Mot vai bai toan luong giac trong tam giac

Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là ta đã sử dụng hệ thức dễ dàng chứng minh được tan A  tan B  tan C tan A.tan B.tan C với mọi ABC không vuông , đồng thời với giả thiết để có th[r]

MỘT VÀI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Bài 1: CMR với tam giác ABC nhọn ta có : tan A  tan B  tan C 3 Cách 1: với dạng bài này ta thường nghĩ tới sử dụng phương pháp dồn biến đưa giá trị trung x y f ( x )  f ( y ) 2 f ( ) bình chứng minh bất đẳng thức : bài này ta cần với   t   0;  f (t ) tan t ;  2 Thật   x, y   0;    nên: Do 1 xy   cosx.cosy   cos(x  y )  cos(x  y )    2cos   cos(x  y )  cos x  y 2   xy  xy  xy  xy 2sin  cos  2sin  cos      sin(x  y )         tanx  tany   cosx.cosy cosx.cosy  xy cos     Ta có:  x y   tanx  tany 2 tan   ; x, y   0;      , dấu “=” xảy  cos( x  y ) 1  x  y Hay:  C    3  AB  tanC tan 2 tan  tanA  tanB 2 tan       ;   Do ABC nhọn nên:  A  B C   3    C    AB   2 tan  2  2 tan    tan    2           Từ đó ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy và ABC f ( x)  f ( y ) 2 f ( x y ) , Nhận xét: Mấu chốt cách giải này là dựa vào chứng minh BĐT  sau đó ta đã lựa chọn giá trị trung bình góc A, B, C là để ghép cặp Cần chú ý giá trị  là giá trị các góc dấu “=” xảy Cách 2: Do A  B  C 180 nên với ABC không vuông ta có: tan B  tan C tan A  tan( B  C )   tan A  tan B  tan C tan A.tan B.tan C  tan B tan C ABC nhọn , áp dụng BĐT Cô si cho số dương tanA, tanB, tanC ta có: 3  tan A  tan B  tan C   tan A  tan B  tan C    tan A.tan B.tan C    tan A  tan B  tan C 3      tan A  tan B  tan C 3 (đpcm) Dấu xảy  tanA tanB tanC  A B C hay ABC Nhận xét: Mấu chốt lời giải trên là ta đã sử dụng hệ thức (dễ dàng chứng minh được) tan A  tan B  tan C tan A.tan B.tan C (với ABC không vuông) , đồng thời với giả thiết để có thể áp dụng Cô si cho số tanA, tanB, tanC Như Một số bài toán tam giác, biết và sử dụng triệt để các hệ thức lượng giác góc tam giác ta có lời giải hay và ngắn gọn tan A B C  tan  tan 1 2 Bài 2: Chứng minh rằng, với tam giác ABC ta có: Lời giải: A B C    2 nên: Ta có B C  tan tan A B C 2 tan cot   B  C B C 2 tan tan  tan 2 A B B C C A  tan tan  tan tan  tan tan 1 2 2 2 2 A B  B C  C A   tan  tan    tan  tan    tan  tan  0 2  2  2 Có:  A B C A B B C C A  tan  tan  tan tan tan  tan tan  tan tan 2 2 2 2 A B C  tan  tan  tan 1 2 (đpcm) A B C   tan tan tan  A B C  2 ( hay tam giác ABC đều) Dấu “=” xảy A B B C C A tan tan  tan tan  tan tan 1 2 2 2 Nhận xét: Nếu không sử dụng hệ thức: thì khó để giải bài toán trên Bài 3: Cho ABC biết cos A  cos B  cos 2C  Chứng minh ABC vuông Lời giải: Ta có cos A  cos B  cos 2C 2cos( A  B)cos(A  B)  2cos C  2cos( A  B) cos(A  B)  2cos ( A  B)  2cos( A  B)  cos(A  B)  cos( A  B)    4cosC.cosA.cosB ( (A+B)+C=  nên cos(A  B)  cos C ) Theo bài ra, ta có : cos A  cos B  cos 2C    4cosC.cosA.cosB   A 900  cos A 0    cosB 0   B 900  C 900  cosC 0   ABC Hay vuông (đpcm) Nhận xét: Ta đã sử dụng hệ thức: cos A  cos B  cos 2C  4cos A cosBcos C  tam giác khiến lời giải trở nên dễ dàng Ta hãy giải bài toán theo hướng: Dùng công thức nhân đôi, đưa cosA, cosB, cosC áp dụng định lý cos tam giác; lúc này bài toán trở thành: CM tam giác ABC vuông biết b  c2  a2  a   c2  b2  a   b2  c2   0 2b 2c 2a c 2 a 2b Rõ ràng ta bài toán phức tạp nhiều ! Bài Chứng minh với tam giác ABC ta có A B C sin A  sin B  sin C cos  cos  cos 2 2 HD sin A  sinB  sinC  cos sin A  sin B 2sin A B C  cos  cos 2 AB A B AB C cos 2sin 2cos 2 2 A B ; sinC sinA 2cos 2 Tương tự có Cộng ba vế tương ứng ta có đpcm A B C A B C sin  sin  sin cos  cos  cos (n  N *) n n n 2n 2n 2n Tổng quát sin B  sin C 2cos Có sin A  sin B  2(sin A  sin B) 2 cos sinB  sinC 2 cos A ; C sinC  sinA 2 cos B Áp dụng tương tự Cộng ba vế tương ựng ta có đpcm A B C A B C sin  sin  sin  cos  cos  cos (n  N *) n n n n n n Tổng quát Lời kết Còn nhiều các hệ thức giá trị lượng giác các góc tam giác mà áp dụng ta có thể giải sáng tạo các bài toán hay lượng giác tam giác Các bạn có thể tự sáng tạo tìm hiểu thêm