Về định chuẩn của trường các số đại số

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh --------***--------- NGuyễn Thị THanh Hơng Về Định chuẩn của trờng các số đại số Chuyên ngành : Đại số & lý thuyết số Mã số : 60 46 05 luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học : TS. Nguyễn Thành Quang Vinh - 2003 1 Mục lục Trang Mở đầu 3 Chơng 1. Định chuẩn của trờng các số đại số. 1. Trờng định chuẩn 6 2. Trờng các số đại số 14 3. Định chuẩn của trờng các số đại số . 18 Chơng 2. Trờng các số đại số bậc 2 1. Ideal thơng trong trờng số đại số bậc 2 25 2. Các trờng nghiệm hữu hạn . 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 2 Mở đầu Một trờng trên đó đã xác định một hàm nhận giá trị thực có các tính chất t- ơng tự nh hàm giá trị tuyệt đối, gọi là trờng định chuẩn hay trờng metric (the metric field). Một mở rộng hữu hạn F bậc n của trờng các số hữu tỉ Q, đợc gọi là trờng các số đại số bậc n (The field of algebraical numbers).Từ lâu, các bài toán đợc nhiều nhà toán học quan tâm, thờng đợc xét trên các trờng cơ sở với chuẩn Acsimet - trờng số phức C và trờng với chuẩn không Acsimet- trờng số p- adic C p . Các nghiên cú gần đây gợi ý rằng, lý thuyết trờng định chuẩn các số đại số có rất nhiều ứng dụng trong đại số và lý thuyết số. Có thể kể ra ở đây, một số công trình nghiên cứu mới có liên quan về tính hyperbolic của các đa tạp đại số xạ ảnh đợc xét trên trờng các số đại số của các tác giả nh P.M.Wong ([11 ]1991), M. Ru ([12]1992). Với những lý do trên, trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu metric (chuẩn) trên trờng các số đại số. Luận văn đợc chia thành hai chơng, cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Trong chơng 1, luận văn giới thiệu các khái niệm và các kết quả cơ sở cần thiết của lý thuyết trờng định chuẩn. Luận văn đã đa ra đợc một số điều kiện nhằm diễn đạt tính không Acsimet của mertic trên một trờng tuỳ ý (Định lý 1.7, chơng1). Chứng minh đợc rằng, mọi chuẩn trên trờng đặc số dơng là chuẩn không Acsimet và mọi chuẩn trên trờng hữu hạn đều là chuẩn tầm thờng. Bằng một phản ví dụ cụ thể chỉ ra đợc tính không đầy đủ của trờng các số hữu tỉ Q theo chuẩn giá trị tuyệt đối và chuẩn p-adic (Định lí 1.6, Chơng1). Nội dung cơ bản của chơng1 là chứng minh đợc rằng, tập hợp các Ideal th- ơng (The fractional Ideal) của trờng số đại số lập thành một nhóm nhân (Hệ quả 3.5, Chơng 1). Từ đó, sử dụng Định lý Dedekind, chúng tôi đã xây dựng đợc các khái niệm cần thiết để định nghĩa đợc chuẩn không Acsimet trên trờng số đại số, nhờ Ideal nguyên tố P của vành O các số nguyên đại số. Nh là hệ quả, trong tr- 3 ờng hợp đặc biệt trờng số đại số bậc 1(trờng các số hữu tỉ), chuẩn đợc xây dựng trong trờng hợp tổng quát trở thành chuẩn p-adic, theo số nguyên tố p. Nội dung chính của chơng 2 là mô tả các kiểu trờng số đại số bậc hai (Định lí 1.2, chơng 2) và các Ideal thơng trong trờng số đại số bậc hai (Bài toán 1.3, chơng 2). Ngoài ra, luận văn cũng đã xây dựng đợc một số trờng nghiệm có hữu hạn phần tử trên trờng các số hữu tỉ (Trờng nghiệm có 9 phần tử, 25 phần tử trên Q). Luận văn này có thể phát triển theo hớng nghiên cứu các mô đun và nghiên cứu tính hyperbolic của các đa tạp đại số xạ ảnh trên trờng các số đại số. Luận văn đợc hoàn thành tại Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Đào tạo Sau Đại học, Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS. Giảng viên Nguyễn Thành Quang về sự giúp đỡ nhiệt tình và nghiêm túc trong giảng dạy và nghiên cứu đã dành cho tác giả. Tác giả của luận văn xin trân trọng cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, PGS. TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS. TS. Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn T và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán đã giúp đỡ và dạy bảo tận tình cho chúng tôi, trong hai năm học tập vừa qua. Tác giả của luận văn xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Trọng Văn, PGS. TS. Nguyễn Nhã Bản, Th.S. Nguyễn Văn Cam và các thầy cô giáo trong Khoa Đào tạo Sau Đại học đã giúp đỡ tận tình cho chúng tôi, trong thời gian học tập Cao học. Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học IX Toán, Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, đã động viên cổ vũ chúng tôi trong học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Tập thể giáo viên Trờng Trung học Cơ sở Hng Tây, Phòng Giáo dục huyện Hng Nguyên, Sở Giáo dục Nghệ An đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về tinh thần và vật chất cho tác giả trong thời gian học tập Sau Đại học. 4 Vinh, ngày 10 tháng 12 năm 2003 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Hơng Chơng 1 Định chuẩn của Trờng các số đại số 5 Đ1. Trờng định chuẩn 1.1 Nhắc lại khái niệm trờng. Một tập hợp K khác rỗng, trên đó đã trang bị hai phép toán cộng và nhân ký hiệu bởi dấu (+) và dấu (.) đợc gọi là trờng nếu: - Phép (+) có các tính chất: Kết hợp, giao hoán, có đơn vị 0, có phần tử đối ( a K, - a K: a + (-a) = 0). - Phép (.) có các tính chất: kết hợp, giao hoán, có phần tử đơn vị 1. - x K, x 0, x'= x -1 K: xx -1 = 1. - Phép (+) và phép (.) thỏa mãn luật phân phối: a(b+c) = ab + ac; a, b, c K. 1.2 . Đặc số của trờng. Cho K là một trờng với đơn vị 1. Nếu N,01 kk , thì ta nói trờng K có đặc số 0 hay đặc số . Trong trờng hợp ngợc lại, ta gọi số nguyên dơng k bé nhất sao cho 01 = k là đặc số của trờng K. Ví dụ. Các trờng Q, R, C có đặc số 0. Trờng Z 2 có đặc số 2. Nhận xét. Đặc số 0 k của một trờng tuỳ ý là số nguyên tố. Thật vậy, giả sử ngợc lại k là hợp số, tức ,1,2, = kqppqk khi đó ta có 0)1)(1( = qp , hay 01 = p hoặc 01 = q , điều này mâu thuẫn với tính bé nhất của k . 1.3 . Trờng định chuẩn. Định nghĩa. Một trờng K cùng với hàm nhận giá trị thực : K R )( đợc gọi là một trờng định chuẩn hay trờng metric nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 6 i) ( ) 0; ( ) = 0 = 0, K. ii) ( + ) ( ) + ( ), , K. iii) ( ) = ( ) ( ), , K. Nếu thay điều kiện ii) bởi điều kiện iv) mạnh hơn nh sau: iv) ( + ) max{ ( ), ( )} thì (K, ) đợc gọi là trờng định chuẩn không Acsimet. Ví dụ. 1) Các trờng số hữu tỉ và trờng số thực là những trờng định chuẩn với hàm giá trị tuyệt đối: < == 0. xx- 0 x )( nếu nếu x xx 2) Trờng số phức C là trờng định chuẩn với chuẩn môđun: 22 babia)bia()( +=+=+= . 3) Chuẩn adicp trên trờng số hữu tỉ. Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi số hữu tỉ 0 , ta viết đợc một cách duy nhất: n p b a = , trong đó nba ,, Z và ba, không chia hết cho p .Ta định nghĩa: = == 0. p 0 0 )( n- nếu nếu p p Trớc hết ta chứng minh rằng ( ) )(),(max)( + . Thật vậy, ta viết ,; mn p d c p b a == trong đó dcba ,,, là các số nguyên không chia hết cho p và mn, Z. Ta có 7 m mn mn p bd bcadp p d c p b a + =+=+ . Do đó )(,)( mkp k p =+ )(),,max( mnppp mnm = ( ) )(),(max pp = . Mặt khác, ta có mnmnmn p mn pp pppp bd ac p d c p b a ++ == = = )( )( )()( pp = . 1.4 . Các tính chất của trờng định chuẩn. Cho (K, ) là một trờng định chuẩn, khi đó ta có ;1)1()1() == i ;,)()() Kaaaii = ;,),()()() Kbababaiii == n i i n i i aaiv 11 );()() ;0,, )( 1 )()() 11 == aKa a aav .0,,, )( )( )() 1 = bKba b a abvi Chứng minh. iii) Đặt a = b + c (a) = ( b + c) (b) + (c) (a) - (b) (c) (a) - (b) (a - b) (b) - (a) (b - a) = (a - b). Vì vậy, ta có: | (a) - (b)| (a-b), a, b K. Các tính chất còn lại của trờng định chuẩn đợc chứng minh tơng tự. 1.5 . Sự hội tụ trong trờng định chuẩn. Giả sử (K, ) là một trờng định chuẩn 8 1.5.1. Định nghĩa. Một dãy { } n n N các phần tử thuộc trờng K, đợc gọi là hội tụ về phần tử K theo chuẩn và ký hiệu = n n lim nếu dãy số thực ( n - ) 0 khi n . 1.5.2. Định nghĩa. Một dãy { } n n N các phần tử của trờng K đợc gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) theo chuẩn nếu dãy số thực 0)( mn khi nm, . 1.6. Định lý. Mọi dãy hội tụ trong trờng định chuẩn (K, ) đều là dãy cơ bản (theo chuẩn ). Điều ngợc lại không đúng. Chứng minh. Giả sử { } n n N là một dãy trong trờng K hội tụ về phần tử K ,ta có 0)()()()( ++= mnmnmn khi nm, . Từ đây ta suy ra tính chất cơ bản của dãy { } n n N. Để chứng minh điều ngợc lại không đúng, ta chỉ ra có một dãy cơ bản các số hữu tỉ, mà không hội tụ theo chuẩn giá trị tuyệt đối. Xét dãy số hữu tỉ sau: .) .,2,1,0( ! 1 !2 1 !1 1 1 =++++= n n a n . Với p < q , ta có: ! 1 )!2( 1 )!1( 1 0 qpp aa pq ++ + + + =< + ++ + + + < 1 )1( 1 . 1 1 1 )!1( 1 pq p pp + + < 1 1 1 1 )!1( 1 p p ! 1 pp = . Vì vậy, với mọi qp, sao cho qp > , ta có: ! 1 0 pp aa pq << (1). Từ bất đẳng thức (1) suy ra dãy { } n a n N là một dãy cơ bản các số hữu tỉ. Giả sử rằng, dãy { } n a n N hội tụ về số hữu tỉ l . Từ bất đẳng thức (1), cho q , có 9 !. 1 0 pp al p < (2) Trong (2), chọn 2 = p , ta có: 4 1 0 2 << al , hay 75,25,2 << l . Ta viết n m l = , trong đó nm, N với m không chia hết cho n . Trong (2), lại chọn np = , ta có: !nn 1 a n m 0 n ì << ! 1 ! 1 !1 1 10 nnnn m ì +++< . Nhân hai vế bất đẳng thức trên với !n , ta gặp một mâu thuẫn sau đây 1 n 1 x0 << . 1.7. Định lí. Chuẩn trên trờng K là chuẩn không Acsimet khi và chỉ khi (n) 1, n N. Chứng minh. 1) Giả sử là chuẩn không Acsimet trên trờng K, khi đó với n N, ta có: )1 11()( n n +++= ( ) 1)1(), .,1(max = . 2) Giả sử 1)( n , n N, ta chứng minh là chuẩn không là Acsimet trên trờng K. Thật vậy, với nk .,, 2,1 = ta có: )(])[()]([ 1111 kkkk k kkk babCbaCababa ++++=+=+ [ ] [ ] k k k bbaa )()()()( 1 +++ (vì 1)C( 1 k ). Gọi ))(),((max baM = , ta thu đợc: kk Mkba )1()( ++ . áp dụng bổ đề sau đây trong các số thực ta có điều cần phải chứng minh. Bổ đề. Nếu ,, là các số thực dơng và + k k , k N, thì: 1 . Chứng minh. Giả sử ngợc lại 1 > .Ta viết += 1 với > 0. Khi đó với k 2, ta có: 10