Bài toán là sự kết nối rất hay với các bổ đề quen thuộc.. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:.[r]
(1)Một tốn hay mơ hình trực tâm
Bài tốn mơ hình trực tâm sau hay Xin chia sẻ với bạn Bài toán kết nối hay với bổ đề quen thuộc
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề(Nguyễn Duy Khương) Cho tam giác ABC có đường cao BE,CF cắt
tạiH.N trung điểmEF AN cắt(O)tại điểm thứ hai làZ ZE,ZF cắt(O)tại điểm thứ làU,V.UV cắtBC tạiQ AH cắtEF tạiP EF giaoBC tạiS Chứng minhS A chia đôiPQ
Chứng minh(X-Bow Master) Ta có(Z A,BC)= −1⇒U(AZ,BC)= −1.BU cắt AC tạiU0⇒ (AE,U0C)= −1⇒B(AE,U0C)=B(AH,PC)⇒U0thuộcBP⇒BP quaU Tương tựCP qua V Do đó,(PQ)trực giao với (O) Mà(PQ)đi qua D hình chiếu A trênBC, để ý (AH,DP)= −1⇒(PQ) trực giao (AH)⇒ trung điểm PQ thuộc trục đẳng phương (AH), (O) ta có điều phải chứng minh
Nhận xét Ngoài lời giải đẹp bạnQuang Độ-THPT chuyên HN Ams, bạn
Đức Minh-THPT chuyên Bắc Ninhgiải Quay trở lại toán
Bài tốn Cho tam giác ABC nội tiếp (O)có đường cao BE,CF cắt H N trung điểm EF AN∩(O)= A,Z Gọi ZE,ZF cắt (O) điểm thứ hai U,V Gọi UV∩BC=Q Chứng minh PQ tiếp xúc(AN P)
(2)Lời giải Để tiện theo dõi chia tốn theo ba ý nhỏ.
a) GọiEF∩BC=Svà Jđối xứngHquaBCvàS J∩(O)=Z06=J Ta có:A,N,Z0thẳng hàng J(S A,BC)= −1=J(Z0A,BC)nên AZ0 là đường đối trung Vậy Z≡Z0 Gọi AH∩EF=P, ta
cũng có: SP.SN=S J.SZ=SE.SF dẫn đến: F,E,Z,J đồng viên
b) Theo định lí P ascal thìEF,BU,CV đồng quy tạiP0 Để ý rằng(PBF)cắt (P EC)trên
(O)tại J0 và∠F J0E=UVd
2 =∠F ZEsuy ra: J≡J
0 dẫn đến:P≡P0.
c) Gọi tia MH cắt (O) I Ta có kết S,I,A thẳng hàng đồng thời S I.S A=SF.SE=SP.SN đó: A,I,P,N đồng viên Vậy ta cần Q,I,P,M đồng viên Lấy L đối xứng A qua BC Ta có kết quen thuộc H trực tâm tam giác AMS dẫn đến: ∠M AL=∠MS J Gọi M Z∩AD=L0 ta có: ∠DL0M=∠MSZ đó: L≡L0 Lại có: ∠MLD=90◦−∠AMB=90◦−∠A I P=∠P I H suy ra: P,I,L,M đồng viên Từ chứng minh bổ đề ta có: A J chia đơi PQ S I.S A=SP2=SQ2 Vậy tức ∠I P S=∠I AP=∠I MQ đó: Q,I,M,P,L đồng viên
(3)AD,BE,CF cắt H M trung điểm BC AH∩EF=P Gọi BP,CP cắt(O)tạiU,V khácB,C.UV∩BC=K Chứng minh P trực tâm tam giác AQ M Bạn đọc thử sức