Một vài bài toán lượng giác trong tam giác

Trường Tiểu Học – THCS – THPT Nguyễn Công Trứ - TP.Nam Định MỘT VÀI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Bài 1: CMR với tam giác ABC nhọn ta có : tan A + tan B + tan C ≥ 3 Cách 1: với dạng ta thường nghĩ tới sử dụng phương pháp dồn biến đưa giá trị trung x+ y ) với bình chứng minh bất đẳng thức : ta cần f ( x) + f ( y ) ≥ f (  π f (t ) = tan t ; t ∈  0; ÷  2 Thật  π Do x, y ∈  0; ÷ nên:  2 1 x+ y x+ y  < cosx.cosy = [ cos(x + y ) + cos(x − y ) ] =  2cos − + cos(x − y)  ≤ cos 2 2 2   x+ y  x+ y  x+ y  x+ y 2sin  cos  2sin  cos  ÷ ÷ ÷ ÷ sin(x + y )    ≥     tanx + tany = = Ta có: cosx.cosy cosx.cosy  x+ y cos  ÷    x+ y  π Hay: tanx + tany ≥ tan  ÷ ; ∀x, y ∈  0; ÷ , dấu “=” xảy ⇔ cos( x − y ) = ⇔ x = y    2  C +π  π  A+ B  3÷ Do ∆ABC nhọn nên: tanA + tanB ≥ tan  ÷ ; tanC+ tan ≥ tan   ÷      A+ B C +π  3÷  π +   C+  A+ B  ÷ ≥ tan  2 ÷= tan  ÷+ tan   ÷ 2  ÷      ÷   Từ ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ∆ABC x+ y ), Nhận xét: Mấu chốt cách giải dựa vào chứng minh BĐT f ( x) + f ( y ) ≥ f ( sau ta lựa chọn giá trị trung bình góc A, B, C π để ghép cặp Cần ý giá trị π giá trị góc dấu “=” xảy Cách 2: Do A + B + C = 1800 nên với ∆ABC không vuông ta có: tan B + tan C tan A = − tan( B + C ) = − ⇔ tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C − tan B tan C Giáo Viên: Phạm Thanh Bình Trường Tiểu Học – THCS – THPT Nguyễn Công Trứ - TP.Nam Định ∆ABC nhọn , áp dụng BĐT Cô si cho số dương tanA, tanB, tanC ta có: 3  tan A + tan B + tan C   tan A + tan B + tan C   ÷ ≥ tan A.tan B.tan C ⇔  ÷ ≥ tan A + tan B + tan C 3     ⇔ tan A + tan B + tan C ≥ 3 (đpcm) Dấu xảy ⇔ tanA = tanB = tanC ⇔ A = B = C hay ∆ABC Nhận xét: Mấu chốt lời giải ta sử dụng hệ thức (dễ dàng chứng minh được) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C (với ∆ABC không vuông) , đồng thời với giả thiết để áp dụng Cô si cho số tanA, tanB, tanC Như Một số toán tam giác, biết sử dụng triệt để hệ thức lượng giác góc tam giác ta có lời giải hay ngắn gọn Bài 2: Chứng minh rằng, với tam giác ABC ta có: tan A B C + tan + tan ≥ 2 Lời giải: A B+C π = nên: Ta có + 2 B C − tan tan A B+C 2 tan = cot = = B + C B C 2 tan tan + tan 2 A B B C C A ⇔ tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 2 A B  B C  C A  Có:  tan − tan ÷ +  tan − tan ÷ +  tan − tan ÷ ≥ 2  2  2  A B C A B B C C A ⇔ tan + tan + tan ≥ tan tan + tan tan + tan tan 2 2 2 2 A B C ⇔ tan + tan + tan ≥ (đpcm) 2 A B C π Dấu “=” xảy ⇔ tan = tan = tan ⇔ A = B = C = ( hay tam giác ABC đều) 2 A B B C C A Nhận xét: Nếu không sử dụng hệ thức: tan tan + tan tan + tan tan = khó 2 2 2 để giải toán Giáo Viên: Phạm Thanh Bình Trường Tiểu Học – THCS – THPT Nguyễn Công Trứ - TP.Nam Định Bài 3: Cho ∆ABC biết cos A + cos B + cos 2C = −1 Chứng minh ∆ABC vuông Lời giải: Ta có cos A + cos B + cos 2C = 2cos( A + B) cos(A − B) + 2cos C − = 2cos( A + B ) cos(A − B) + 2cos ( A + B) − = 2cos( A + B ) [ cos(A − B) + cos( A + B) ] − = −4cosC.cosA.cosB− ( (A+B)+C= π nên cos(A + B) = − cosC ) Theo ra, ta có : cos A + cos B + cos 2C = −1 ⇔ −4cosC.cosA.cosB− = −1  A = 900 cos A =  ⇔ cosB = ⇔  B = 900 C = 900 cosC =  Hay ∆ABC vuông (đpcm) Nhận xét: Ta sử dụng hệ thức: cos A + cos B + cos 2C = −4cos A cosBcos C − tam giác khiến lời giải trở nên dễ dàng Ta giải toán theo hướng: Dùng công thức nhân đôi, đưa cosA, cosB, cosC áp dụng định lý cos tam giác; lúc toán trở thành: CM tam giác ABC vuông biết (b + c2 − a2 ) (a + + c2 − b2 ) (a + + b2 − c2 ) −2=0 2b 2c 2a 2c 2 a 2b Rõ ràng ta toán phức tạp nhiều ! Bài Chứng minh với tam giác ABC ta có A B C sin A + sin B + sin C ≤ cos + cos + cos 2 A B C sin A + sinB + sinC ≤ cos + cos + cos 2 HD A+ B A− B A+ B C cos ≤ 2sin = 2cos sin A + sin B = 2sin 2 2 A B Tương tự có sin B + sin C ≤ 2cos ; sinC + sinA ≤ 2cos 2 Cộng ba vế tương ứng ta có đpcm A B C A B C (∀n ∈ N *) Tổng quát sin + sin + sin ≤ cos + cos + cos n n n 2n 2n 2n Giáo Viên: Phạm Thanh Bình Trường Tiểu Học – THCS – THPT Nguyễn Công Trứ - TP.Nam Định Có sin A + sin B ≤ 2(sin A + sin B) ≤ cos Áp dụng tương tự sinB + sinC ≤ cos A ; C sinC + sinA ≤ cos B Cộng ba vế tương ựng ta có đpcm A B C A B C + cos + cos (∀n ∈ N *) Tổng quát sin + sin + sin ≤ cos n n n 2n 2n 2n Lời kết Còn nhiều hệ thức giá trị lượng giác góc tam giác mà áp dụng ta giải sáng tạo toán hay lượng giác tam giác Các bạn tự sáng tạo tìm hiểu thêm Giáo Viên: Phạm Thanh Bình ... cho số tanA, tanB, tanC Như Một số toán tam giác, biết sử dụng triệt để hệ thức lượng giác góc tam giác ta có lời giải hay ngắn gọn Bài 2: Chứng minh rằng, với tam giác ABC ta có: tan A B C +... sin ≤ cos n n n 2n 2n 2n Lời kết Còn nhiều hệ thức giá trị lượng giác góc tam giác mà áp dụng ta giải sáng tạo toán hay lượng giác tam giác Các bạn tự sáng tạo tìm hiểu thêm Giáo Viên: Phạm Thanh... cosBcos C − tam giác khiến lời giải trở nên dễ dàng Ta giải toán theo hướng: Dùng công thức nhân đôi, đưa cosA, cosB, cosC áp dụng định lý cos tam giác; lúc toán trở thành: CM tam giác ABC vuông