ta thì g(x) 0  f (x)  g (x)  c   g (x)  c 0   f (x)  g (x)  c     f (x) 0 g(x) 0    g (x)  c 0   f (x) g (x)  c g (x)  c Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x  0 (1)  Gợi ý: Ta có: 2 x  0 x   x  0     x  0  x    x 1 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm x   x  5 (1) Ví dụ 2: Giải phương trình:  x 1 Gợi ý: ĐK Ta có:  x  0   2 x  0    x 1  x  x   x  5   x   2x   25 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  27  x 0   x  1  x  1 27  x   2   x  x  1  27  x  1 x 9 1 x 9      x 5  x 5  x  150 x  725 0   x 145  (t/m) Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: x   x  x  2 (1) x2   Gợi ý: Ta có: x  x  2   x  x  0    x   x2  x        1 x x   x  x  3   13  x       13    x    4 x  x   x   13   13  x     x   2 16  x  x  3  x  16 x  64        13  x      13    x    x 4  13    x        13  x   28   x   15     x 4  15 x  32 x  112 0   28  x  15    28  4;  Vậy tập nghiệm phương trình là: S =  15  e) Dạng 5: f ( x )  g( x ) h( x) - Đặt điều kiện: (1)  f (x) 0  g(x) 0 h(x) 0  - Bình phương hai vế (1), ta có: f (x)  g(x)  f(x).g(x)  h(x) 2  f (x) g(x)  h(x)   f (x)  g(x) * Chú ý: Giải tương tự với dạng: f ( x)  g( x) h( x) Trở lại dạng với điều kiện Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x   x   x  4 f ( x ) h( x) (1)    x  0  x   x   x       x  0   x  0  x 2  x   x  0    x   x    x  x  0  x    x   x  0    x 2 Gợi ý: ĐK: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ta có: (1)     x  1  x 1  x  1  x 1  x  4 x  4  x 1  x  3  x7 3  x  0  x  3    x   x  9  x   x  5 x  15  x  3  x  9  x 2(t/ m) Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x   x  x  (1) Gợi ý: ĐK:  x  x  0  x     x   x  0 x    x  0  2 Ta có: (1)  x  x   x   ( x  x  1)( x  1) x  x   x  4 x   x  2 x   x  4 x  x   x 0   x  x  x 0  x  x  x   0   x 2  2 (t/ m)  x 2  2  Vậy tập nghiệm phương trình là: g) Dạng 6:  S  0;  2;  2  f ( x )  g ( x )  h( x )  f ( x) 0  g ( x) 0    h(x) 0  f ( x)  g ( x)  f ( x).g ( x) h( x)  Sơ đồ cách giải:  f ( x) 0  g ( x ) 0  h(x) 0  2 f ( x).g ( x) h( x)  f (x)  g(x)  Đến đây bài toán trở lại dạng Chú ý: Giải tương tự với dạng: f ( x)  g ( x )  h( x ) Ta có: f ( x)  g ( x)  h( x)  h(x)  g(x )  f(x)  Bài toán trở lại dạng  43x   x  2 x  Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) x  3 x  0   x  0   x 0  Điều kiện: Ta có: (1)   x 4  x 4  x 0    3x   x    3x    x   4 x 4  x   x   x    x   4 x   x    x   0   x 4   x 4 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS (t/m) Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x  - x  = 12  x  x  = 12  x + x  (1)  x  0  x  Gợi ý: ĐK:  12  x 0   x  0    x 12   x 12  x 7  (2) Bình phương hai vế ta được: x  12  x  x   ( 12  x )( x  )  x  2 ( 12  x )( x  ) (3) Ta thấy hai vế phương trình (3) thỏa mãn (2) vì bình phương vế phương trình (3) ta được: (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = 44 Phương trình này có nghiệm x1 = và x2 = thoả mãn (2)  44  S  ;8 5  Vậy tập nghiệm phương trình là: f ( x )  g( x )  h (x)  k (x) h) Dạng 7: Sơ đồ cách giải: f (x) 0 g(x) 0    h(x) 0  Điều kiện: k(x) 0 Bình phương hai vế phương trình, ta có: f (x)  g(x)  f (x) g(x) h(x)  k(x)  h(x) k(x) 2  f (x) g(x)   h(x) k(x) h(x)  k(x)  f(x)  g(x)  Bài toán trở lại dạng Ví dụ 1: Giải phương trình : x  + x  10 = x  + x   x  0  x  10 0    x  0  x  0 Gợi ý: ĐK :  Bình phương hai vế (1) ta được:  x   x   10    x   x   (1)  x ≥ -1 (2) x+1 + x+ 10 + ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ + ( x  2)( x  5)  + ( x  1)( x  10) = ( x  2)( x  5) (3) Với x  -1 thì hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta được:  ( x  )( x  10 )  ( x  )( x  10 ) ( x  )( x  )  ( x  )( x  10 )  x  Điều kiện đây là x  -1 (4) x   Kết hợp (2) và (4):  x    x = -1 là nghiệm nhầt phương trình (1) Ví dụ 2: Giải phương trình: x   x  16  x   x  (1) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 1  x    x  0   x  16 0 x  1     x   x  0  x   x  0  9 x   Gợi ý: ĐK: Ta có: (1)  x   x  16    x  1  x  16  2 x   x    2x  4  2x  9 x  34 x  16   x  26 x  36 (2) Hai vế (2) không âm Bình phương hai vế (2), ta có:    x  34 x  20   x  34 x  16 4 x  26 x  36 x  34 x  16  x   x  0   4 x  34 x  16 4 x  16 x  16  x 2  x 0(t/ m)   x 0 Vậy phương trình có nghiệm là x = * Nhận xét : Phương pháp nâng lên luỹ thừa sử dụng vào giải số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc, song quá trình giảng dạy cần chú ý nâng lên luỹ thừa bậc chẵn thì phải có điều kiện để hai vế phương trình dương Với hai số dương a, b a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3 ) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn thức, điều kiện hai vế phương trình dương đây là vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan, còn thiếu sót sử dụng phương pháp này Ngoài còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: Sơ đồ cách giải:   f ( x) 0   f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)     f ( x) 0    f ( x)  g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x   x   x  2 (1) (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình – Năm học 2014 - 2015) Gợi ý: ĐK: x Ta có: (1)  2 x   x   x   2 x  4 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc    1 2x    2 x  1   1 2x   2x   1  x  1 Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 4  2x    1 x  0  x  4 x  1   x 3 (t/m)  x  x   x  x  14 (1) (Đề thi HSG tỉnh Kiên Giang - Năm học 10 - 11) x   x   x  14 Ta có: (1)  (*)  16   4;  Xét các trường hợp, ta tập nghiệm là S =   Ví dụ 3: Giải phương trình: x  24 x  16  x  (1) 9 x  24 x  16 0 (3 x  4) 0x    x 4 ĐK:  x  0 Gợi ý:  x   x   3x  Ta có: (1)  = -x +   x   x   x≤4  x 2    x 0 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x1 = 2; x2 = Nhận xét : Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối sử dụng để giải số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc trên, song thực tế cần lưu ý cho học sinh số vấn đề sau: - Áp dụng đẳng thức A2 = A - Học sinh thường hay mắc sai lầm lúng túng xét các khoảng giá trị ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm Phương pháp đưa phương trình tích: a) Dạng 1: Đưa phương trình dạng f(x) g(x) ….h(x)= Các bước giải: + Tìm tập xác định phương trình + Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình dạng f(x) g(x) ….h(x)= (gọi là phương trình tích) Từ đó ta suy f(x) = 0; g( x) = 0;… ; h(x)= là phương trình quen thuộc + Nghiệm PT là hợp nghiệm các phương trình f(x) = 0; g(x) = 0; ….;h(x)=0 thuộc tập xác định Ví dụ 1: Giải phương trình: x  x  3x x  (1) (Đề thi HSG thành phố HCM – Năm học 2014 - 2015)  Gợi ý: ĐK x Ta có: (1)  x  x x   x x   (x  3) 0 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  x(x  x  3)  x  3( x  x  3) 0  (x  x  3) x  x  0   x  x  0    x  x  0  x  x 3    x  x     13 x   x 1   13  1;   Vậy tập nghiệm phương trình là: S =  x3 5 x Ví dụ 2: Giải phương trình:  x 40 (1) (Đề thi HSG tỉnh Hưng Yên – Năm học 2014- 2015) Gợi ý: ĐK:  x3     x  x  x 40 Ta có: 5x3 x    x3  x  53  x 40 2 53  x 2    x  x  0  x    x     x    x   x   x  0   x    x  x  x   x  20  x 0 TH1:   3x  20 0 2 0 TH2: x   x  32 x  20 x 2 x 54x25 x 0   0x 2ĐK:   x   x 3x  20  x 20  x 2  x   x 9 x  120 x  400   x 2   13x  100 x  400 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm là x = Ví dụ 3: Giải phương trình: √ x − x=2 x − x (1) (Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ - Năm học 2014 - 2015)  x 0  x (2 x  1) 0  1   x 2 x(2  x)   2 Gợi ý: ĐK: Ta có: (1)    x2  x  x x2  x    x  2x  x  x  x  x  x   x  0  x  x x x  x   x 0    x  x   x  1 (loai)   Giải ta x = x = Ví dụ 4: Giải phương trình: x   x 2 x    x  x   (1) (Đề thi HSG tỉnh Hòa Bình – Năm học 2010- 2011) Gợi ý: ĐK: x 7 Ta có: (1)    x 1 x 1   x 0 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc x   0      x 5    x 0  x 4 x 1 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình là: S =  4;5 Ví dụ 5: Giải phương trình: x  2 x x  x (1) (Đề thi HSG thành phố Đà Nẵng – Năm học 2009- 2010)  Gợi ý: ĐK: x Ta có: (1)  x x       x  x  0  x 4 x  x x  0    t / m  x 1  4;1   Vậy tập nghiệm phương trình là: S = b) Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình tích: Các bước giải: + Đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn, đặt ĐK cho ẩn phụ + Đưa phương trình dạng tích (với ẩn phụ) + Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm phương trình đã cho + Căn vào ĐKXĐ kết luận nghiệm phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình:  x3   x  1 x   2  x  x    (1) (Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 2014 - 2015) Gợi ý: ĐK: x  Đặt: y  x  1; z  Khi đó (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) Chứng minh (2)  (x+y)(x+z)(z+x) = 1  x ( thỏa mãn) Với: x + y =  x  x  0  x   x Với: x + z =  x  0  x  ( loại) Với: y + z =  x   0 - vô nghiệm 1 x Vậy phương trình có nghiệm : Ví dụ 7: Giải phương trình: x 1  x  x  (1) (Đề thi HSG tỉnh Bắc Giang – Năm học 2009 -2010) Gợi ý: ĐK: x  Đặt a = x  , b = 3x với a 0, b 0 Suy ra: b2 – a2 = x – Thay vào (1), ta có: a – b = b2 – a2  (a – b)(a+b+1)=  a – b = (do a 0, b 0 nên a+b+1>0 ) Với a = b, ta có: x  = 3x  x = (t/m) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Ví dụ 8: Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x  (1) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường – Năm học 2013- 2014) Gợi ý: ĐK: x -1 Đặt a = x  , b = x  x  với a 0, b>0 Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab  (2a-b)(a-2b)=0  2a=b a=2b Với a=2b  x  =2 x  x   4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm Với b=2a  x  x  =2 x   x -5x-3 =  x Vậy phương trình có nghiệm: x  37 (thỏa mãn đk x -1.)  37 2 Ví dụ 9: Giải phương trình: ( x + - x + 2)(1 + x + 7x + 10) = (Đề thi HSG tỉnh Ninh Bình – Năm học 2013 -20 14) Gợi ý: ĐK x  - Đặt x  u 0, x  v 0 ta có: uv  x  x  10, u  v 3 2 ( u  v )(1  uv )  u  v Thay vào phương trình ta được:  u v  u 1   (u  v)(1  uv ) (u  v )(u  v)  (u  v)(1  u )(1  v) 0   v 1 * Với u = v ta có x   x   PT vô nghiệm * Với u = ta có x  1  x  (loại) * Với v = ta có x  1  x  (TM) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -1 Ví dụ 10: Giải phương trình: √ x +5 x+12+ √ x2 +3 x +2=x +5 (1) (Đề thi HSG tỉnh Ninh Bình – Năm học 2014 -20 15) Gợi ý: ĐK: x -5 Đặt a = √ x +5 x+12 ; b = a2 − b2 √ x +3 x+2 => a2 – b2 = 2x +10 => x+5 = Thay vào phương trình ta được: a+b= a2 − b2 ⇔ 2(a + b) – (a2 – b2) = ⇔ (a+b)(2 – a + b) = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc vì a + b > nên – (a – b) = hay a – b = Giải ta tìm x = -1; x = * Nhận xét : Khi giải phương trình Phương pháp đưa phương trình tích, cần phải biết vận dụng, phối hợp linh hoạt với các phương pháp khác nhóm các số hạng, tách các số hạng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn đưa phương trình dạng tích quen thuộc đã biết cách giải Phương pháp đặt ẩn phụ: Việc giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ có thể xem là đáng lẽ ta phải đường thẳng thì ta lại theo đường vòng dễ để tới đích Mặt khác trước hết ta tìm ẩn phụ trở tìm ẩn ban đầu; cho nên có thể xem việc giải phương trình cách dùng ẩn phụ là công việc tách thành hai công đoạn dễ làm Quy trình giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn các ẩn phụ thích hợp chuyển bài toán đã cho thành bài toán ẩn phụ Bước 2: Tìm ẩn phụ trở tìm ẩn ban đầu Sơ đồ cách giải: a) Dạng 1: Chuyển bài toán từ ẩn đã cho sang ẩn phụ giữ nguyên số ẩn và số phương trình: Ví dụ 1: Giải phương trình: x   x 1 3 x  x  x   16 (1) (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc – Năm học 2010- 2011) Gợi ý: ĐK: x -1 Đặt x   x  u (u 0) Ta có:   u 3x   2 x  x   3x  2 x  x   16  20 2 Khi đó: (1)  u u  20  u  u  20 0  u 5 (do u 0) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Với u = ta được: x   x  5  3x   2 x  x  25  x 7  2 x  x  21  x    x 3 (t/m)  x  146 x  429 0 Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x   4  x x  (1) (Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 2013- 2014) Gợi ý: Đặt t  x x   t 2 x (x  2)  x (x  2)  Lúc này, ta có: (1)  t2 t2 4  t  t  2t  0   t 2  t   Với t = 2, ta có:  x  x   x  x x  2      x 2  x  x  0 2  x  x  4  x   Với t = -4, ta có:  x  x x      2 x  x  16    x    x  x    Vậy tập nghiệm phương trình là: S = Ví dụ 3: Giải phương trình:  x   x   x    1;   x  1  x     x  1 3  x2 12 x (1) (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi – Năm học 2013- 2014) Gợi ý: ĐK: x  2; x  Ta có: (1)   x  1  x     x  1 x2  12 0 x  t 2    x  1  x   ta có phương trình: t2 + 4t – 12 =  t  (loai) Đặt t =  x 2 (t/m)  x  x  0    x=-3 (t/m) Với t = 2, ta có: (x + 2)(x + 1) = 2;  3 Vậy tập nghiệm phương trình là: S =  Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x2 + 3x + x  x  = 33 (1) Gợi ý: ĐK:  x  R Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x + + x  3x  - 42= (1) Đặt x  3x  = t (t 0) (Chú ý học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ t) Ta có: (1)  t2 + t - 42 = Phương trình này có hai nghiệm: t1 = , t2 = -7 < (loại) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc x  x  =  2x2 + 3x -27 = Phương trình này có hai nghiệm x1 = 3, x2 = - Từ đó ta có: Cả hai nghiệm này là nghiệm phương trình đã cho Ví dụ 5: Giải phương trình: x + x = 12 (1) Gợi ý: ĐK: x  Đặt x = t (t 0)  x = t2, ta có: (1)  t2 + t -12 = Phương trình có nghiệm là t = và t = - (loại) Với t =  x =  x = 81(thỏa mãn) Vậy x = 81 là nghiệm phương trình đã cho b) Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x   x  x  4x (1) (Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ – Năm học 2013 -20 14) x  , x 0 Gợi ý: ĐK: Phương trình tương đương với: 12 x   x  1 4 x x  Đặt a 2 x, b  3x   a 0; b 0  2 Ta có phương trình: 3a  b 2ab   b  a   b  3a  0  b a b  3a Khi đó x  2 x 3x   x +) Với x  2 x , điều kiện x  , ta có 2 3x  2 x  x  4 x  x  x  0  x 1  x  +) Với x   x , điều kiện , ta có 3x   x  36 x  x   x  x  (loại)  153  153 x 72 72 (loại)   153  S 1;  72    Vậy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ 2: Giải phương trình: 10 x  3 x  (1) (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An– Năm học 2010 -20 11) x   Gợi ý: ĐK: Ta có : (1)  10  x  1  x  x  1 3  x   Đặt: a  x  (a 0); b= x  x   b  0  a 3b   a  3b   3a  b  0    b 3a Ta có: 10ab = 3a2 + 3b2 2 - Nếu a = 3b, ta có: x  = x  x   x  x   x   x  10 x  0  , 25  9.8   Phương trình vô nghiệm Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc - Nếu b = 3a, ta có: x  = x  x   x 5  33 (t/m)   x  1  x  x   x  10 x  0    x2 5  33 (t/m) Vậy tập nghiệm phương trình là:   S   33 Ví dụ 3: Giải phương trình: x  + (x+1) = x- +  x +  x (1) Gợi ý: ĐK: -1  x  Đặt x  = u  và  x = t  Ta có: (1)  u + 2u2 = -t2 + t + 3ut  (u - t ) + u(u-t) + (u-t) =  x 0  x    x   u t   x  24  2u  t 25 (t/m)  (u-t)(2u - t +1 ) =     x     x     24  S 0;   25  Vậy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ 4: Giải phương trình sau : x  x  7 x  Gợi ý: ĐK: x 1 Ta đưa phương trình (1) dạng: (1)  x  1   x  x  1 7  x  1  x  x  1  v 9u 3u  2v 7 uv    v 1 u u  x   , v  x  x    Đặt , ta phương trình: Thay u,v vào ta tìm được: x 4  2 Chú ý: Các phương trình dạng  u   v  mu  nv có thể giải VD3 và VD c) Dạng 3: Chuyển bài toán phương trình ẩn x thành bài toán phương trình ẩn y mà hệ số còn chứa ẩn ban đầu Ví dụ 1: Giải phương trình: Gợi ý: Đặt x  3x 1(x  3) x 1 (1) (Đề HSG TP Thái Nguyên – Năm học 2014 - 2015) x  y với y 1 Khi đó ta  y 3 y  3x (x  3)y  (y  3)(y  x) 0    y x 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: (4 x  1) x  2 x  x  (1) (Đề HSG huyện Thanh Chương – Năm học 13 - 14) Gợi ý: Đặt x   y 1 phương trình trở thành: (4 x  1) y 2 y  x  4xy - y = 2y2 - 2x  2y2 - 2x - 4xy + y =  y(2y +1) - 2x(2y + 1) = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  ( 2y + 1)(y - 2x) =  y = 2x (vì y 1 )  x  2 x  x Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ 3: Giải phương trình:  x2   x (t/m)  x  x 1  x  (1) Gợi ý: Đặt y  x  ; y  Ta có:  y 3 (1)  x     x  x    x 0  y    x  y   x 0    y x  x  3  x  Nếu y =  x  x  x   x  1 (loại) Nếu y = x -  x 1  Ta có: Phương pháp đưa hệ phương trình: a Chuyển các bài toán từ phương trình ẩn thành hệ phương trình hai ẩn phụ: Các bước tiến hành: - Tìm điều kiện tồn phương trình - Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình việc giải hệ phương trình quen thuộc 3 Ví dụ 1: Giải phương trình: x 10  17  x 3 (1) (Đề thi HSG tỉnh Kiên Giang – Năm học 2012- 2013) Gợi ý: Đặt a= x  10 ; b= Ta có hệ phương trình: Với Với a 3   b   a 0   b 3 17  x  a  b3 27   a 3  a  b 3 a  b 3  b 0    3   a 0 a  b 27 a  ab  b 9   b 3  x  10 3  x 17 3  17  x 0  x 10 0  x  10   17  x 3 Ví dụ 2: Giải phương trình: 25- x2 - 10 - x2 = (1) (Đề HSG tỉnh Quảng Ngãi – Năm học 2008 - 2009) 2 2 Gợi ý: Đặt a= 25  x ; b= 10  x  a  b 15 Ta có hệ phương trình: a  b 3   2 a  b 15 a  b 3   a  b 5 a 4  b 1 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  25  x 4  x 9  x 3   10  x 1 Với (t/m) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 a 4   b 1 (5  x)  x  ( x  3) x  Ví dụ 3: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK:  x  5 x  x =2 (1)   x u (u  0)   x  t (t 0) Đặt Phương trình (1) trở thành hệ phương trình: u  t   u 0  2  Ta có: (1)  u  ut  t   ut =   t 0 + Với u =   x 0  x 5 (thỏa mãn) + Với t =  x  0  x 3 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =3; x= Ví dụ 4: Giải phương trình:  x + x  = Gợi ý: ĐK: x  3  x u   x  t (t 0) Đặt Khi đó: u = - x ; t2 = x- nên u3 + t2 = u  t 1( )  u  t 1( ) Phương trình đã cho đưa hệ: Từ phương trình (1)  u = - t Thay vào phương trình (2) ta có:  t 0   t 0   t 1   (2)  (1 - t)3 + t2 =  t( t2 - 4t + 3) =   t  4t  0    t 3 + Với t =  x  0  x = (thỏa mãn) + Với t =  x  1  x = (thỏa mãn) + Với t =  x  3  x = 10 (thỏa mãn) Vậy: x= 1; x =2 ; x = 10 là nghiệm phương trình đã cho b Chuyển các bài toán phương trình ẩn thành hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn ban đầu Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + 2015 = 2015 (1) (Đề HSG tỉnh Long An – Năm học 2014 - 2015) Điều kiện: x  2015 ; Đặt t = x  2015 0 => t2 – x = 2015 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  x  t 2015 2 Ta có hệ phương trình :  t  x 2015  t  x  x  t 0 (t  x)(t  x  1) 0    2  x  t 2015  x  t 2015  t  x    x 1  8061     t  x  t  x   x 1  8061   2 * Giải hệ pt:  x  t 2015   x  x  2015 0    t x     x        t  x   t  x   x      * Giải hệ pt:  x  t 2015   x  x  2014 0    8057 8057 * Đối chiếu với điều kiện bài toán, nghiệm phương trình đã cho là: 1 x1  8061   8057 x2  2 ; Ví dụ 2: Giải phương trình x2 - x -  16x 2 (1) (Đề HSG tỉnh Nghệ An – Năm học 2008 - 2009) x  16 Gợi ý: ĐK: Ta có: (1)  x2 - x = 2(  16x  1) Đặt:  16x  2y (  + 16x = 4y2 -4y + 1 4y2 - 4y = 16x  y2 - y = 4x (*)  y  y 4x  (x  y)(x  y  3) 0  x  x  4y  Ta có :  y 2)  x y   x  y  0 (lo¹i v× x - vµ y 1 )  16 2 Với x = y thay vào (*)  x - x = 4x  x 5 (tho¶ m·n)  x 0 (lo¹i)  x2 - 5x =  x(x - 5) =   Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ 3: Giải phương trình: Đặt: x 1 = a ; 3 ( x  1) + ( x  1) + x2  = x  = b nên ta có: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc a2 = ( x  1) ; 3 b2 = ( x  1) ; ab = x  Ta phương trình: a2 + b + ab = (1) Ta có: a  x   b  x  Ta phương trình: a3 - b3 = (2) 2 a  b  ab 1   3 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: a  b 2 a  b  ab 1  a  b 2 Từ hệ phương trình, ta suy ra: a - b =  b = a - Thay vào phương trình (1) ta được: 3.(a -1)2 =  a =1 Với a = 1, ta có: x  =  x = (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình là: x = n a  f (x)  n b  f (x) c Đối với phương trình có dạng: Chú ý: Ta thường đặt u  n a  f (x); v  n b  f (x) Khi đó, ta hệ phương trình: u  v c  n n u v a  b Giải hệ này ta tìm u và v Từ đó ta tìm giá trị x Nhận xét: Qua các ví dụ trên cho ta thấy phương pháp đưa hệ phương trình có điểm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải tư Do đó phương pháp này thường áp dụng cho học sinh khá, giỏi Ta cần chú ý số điểm sau: + Tìm điều kiện tồn phương trình + Biến đổi phương trình để xuất nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình việc giải hệ phương trình quen thuộc Ngoài người học còn biết kết hợp phương pháp này với các phương pháp khác phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng đẳng thức Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: Các bước: * Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) và f(x) a; g(x) a (a là số) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Nghiệm phương trình là các giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a * Biến đổi phương trình dạng h(x) = m (m là số) mà ta luôn có h(x) m; h(x) m thì nghiệm phương trình là các giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy * Áp dụng các bất đẳng thức: Cauchy; Bunhia côpxki, a) Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị hai vế là rời nhau, đó phương trình vô nghiệm x - Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x  (1)   x 1   x     x   x 1  x  0  5 x  0 3x  0   Gợi ý: ĐK: 5x  = Với x  thì x < 5x đó x  < x  Suy ra: Vế trái (1) là số âm, còn vế phải là số không âm Vậy phương trình vô nghiệm 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x  11 + x  x  13 + x  x  = + (1) Gợi ý: Ta có: (1)  ( x  3)  + ( x  3)  + Mà  VP = VT = + ( x  3)  + ( x  3)  + 4 ( x  2)  = + ( x  2)   + 4+1=3+  x  0  x 3    x  0  x 2 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch hai vế: Ví dụ 1: Giải phương trình x   y  2014  z  2015   x  y  z (1) (Đề thi HSG huyện Yên Lạc – Năm học 2014 - 2015) ĐK x 2; y  2014; z 2015  Ta có : (1)  Do   2   x 2  x   0;    y  2014    y  2014  0;  x   0    y  2014  0    z  2015  0   z  2015  0  z  2015  0  x 3   y  2013  z 2016  (t/m) Vậy nghiệm phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Ví dụ 2: Giải phương trình: x  3x 2 x   (1) (Đề thi HSG huyện Tam Dương- Năm học 2014 -20 15) Gợi ý: ĐK: x 1 2 Ta có: (1)  x  3x 2 x    ( x  x  4)  ( x   x   1) 0  x  0   x 2(T / m)  x   0  ( x  2)  ( x   1) 0 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: x  x  2 x  (1) (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An- Năm học 2010 -2011) x Gợi ý: ĐK Ta có: (1) 3    x  x    x  3  2 x   0   x  1    x  0 x   0    x  (t/m)  x   0  Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Ví dụ 4: Giải phương trình: x  x  x  x x  (1) (Đề thi hsg thành phố HCM - Năm học 2009 -2010)  x  x 0   x  x 0 Gợi ý: ĐK Áp dụng BĐT Cauchy cho hai cặp số không âm, ta có: x  x2 1 x  x2 1 x  x  x  x   x  x    x  x    x  2  x  x 1  Dấu đẳng thức xảy khi:  x  x 1  Hệ phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm x  x  15  x  x  18 Ví dụ 5: Giải phương trình: x  x 11  1   x  3   x  3  Gợi ý: (1) Ta có: (1) 1 Mà: VT =  x  3 2 1  3 2  x  3  3 VP =  VT VP   x  3 0  x  0  x 3 Vậy phương trình có nghiệm là x = Ví dụ 6: Giải phương trình: Gợi ý: x  x  11  x  x  13  x  x  3  Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS (1) Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  Ta có: (1) Mà: VT =  x  3  x  3 2 2  2   x  3  x  3 2    x    3  (*)    x       3  VP =   x  3 0  x 3     x 2 x   0 Nên (*) xảy  (vô lí) Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 7: Giải phương trình: 19 Gợi ý: Điều kiện: Ta có: VT = 19 Mà: VP = x x 5 x2   95 x  x 2 3 (1)  x  0   x  0  x  x  0  5 x2   95 x2  x  190  50  950 3  x  0   VT VP   x  0  x 1  x  3x  0  Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp chứng minh nghiệm nhất: Các bước: Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta chưa biết cách giải, thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm, thử trực tiếp để tìm nghiệm chúng Rồi tìm cách chứng minh ngoài nghiệm này không còn nghiệm nào khác 10  4  x  x Ví dụ 1: Giải phương trình : (1) (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc – Năm học 2007 - 2008) Gợi ý: ĐK: x  2      4  x    1    x 2 x x   x     2 3  x   0   10      x   x - Nếu 10  4 x 3 x Suy ra:  x Vậy phương trình có nghiệm không     4 0   x  1   x   x 2x   x     2 0   x    10      x   x - Nếu Suy ra: 10  4 x 2 x 3 x Vậy phương trình không có nghiệm Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc ta thấy thỏa mãn điều kiện và phương trình đã cho Với x Vậy phương trình có nghiệm x Ví dụ 2: Giải phương trình: x  28 + x  23 + x + x = + (1)  x  0  x 1  ĐK:  x 0 Gợi ý: Ta thấy x =2 là nghiệm (1) + Với x > 2, ta có: VT > 32  27   9  + Với x< 2, ta có: VT < 32  27   9  Vậy x = là nghiệm phương trình 2x 3 Ví dụ 3: Giải phương trình : Gợi ý: Ta thấy: x = là nghiệm (1) x 3 x2  3x 3 (1) 3 + Với x 0 ta có: VT =    2  3 Do đó x 0 không thể là nghiệm (1) Vậy x = là nghiệm phương trình Phương pháp Sử biểu thức liên hợp – Trục thức Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: x  x   x   x  0 (1) (Đề HSG huyện Vĩnh Tường – Năm học 2013 - 2014) Gợi ý: ĐK: x 0 Ta có: (1)  x   x   x   x (1)   x 9  x  x 1  x  x   x  5( x   x ) (2) Từ (1),(2) suy ra: x  3 x   x 3 x   x   x  ,dấu “=” xảy x=0 Thử lại x=0 là nghiệm phương trình Vậy pt đã cho có nghiệm x=0 Ví dụ 2: Giải phương trình:  4 x 3 x4 (1) (Đề HSG huyện Hoằng Hóa – Năm học 2013 - 2014) Gợi ý: ĐK: x > -    Ta có: (1)       2 x      0 x   4 x  11 x  11 x 3  x  0   0     2 2  x  3     x  4    x 3 x4 x 3  x4     4 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc       x  3     x  4    x 3  x4    Vì x > - nên 11  Do đó 4x + 11 =  x = thỏa mãn điều kiện 0  11  S     4 Vậy tập nghiệm phương trình là: 3 Ví dụ 3: Giải phương trình: x   x   x  x  x  14 0 (1) (Tạp chí Toán tuổi thơ - Số 152) Gợi ý: ĐK: x  Phương trình tương đương với:     x 8   x    x3  x  x  0 x   x  8   x  1 x   x    x  x  1 0 x7 4   1   x  9    x  x  1 0  x   x  1  x7 4      x  0  x 9 1   x2  x 1 x 7 4 x  8  x  1 Vì x  nên  >0 Vậy phương trình có nghiệm x = B- BÀI TẬP VẬN DỤNG: 2 Bài 1: Giải phương trình: x  x  + x  x  16 = (1) Gợi ý: ĐK: x  R 2 x x Ta có: (1)  ( x  2)  ( x  4) 5  + =5 ĐS: 0,5; 5,5 Bài 2: Giải phương trình: x  x   + x  x   = (1) Gợi ý: ĐK: x  Ta có: (1)  ( x   2) Bài 3: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK :   x 3 + ( x   3) =  x 1 + x 1 =1 (2) ĐS:  x  10 x  +  x - ( x  1)(3  x ) = (1) Đặt x  +  x = t   t2 = + ( x  1)(3  x)  t2  ( x  1)(3  x ) = (2) Thay vào (1) ta được: (1)  t t2  2  t2 - 2t =  t(t-2)=   t 0  t 2  ĐS : -1; Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Bài 4: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK: x 1 x  x  x  1 x Nhận xét Đặt t  x  x   x  x  2 (1) x t  2  t 1 x  (t > 0) thì phương trình (1) có dạng: t ĐS : 1 x  x x  3x  x Bài 5: Giải phương trình sau: (1) Gợi ý: ĐK:   x  ; x 1 1 1 x  x  3   x   x   0 x x x x Chia hai vế cho x, ta nhận được: (*) t   t  2t  0   t  x  t  3(loai) x  Đặt (t 0), thì phương trình (*) có dạng: 1 ĐS : 2 Bài 6: Giải phương trình: x  x  x 2 x  (1) Nhận xét: x 0 không phải là nghiệm phương trình 1  (1)   x    x  2 x x  Chia hai vế cho x, ta được: 1 x t 1  x  x Ta có: t  t  0  Đặt t= 3x  21x  18  x  x  2 (1) Bài 7: Giải phương   7trình:  21 x     21 x Gợi ý: ĐK:  Đặt y = x  x  ; y 0 5  y     y 1  y 1 Phương trình (1) có dạng: 3y2 + 2y - =  x    x   Với y =  x  x  1 là nghiệm phương trình đã cho Bài 8: Giải phương trình: x  = 2( x2 + 2) Gợi ý: ĐK: x  (1) x  x  x  2  x    Ta có: (1) Đặt x  = a  ; x  x  = b >  a2 + b2 = x2 + Thay a, b vào phương trình (1), ta có:  2a  b   (1)  5ab = 2(a2 + b2)  (2a- b)( a -2b) =   a  2b 0 ĐS:  37  37 2 ; Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 2 Bài 9: Giải phương trình: x  x   x  x  (1) u  x  u, v 0; u  v   v  x   Ta đặt:  2  u  v  u  v Ta có: (1)  u  3v  u  v  2(u + v) - (u - v)= Đến đây ta tìm u, v Thay u, v vào thì tìm x x  x  x   3x  x  Bài 10: Giải phương trình sau: x Gợi ý: ĐK: x Bình phương vế ta có:  x   x  1  x  x    x  1  1 v u   uv u  v  u  x  x  1  u v  v  x    Ta có thể đặt: đó ta có hệ:  x   x  1  x   x 1 1 u v  x2  2x   x  1 u , v  2 Vì nên Giải tiếp ta tìm x 2 Bài 11: Giải phương trình:  x  1 x  x   x  (1) Gợi ý: Đặt: t  x  x  3, t  2 Ta có: (1)   x  1 t  x   x    x  1 t 0  t 2  x  x    x  1 t   x  1 0  t   x  1 t   x  1 0    t x  ĐS:  2 Bài 12: Giải phương trình: x  3x   x  3 x  (1) Gợi ý: Đặt t  x  1; t 1  t x    t 3 Phương trình (1) trở thành: t2 - (x + 3)t + 3x =  (t - x)(t - 3) = ĐS: 2 2 Bài 13: Giải phương trình: 25  x - 15  x = Gợi ý: ĐK:  x2  15 2 Đặt: 25  x = a (a 0) (* ); 15  x = b ( b  0) ( ** ) Từ phương trình đã cho chuyển hệ phương trình:  a   a  b  b    a  b 5   a  b   (a  b)(a  b)  2(a  b) a  b  (1)    3x 1 Bài 14: Giải phương trình: ĐS:  51 2   x  1  x  1 (1) u  3x 1; v  3x  Đặt Gợi ý: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc u  v  uv 1  u  v 2  u v   3 u  v 2 Phương trình (1) trở thành hệ: 2 2 Do đó:  v    v  v  v   1  3v  6v  0   v  1 0  v   u 1  3x  1  x 0 3 x   Ta có:  ĐS: Bài 15: Giải phương trình: x Gợi ý: ĐK: Ta hệ: 1 x  x 1 2 u 3 Đặt : (1) 1  x ; v   x 0 2  v 0 u  v 1    v  1  v  v  v  1  v  3 0   v 1  u  v 1  v 3   17 ; ; ĐS : 2 2 Bài 16: Giải phương trình: x  x 2 x  (1) Gợi ý: Điều kiện: x 2 Ta có : (1)  ( x  1)  2 x   x  x 2( y  1)  y   x  Đặt thì ta đưa hệ sau:  y  y 2( x  1) Trừ hai vế phương trình ta được: ( x  y )( x  y ) 0 ĐS:  2 Bài 17: Giải phương trình: x  x   x  (1) Gợi ý: ĐK x  1  x  12 x   Ta có: 2 x   (2 x  3)2 2 x   11  2x  3 4y    x  y   x  y   0   2y  3 4x  Đặt y   x  ta hệ :  ĐS:  3;  Bài 18: Giải phương trình: x  x  5 (1) ĐK: x  Ta có: (1)  x   x  ; x  (*) Đặt x  t 0  t  x Kết hợp với (*) ta hệ:  x  t 2 t   x Từ đây ta tìm nghiệm Bài 19: Giải phương trình:   x x Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc  x 0   x 12 4  x 0  4   x 0 Gợi ý: ĐK:  x   y  x 4  y    y   x ta có hệ phương trình:  y   x  y 4  x Đặt 4x  ( x  0) 28 Bài 20: Giải phương trình: 7x2 + 7x = ĐS: x   13 4x  4x  t  a  t  2at  a 28 28 Gợi ý: Đặt 4x  1 a t  t   7t  7t  x  2 ta được: 28 Chọn  x  x  t    7t  7t  x  Kết hợp với đầu bài ta hệ phương trình:  Bài 21: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK:  x  x +  x = x2 -10x + 27 (1) 1 x  16  x   x   x 2 Theo BĐT Cauchy, ta có: ; 1 x  16  x  VT  x    x   2 2 Mà: VP= x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 +  (  x)  VT VP khi: x- = – x =  x 10  x 5 (thỏa mãn) Bài 22: Giải phương trình: Gợi ý: Ta có: (1)  x  x   x  10 x  14 4  x  x 2  x  1    x  1  5   x  1 Mà: VT = 2 ĐS: (1) 2  x  1    x  1    5 VP =   x 1 5  VT VP   x  1 0  x 1 0  x  x Bài 23: Giải phương trình: 4x  + ĐS: -1 4x  x =2 (1) Gợi ý: ĐK: x> a b  Áp dụng bất đẳng thức: b a  với a, b > xảy dấu “=” và a = b x 4x  4x  + x 2 Do đó, ta có: Dấu “=” (1) xảy khi: x= x   x2 - 4x +1 = (do x> ) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS ĐS:  3 Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc Bài 24: Giải phương trình: x x  x  3,5  2  x  2  x2  x  5 (1) 2 Gợi ý: Ta có: x  x   x  1   x  x   x     ( x  x  2)  ( x  x  5)  ( x  x  2)( x  x  5) (theo Côsi) 3 x  x   x  x   x 3  x  x 2 Dấu “=” xảy ĐS: x  3x  3,5  4 Bài 25: Giải phương trình: 13 x  x  x  x 16 Gợi ý: ĐK:   x 1  x 13  x   x Biến đổi pt ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  13 13  x  3  x  256  13  27   13  13 x   x  40  16  10 x  10 x  16  10 x áp dụng bất đẳng thức Côsi:     x   x    x2      10 x 16  10 x   x  Dấu Bài 26: Giải phương trình: x 1 Gợi ý: ĐK2 x  2;  1  x  x  x  2x x  x  1   16    64  2 x  x    x  x  1 2 x (1)  3x 2 x   x  x  1  x  x   3 x  x  1  x  x     x  x  1 2 x   x  x  1  x  x   2 x x  x  2     Nếu x 1 ta có  2 x   3 Giải (3) ta tìm  x 3  x  x  1  x  x     x  x  1  x    x  x  1  x  x    x   Nếu x -2 ta có  4 Giải (4) ta tìm x Bài 27: Giải phương trình sau:  3x Ta nhận thấy: 3x  x   x    x  x  1  x  3x   x  1   x  x  3   x   x     x  x   3  x    và  2x  3x   x   x  3x  x  x    x  x  1 Ta có thể trục thức vế: ĐS: Bài 28: Giải phương trình sau: 2 x  12  3 x  x  Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc x  12  x  3 x  0  x  Gợi ý: Để phương trình có nghiệm thì: Ta nhận thấy: x = là nghiệm phương trình , phương trình có thể phân  x   A  x  20 , để thực x  4được điều đó ta phải x nhóm, 4 tích tách sau: dạng x  12  3 x   x    3  x    x  12   x2   x  2    x  12  x2   x 1    0  x 2 x2    ĐS: 3 Bài 29: Giải phương trình: x   x  x  (1) Gợi ý: ĐK: x 1 Nhận thấy x = là nghiệm phương trình, nên ta biến đổi phương trình:   x 3    x  3  x  x   x    x   x     x   1   x2   x2   x3       x 3 1 x Ta chứng minh: 2 1   1  x   x 3   2 x  1  2  x  3x  x3   ĐS: x2  x2   Bài 30: Giải phương trình sau: x  x  x x  x Gợi ý: ĐK: x  Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình đã cho ta được: x   x  x      x     x  x2   3    x x    x2  x      x2    3.x 3 3.x 2 x  3 27 x 2   x   x  ; x   x  0     4 4 2 ( x  3)  x   x   4( x  3)  x   x  ĐS: x  2 x2 Bài 31: Giải phương trình:  3  2x  x  (1) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc   x    Gợi ý: ĐK:  x 0  2x2   x   2 x     2x     2x  x  18  x   x   x  Ta có: (1) x2   x 0  x  (thỏa mãn) 9 ĐS: IV- ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY Nhận xét: Trên đây tôi giới thiệu với các bạn số dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải mà tôi đã áp dụng thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng HSG lớp Kết thu đó là chất lượng các đội tuyển HSG ngày càng nâng cao Khi áp dụng chuyên đề này tôi nhận thấy các em trang bị lượng kiến thức đa dạng, phong phú, huy động tổng hợp nhiều loại kiến thức trước đó, từ đó phát triển và nâng cao khả tư logic, phát huy tính độc lập sáng tạo học sinh Trong chương trình toán phổ thông chúng ta còn nhiều phương pháp (phương pháp miền giá trị, phương pháp hàm số ), đề tài này tôi trình bày số phương pháp thông dụng chương trình trung học sở Tuy nhiên với dạng toán này thì không phải đối tượng nào tiếp thu cách dễ dàng, vì giáo viên phải khéo léo lồng ghép vào các tiết dạy nhằm thu hút và phát huy sáng tạo cho đối tượng học sinh Đây là vấn đề hoàn toàn mẻ và khó khăn cho học sinh, giáo viên nên cho các em làm quen dần Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” các vấn đề Kết sau áp dụng đề tài: Sau áp dụng đề tài, tôi thấy chất lượng qua kiểm tra đã nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng HS khá – giỏi chất lượng nâng lên rõ rệt Cụ thể, qua khảo sát 35 em học sinh đạt kết sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 17.1 17 48.6 22.9 11.4 Điều đó đã minh chứng tính đúng đắn đề tài, nó đã giúp học sinh có tảng kiến thức để vượt qua khó khăn ban đầu Từ đó giúp HS tiếp cận phương trình vô Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc tỉ cách bản, hệ thống và sáng tạo phương pháp giải đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh PHẦN III- KẾT LUẬN: Trên đây là số dạng phương trình vô tỉ và phương pháp giải mà tôi đã áp dụng giảng dạy thực tiễn nhiều năm trường THCS đội tuyển HSG quá trình ôn luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên Tôi đã thu kết sau: + Hầu hết các em làm bài, hiệu suất làm bài tăng lên rõ rệt, các em cảm thấy tự tin và chủ động lĩnh hội lĩnh kiến thức môn + Học sinh tránh sai sót và có kĩ vận dụng thành thạo phát huy tính tích cực học sinh Tuy nhiên để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Người thầy cần phát huy tính chủ động tích cực và sáng tạo học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán đúng đắn Làm là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Trong đề tài này chắn không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế định Vậy tôi kính mong giúp đỡ, đóng góp ý các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để đề tài này ngày càng hoàn thiện và có tính ứng dụng cao quá trình dạy và học Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn nhận giúp đỡ tận tình các đồng nghiệp, các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn! Lập Thạch, ngày 28 tháng 10 năm 2015 NGƯỜI THỰC HIỆN Trần Mạnh Hùng TÀI LIỆU THAM KHẢO  1- SGK Toán 7-Nhà xuất GD 2003 2- SGK Đại số 9-Nhà xuất GD 3- Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất GD 2001 4- Toán bồi dưỡng Đại số - Nhà xuất GD 2002 5- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất GD 1995 6- Để học tốt Đại số - Nhà xuất GD 1999 7- Phương trình và hệ PT không mẫu mực - NXB GD 2002 8- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp – NXB trẻ 2000 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trần Mạnh Hùng – Trường THCS Lập Thạch – Vĩnh Phúc 9- PT, bất phương trình đại số các cách giải đặc biệt NXB trẻ 2000 10- Tham khảo số đề thi và tài liệu khác có liên quan ************************************* Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS