Nhóm golois của trường các số đại số

Mở đầu Một mở rộng hữu hạn bậc n của trờng các số hữu tỉ, đợc gọi là trờng các số đại số bậc n (The field of algebraical numbers). Các nghiên cú gần đây gợi ý rằng, lý thuyết các số đại số có rất nhiều ứng dụng trong toán học. Việc nghiên cứu các số đại số, ngày nay đã phát triển thành một lý thuyết rất sâu sắc. Trong luận văn này, chúng tôi đề cập một số kết quả của lý thuyết ấy. Luận văn đợc chia thành hai chơng, cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục 10 tài liệu tham khảo. Trong chơng 1, luận văn giới thiệu các khái niệm và các kết quả cơ sở của lý thuyết Galois và lý thuyết các số đại số. Luận văn đã giới thiệu kết quả tổng quan về nhóm các tự đẳng cấu trờng. Một kết quả lu ý ở đây là chứng minh đợc bậc mở rộng của mở rộng E trên trờng con K của E gồm các phần tử bất biến đối với một nhóm con hữu hạn các tự đẳng cấu nào đó của trờng E (Định lý 1.10, chơng1). Tiếp theo, luận văn đã chứng minh đợc rằng, nhóm các tự đẳng cấu của trờng số đại số bậc bốn Q ),2( i là nhóm Klein và là nhóm Galois của mở rộng của đa thức 92)( 24 += xxxf ( mệnh đề 3.6). Mệnh đề 3.7, mô tả đợc nhóm Galois của trờng số Q ),3( 4 i là nhóm cấp 8. Mệnh đề 3.8, mô tả đợc nhóm Galois của đa thức 2)( 3 = xxf là nhóm cấp 3. Nội dung cơ bản của chơng 2, là chứng minh đợc rằng, tập hợp A tất cả các số đại số tạo thành một trờng con của trờng các số phức (Định lý 1.4) bằng công cụ mở rộng trờng. Hơn nữa, trong Định lý 1.5 chúng tôi đã chứng minh đựơc rằng mở rộng đóng đại số của trờng số hữu tỉ là trờng A tất cả các số đại số. Tiếp theo, với mọi số nguyên tố p, Định lý 1.6 chỉ ra rằng tồn tại trờng đóng đặc số p. Phần 2 của chơng 2, chúng tôi đã xây dựng đợc khái niệm căn bậc p trên một trờng hữu hạn nhờ Định lý 2.6. Phần 3 của chơng 2, khẳng định đợc rằng cấp của nhóm Galois G(H p , H p ) của các trờng hữu hạn H p , H p , với q = p n là nhóm xyclic cấp n sinh bởi tự đẳng cấu p xx : . Luận văn này có thể phát triển theo hớng nghiên cứu các mô đun trên trờng các số đại số. Luận văn đợc hoàn thành tại Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Đào tạo Sau đại học, Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS. Giảng viên Nguyễn Thành Quang về sự giúp đỡ nhiệt tình và nghiêm túc trong giảng dạy và nghiên cứu đã dành cho tác giả. Tác giả của luận văn xin trân trọng cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, PGS. TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS. TS. Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn T và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán đã giúp đỡ và dạy bảo tận tình cho chúng tôi, trong hai năm học tập vừa qua. Tác giả của luận văn xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Trọng Văn, PGS. TS. Nguyễn Nhã Bản, Th.S. Nguyễn Văn Cam và các thầy cô giáo trong Khoa Đào tạo Sau Đại học đã giúp đỡ tận tình cho chúng tôi, trong thời gian học tập Cao học. Tác giả luận văn xin chân thành cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học IX Toán, Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, đã động viên cổ vũ chúng tôi trong học tập và nghiên cứu. Tác giả luận văn xin chân thành cảm ơn tập thể các giáo viên Trờng Trung học Phổ thông Nghi lộc III, Sở Giáo dục Nghệ An đã dành nhiều điều kiện thuận lợi về tinh thần và vật chất cho tác giả trong thời gian học tập Sau Đại học. Vinh, ngày 08 tháng 12 năm 2003 Tác giả luận văn Phạm Thị Hải Yến Chơng 1 Lý thuyết Galois Đ 1. Nhóm các tự đẳng cấu trờng. 2.1. Định nghĩa. Cho E là một trờng, một tự đồng cấu của trờng E là một ánh xạ T: E E sao cho T(u + v) = T(u) + T(v) và T(uv) = T(u) T(v) với mọi u, v E. Một tự đồng cấu T: E E là song ánh thì T đợc gọi là tự đẳng cấu của trờng E. Nhận xét. Tự động cấu T : E E là đẳng cấu trờng T là toàn cấu. 2.2. Mệnh đề. Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của trờng E với phép nhân lập thành một nhóm. Ký hiệu nhóm này là Aut (E). 2.3. Định nghĩa. Cho E là một mở rộng của trờng K, một tự đồng cấu T của E thoả mãn: T(a) = a, ( a K) (1) tức là giữ cố định mỗi phần tử của K, đợc gọi là một K - tự đồng cấu của E. 2.4. Chú ý. Bây giờ, cho K là một trờng và E là một mở rộng của K. Ta có E là một không gian vectơ trên K hay E có một cấu trúc K không gian vectơ. Một tự đồng cấu của K không gian vectơ E không nhất thiết là một tự đồng cấu của trờng E. Ngợc lại, một tự đồng cấu T của trờng E cũng là K tự đồng cấu của không gian vectơ nếuvà chỉ nếu. T(a) = a, a K 2.5. Mệnh đề: Cho E là một mở rộng của trờng K. Tập hợp các K tự đồng cấu của trờng E lập thành một nhóm con của nhóm Ant (E). Nhóm con này đợc ký hiệu bởi Ant K (E). Ví dụ1: Tìm Ant Q (Q ( ) 2 ) với (Q ( ) 2 ) là mở rộng đơn của trờng số hữu tỉ Q. Giả sử T là một tự đồng cấu trờng bấtkỳ của (Q ( ) 2 ). Ta có T(1) = T(1) T(1) hay T(1) = 0 hoặc T(1) = 1. Nếu T(1) = 0 thì T() T(1)=T(1) T()=0, với Q ( ) 2 hay T là tự đồng cấu không. Nếu T(1) = 1 thì T(x) = x, với x Q. Mặt khác, ta có ( ) 2 2 = 2, cho nên T ( ) 2 = 2 . Do đó với mọi = a + b 2 Q ( ) 2 có T() = a b 2 hay T là phép đồng nhất 1 Q 2 hat T là phép liên hợp 1 Q( 2 ) . Vì vậy Ant Q (Q ( ) 2 ) = { , 1 Q 2 , 1 Q 2 } là một nhóm Xiclic cấp 3. 2.6. Mệnh đề. Cho một trờng E và một tự đồng cấu T 0 của E. Khi đó, tập hợp K T = {a E / T(a) = a} là một trờng con của trờng E và T là một K T tự đồng cấu của trờng E. Chứng minh. Vì T 0, nên T(1) = 1 hay 1 K T . Với a, b bất kỳ thuộc K T , ta có T(a b) = T(a) T(b) = a b T(ab) = T(a) T(b) = ab Cho nên a b K T và ab K t . Với mọi 0 a K T ta có T(a -1 ) = T(a) -1 = a -1 nên a -1 K T . Vậy K t là một trờng con của trờng E và T là một K T tự đồng cấu của E. 2.7. Hệ quả. Cho E là một trờng và là một tập con nào đó các từ đẳng cấu của trờng E cũng là Ant (E). khi đó tập hợp K = {a E / T(a) = a, T } là một trờng con của E và là một tập hợp các K - tự đẳng cấu của trờng E. Chứng minh. Theo mệnh đề (2.6), tập hợp K T = {a E/ T(a) = a} là một trờng con của E. Do đó K = T K T là một trờng con của E. Ngoài ra, mỗi T hoên nhiên là một K - từ đẳng cấu của E. Trờng con K đợc gọi là trờng các phân tử bất biến đối với tập hợp T các từ đẳng cấu nào đó của E. 2.8. Mệnh đề. Trờng con P các phần tử bất biến qua mọi tự đẳng cấu của tr- ờng E là trờng con nguyên tố của E. Chứng minh: Lấy = Ant (E), ký hiệu P = {a E / T(a) = a , T }. Theo mệnh đề (2.7), P = K = K Ant(E) là một trờng con của E. Giả sử P là một trờng con củabất kỳ của P khi đó có một tập con khác rỗng 1 sao cho P = { a E / T(a) =a , T 1 } = K 1 . Mặt khác, theo các xác định của p, ta có P = T K K 1 = P. T 1 vậy P = p. 2.9. Định lý. Cho H là một nhóm con hữu hạn gồm các tự đẳng cấu nào đó của trờng E. Ký hiệu K = K H là trờng con của E gồm các phần tử bậc biến đối với H. Thế thì bậc mở rộng của E trên K không vợt quá cấp của nhóm con H. Chứng minh. Giả sử nhóm con H có cấp làn. Ta chứng minh rằng dim K E n, bằng cách chỉ ra rằng mọi hệ (n + 1) vectơ thuộc E u 1 , u 2 , ., u n+1 đều phụ thuộc tuyến tính trên KL. Lấy n tự đẳng của H là T 1 , ., T n đặt a ij = T i (u j ) , i = 1, ., n và j = 1, , n+1 Ta thu đợc ma trận cấp n x (n +1) sau: A = (a ij ) n x (n+1) Xét hệ phơng trình tuyến tính theo (n + 1) ẩn x 1 , x 2 , ., x n+1 sau đây: = = + = n ., 2, 1,i 1J 0 1 jij n xa Hệ phơng trình này tuyến tính nào có số ẩn bé hơn số phơng trình cho nên luôn luôn có nghiệm không tầm thờng. Gọi m là số tự nhiên bé nhất sao cho có một tập con { } m jj uu ,, 1 của tập {u 1 , ., u n+1 } để hệ n phơng trình tơng ứng. 0 1 = = kij m k xa K trong đó KK iiij uYa ( = ), (i = 1, ., n), vẫn còn có nghiệm không tầm thờng (x 1 , ., x m ) trong E. Nghiệm này là duy nhất sai khác một hằng số nhân 0, vì nếu có nghiệm không tỉ lệ thì bằng một phép biến đổi thích hợp sẽ cho một nghiệm của hệ phơng trình theo (m 1) ẩn, trái với tính cực tiểu của m. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết ( ) mE xx , .,,1 2 là nghiệm. Bây giờ, ta lấy một tự đẳng cấu bất kỳ S H : ( ) 0' 1 = = Kij m k xSa K Trong đó: ( ) ( ) niuTa kK jij , .,1,'' == . Vì S 0 T i = T i chạy khắp các phần tử của nhóm con H cho nên (S(x 1 ) , ., S(x m )) cũng là nghiệm của hệ phơng trình đã rút gọn nói trên. Nh vậy do tính duy nhất của nghiệm, có (x 1 , ., x m ) = (S(x 1 ), ., S(x m )). Nhng vì x 1 = 1 E và S là tự đẳng cấu của E ta có = S(1 E ) = 1 E (Đơn vị của tr- ờng E) . Từ đó S(x K ) = x K , k = 1, ., m với mọi S H . Điều này có nghĩa là các phần tử x K (K =1, ., m) của E đều thuộc trờng con K H các phần tử bất biến đối với H. Với các phần tử x 1 , ., x m thuộc K H không đồng thời bằng 0, và với đẳng cấu T i tơng ứng ta có ,0 . 1 1 =++ m jmj uxux ( x i K H ). Điều này chứng tỏ các phần tử m jj uu , ., 1 phụ thuộc tuyến tính, do đó hệ (n + 1) phần tử u 1 , ., u n+1 E phụ thuộc tuyến tính. 2.10. Mệnh đề. Nếu p là trờng con nguyên tố của trờng E thì mọi tự đồng cấu của trờng E thì mọi tự đồng cấu của E là p tự đồng cấu. Do đó mọi tự đồng cấu của trờng nguyên tố P đều là tự đồng cấu đồng nhất. Chứng minh: Giả sử T: E E là tự đồng cấu ký hiệu K T = {a E/ T(a)=a} Khi đó K T là trờng con các phần tử bất biến của E qua tự đồng cấu T. Giả sử P là trờng con nguyên tố của E, thế k thì P K T . Do đó T(a) = a, với a P hay T là một p tự đồng cấu. Đ 2. Nhóm Galois của trờng số đại số. Nhóm các tự đẳng cấu của một trờng quan trọng nhất là nhóm các tự đẳng cấu của trờng số đại số trên trờng Q các số hữu tỉ. Trớc hếtlà tìm cách xác định ảnh của một số đại số qua một tự đẳng cấu. Hai số đại số u và v đợc gọi liên hợp với nhau nếu u, v đều là nghiệm của cùng một đa thức bất khả quy của Q [x ]. 2.1. Định lý. Cho Flà một trờng số đại số bậc n, khi đó với mỗi T Ant Q (F)và mọi u F, anh T(u) liên hợp với u. Chứng minh. Mọi u F đều đại số trên Q nên u là nghiệm của đa thức bất khả quy tối triển n (x) Q [x]: n (x) = a 0 +a 1 x + . + a m x m-1 (a i Q) Ta có (n) = a 0 + a 1 x + . + a m x m-1 = 0 Vì T bậc toàn tổng và tính trong F và giữ nguyên các số hữu tỉ cho nên n (T(u)) = a 0 + a 1 T(u) + . + a m T(u) m-1 = T(0) = 0. Đẳng thức này chứng tỏ T(u) cũng là nghiệm của đa thức n (x)a hay T(u) liên hợp với u. 2.2. Định lý. Nhóm các tự đẳng cấu của trờng số đại số bậc 4 Q ( ) i,2 mở rộng bậc 4 của trờng Q các số hữu tỉ sinh bởi 2 và 1 = i . Trên trờng trung gian Q(i), F là một mở rộng bậc 2, sinh bởi một trong hai nghiệm liên hợp 2 của đa thức bất khả quy x 2 2 Q [x]. Có một tự đẳng cấu trờng S Ant Q (i) (F) biến 2 thành 2 . Vì mỗi phần tử u F có dạng biểu diễn: u = a + b 2 + ci + di 2 nên: S(u) = a - b 2 + ci - di 2 Tơng tự, trờng trung gian Q(i) là mở rộng bậc hai của trờng Q sinh bởi một trong hai nghiệm i của đa thức x 2 + 1 Q [x]. Do đó, có một tự đẳng cấu T Ant Q ( ) 2 (F) chuyển i thành i và T(u) = a + b 2 - ci di 2 . Ta có tích TS cũng là một tự đẳng cấu k của trờng F = Q ( ) i,2 giữ nguyên các số hữu tỉ. Ta tìm đợc 4 tự đẳng cấu sau (trên các phần tử sinh) của nhóm Ant Q (F) là: ii S ii I 2222 ii TS ii T 2222 Ta chứng tỏ nhóm Ant Q (E) chỉ có 4 phần tử này theo định lý (2.2), với bất kỳ V Ant Q (F) ta có V chuyển 2 thanàh 2 và chuyển i thành i, do đó V phải trùng với một trong 4 tự đẳng cấu I, S, T, TS. Bảng nhân của AntQ(I) S 2 = I, T 2 = I, ST = TS Đây chính là bảng nhân của nhóm Klein có 4 phần tử. Vậy, ta có thể kết luận nhóm các tự đẳng cấu của Q ( ) i,2 = F trên Q đẳng cấu với nhóm Klein. Đ 3. Nhóm Galois của trờng các số đại số. 3.1. Trờng nghiệm của một đa thức. Cho K là một trờng. Trờng nghiệm của đa thức 0 f(x) K[x], bậc n 1, là một mở rộng N của K sao cho. i) Đ athức f(x) có n nghiệm u 1 , , u n N. ii) N = K (u 1 , ., u n ), nghĩalà N đợc sinh bởi K và n nghiệm của đa thức f(x). 3.2. Định lý về sự tồn tại trờng nghiệm [. ]. Cho K là một trờng. Khi đó mọi đa thức khác không f(x) K [x] bậc n 1 đều có một trờng nghiệm. 3.3. Trờng đóng đại số. Một trờng K đợc gọi là trờng đóng đại số nếu mọi đa thức 0 f K [x] với bậc f 1 đều có ít nhất một nghiệm trong K. 3.4. Định nghĩa. Cho K là một trờng, một đa thức 0 f K[x] bậc n và N = K (u 1 , .,u n ) là trờng nghiệm của f. Nhóm Ant K (N) đợc gọi là nhóm Galói của đa thức f hay nhóm Galois của trờng nghiệm N của f trên K. 3.5. Định lý (Xem[ ]). Cho K là một trờng và đa thức f(x) K[x], bậc f(x) = n 1 có K nghiệm phân biệt u 1 , ., u K trong một trờng nghiệm N = K(u 1 , u 2 , , u n ), với nhóm Galois G = Ant K (N). khi đó, mỗi T G xác định một hoán vị phép thế của tập hợp {u 1 , ., u K } sao cho Z(u ii ) = T(u i ) . Ngợc lại, tự đẳng cấu T hoàn toàn đ- ợc xác định bởi hoán vị này. 3.6. Mệnh đề. Nhóm Galois của đa thức f(x) = x 4 2x 2 + 9 trên trờng số hữu tỉ Q là nhóm các tự đẳng cấu của trờng số đại số bậc bốn Q ( ) i,2 . Chứng minh. Đa thức f(x) = x 4 2x 2 + 9 là đa thức bát khả quy trên Q. Thật vậy, f(x) có nghiệm phức u = 2 + i Q ( ) i,2 nên Q(u) Q ( ) i,2 . Mặt khác, từ u = i + 2 , suy ra i = u u 2 3 2 Q(u) và 2 = u i = u - u u 2 3 2 Q(u), do đó Q ( ) i,2 Q (u). Vậy Q(u) = Q ( ) i,2 . Ta có [Q(u):Q] = [Q ( ) i,2 : Q] = 4. Do đó, đa thức f(x) = x 4 - 2x 2 + 9 bất khả quy trên Q. Ta viết f(x) = x 4 - 2x 2 + 9 = ( ) 2 2 3 x + 4x 2 = = ( ) ( ) 2 2 2 23 ixx = ( ) ( ) 3232 22 + ixxixx = ( ) [ ] ( ) [ ] 22 22 + ixix Từ đó suy ra f(x) có 4 nghiệm phân biệt u 1 = i - 2 , u 2 = i + 2 , u 3 = i - 2 , u 4 = -i + 2 . Trờng nghiệm của f(x) là: N = Q (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = Q(i + 2 ) = Q (i, 2 ) là một mở rộng bậc 4 của Q, hay là một trờng số đại số bậc 4. Theo định nghĩa nhóm Galois của đa thức f(x) trên Q chính là nhóm các tự đẳng cấu Ant Q (Q ( 2 , i)) của trờng Q( 2 , i). Nhóm này gồm 4 tự đẳng cấu I, S, T, T o S/ = S o T). 3.7. Mệnh đề. Nhóm Galois G của trờng số đại số Q ( ) i,3 4 là nhóm cấp 8 và tập hợp các phần tử của nó là G = {I, S, S 2 , S 3 , T, ST, S 2 , S 3 T} Chứng minh. Xét đa thức f(x) = x 4 3. Theo tiêu chuẩn Eisentein, f(x) là đa thức bất khả quy của Q[x]. Đa thức f(x) có 4 nghiệm trong C (hai nghiệm số thực và hai nghiệm số thực): r, ir, - r 4 , -ir, trong đó r = 4 3 R. Trờng nghiệm của đa thức f(x) = x 4 3 Q [x] trên Q là N = Q (r, ir , -r, -ir)= Q (r, i). Vì r = 4 3 là số đại số bậc 4 trên Q và Q (r) có một cơ sở trên Q gồm 1, r, r 2 , r 3 , còn i = 1 là số đại số bậc 2 trên trờng thực Q(r) và N = Q(r, i) = Q(r) (i) có một cơ sở trên Q(r) gồm 1, i cho nênbậc của N trên Q là: [N: Q] = [N: Q(r)]. [Q(r):Q] = 2 x 4 = 8. Trên Q, trờng nghiệm N của f(x) có một cơ sở là 1, r, r 2 , r 3 , i, ir, ir 2 , ir 3 . . 2. Nhóm Galois của trờng số đại số. Nhóm các tự đẳng cấu của một trờng quan trọng nhất là nhóm các tự đẳng cấu của trờng số đại số trên trờng Q các số. hệ số hữu tỷ. Nói cách khác, số đại số là một số phức C đại số trên trờng Q các số hữu tỷ. 4.4. Định lý. Tập hợp tất cả các đại số tạo thành một tf con của