Từ đó tìm y và trả lời kết quả... Hướng dẫn : Kẻ các đường cao AH và BK.[r]
(1)x ?
9 20
H C
B
A
x 2x
8cm 60
H C
B
A
10 cm 1cm
D C B
A
x 10
4
D C B
A
HỆ THỨC LƯỢNG – CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ (Đề sưu tầm từ vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9)
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông A, đương cao AH Biết AB = 20cm, HC = 9cm Tính độ dài AH
Lời giải sơ lược:
Đặt BH = x Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC vng A, có đường cao AH ta được:
AB2 = BH BC hay 202 = x(x + 9).
Thu gọn ta phương trình : x2 + 9x – 400 = 0
Giải phương trình ta x1 = 16; x2 = –25 (loại)
Dùng định lý Pitago tính AH = 12cm
Lưu ý : Giải PT bậc nên dùng máy tính để giải cho nhanh
Thuộc số ba số Pitago tốt để mau chóng ghi kết
Bài 2: Cho tam giác ABC , B 600
, BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính độ dài cạnh AB
Lời giải sơ lược:
Kẻ AH BC Đặt AB = 2x Từ tính BH = x
AH = x ; HC = – x
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vng H Ta có: AC = x 32 8 x2 = 4x216x64
Do AB + AC = 12 nên 2x + 4x2 16x 64
= 12
Giải PT ta : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm
Chú ý: Ta tính chu vi tam giác ABC = 20cm Diện tích tam giác ABC = 10 3cm
Bài 3: Cho tam giác ABC vng A có BD phân giác Biết AD = 1cm; BD = 10cm Tính độ dài cạnh BC (nhập kết dạng số thập phân) Bài giải sơ lược
Áp dụng định lí Pitago tính AB = 3cm Đặt BC = x , dùng Pitago tính AC = x2 9
Do AD = nên DC = x2 9
– x
Tam giác ABC có BD phân giác góc ABC nên : AB AD
BC DC hay
3
9
x x Từ ta phương trình 8x2 – 6x – 90 = Xử dụng máy tính tìm x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A; BD phân giác Biết AD = 4cm; BD = 10 cm Tính diện tích tam giác ABC
(Nhập kết dạng phân số) - Hướng dẫn: Giải giống Chú ý nhập kết theo yêu cầu
(2)10cm X
X
H K
D C
B A
2x 12
15,6 // //
K
H C
B
A
cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân
Bài giải sơ lược:
Kẻ AH CD ; BK CD Đặt AH = AB = x HK = x
AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy : DH = CK = 10
2
x
Vậy HC = HK + CK = x + 10
2
x
= 10
2
x
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vng A có đường cao AH Ta có : AH2 = DH CH hay 10 .10
2
x x
x 5x2 = 100
Giải phương trình ta x = x = – 5(loại) Vậy : AH =
Bài 6: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC
Bài giải sơ lược:
Đặt BC = 2x, từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x Áp dụng định lí Pitago tính AC = 2
15,6 x
Từ hai tam giác vuông KBC HAC đồng dạng ta được: BC KB
AC AH hay 2
2 12
15,6 15,6
x
x
Đưa phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2
Giải phương trình ta nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài 7: Tính giá trị biểu thức :
A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 1
2
Hướng dẫn: + = 900 sin = cos; cos = sin; cos450 =
2 ta được:
A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 1
2
= (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + +(cos2 440 + cos2460)+cos2450 – 1
2
= (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + + (cos2 440 + sin2440) +
2
2
–
2
= 1.44 = 44
Bài tập tương tự: Tính giá trị biểu thức sau:
a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – 1
2
b) C = tg210 tg220 tg230 tg2870 tg2880 tg2890
(3)y x
108 cm108cm22
D C
B A
= =
//
//
F E
D C
B A
b c
a // //
2 1
M D I
C B
A
hình chữ nhật ABCD ?
Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) BC = y(cm) với x >y Tính x y suy chu vi hình chữ nhật 2(x + y)
Cách 1: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108
Từ x – y = Suy (x – y)2 = hay (x + y)2 – 4xy = (1)
Thay xy = 108 vào (1) ta (x + y)2 = 441 x + y = 21
Kết hợp với giả thiết x – y = ta kết x = 12 y = Vậy chu vi hình chữ nhật 2(12 + 9) = 42 cm
Cách 2: Từ x – y = y = x – thay vào đẳng thức x y = 108 ta phương trình:
x (x – 3) = 108 x2 – 3x – 108 = (1)
x2 – 12x + 9x – 108 =
( x – 12)(x + 9) =
Nghiệm dương phương trình x = Từ tìm y trả lời kết Lưu ý: Giải phương trình (1) máy tính để đưa kết nhanh
Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vng A có diện tích 504 dm2.Biết AB – AC = 47dm.
Tính độ dài AB AC
Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 x.y = 1008 Từ ta phương trình: x2 – 47x – 1008 = Nghiệm dương máy tính x = 63
Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, BC = 5cm Hình vng ADEF cạnh cm có D AB , E BC , F AC Biết AB > AC
9
ADEF ABC
S S Tính AB ; AC Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0) Ta có x2 + y2 = 3 52= 45 (1)
Hình vng ADEF có cạnh nên SADEF 4
Mà
9
ADEF ABC
S S nên SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2) Từ (1) (2) suy ra: (x + y)2 = 81 (x – y)2 =
Do x > y > nên x + y = x – y =
Vậy x = y = Trả lời: AB = (cm) AC = (cm)
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC; Gọi I giao điểm đường phân giác , M trung điểm BC Cho biết BIM 900
Tính BC : AC : AB ?
Hướng dẫn: Chú ý BIM 900
; I giao điểm đường phân giác
ta tính DIC 450
, từ chứng minh BC = 2CD
và AB = 2AD Xử dụng tính chất đường phân giác BD
kết hợp với định lý pitago ta tìm mối quan hệ ba cạnh tam giác
Lời giải: Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI AC
1
I B C (góc ngồi tam giác BIC)
= 1 ABC ACB =
0
1
.90 45
2 (do BI CI phân giác góc B C ABC
vuông A); kết hợp với giả thiết BIM 900
(4)A
/ /
// //
6
9
N
M C
B
// //
10 13
K
H C
B
A
Do : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD (1) BD phân giác tam giác ABC nên AB AD
BC DC hay
AB BC ADCD= Vậy AB = 2AD hay c = 2AD (2)
Từ (1) (2) ta a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3) Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta a – c =
2
b (4) Cộng (3) (4) vế theo vế ta 2a =
2
b
Vậy a =
4
b
Do c =
4
b Vậy a : b : c = : :3
4
b b
b = 5:1:3
4 = (
5
4 ): (1.4) : (
4.4) = : :
Trả lời: BC : AC : AB = : :
Lưu ý: Bài tốn trích từ Quyển “Nâng cao phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có sửa đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm
Bài 11: Tính độ dài cạnh AB tam giác ABC vng A có hai đường trung tuyến AM BN cm cm
Hướng dẫn: Đặt AB = x ; AN = y AC = 2y
Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng ứng với cạnh huyền ta BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vng ABC ABN vuông A Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) x2 + y2 = 81 y2 = 81 – x2 (2)
Thay (2) vào (1) ta phương trình :
x2 + 4( 81 – x2 ) = 144
Thu gọn phương trình ta phương trình : 3x2 = 180
Nghiệm dương phương trình : x = Trả lời: AB = cm
Bài 12: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm Tính cos A Hướng dẫn: Kẻ đường cao AH BK Từ tính chất tam giác cân
định lí Pi ta go ta tính CH = 5cm ; AH = 12 cm Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB HCA ta tính
CK = 50
13 AK = 119
13
Vậy cos A = AK AB =
119
13 : 13 = 119 169
Trả lời: cos A = 119
169