Một trong những khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán về đa thức đó là các kiến thức liên quan rất rộng và liên quan hầu hết các lĩnh vực khác của toán học, để giải quyết những bài[r]
(1)MỘT BÀI TOÁN ĐA THỨC HAI BIẾN HAY TRẦN NGỌC THẮNG, THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Đa thức là lĩnh vực hay và khó chương trình thi học sinh giỏi các cấp, vì các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế thường xuất bài toán đa thức và bài toán này thường là câu phân loại, câu khó đề Một khó khăn cho học sinh giải các bài toán đa thức đó là các kiến thức liên quan rộng và liên quan hầu hết các lĩnh vực khác toán học, để giải bài toán đa thức học sinh cần trang bị đầy đủ kiến thức sở và cách liên kết các kiến thức này Trong bài viết nhỏ này, tôi muốn hướng dẫn các em giải bài toán khó xuất phát từ bài toán quen thuộc, đa thức Bài toán nhỏ này nó sử dụng khá nhiều các bài toán khác mà tôi có liệt kê cuối bài viết BÀI T11/435 (Báo toán học và tuổi trẻ tháng 09/2013) Tìm tất các đa thức T x, y cho T x, y T z , t T xz yt , xt yz với số thực x, y, z, t Lời giải Trước hết ta giải hai bài toán sau: P x x Bài toán Tìm tất các đa thức Chứng minh Nếu Nếu P x c, c deg P x n 1 deg Q x n P x thỏa mãn điều kiện P x , x (1) P x 0, P x 1 là số thì ta c 0, c 1 hay , so sánh hệ số cao hai vế (1) ta a P 1 Khi đó đặt P x x n Q x Từ (1) ta được: 2 x n Q x x n Q x , x Q x 2 x nQ x Q x , x So sánh bậc (2) ta deg Q x 0 và từ (2) ta Q x 0 (2) suy P x xn Do đó bài toán giải Bài toán Tìm tất các đa thức Chứng minh Nếu P x P x x có nghiệm phức sánh hệ số cao hai vế ta k thỏa mãn điều kiện thì từ (3) ta a P 1,1 h P x a x x , x0 n đó P x P x x , x x02 0 x0 1 , kết hợp với đa thức k , h , k h n, a 1,1 P x (3) Từ đẳng thức (3) so có nghiệm là 1 nên ta Trở lại bài toán T11 T x, T x,0 T x , , x P x T x, Thay y t 0, x z ta Đặt ta P x P x , x TH1 Nếu T x, 0 Khi đó theo kết bài toán ta : T x, 0, T x,0 1, T x, x n T x, y T 1,0 T x, y T x, y 0 thì thay z 1, t 0 ta , (2) Th2 Nếu T x, 1 T x, y T 0, T 0,0 T x, y 1 thì thay z 0, t 0 ta Th3 Nếu T x, x n , thay t 0 vào đẳng thức ban đầu ta : T x, y T z , T xz , yz T xz , yz z nT x, y (4) Với y 0 ta có x x T x, y T y , y y nT ,1 y y (5) T x,1 T x,1 T x , x Thay y t 1, z x ta k Từ (6) và kết bài toán ta (7) k , h , k h n, a 1,1 x y k n (6) h T x,1 a x x , T x, y ay Từ (5) và (7) ta : n đó k , h , k h n, a 1,1 h x k h a y x y x y , đó Nhận xét Qua bài toán này ta thấy Bài toán quan trọng các bài toán phương trình hàm đa thức Một số bài tập sử dụng kết này, chẳng hạn : Bài (VMO 2006) Tìm tất các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : P x x 3P x P x P x x , x Bài Tìm tất các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : P x y P x y P x y , x, y Bài Tìm tất các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : P x x P x , x Bài Tìm tất các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : 16 P x P x , x Bài Tìm tất các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : P xy P x P y , x, y Một số bài tập đa thức hai biến (hay theo các lời giải cá nhân tôi) Bài (IMO 1975) Tìm tất các đa thức bậc n hai biến sau P 1, 1 và P a b, c P b c, a P c a, b 0 P x, y thỏa mãn đồng thời các đẳng thức với số thực a, b, c (3) Bài Tìm tất các đa thức hai biến P x, y thỏa mãn đẳng thức P x 1, y 1 P x, y , x, y (4)