Đang tải... (xem toàn văn)
Và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát nhằm [r]
(1)I/ Lý thuyết 1/ Quy tắc cộng Một công việc hoàn thành n hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có m2 cách thực hiện, ., hành động thứ n có m n cách thực hiện; các cách thực hành động thứ k không trùng với cách nào hành động thứ p Vậy công việc đó hoàn thành m1+m2+ +mn cách thực n; m1; m2 ; ; mn ; k ; p () 2/ Quy tắc nhân Một công việc hoàn thành n hành động liên tiếp Nếu hành động có m cách thực hiện, ứng với cách thực hành động có m2 cách thực hành động 2, ., ứng với cách thực hành động thứ 1;2; ;n-1 có mn cách thực hành động thứ n Vậy công việc đó hoàn thành (m1.m2 mn ) cách thực n; m1; m2 ; ; mn () 3/ Chỉnh hợp 1 k n; k Cho tập hợp A gồm n phần tử; n1 Một chỉnh hợp chập k các phần tử A là cách xếp k phần tử khác A; Ank n! (n k )! Số các chỉnh hợp chập k n phần tử: 4/ Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > Một hoán vị n phần tử A là chỉnh hợp chập n các phần tử A (Hay cách xếp thứ tự các n phần tử A) n Pn An n ! Số các hoán vị n phần tử A: 5/ Tổ hợp k n; k Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > Một tổ hợp chập k các phần tử A là tập hợp A có k phần tử ; Cnk n! k !.( n k )! Số các tổ hợp chập k n phần tử: 6/ Vài tính chất quan trọng Pn; Ank; Cnk Cnk Ank Pk Cnk Cnn k Cnk Cnk Cnk11 k Cnk n.Cnk11 (1 k n; k ; n N ; n 1) k (k 1).Cnk n.(n 1).Cnk 22 ; k ; n ; k n k (k 1)( k 2).Cnk n.(n 1)(n 2).Cnk 33 ; k ; n ;3 k n 1 Cnk Cnk11 (k ;0 k n; n * k 1 n 1 7/ Nhị thức Niu-tơn * Công thức Nhị thức Niu - tơn n (a b) n Cn0 a n Cn1 a n 1.b Cn2 a n b2 Cnk a n k b k Cnn b n Ta có thể khai triển: Cnk a n k b k k 0 (n * ) (*) (2) n (a b) n Cn0 bn Cn1 b n 1.a Cn2 b n a Cnk b n k a k Cnn a n Cnk a k b n k k 0 (n * ) (**) Từ công thức (*) ta có số đẳng thức sau: Cn0 Cn1 Cnk Cnn 2n Cn0 Cn1 ( 1) k Cnk ( 1) n Cnn n * 2n 2n k 0 k 0 n * (1 x) n x k C2kn (1 x) n ( 1) k x k C2kn 2n 2n k 0 k 0 ; (1 x) n 1 x k C2kn 1 (1 x) n 1 ( 1)k x k C2kn 1 ; II/ Tài liệu tham khảo số Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn ( Trích Báo THTT – số 4/2008) DẠNG 1: n BÀI TOÁN TÍNH TỔNG n Sk = C C + C2n C3n + + ( 1)k Ckn ; k n; k ; n * 1/ Ví dụ 1: Rút gọn: Nếu k<n thì ta có Sk = Cn0 (Cn0 C1n ) + (Cn1 Cn2 ) (Cn2 C3n ) + + ( 1) k (Cnk11 Cnk );0 k n; k ; n * S k ( 1) k Cnk Rút gọn suy ra: Sk = Cn0 C1n + Cn2 C3n + + ( 1) n Cnn 0 Nếu k = n thì C41n C43n C44n C42nn 2/ Ví dụ 2: Tính S = Cnk Cnn k C41n C44nn 1; C43n C44nn ; ; C42nn C42nn 1 C44nn C44nn C42nn 1 Vì S = Áp dụng công thức ta có: 2n n 1 4n 4n 4n 4n C4 n C4 n C4 n C4 n C4 n C4 n 2 C4 n C4 n S 2 Suy 2S = 3/ Ví dụ 3: (Sử dụng phép tính đạp hàm) S Cn0 2Cn1 3Cn2 ( 1) n (n 1)Cnn ; n n n 2 n n n C x C x + C x + + C x n 1 Tính * ; n Xét đa thức f(x) = x(1+x)n = D=R 2 n n n n f ' ( x) Cn Cn x + Cn 3x + + C n (n 1) x (1 x) nx(1 x) Ta có n n ' f ' ( 1) Cn 2Cn 3Cn ( 1) (n 1)Cn f ( 1) 0 *** Lưu ý: Để tính các tổng S1 Cn0 2aCn1 3a 2Cn2 (n 1)a nCnn ; S C20n 3a 2C22n 5a 4C24n (2n 1)a nC22nn ; S3 2aC21n 4a 3C23n 6a 5C25n 2na n 1C22nn 1; Ta xét đa thức f(x) = x(1+x)n và chứng tỏ S1=f’(a); xét đa thức g(x) = x(1+x)2n và chứng tỏ 2S2=g’(a)+g’(-a); 2S3=g’(a)-g’(-a) 4/ Ví dụ 4: ( Sử dụng phép tính tích phân) 1 S1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n n n 2 n ; n * n (1 x) C x.C x C x C n n Tính x ; n * Xét đa thức f(x) = (3) 1 (1 x) n 1 2n 1 n Cn S1 S1 f ( x) dx C Cn Cn n 1 n 1 n 1 n *** Lưu ý: Để tính các tổng S (b a)Cn0 b a b3 a b n 1 a n 1 n Cn Cn Cn n 1 Suy ; n * b f ( x)dx; f ( x ) (1 x) n Hãy chứng tỏ S = Ta thường gặp bài toán với hai cận tích phân là 1; -1 Trong số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = xk.(1+x)n với k = 1; 2; 3; DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP a (Cn0 ) (Cn1 ) (Cnk ) (Cnn ) C2nn 5/ Ví dụ 5: CMR Ta có (x+1)n.(1+x)n = (x+1)2n (1) ( x n Cn0 x n 1.Cn1 x n Cn2 Cnn ).(Cn0 x.Cn1 x Cn2 x n Cnn ) VT(1) = (Cn0 ) (Cn1 ) (Cnk ) (Cnn ) Từ đó suy hệ số x2n khai triển VT(1) là : n C2 n Còn hệ số x2n khai triển VP(1) là Vậy suy đpcm *** Lưu ý: Khi xét đẳng thức (x+1)n.(1+x)m = (x+1)n+m (2) Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để viết vế thành đa thức ẩn x, đồng hệ số các số hạng cùng bậc vế, ta có thể viết nhiều hệ thức tổ hợp DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP Ax3 2C xx 11 3C xx13 3x P6 159 6/ Ví dụ 6: Giải phương trình x 3; x ĐK: x! 2( x 1)! 3( x 1)! 3 x 6! 159 ( x 3)! 2!( x 1)! 2!( x 3)! Với đk trên pt đã cho ( x 1)( x 20 3x 879 ( x 12)(2 x 11x 147) 0 x 12 (tm) x ( x 1)( x 2) x ( x 1) *** Lưu ý: Khi giải pt tổ hợp ta làm sau: đặt điều kiện cho ẩn số; sử dụng các công thức hoán vị; chỉnh hợp; tổ hợp để biến đổi, rút gọn và giải pt; đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện bài toán để kết luận Tương tự giải bất phương trình C23 ; C23 ; ; C2323 7/ Ví dụ 7: Tìm số hạng liên tiếp lập thành CSC dãy số sau: C23n ; C23n 1; C23n Giả sử số hạng liên tiếp dãy trên lập thành CSC là: C23n C23n 2C23n 1 C23n C23n 1 C23n 1 C23n 4C23n 1 C25n 4C23n 1 25! 4.23! (n 2)!(23 n)! (n 1)!(22 n)! n 8 (n 2)(23 n) 150 n 23 10 13 14 15 C23 ; C23 ; C23 C23 ; C23 ; C23 Vậy ba số hạng cần tìm là: và (4) DẠNG 4: 8/ Ví dụ 8: (3 x BÀI TOÁN TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC n ) x Cn 3Cn 3Cn Cn 2Cn Tính số hạng không chứa x P(x) = biết n thỏa mãn: (1) Cn6 Cn7 2(Cn7 Cn8 ) (Cn8 Cn9 ) 2Cn8 Cn71 2Cn81 Cn91 2Cn8 Từ (1) ta có: n 3 2 n 15 15 15 k 15 k k 15 k k 30 65 k (3 x ) C15 ( x ) ( ) C15 x x x k 0 k 0 Khi đó P(x) = Cn93 2Cn8 30 5k 0 k 6 (tm) Số hạng không chứa x tương ứng với 6 C15 320.320 Vậy số hạng phải tìm là: *** Lưu ý: n a x g (k ) k N Tính hệ số số hạng chứa x p (p là số cho trước) khai triển f(x) = (u(x) k 0 +v(x))n, ta làm sau: Viết f(x) = ; số hạng chứa x p ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm k Nếu k là số tự nhiên và nhỏ n thì hệ số phải tìm là a k Nếu k k > n, thì khai triển không có số hạng chứa xp, hệ số phải tìm 9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn đa thức P(x) = (2x+1)13 = a0.x13 + a1.x12 + +a12.x + a13 13 n 13 C n 0 13 .(2 x)13 n C13n 213 n.x13 n n 0 Ta có P(x) = (2x+1)13 = C13n 213 n an C13n 1.214 n (n 1; 2; 13) Vậy a = n 2.13! 13! 14 n n 4 (n 1)!.(14 n)! n !.(13 n)! 14 n n Xét bất pt: a 1; 2; 3; 4 an Vậy ta có an-1an đúng n ;và dấu không xảy ra; 14 an an n n 5; ;13 13 n-1 suy C 366080 Ta được: a <a <a <a <a và a >a > >a Vậy max(a ) = a = 4 13 n *** Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn khai triển (ax+b) m thành đa thức, ta làm sau: Tính hệ số số hạng tổng quát an; giải bất pt: an-1an với ẩn n; hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên n lớn thỏa mãn bất pt trên III/ Tài liệu tham khảo số Một cách khác giải các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn ( Trích KNSK 2010 – GV: Lưu Hải Vĩnh – Trường THPT Ninh Giang) DẠNG 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (I) Bài toán mở đầu: S = C1n + C2n + 3C3n + + nC nn ; n * Giải Tính tổng: (1) Cách giải thứ nhất: Chúng ta đã biết bài toán này giải theo phương (5) pháp đạo hàm Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức cần tính để đưa nhị thức Niu - tơn thích hợp Cụ thể: Ta có (1 x)n Cn0 x.Cn1 x Cn2 x n Cnn x ; n * Đạo hàm bậc hai vế; suy ra: n.(1 x) n 1.Cn1 x.Cn2 nx n 1.Cnn x ; n * Cho x = ta được: n.(1 1) n 1.Cn1 2.Cn2 n.Cnn ; n * S 1.Cn1 2.Cn2 n.Cnn n.2n ; n * Từ đó suy ra: Cách giải thứ hai: Cnk Cnn k ; 0 k n; k ; n * n n Áp dụng công thức: n n n S = n.C (n 1).C + (n 2).C + +1.C ; n * ta (2) Khi đó; từ (1) và (2) suy ra: 2S = n.Cn0 n.C1n + n.C n2 + + n.Cnn ; n * 2S n.(Cn0 C1n + C 2n + + Cnn ) 2S n.2n S n.2n ; n * Cách giải thứ ba: Ta xác định số hạng tổng quát biểu thức cần tính; đó là: k Cnk (k n; k * ; n * ) Theo công thức (1) ta có: k n k C nCnk11 (k * ; k n; n * ) Khi đó: S n.C n n.Cn1 n.Cnn11 ; n * S n(Cn0 Cn1 Cnn11 ) S n(1 1) n n.2n ; n * ***Bình luận: Cách giải thứ khá phổ biến, mang tính chất truyền thống học sinh thường lúng túng đưa nhị thức Niu- tơn cần khai triển để áp dụng, là các tổng phức tạp cần sử dụng đạo hàm bậc hai, bậc ba Mặt khác chương trình học: bài "Nhị thức Niu - tơn" học trước chương " Đạo hàm" Cách giải thứ hai: không là cách giải tổng quát cho tất các bài tương tự Cách giải thứ ba: Phù hợp với nội dung chương trình học Tự nhiên Áp dụng nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp Sau đây là số bài tập giải nhờ công thức (I); (II) Bài 1: Tính các tổng sau: S1 Cn1 2.Cn2 3.Cn3 1 n n n n .n.Cnn ; n ; n n n S2 C 2C 3C (n 1)C ; n ; n b/ S3 Cn2 2Cn3 3Cn4 (n 1)Cnn ; n * ; n 2 c/ a/ (6) S4 n.2n 1.Cn0 (n 1).2n 2.3.Cn1 (n 2).2n 3.32.Cn2 3n 1.Cnn 1; n ; n d/ 2009 S5 4.53.C2009 5.54.C2009 2013.52012.C2009 e/ Giải S1 Cn1 2.Cn2 3.Cn3 1 n .n.Cnn a/ Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát k Cnk (k ;1 k n) tổng S1; cụ thể là: Theo công thức (I) ta có: k n k C nCnk11 (k ;1 k n) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: n n S1 ( 1) k 1.k Cnk ( 1)k 1.n.Cnk11 k 1 S1 n(C n C n C k 1 n ( 1)n 1.Cnn11 ) S1 n.(1 1)n 0; n ; n Tương tự với các tổng còn lại; S Cn0 2Cn1 3Cn2 (n 1)Cnn ; n * b/ n n n k 1 k 0 S2 ( k 1).Cnk 0.Cn0 k.Cnk Cnk k 0 n n S n.Cnk11 Cnk k k 0 S2 n.2 n 2 n S2 (n 2).2n ; n ; n S3 Cn2 2Cn3 3Cn4 (n 1)Cnn ; n * ; n 2 c/ n n k 2 n k 2 n S3 (k 1).Cnk k Cnk S3 k Cnk Cn1 k 1 n C k 0 n S3 n.Cnk11 Cn1 S3 n.2 C k n k 2 Cn0 Cn1 k n C k 1 n k n n Cn0 Cn1 k 0 n 1 S3 (n 2).2n 1; n ; n 2 S4 n.2n 1.Cn0 (n 1).2n 2.3.Cn1 (n 2).2n 3.32.Cn2 3n 1.Cnn ; n * d/ n S4 (n k ).2 k 0 n k k k n n .3 C 2n k 1.3k (n k ).Cnn k k 0 n S4 2n k 1.3k.n.Cnn 1k k 0 S n(2n 1.30.Cnn11 2n 2.32.Cnn12 20.3n 1.Cn0 ) S n.(2 3) n S n.5n 1; n ; n (7) 2009 S5 4.53.C2009 5.54.C2009 2013.52012.C2009 e/ 2009 2009 2009 k 0 k 0 k k k S5 (k 4).5k 3.C2009 k 5k 3.C2009 4.5k 3.C2009 k 0 2009 2009 k k S5 5k 3.k C2009 4.5k 3.C2009 k 0 k 0 2009 2009 k1 k S5 503.0.C2009 54.5k 1.2009.C2008 4.53.5k C2009 k 1 S5 2009.5 (5 C k 0 2008 5 C 2008 2008 2008 C2008 ) 2009 4.53.(50 C2009 51 C2009 52009 C2009 ) S5 2009.54.62008 4.53.62009 S5 10069.53.62008 *** Nhận xét: Như ta có thể tính tổng dạng: n S ( k ).a n k b k 1 m Cnk ( ; ; k ; k n; n * ; m ) k 0 Dựa vào đó người giáo viên có thể nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú bài giảng mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự Giáo viên có thể thay yêu cầu bài toán các yêu khác, ví dụ như: chứng minh rằng, tìm các giá trị n thoả mãn đẳng thức Nếu tổng cần tính xuất biểu thức k dạng bậc hai bậc ba k thì ta giải nào? *** Từ công thức (I); ta suy các công thức sau: k (k 1).Cnk n.(n 1).Cnk 22 ; k ; n ; k n k n k (k 1)(k 2).C n.(n 1)(n 2).C k n 1/ (IA) ; k ; n ;3 k n 2/ (IB) Chứng minh: k (k 1).Cnk (k 1).k Cnk n.( k 1).Cnk11 n.(n 1).Cnk 22 k ; n ; k n 2/ Tương tự (dành cho bạn đọc) Bài 2: Tính các tổng sau S6 1.2.Cn2 2.3.Cn3 (n 1).n.Cnn n ; n a/ S7 n.(n 1).3n 2.Cnn ( n 1).(n 2).3n 3.41 Cnn 2.1.4n 2.Cn2 S8 12.Cn1 22.Cn2 32.Cn3 n Cnn n ; n b/ n ; n c/ 2012 S9 1.2.C2012 3.4.22.C2012 5.6.24.C2012 4023.4024.24022.C2012 d/ Giải S6 1.2.Cn2 2.3.Cn3 (n 1).n.Cnn n ; n a/ Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng (k 1).k Cnk (k ; k n) quát tổng S6; cụ thể là: Theo công thức (IA) ta có: k (k 1).Cnk n.(n 1).Cnk 22 (k ; k n) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: n n k 2 k 2 S6 (k 1).kCnk (n 1).n.Cnk 22 1/ (8) S6 n.(n 1)(Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 22 ) S6 n.(n 1)(1 1) n n.(n 1).2n ; n ; n Tương tự với các tổng còn lại; S7 n.(n 1).3n 2.Cnn ( n 1).(n 2).3n 3.41 Cnn 2.1.4n 2.Cn2 n n k 2 n k 2 n ; n b/ S7 k (k 1).4n k 3k 2.Cnk 4n k 3k 2.k (k 1).Cnn S7 4n k 3k 2.n(n 1).Cnk 22 k 2 S7 n.( n 1).(4n 2.30.Cn0 4n 3.31.Cn1 40.3n 2.Cnn 22 ) S7 n.(n 1).(4 3) n n(n 1).7n 2 n 2 n n S8 1 C C C n C n n n 2; n n ; n c/ Ta thấy số hạng tổng quát tổng trên là: k n k n k C k ;1 k n; n Theo công thức (IA) ta có: k C k (k 1) k Cnk k (k 1).Cnk k Cnk k ; k n; n k Cnk n.(n 1).Cnk 22 n.Cnk11 k ; k n; n Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: S8 1 Cn1 n.(n 1).(Cn0 Cn1 Cnn 22 ) n(Cn1 Cn2 Cnn11 ) n ; n S8 n.(n 1).(Cn0 Cn1 Cnn 22 ) n(Cn0 Cn1 Cn2 Cnn11 ) n ; n 12.Cn1 n n.Cn0 S8 n.(n 1).2 S9 1.2.C 2012 ( Do ) n n.2 n 2012 3.4.2 C n.(n 1).2n 5.6.2 C 2012 n ; n 2012 4023.4024.24022.C2012 d/ Ta thấy số hạng tổng quát tổng trên là: k 1 (2k 1).(2k 2).22 k C2012 k ; k 2011 Theo công thức (IA) ta có: k 1 k (2k 1).(2k 2).2 k C2012 2.(2k 1).22 k 2012.C2011 k k 2.22 k 2012.(2.k C2011 C2011 ) k ; k 2011 k1 k 2.22 k 2012.(2.2011.C2010 C2011 ) k1 k 22.2011.2012.22 k C2010 2.2012.22 k C2011 (k ;1 k 2011) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến 2011 ta được: 1 2010 S9 1.2.C2012 22.2011.2012.(22.C2010 24.C2010 24022.C2010 ) 2011 2.2012.(22.C2011 24.C2011 24022.C2011 ) 1 2010 S9 1.2.C2012 24.2011.2012 (22 )0 C2010 (22 )1.C2010 (22 )2010 C2010 2011 21.2012 (22 )0 C2011 (22 )1.C2011 (2 ) 2011.C2011 (2 ) C2011 S9 1.2.C2012 24.2011.2012.(22 1)2010 2.2012.(22 1) 2011 2.2012 S9 24.2011.2012.52010 2.2012.52011 S9 4024.16093.52011 Bài 3: Tính các tổng sau S10 1.2.3.Cn3 2.3.4.Cn4 (n 2)(n 1)n.Cnn n ; n a/ (9) S11 13.Cn1 23.Cn2 n3 Cnn n n ; n n b/ n S12 1.2.3.C 2.3.4.C ( 1) (n 1)(n 2)(n 3).Cnn (n ; n 3) c/ Giải S10 1.2.3.Cn3 2.3.4.Cn4 (n 2)(n 1)n.Cnn n ; n a/ Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng (k 2)(k 1).k Cnk (k ;3 k n) quát tổng S10; cụ thể là: Theo công thức (IB) ta có: k (k 1).( k 2)Cnk n.(n 1).(n 2)Cnk 33 (k ;3 k n) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: n n S10 (k 2)(k 1).kCnk (n 2)(n 1).n.Cnk 33 k 3 n S10 n.( n 1)( n 2)(C k 3 n C Cn2 Cnn 33 ) S10 n.( n 1)( n 2)(1 1) n n.( n 1).( n 2)2n ; n ; n Tương tự với các tổng còn lại; S11 13.Cn1 23.Cn2 n3 Cnn n ; n b/ Ta thấy số hạng tổng quát tổng trên là: k n k n k C k ;1 k n; n Theo công thức (IA) và (IB) ta có: k C k (k 1)(k 2) 3k ( k 1) k Cnk k (k 1).( k 2)Cnk 3k (k 1)Cnk kCnk n( n 1)( n 2).Cnk 33 3n( n 1).Cnk 22 n.Cnk11 (k ;3 k n; n 3) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: S11 1 Cn1 23.Cn2 n.(n 1).(n 2).(Cn0 Cn1 Cnn 33 ) 3n( n 1)(Cn1 Cn2 Cnn 22 ) n(Cn2 Cn3 Cnn11 ) n ; n () S11 n 4n(n 1) n.(n 1)(n 2).2 n 3n.(n 1) 2n Cn0 n 2n Cn0 Cn1 S11 n.(n 1)(n 2).2n 3n.(n 1).2n n.2n S11 (n3 3n).2 n n 3; n S12 1.2.3.Cn0 2.3.4.Cn1 ( 1) n (n 1)(n 2)(n 3).Cnn c/ (n ; n 3) Ta thấy số hạng tổng quát tổng trên là: ( k 1)( k 2)(k 3).( 1)k Cnk k ; k n; n Theo công thức (IA) và (IB) ta có: (k 1)(k 2)(k 3).( 1) k Cnk k (k 1)(k 2).( 1)k Cnk 9k (k 1).( 1) k Cnk 18k ( 1) k Cnk 6.( 1) k Cnk n( n 1)(n 2).( 1) k Cnk 33 n( n 1).( 1)k Cnk 22 18n.( 1) k Cnk11 6.( 1) k Cnk (k ;3 k n; n 3) (10) n(n 1)(n 2).( 1) k Cnk 33 9n(n 1).( 1) k Cnk 22 18n.( 1) k 1.Cnk11 6.( 1) k Cnk (k ;3 k n; n 3) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: S12 1.2.3.Cn0 2.3.4.Cn1 3.4.5.Cn2 n(n 1)(n 2).(Cn0 Cn1 ( 1) n Cnn 33 ) 9n( n 1).( Cn1 Cn2 ( 1) n Cnn 22 ) 18n(Cn2 Cn3 ( 1) n 1.Cnn11 ) Cn3 Cn4 ( 1) n Cnn S12 6 24n 30n(n 1) n( n 1)(n 2).(1 1) n 9n(n 1) (1 1) n Cn0 18n (1 1)n Cn0 Cn1 (1 1)n Cn0 Cn1 Cn2 S12 6 24n 30n( n 1) 9n(n 1) 18n 18n.(n 1) 6n 3n(n 1) S12 0 n 3; n *** Nhận xét: Như ta có thể sử dụng các công thức (IA) và (IB) cho các tổng; đó có số hạng tổng quát dạng : 1/ ( k k ).Cnk k (k 1) ( ).k Cnk / ( k k .k ).Cnk k ( k 1)( k 2) ( 3) k ( k 1) ( 1).k Cnk ( ; ; ; ; k ; k n; n ; n 3) Tương tự bài tập 1; giáo viên có thể thay yêu cầu bài toán các yêu khác, ví dụ như:Chứng minh rằng, tìm các giá trị n thoả mãn đẳng thức Và chúng ta nhận thấy với cách giải các bài toán trên giúp học sinh chủ động quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn vấn đề tổng quát nhằm phát huy tính sáng tạo, chủ động các em Bài 4*: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 380/ 2009) Chứng minh rằng: n k ( n x) C k n .xk (1 x) n k k 0 n k n x C k n .x k (1 x) n k k 0 x(1 x) x ; n * n n a/ x 0;1 ; n * b/ Giải n k ( n x) C k 0 k n .xk (1 x) n k x(1 x) x ; n * n a/ Ta dễ dàng nhận ra: k k2 k ( x) Cnk x k (1 x) n k ( x x ).Cnk x k (1 x)n k n n n k 1 ( x) Cnk x k (1 x) n k k (k 1)Cnk x k (1 x) n k kCnk x k (1 x ) n k n n n x kCnk x k (1 x) n k x Cnk x k (1 x) n k (1) n Theo công thức nhị thức Niu - tơn và áp dụng các công thức (I); (IA); (IB) ta có: n C k 0 k n .x k (1 x) n k ( x x) n 1n 1 +/ (*) (11) n n n k 1 k 1 / k Cnk x k (1 x) n k 0 k Cnk x k (1 x) n k n.Cnk11.x k (1 x) n k k 0 n x. Cnk11.x k 1.(1 x) n k k 1 n.x.( x x ) n n.x n (**) n n k 2 k 2 / k (k 1).Cnk x k (1 x) n k 0 k (k 1).Cnk x k (1 x )n k n.(n 1).Cnk 11.x k (1 x )n k k 0 n n(n 1) x Cnk 22 x k (1 x) n k n.(n 1) x ( x x) n n.(n 1) x (***) k 2 Thay (*); (**); (***) vào biểu thức (1) ta đuợc; n k ( n x) C k n .x k (1 x) n k k 0 1 x x(1 x) n(n 1).x n.x .n.x x n n n n * x ; n n k n x C k n .đpcm () .x k (1 x) n k x 0;1 ; n * n b/ Theo câu a/ và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng: k 0 2 ( a1 x1 a2 x2 an xn ) ( a1 x1 a2 x2 an xn ).( x1 xn ) Khi đó; với x [0; 1] thì: n n k n k k k n k k k n k k k n k x C x (1 x ) ( x ) C x (1 x ) n n n n Cn x (1 x) k 0 k 0 k 0 n k x(1 x ) x Cnk x k (1 x) n k n k 0 n ( theo kết phần a/ và (*)) ( x x) n k x(1 x ) k k n k x Cn x (1 x) n n 4n k 0 n n k x Cnk x k (1 x)n k x 0;1 ; n * n k 0 n Dấu xảy và khi: 0 n n 1 x x x n n n x 1 x x Bài 5**: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 393/ 2010) n n m; ( p; q) 1 Cqpm p m n 1 Cho p là số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả mãn: Chứng minh rằng: chia hết cho Giải n k p (k ; p ) 1; k , * n n Ta viết số tự nhiên n dạng: với n n k p k p p n Nếu thì Điều này vô lí Vì n k Cnk n.Cnk11 Cnk Cnk11 k Khi đó theo công thức (I) : nên: (12) Cqn p m Cqk ppm q p m k p q m k p C m p Cq p m k p q p k Cqk ppm 11 C n q p m Do (k;p)=1 và là số nguyên dương nên ta suy ra: p m m m n 1 n p p Mà nên Từ đó ta suy điều phải chứng minh Bài 6***: ( Đề thi IMO năm 1980) r n; n * F(n, r ) n 1 r Cho r là số tự nhiên thoả mãn điều kiện: Xét tất các tập gồm r phần tử tập hợp {1, 2, , n} Mỗi tập này có phần tử bé Gọi F( n,r) là trung bình cộng tất các phần tử bé đó Chứng minh rằng: Giải Gọi G(n,r) là số trung bình cộng các phần tử lớn các tập đã nói đề bài Khi đó ta có: (1.Cnr 11 2.Cnr 12 ( n r 1).Crr11 ) (1) Cnr G(n, r ) r (n.Cnr 11 (n 1).Cnr 12 r.Crr11 ) (2) Cn F(n, r ) Từ (1) và (2) ta suy ra: F( n, r ) G( n, r ) ( n 1).(Cnr 11 Cnr 12 Crr11 ) (3) Cnr Cmk 11 Cmk 1 Cmk r n C C r n C r n Mặt khác, nên: C r r (4) Từ (3) và (4) ta có: F( n, r ) G( n, r ) (n 1).(Cnr 11 Cnr 12 Crr11 ) n 1 Cnr 11 Cnr 12 Crr11 n k Cnk n.Cnk11 Cnk Cnk11 k (5) Theo công thức (I) nên áp dụng ta có r.Cnr k 1 ( n k 1).Cnr 1k Cnr 1k r Cnr k 1 n k 1 Khi đó: G(n, r ) n r n r r r ( Cn Cn Crr11 ) r (Cnr Cnr Crr ) r Cn r r r Cn Cnr ; Cnr ; ; Crr Áp dụng (4) liên tiếp cho số hạng: ta được: G(n, r ) r (1.Cnr 11 2.Cnr 12 (n r 1).Crr11 ) F(n, r ) r Cn Thế (6) vào (5) ta được: F( n, r ) F(n, r ) n 1 n F(n, r ) r r 1 *** Chú ý: Từ bài tập trên ta có thể rút số trung bình cộng G(n,r) và thiết lập bài toán **** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (13) I/ Đối với học sinh trung bình khá ta có thể các bài tập sau nhằm củng cố kiến thức và tạo hứng thú cho học sinh quá trình học tập Bài 1: Chứng minh 1.Cn1 2.Cn2 ( 1)n 1.n.Cnn 0 n N ; n Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005) Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau: C21n 1 2.2.C22n1 3.22.C23n 1 4.23.C24n1 (2n 1).22 n.C22nn11 2005 Bài 3: Tìm n thoả mãn 22 n.C21n 1 2.C22n 1.3.22 n 3.C23n 1.32.22 n (2n 1).C22nn11.32 n 2009 Bài 4: Chứng minh 2008 C2009 32.C2009 32008.C2009 22008.(22009 1) Bài 5: Tính tổng S1 1.20.Cn1 2.21.Cn2 3.22.Cn3 n.2n 1.Cnn 2 n 1 S2 2.C n 1 2n n 1 4.C 2n 2n.C 2n S3 2.C 4.C 2n.C n ; n a/ b/ 2n 2n c/ Bài 6: Chứng minh C21n 3.C23n (2n 1).C22nn 2.C22n 4.C24n 2n.C22nn n * Bài 7: Cho a > 0; Hãy tính tổng S1 1.2.Cn11 3.4.a Cn21 (2n 1)(2n 2).a n Cnn11 n n 2 n n S C 2a.C 3a C (n 1)a C 2n 2 2n n n 2n b/ 2n S3 C 3a C 5a C (2n 1)a C 2n 3 2n 5 2n S4 2a.C 4a C 6a C 2n.a a/ n 2n 2n 2n 2n .C c/ d/ II/ Một số bài tập nâng cao * r n; n G(n, r ) r ( n 1) r Bài 1: Cho r là số tự nhiên thoả mãn điều kiện: Xét tất các tập gồm r phần tử tập hợp {1, 2, , n} Mỗi tập này có phần tử lớn Gọi G(n,r) là trung bình cộng tất các phần tử lớn đó Chứng minh rằng: Bài 2: ( Đề thi IMO năm 1987) n k p (k ) n ! n 1 k 0 n Cho S ={1;2; ;n}; ta gọi p(k) là số các hoán vị S có đúng k điểm cố định Chứng minh rằng: DẠNG 2: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (II) Bài 1: Tính tổng 1 S1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 S2 ; n * a/ n 1 2 2 Cn Cn Cn Cnn n 1 (n ; n 1) b/ 2n (1 x) n 1 x k C2kn 1 k 0 c/ (Đề thi khối A năm 2007) (14) S4 2.Cn0 S5 20 Cn0 32 1 33 34 3n 1 n Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 2 2 Cn Cn Cn ( 1) n Cnn n 1 S6 3 n 1 b a b a b a b a Cn Cn Cn2 n 1 n 1 (n * ) (n * ) Cnn d/ e/ ( n *; a; b ) f/ Giải 1 S1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 ; n * a/ Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng Cnk k 1 (k ;0 k n; n * ) quát tổng S1; cụ thể là: Theo công thức (II) ta có: 1 Cnk Cnk11 (k ;0 k n; n * ) k 1 n 1 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: 1 (1 1) n1 Cn01 (Cn11 Cn21 Cnn11 ) n 1 n 1 2n 1 S1 ( n * ) n 1 22 23 24 2n 1 n S Cn1 Cn2 Cn3 Cn (n ; n 1) n 1 b/ S1 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng S2 , cụ thể là: 2k 1 k Cn k 1 (k ;1 k n; n ; n 1) Theo công thức (II) ta có: k 1 2k 1 k 1 Cnk Cn 1 (k ;1 k n; n ; n 1) k 1 n 1 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: S2 1 (1 2) n 1 20 Cn01 21 Cn11 (22 Cn21 23 Cn31 2n 1 Cnn11 ) n 1 n 1 3n 1 2(n 1) 3n 1 (2n 3) ( n ; n 1) n 1 n 1 1 1 S3 C21n C23n C25n C22nn (n ; n 1) 2n c/ S2 (Đề thi khối A năm 2007) Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng S3 , cụ thể là: 2k C2 n (k ;1 k n; n ; n 1) 2k Theo công thức (II) ta có: 2k 1 C2 n C22nk1 (k ;1 k n; n ; n 1) 2k 2n (15) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: (C22n 1 C24n 1 C22nn1 ) 2n C2 n 1 C22n 1 C24n 1 C22nn1 2(2 n 1) 2 n S3 Mặt khác: (Bạn đọc tự chứng minh) 22 n C20n 1 22 n (n ; n 1) 2n 2n 32 1 33 34 3n 1 n S4 2.Cn Cn Cn Cn Cn n 1 S3 (n * ) d/ Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng S4 , cụ thể là: 3k 1 k Cn k 1 (k ; k n; n * ) Theo công thức (II) ta có: k 1 k 3k 1 k 1 Cn Cn 1 (k ; k n; n * ) k 1 n 1 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: (3Cn11 32 Cn21 3n 1 Cnn11 ) (Cn11 Cn21 Cnn11 ) n 1 S4 (3 1)n 1 30.Cn01 (1 1)n 1 Cn01 n 1 4n 1 2n 1 S4 (n * ) n 1 22 23 24 2n 1 n S5 20 Cn0 Cn Cn Cn ( 1) n Cn (n * ) n 1 e/ S4 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng S5 , cụ thể là: ( 1) k 2k 1 k Cn k 1 (k ; k n; n * ) Theo công thức (II) ta có: k k 1 ( 1) k 1 .Cnk ( 1) k k 1 k 1 Cn 1 (k ; k n; n * ) n 1 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: S5 (21 Cn1 1 22 Cn21 ( 1) n 1 2n 1 Cnn11 ) n 1 1 ( 1)n S5 Cn01 (1 2) n 1 S5 (n * ) n 1 n 1 2 3 b a b a b a b n 1 a n 1 n S6 Cn Cn Cn Cn n 1 ( n *; a; b ) Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng S6, cụ thể là: b k 1 a k 1 k Cn k 1 (k ; k n; n * ) Theo công thức (II) ta có: f/ (16) b k 1 a k 1 k b k 1 a k 1 k 1 Cn Cn1 (k ; k n; n * ) k 1 n 1 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: S6 (b1Cn1 1 b2Cn21 b n 1Cnn11 ) (a1Cn11 a 2Cn21 a n 1Cnn11 ) n 1 (1 b) n 1 (1 a ) n 1 S6 (1 b) n 1 Cn01 (1 a)n 1 Cn01 S6 n 1 n 1 ( n * ) Bài 2: Chứng minh 1 n.2 n 1 1 C2 n C2 n C2 n C22nn ; n * 2n (2n 1)(2n 2) a/ 1 1 2n2 n Cn Cn Cn Cnn 1.2 2.3 3.4 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) (n * ) n 4 b/ 1 1 n 7n 14 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)(n 2)(n 3) 2(n 1)(n 2)(n 3) (n * ) 12 22 32 n2 (n n 2).2 n n Cn Cn Cn Cn ( n ; n 1) n 1 n 1 c/ d/ Giải 1 n.2 n 1 1 C2 n C2 n C2 n C22nn ; n * 2n (2n 1)(2n 2) a/ Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng vế trái, cụ thể là: C22nk 2k (k ; k n; n * ) Dựa theo công thức (II) ta biến đổi sau: 2k 1 2k 1 C22nk C22nk C22nk11 2k 2k 2k 2k 2n 2k 1 2k 1 C22nk11 C22nk22 2n k 2n 2n (2k 2).C22nk22 C22nk22 (2n 1)(2n 2) (2n 2).C22nk11 C22nk22 (2n 1)(2n 2) 1 C22nk11 C22nk22 ( k ; k n; n * ) (2n 1) (2n 1)(2n 2) Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: 1 (C22n 2 C23n 2 C22nn22 ) (C21n 1 C22n 1 C22nn11 ) 2n (2n 1)(2n 2) 1 (1 1)2 n 2 C20n 2 C21n 2 VT (1 1) n 1 C20n 1 2n (2n 1)(2n 2) 1 22 n 2 (2n 2) VT 22 n 1 1 2n (2n 1)(2n 2) 2n n 1 2 1 n.22 n1 VT (n * ) 2n (2n 1)(2n 2) (2n 1)(2n 2) VT (17) 1 1 2n2 n Cn Cn Cn Cnn 1.2 2.3 3.4 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) (n * ) b/ Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng vế trái, cụ thể là: Cnk ( k 1)(k 2) (k ; k n; n * ) Dựa theo công thức (II) ta biến đổi sau: 1 1 Cnk Cnk Cnk11 ( k 1)( k 2) k k 1 k n 1 1 1 Cnk11 Cnk22 (k ; k n; n * ) n 1 k n 1 n Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: VT (Cn22 Cn32 Cnn22 ) (n 1)(n 2) VT n 2 n (2n 2 Cn02 Cn12 ) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) .đpcm 1 1 2n 4 n 7n 14 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)(n 2)(n 3) 2(n 1)(n 2)(n 3) Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng vế trái, cụ thể là: Cnk (k 1)(k 2)(k 3) (k ; k n; n * ) Dựa theo công thức (II) ta biến đổi sau: 1 1 Cnk Cnk Cnk11 (k 1)( k 2)( k 3) (k 2)( k 3) k ( k 2)(k 3) n 1 1 1 1 Cnk11 Cnk22 n 1 k k n n k 1 1 1 Cnk11 Cnk33 (k ; k n; n * ) n 1 k k n n n Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: (Cn33 Cn43 Cnn33 ) (n 1)(n 2)(n 3) 2n 4 n 7n 14 VT (2n 3 Cn03 Cn13 Cn23 ) (n 1)(n 2)(n 3) 2(n 1)(n 2)(n 3) VT (đpcm) 2 2 1 n (n n 2).2 Cn Cn2 Cn3 Cnn n 1 n 1 n 1 ( n ; n 1) Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát tổng vế trái, cụ thể là: k2 Cnk k 1 (k ;1 k n; n ; n 1) Dựa theo công thức (II) ta biến đổi sau: d/ (n * ) c/ (18) k2 (k 1)(k 1) k Cnk Cn (k ;1 k n; n ; n 1) k 1 k 1 (k 1)(k 1) k 1 (k 1)(k 1)Cnk11 Cnk11 Cn 1 n 1 n 1 1 (k 1)(n 1)Cnk Cnk11 (k 1)Cnk Cnk11 n 1 n 1 nCnk11 Cnk Cnk11 n 1 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ đến n ta được: (Cn11 Cnn11 ) n 1 n 1 (n n 2).2 VT n.2n 2n (2n 1 1) n 1 n 1 (đpcm) VT n(Cn0 Cn1 Cnn11 ) (Cn0 Cn1 Cnn ) **** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Chứng minh 1 ( 1) n 1 n n Cn Cn Cn n N * n 1 n 1 a/ n 1 1 1 2 1 Cn Cn Cn Cnn n * 3(n 1) 3(n 1) b/ n 1 1 ( 1) Cn Cn Cn Cnn n * 2(n 1) 2( n 1) c/ Bài 2: Tính tổng 1 S1 C20n C22n C24n C22nn 2n n * a/ 4020 2 2009 C2010 C2010 C2010 C2010 4020 1 1 S3 C20n C22n C24n C22nn ( n * ) 2n S2 3 3 n S Cn1 Cn2 Cn3 Cnn n 1 ( n * ) b/ c/ Bài 3*: Tính tổng Bài 4: (Đề thi ĐH khối B năm 2003) Cn0 2 1 23 2n 1 n Cn Cn Cn n 1 n * Tính: Bài 5: (Đề thi ĐH khối B năm 2008) Chứng minh n 1 1 ( k k 1 ) k k ; k n; n * ) n Cn 1 Cn 1 Cn 1 S Cn0 Cn1 Cn2 22 Cnn 2n n 1 Bài 6: Tính Cn0 Cn5 Cn1 Cn4 Cn2 Cn3 Cn5 Cn0 252.25 n (Cn1 )2 2.(Cn2 ) n.(Cnn )2 C2nn n * n ; n Biết rằng: Bài 7*: Chứng minh (19) IV/ Bài tập theo dạng DẠNG 1: PT; BPT; HỆ PT TỔ HỢP Bài 1: Giải phương trình m/ 2Pn An2 Pn An2 12 a / Cn3 5Cn1 n 14 n 2 14 b/ C C n 1 14 2C c / 3Cn21 nP2 4 A2n An 0 g / Px Ax2 72 6( Ax2 Px ) f / Cn4 Cn3 d / C 1x 6Cx2 6C x3 9 x 14 x h / Cn Cn 3Cn 1 i / 3Cn3 2Cn2 3 An2 14 e/ x x x C5 C6 C7 k / Cn21 An2 4n3 ( A21n ) Bài 2: Giải bất phương trình a/ Cn21 n Cn2 10 An 23 24 e / Cnn 21 Cnn A4 An4 143 f / n n An 1 Cn (n 2)! Pn Pn 5 c/ 240 Ank33 g / C C A2 0 x x x (n k )! 2 h / A A Cx 10 n x x d / An 1 Cn 1 14(n 1) x b/ Bài 3: Giải hệ phương trình 2 Axy 5Cxy 90 a/ y y 5 Ax 2C x 80 b / Cnm11 : Cnm1 : Cnm11 5 : : c / C xy1 : C xy 1 : C xy 6 : : Bài 4: Chứng minh a / Ann Ann 3Pn b / 8Cnn An2 Pn (n 2)! DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC Bài 1: 10 ) x a/ Tìm hệ số số hạng chứa x4 ( x ) 40 x b/ Tìm hệ số số hạng chứa x31 21 (2 x ) x c/ Tìm hệ số số hạng chứa x43 x (3 xy )10 y d/ Tìm hệ số số hạng chứa x6.y2 (x ) x e/ Tìm số hạng không chứa x 12 ( x3 ) x f/ Tìm số hạng chứa x5 (2 x (20) Bài 2: x )n a/ Biết ( có hệ số số hạng thứ Tìm số hạng chính n ( x3 ) x b/ Cho , biết tổng hệ số số hạng đầu 631 Tìm hệ số số hạng chứa x n ( x x3 ) 15 28 x c/ Cho , biết tổng hệ số số hạng đầu 79 Tìm số hạng không chứa x d/ Biết tổng các hệ số khai triển (1+x2)n 1024 Tìm hệ số số hạng chứa x12 ( x ) n C n 1 C n 7(n 3) n 4 n 3 x e/ Cho , biết Tìm hệ số số hạng chứa x8 d/ Biết tổng các hệ số khai triển (1+2x)n 6561 Tìm hệ số số hạng chứa x4 Bài 3: a/ Tìm hệ số số hạng chứa x10 (1+x+x2+x3)5 x (1 x) b/ Tìm hệ số số hạng chứa x8 c/ Tìm hệ số số hạng chứa x4 (1+2x+3x2)10 (1 x 3 x ) d/ Tìm hệ số số hạng chứa x e/ Tìm hệ số số hạng chứa x5 (x+1)10.(x+2) f/ Tìm hệ số số hạng chứa x9 P(x) = (1+x)9+(1+x)10+ +(1+x)14 g/ Tìm hệ số số hạng chứa x15 P(x) = (1+x)+2(1+x)2+ +20(1+x)20 h/ Tìm hệ số số hạng chứa x5 y3.z6.t6 (x+y+z+t)20 Bài : a/ Cho (x2+1)n.(x+2)n có a3n-3 = 26n Tìm n? x x n ) Cn 5Cn b/ Cho có số hạng thứ tư 20n và Tìm n và x? n ( 3lg x ) lg x c/ Cho có tổng các hệ số 512 và số hạng thứ 28.3n Tìm n và x? (2 (3 a b b 21 ) a d/ Cho có số hạng chứa a;b có số mũ a và b Tìm số hạng đó Bài 5: Tìm số hạng có hệ số lớn khai triển a/ (1+2x)30 40 x) 3 b/ ( DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC Bài 1: Chứng minh Bài 2: CMR (21) m m 1 Cn m n b / Cnm Cmk Cnk Cnmkk a / Cnm m a / Annk2 Annk1 k Ann k (k 2) b / Ank Ank k Ank11 ( n k 1) c / nCnk (k 1)2C Ank 1 kCnk (n k 1) c / Cn21 Cn2 n 2 Cn2 Cn3 Cnn n(n 1) d / Pk An 1 An 3 An 5 n.k ! An 5 d / C n n Cn Cn Cn Bài : CMR e / P P nP P 1 n n n 1 1 1 f / 1 A2 A3 A4 An n 50 C100 2100 10 g / Cnk 1 Cnk 2Cnk Cnk21 h / Cnk 3Cnk 3Cnk Cnk Cnk3 i / 2Cnk 5Cnk 1 4Cnk Cnk 3 Cnk22 Cnk33 m / Cnk 4Cnk 6Cnk 4Cnk Cnk Cnk n / Cnm Cnm11 Cnm21 Cnm31 Cmm Cmm 11 Bài 4: CMR a / Cn0 Cn1 Cnn 2n e / 3n Cn0 3n 1.2Cn1 30.2n Cnn 4n Cn0 n Cn1 Cnn b / 90 Cn0 91 Cn1 9n Cnn 10 n f / C20n C22n C22nn C21n C23n C22nn 1 c / 5n (Cn0 Cn1 n Cnn ) 6n g / C 32 C 34 C 32008 C 2008 22008 (22009 1) 2009 2009 2009 2009 5 n n 1 n n n d / Cn 7Cn Cn 9 Bài 5: CMR a / Cn1 2Cn2 nCnn n.2 n b / nCn0 ( n 1)Cn1 ( n 2)Cn2 ( 1) n Cnn 0 c / 2C22n 4C24n 2nC22nn C21n 3C23n (2n 1)C22nn d / n.2n 1.Cn0 (n 1).2n 2.3.Cn1 (n 2).2n 3.32.Cn2 3n 1Cnn n.5n e / 2.1.Cn2 3.2.Cn3 n.(n 1).Cnn n.(n 1).2n f / Cn0 2.Cn1 3.Cn2 n.Cnn (n 2).2n g / 12.Cn1 22.Cn2 n.2 Cnn n.(n 1).2n Bài 6: CMR n 1 1 2n 1 f / C C1 C n n a / C Cn Cn n n n 2n 2(n 1) n 1 n 1 n 1 ( 1) n 1 1 2008 2008 b / Cn0 Cn1 Cn2 Cn g / C2009 C2009 C2009 n 1 n 1 2009 2009 n 1 n 1 n 1 2 2 h / C C1 C n n c / 2.Cn Cn Cn Cn n n n 3n 3( n 1) n 1 n 1 n 21 22 1 n 1 n 3n 1 2n 1 i / d/ Cn Cn Cn n 1 n 1 n 1 2 2 e / 2C20n C22n C24n C22nn k / Cn0 2n 2n 1 1 ( 1) n n Cn Cn Cn 2n 2(n 1) 1 ( 1) n n 2n Cn Cn Cn 2n 2n Bài 7: CMR a / C50 Cnk C51.Cnk C55 Cnk Cnk5 d / (C20n ) (C21n ) (C22nn ) ( 1) n C2nn (22) k n k1 n b / C C C C 6 k n C C k n 6 C e / Cn0 Cnk Cn1 Cnk 1 Cnn k Cnn (2n)! (n k )!.(n k )! c / (Cn0 ) (Cn1 ) (Cnn ) C2nn f / Cn0 Cmp Cn1.Cmp Cnp Cm0 Cmpn DẠNG 4: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN A/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ KHÔNG CÓ SỐ Bài 1: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7} a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó thiết phải có mặt chữ số c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó có chữ số chẵn và hai chữ số lẻ e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó luôn có mặt chữ số 1;6 f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó luôn có mặt chữ số 1;6 đứng liền g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số; chữ số xuất lần; các chữ số còn lại xuất không quá lần h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và tính tổng các số tự nhiên đó i/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và tính tổng các số tự nhiên đó Bài 2: Cho A = {1;3;4;5;7} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và tính tổng các số tự nhiên đó Bài 3: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho chữ số đứng liền sau lớn chữ số đứng liền trước b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác cho có chữ số chẵn đứng liền và chữ số lẻ đứng liền c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác và không lớn 789 B/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ CÓ CHỮ SỐ Bài 1: Cho A = {0;1;2; ;9} a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó có chữ số chẵn và chữ số lẻ d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó có chữ số chẵn đứng liền và chữ số lẻ đứng liền e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó có chữ số f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó có chữ số và g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó có chữ số và đứng liền h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho tổng các chữ số lẻ i/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau; đó luôn có mặt chữ số k/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho và có chữ số khác m/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và lớn 50.000 n/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó luôn có mặt 1;6 và hai chữ số này không đứng cạnh p/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; đó có chữ số đứng liền sau lớn chữ số đứng liền trước chữ số đứng liền sau nhỏ chữ số đứng liền trước Bài 2: Cho A = {0;1;2;3;5} a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số; chữ số có mặt hai lần; chữ số có mặt lần; các chữ số còn lại có mặt lần b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số; chữ số có mặt lần; chữ số và có mặt lần; các chữ số còn lại có mặt không quá lần c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho và có chữ số khác (23) Bài 3: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn 10 và nhỏ 1000 mà chữ số kể từ chữ số thứ hai trở lớn chữ số đứng liền trước nó b/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn 100 và nhỏ 200 mà chữ số kể từ chữ số thứ hai trở không nhỏ chữ số đứng liền trước nó C/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP NGƯỜI Bài 1: Có học sinh ( nam; nữ) Có bao nhiêu cách xếp: a/ Xếp tùy ý vào dãy bàn ghế có vị trí b/ Xếp vào hai dãy bàn đối diện nhau; hàng ghế học sính cho đối diện nam là nữ Bài 2: Có 10 nam và 15 nữ Chọn người lao động Hỏi có bao nhiêu cách a/ Chọn b/ Chọn cho có đúng nam c/ Chọn cho có nhiều nam d/ Chọn cho có nhóm trưởng là nam e/ Chọn cho có ít nam và có nữ Bài 3: Có nam và nữ đó có bạn Hoa Chọn bạn lao động a/ Có bao nhiêu cách chọn đó không có mặt bạn Hoa b/ Có bao nhiêu cách chọn đó luôn có mặt bạn Hoa Bài 4: Có thầy dạy toán; thầy dạy lý; thầy dạy hóa Cần chon thầy dự hội nghị Hỏi có bao nhiêu cách nếu: a/ Có đủ môn b/ Có đúng môn Bài 5: Có nhà toán học nam; nhà toán học nữ; nhà vật lý nam Chọn đoàn công tác gồm người cho có nam và nữ, có toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 6: Có 20 học sinh đó có cán lớp Có bao nhiêu cách chọn người dự đại hội cho có ít cán lớp Bài 7: Có ba nước tham gia hội nghị bàn tròn; nước cử đại biểu Có bao nhiêu cách xếp cho các đại biểu cùng quốc gia thì ngồi gần Bài 8: Có học sinh nam và học sinh nữ xếp theo hàng dọc vào lớp a/ Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho có đúng hai học sinh nam xếp xen kẽ học sinh nữ b/ Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho học sinh nam đứng liền Bài 9: Một lớp có 40 học sinh; chia thành nhóm; nhóm có 10 học sinh a/ Có bao nhiêu cách? b/ Có bao nhiêu cách nhóm tham gia lao động tình nguyện tỉnh miền núi D/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP ĐỒ VẬT II/ Bài tập tổng hợp Bài 1: A-2002 (24) (2 x x ) n Cn0 (2 x n ) Cn0 (2 n x n x x ) (2 ) Cnn (2 ) n ( n * ) Cho n Biết C = 5C ; số hạng thứ 20n Tìm n và x? Bài 2: D-2002 Cn0 2Cn1 4Cn2 2n Cnn 243 Tìm n biết: Bài 3: A-2003 ( x ) n C n 1 C n 7(n 3) n 4 n 3 x3 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển biết Bài 4: B-2003 2 1 23 2 n 1 n C Cn Cn Cn n 1 n Tính S = Bài 5: D-2003 n * Với ; gọi a3n-3 là hệ số x3n-3 khai triển (x2+1)n.(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n Bài : A-2004 x (1 x) Tìm số hạng chứa x8 khai triển Bài 7: D-2004 (3 x ) ;x 0 x Tìm số hạng không chứa x khai triển Bài 8: A-2005 C21n 1 2.2C22n 1 3.22 C23n 1 (2n 1)22 n C22nn11 2005 Tìm n biết: Bài 9: D-2005 M An41 An3 (n 1)! Cn21 2Cn2 2Cn23 Cn2 149 Tính biết: Bài 10: A-2006 ( x ) n C1 C C C n 220 n 1 n 1 n 1 n 1 x4 Tìm hệ số số hạng chứa x26 biết Bài 11: A-2007 1 22 n C2 n C2 n C2 n C22nn 2n 2n CMR: Bài 12: B-2007 3n Cn0 3n Cn1 3n Cn2 ( n) n Cnn 2048 Tìm hệ số số hạng chứa x10 (2+x)n biết Bài 13: D-2007 Tìm hệ số số hạng chứa x5 : x(1-2x)5 + x2(1+3x)10 x) n 1 C C C C n 256 n 1 n 1 n 1 n 1 x2 Bài 14: Tìm hệ số số hạng chứa x3 biết x 10 (3 ) ;x 0 x Bài 15:Tìm số hạng không chứa x khai triển ( Bài 16: D-2008 C21n C23n C25n C22nn 2048 Bài 17: A-2008 a0 Cho Tìm n? Cho khai triển: (1+2x)n = a0 + a1x + a2x2 + + anxn a1 a2 a nn 4096 Các hệ số a0; a1; ;an thỏa mãn (25) Tìm số lớn các số: a0; a1; ;an Bài 18: Tìm n thỏa mãn: C21n 1 2.C22n 1.3.22 n 3.C23n 1.32.22 n 2n.C22nn1.32 n 1.2 (2n 1)C22nn11.32 n 2009 Bài 19: B-2008 n 1 1 ( k k 1 ) k n Cn 1 Cn 1 Cn CMR Bài 20: Tìm hệ số số hạng chứa x4 (x3-9x2+23x-15)16 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 22 Cn3 23 Cnn 2n n 1 Bài 21: Tính S= 17 (3 x ) ;x 0 x Bài 22: Tìm số hạng không chứa x khai triển Cn0 2Cn1 3Cn2 ( n 1)Cnn (n 2).2n Bài 23: CMR Cn0 Cn1 Cn2 .Cnn ( 2n n ) n 2; n n Bài 24: CMR 2008 C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 Bài 25: Tính S= Bài 26: CMR n chẵn: n cosnx 2 4 C t an x+ C t an x - + (-1) Cnn tan n x n n n cos x n n n n 2k n 2n 0 k Cn Cn Cn Cn Cnn Bài 27:CMR: Bài 28: Tìm hệ số x3 khai triển (1-x-3x2)4 C xx 2Cxx C xx C x2x2 Bài 29: Giải phương trình C21n 3C23n 5C25n (2n 1)C22nn 2C22n 4C24n 6C26n 2nC22nn Bài 30:CMR x Cn1 Cn3 2Cn2 ( 2log(10 ) 2( x 2) log ) n Bài 31: Tìm x biết và số hạng thứ khai triển 21 ( 3)100 Bài 32: Tìm số hạng hữu tỉ khai triển C137 C138 C1313 Bài 33: Tính S = n ; n 4 Bài 34: Cho A có n phần tử () Biết số tập A gồm phần tử gấp 20 lần số tập A gồm phần tử Tìm k để số tập A gồm k phần tử lớn 2011 C2011 C2011 C2011 C2011 C2011 Bài 35: Tính 1 2!.2005! 4!.2003! 2006!.1! Bài 36: Tính S = 12 n n C12n Bài 37: Rút gọn S= x n ) x Bài 38: Cho hệ số x3 khai triển 36 Tìm số hạng thứ 2009 (C2009 ) (C2009 ) (C2009 ) (C2009 ) Bài 39: Tính (x x Cnn Cnn Cnn 10 1023 Bài 40: Tìm n để 100 12 C100 ; 22 C100 ; ;1002 C100 Bài 41: Tìm số lớn các số C14n ; C14n 1; C14n ; Bài 42: Tìm n để lập thành cấp số cộng Bài 43: Tìm hệ số xn (1+2x+3x2+ +nxn)2 (26) 2Cnk 5Cnk 1 4Cnk Cnk 3 Cnk22 Cnk33 Bài 44: CMR Bài 45: Tìm số hạng có hệ số lớn (1+2x)2010 22 1 23 2n 1 n C Cn Cn Cn n 1 Bài 46: Tính S = n 12 22 n2 n Cn Cn Cn n Bài 47: Tính S = ak ak ak 1 24 Bài 48: Cho (1+x)n = a0 + a1x + + anxn Tìm n biết Cn2 Cnn 2Cn2Cn3 Cn3Cnn 100 Bài 49: Tìm n cho x 0 Bài 50: Tìm hệ số x10 khai triển (1++x3)10 ; với x n (Cn1 )2 2(Cn2 )2 3(Cn3 ) n(Cnn ) C2nn Bài 51: CMR C33 C43 Cn3 3 An31 Bài 52: Tìm n biết Bài 53: B-2004 Có 30 câu hỏi gồm khó; 10 trung bình; 15 dễ Lập đề kiểm tra có câu khác nhau; có đủ loại và số câu dễ không ít Hỏi có bao nhiêu đề? Bài 54: B-2005 Một đội niên tình nguyện có 15 người (12nam; 3nữ) Hỏi có bao nhiêu cách phân công tỉnh miền núi, tỉnh nam và nữ Bài 55: D-2006 Có 12 học sinh (5hs lớp A; hs lớp B; hs lớp C) Chọn hs làm nhiệm vụ; không thuộc quá lớp trên Có bao nhiêu cách chọn Bài 56: Từ 0;1; ;7 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và số đó chia hết cho Bài 57: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có chữ số; chữ số nhỏ chữ số đứng liến trước Bài 58: Cho 0;1;2;3;4;5 a/ Lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đó phải có mặt số và b/ Lập bao nhiêu số tự nhien có chữ số khác và chia hết cho Bài 59: Có bao nhiêu cách chia A gồm 10 phần tử thành tập hợp khác rỗng Bài 60: Có 20 học sinh; đó có cặp sinh đôi Chon học sinh cho không có cặp sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 61: Tìm các số tự nhiên chia hết cho và có chữ số cho chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Bài 62: Lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số từ 1;2;3;4;5;6; đó chữ số và có mặt lần; các chữ số khác có mặt đúng lần Bài 63: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho tổng các chữ số là số chẵn b/ Có bao nhiêu tập khác rỗng có ít 52 phần tử A có 100 phần tử Bài 64: Từ 0;1; ;7 Lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đó chữ số có mặt lần; các chữ số còn lại có mặt không quá lần Bài 65: Tính tổng các số tự nhiên có chữ số khác lập từ 1;2;3;5;6;8 Bài 66: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhỏ 2158 (27) Bài 67: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số; đó có ba chữ số lẻ khác nhau; chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt đúng lần Bài 68: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau; cho chữ số kề không cùng là chữ số lẻ Bài 69: Cho 0;1; ;7.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn; có chữ số khác và luôn có mặt chữ số Bài 70: Có hộp nhau; 10 viên bi Có bao nhiêu cách đưa 10 viên bi vào 10 hộp cho: a/ hộp có ít viên b/ (có hộp rỗng) (28)